CC BY
7Обратные задачи
95
with a semi-infinite Jacobi matrix [1,2,3,4]. Then the inverse dynamic data for this system so called response operator (discrete analog of a dynamic Dirichet-to-Neumann map) is given in terms of moments, and we can use ideas of the Boundary Control method [5] to recover the spectral data, i.e. the measure of a truncated moments problem, from dynamic one. The remarkable fact is that in our procedure we do not use the Jacobi matrix itself. We also formulate the results on the uniqueness of the solution of Hamburger and Stieltjes moments problems.
This work was partially supported by the RFBR (grant 18-01-00269). References
1. A. S. Mikhaylov, V S. Mikhaylov. Dynamic inverse problem for Jacobi matrices, Inverse Problems and Imaging, 13, no. 3, 431-447, 2019.
2. A. S. Mikhaylov, V. S. Mikhaylov. Boundary Control method and de Branges spaces. Schredinger operator, Dirac system, discrete Schredinger operator. J. of Math. Analysis and Applications, 460, no. 2, 927-953, 2018.
3. A. S. Mikhaylov, V S. Mikhaylov, S.A. Simonov. On the relationship between Weyl functions of Jacobi matrices and response vectors for special dynamical systems with discrete time, Mathematical Methods in the Applied Sciences. 41, no. 16, 6401-6408, 2018.
4. A. S. Mikhaylov, V S. Mikhaylov. Dynamical inverse problem for the discrete Schredinger operator. Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics., 7, (5), 842-854, 2016.
5. M.I. Belishev. Boundary control and tomography of Riemannian manifolds (the BC-method), Uspekhi Matem. Nauk. 72, no. 4 (2017), 3-66, (in Russian).
Метод приближенного обращения при решении задачи динамической векторной томографии
А. П. Полякова, И. Е. Светов
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН Email: [email protected] DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10196
Будем называть задачу томографии динамической, если изучаемый объект движется во время процесса сбора данных. Подобные постановки возникают, например, в медицине при исследовании сердца или легких. Однако большинство известных методов восстановления основаны на предположении, что объект неподвижен, поэтому применение этих методов в динамическом случае, как правило, не дает удовлетворительных результатов [1].
В данной работе предлагается алгоритм восстановления двумерного векторного поля, которое вместе с носителем изменяется во времени по известному закону. В качестве исходных данных используются значения лучевых преобразований этого поля вдоль прямых, параллельных направлению, зависящему от постоянной угловой скорости источника излучения и времени. Алгоритм основан на методе приближенного обращения, который ранее был успешно применен при решении двумерной задачи векторной томографии в стационарном случае [2].
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и ННИО (проект 19-51-12008). Список литературы
1. Hahn B. N. Efficient algorithms for linear dynamic inverse problems with known motion // Inverse Problems. 2014. Vol. 30, No 3. Art. no 035008.
2. Светов И.Е., Мальцева С.В., Полякова А.П. Приближенное обращение операторов двумерной векторной томографии // Сибирские электронные математические известия. 2016. Т. 13. С. 607-623.
задача о сопряжении тонких упругих включений в упругом теле
Т. С. Попова
Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова
Email: [email protected]
DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10197
В работе рассмотрены задачи сопряжения тонких включений различного характера в двумерных упругих телах. Предполагается, что тонкие включения изготовлены из разных по физическим характеристикам материалов: одно из включений моделируются как балка Бернулли-Эйлера, а другое - как балка Тимошенко. Исследованы случаи как отслоившихся с образованием трещин включений, так и
96
Секция 5
включений без отслоения. В случаях с наличием трещины задача ставится в области с разрезом, на берегах которого задаются условия взаимного непроникания. Такая постановка приводит к вариационному неравенству, соответствующему задаче о минимизации функционала энергии на выпуклом множестве допустимых функций. В работе выводится полная система краевых условий вида равенств и неравенств, выполняющихся на границе, а также условия сопряжения в точке контакта включений. Таким образом, рассматриваются задачи с неизвестными граничными условиями. Вариационная и полученная дифференциальная постановки являются в определенном смысле эквивалентными. Доказана однозначная разрешимость поставленных задач.
Методы решения коэффициентной обратной задачи для нелинейной системы ОДУ по экспериментальным данным пиролиза этана
А. Ю. Приходько1,2, М. А. Шишленин1,2,3 1Новосибирский государственный университет
2Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН 3Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН Email: [email protected] DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10198
Исследуется коэффициентная обратная задача для нелинейной системы ОДУ, которая определяет математическую модель химических реакций [1]. Имеются экспериментальные зависимости концентраций отдельных соединений от времени для нескольких значений температуры. Обратная задача состоит в определении скоростей химических реакций.
Решение обратной задачи сводится к минимизации целевого функционала градиентными, Ньютоновскими и метаэвристическими методами.
В работе проведен сравнительный анализ алгоритмов решения коэффициентной обратной задачи определения параметров химических реакций по экспериментальным данным. Приведены результаты расчетов.
Список литературы
1. L. F. Nurislamova et al.: Kinetic Model of Gaseous Autocatalytic Ethane Pyrolysis DOI 10.1515/cppm-2014-0008 Chemical Product and Process Modeling 2014; 9(2): 143-154
Построение регуляризирующего оператора при обратном анализе ошибок численных решений
А. Н. Рогалев
Институт вычислительной математики СО РАН Email: [email protected] DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10199
Большинство методов оценки ошибок численных решений приводит к сильному росту границ этих ошибок. Обратный анализ ошибок успешно применялся при оценке ошибок решений для систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) [1]. На основе приведенных фактов в докладе исследуется регуляризация алгоритмов оценки ошибок численных решений дифференциальных уравнений, при регуляризации изменяется дефект (невязка) численного решений, строятся численные решения задач с возмущенной правой частью, а также применяются методы преобразований исходных уравнений. Чтобы выбирать границы регуляризируемого алгоритма, исследуется асимптотическая связь между локальной погрешностью, часто используемой для подбора величины шага численных методов решений задач с начальными данным и дефектом (невязкой), а также разность между точным решением возмущенной дефектом задачи и ее численным решением. Приводятся примеры численных расчетов.
Список литературы
1. Рогалев А. Н. Обратные задачи оценки ошибки численных решений// Труды Международной конференции по вычислительной и прикладной математике "ВПМ'17" в рамках "Марчуковских научных чтений", Новосибирск, 25 июня - 14 июля [Электрон. ресурс]. http://conf.nsc.ru/cam17/ru/proceedings. Стр. 739-743.
