CC BY
84
УДК 532.546
В.И. Астафьев, А.Е. Касаткин1
ЗАДАЧА О ПРОДВИЖЕНИИ ВОДОНЕФТЯНОГО КОНТАКТА ПРИ ПОРШНЕВОМ ВЫТЕСНЕНИИ НЕФТИ ВОДОЙ В ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ2
Прогнозирование движения водонефтяного контакта имеет большое значение в теории заводнения: знание о характере совместного течения нефти и вытесняющей ее воды в недрах пласта позволяет оптимизировать систему его разработки. Простейшим представлением о совместной фильтрации является модель "разноцветных" жидкостей, полагающая нефть и воду физически неразличимыми. В настоящей работе рассматривается более сложная теория "поршневого" вытеснения, учитывающая различия в вязкостях жидкостей. Нефтеносный пласт полагается однородным и бесконечным, фиксированной толщины, покрытым двоякопериодической решеткой с добывающими и нагнетательными скважинами в ячейках.
Ключевые слова: заводнение, поршневое вытеснение нефти водой, во-донефтяной контакт, фронт заводнения, задача трассировки, сингулярный интеграл, дзета-функция Вейерштрасса, коэффициент охвата по площади, время прорыва воды.
Введение
Заводнение — одна из старейших технологий в нефтяном промысле, доказавшая свою эффективность за десятилетия применения на месторождениях различных стран-нефтедобытчиков. Известно, что к концу XX - началу XXI в. рассматриваемый метод извлечения нефти обеспечивал 90 % "черного золота", добытого в РФ [1], и 50 % в США [2; 3].
Основная цель заводнения, как и любого метода повышения нефтеотдачи, заключается в извлечении большего объема нефти по сравнению с результатами "первичной добычи" — режима, при котором ископаемое топливо добывается за счет внутренней энергии пласта [3]. Для этого в горную породу через специально пробуренные (или ранее отключенные добывающие) скважины закачивается т.н. вытесняющий агент (как правило, вода): в результате обеспечивается восстановление упавшего пластового давления, благодаря чему повышаются показатели нефтедобычи.
х© Астафьев В.И., Касаткин А.Е., 2014
Астафьев Владимир Иванович ([email protected]), кафедра разработки и эксплуатации нефтяных и газовых месторождений, Самарский государственный технический университет, 443100, Российская Федерация, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
Касаткин Андрей Евгеньевич ([email protected]), кафедра безопасности информационных систем, Самарский государственный университет, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
2Работа выполнена в рамках базовой части госзадания СамГТУ, финансируемого Минобрна-уки России, и поддержана грантом РФФИ 14-01-97041-р_поволжье_а.
Одним из важнейших вопросов в прогнозировании хода заводнения является мониторинг водонефтяного контакта (ВНК): подобные задачи аналитически разрешимы лишь в простейших случаях и являются одними из наиболее сложных. Вопрос о продвижении ВНК имеет более чем полувековую историю и за время своего существования "обзавелся" множеством решений для различных моделей фильтрации и допущений, связанных с параметрами процесса: одним из распространенных представлений о совместном течении жидкостей является поршневое вытеснение [4]. Согласно этой модели физические свойства нефти и воды полагаются различными: при этом граница раздела жидкостей представляется бесконечно тонкой и совпадающей с ВНК и фронтом заводнения. Задача о продвижении ВНК при различных физических свойствах (вязкостях) нефти и воды была впервые поставлена в середине XX в. Маскетом [5] и с тех пор неоднократно вызывала интерес у многих исследователей. Так, среди возможных путей решения можно назвать метод недеформируемых трубок тока, описанный в общем виде И.А. Чарным [6]. Иной подход, основанный на теории потенциалов, был предложен В.Л. Даниловым: в своей работе [7] исследователь свел исходную задачу мониторинга ВНК во времени к нелинейному интегродифференциальному уравнению. Также автор предложил численный метод для решения полученной задачи Коши. Метод Данилова далее был распространен Фазлыевым и на случай площадного заводнения: в своей работе [8] автор построил и численно решил инте-гродифференциальное уравнение для пятиточечной схемы расположения скважин. Помимо описанных выше подходов, следует также отметить идею В.И. Пилатов-ского [9], изначально реализованную для двухжидкостной фильтрации в тонком наклонном пласте: решая задачу о продвижении границы раздела двух жидкостей к прямолинейной цепочке скважин, автор использовал сингулярный интеграл с ядром Гильберта и технику интегродифференциальных уравнений.
В настоящем исследовании также была поставлена и решена задача о про-двжиении ВНК во времени при поршневом вытеснении нефти водой: при этом для моделирования нефтеносного резервуара и разбуренных на его поверхности скважин использовалось представление из работы [10]. Таким образом, текущее исследование расширяет результаты, полученные ранее в [10], в рамках модели "разноцветных" жидкостей. Впервые введенное Герольдом [11], это представление исключает физические различия между водой и нефтью, а также область смешанных жидкостей на границе раздела. Благодаря этому функция скорости фильтрации сохраняет непрерывность на ВНК: при этом возможно построение линий тока, вдоль которых продвигаются отслеживаемые частицы жидкости (трассеры), образующие водонефтяной контакт. В случае же поршневого вытеснения скорость фильтрации терпит разрыв касательной комопненты на границе раздела "вода-нефть": в результате вопрос о мониторинге водонефтяного контакта в модели поршневого вытеснения сводится к задаче с неизвестной границей, где продвижение каждой отслеживаемой частицы зависит от положения всех трассеров на предыдущем шаге.
1. Задача о продвижении ВНК. Математическая модель
Согласно описаниям из работы [10], моделируемый пласт покрывается двояко-периодической решеткой с добывающими и нагнетательными скважинами в ячей-
ках: последние формируются на основе повторяющихся элементов выбранной схемы заводнения, как показано на рис.1. На изображении слева представлены повторяющиеся наборы (выделены пунктиром) из четырех нагнетательных (белые треугольники) и одной добывающей (черные круги) скважин. На изображении справа представлена выделенная ячейка соответствующей схеме двоякопериоди-ческой решетки: граница ячейки выделена сплошной линией.
Рис. 1. Пример построения двоякопериодической решетки для пятиточечной схемы заводнения: границы повторяющихся элементов на изображении слева выделены пунктиром. Справа представлена ячейка двоякопериодической решетки, а также параметры, определяющие ее геометрию: границы ячейки выделены сплошной линией на обоих изображениях
Двоякопериодическая решетка описывается рядом числовых характеристик, представленных на рис. 1 (справа) и определяющих размеры и форму ее ячеек. Узлы ш = тш\ + n^2/m,n £ Z решетки определяются параметрами ш\ и Ш2 = = \егв. в обозначает угол между Ш2 и осью OX, а Д соответствует площади ячейки, имеющей в общем случае вид параллелограмма [12-14].
Ниже приведены условия, выполняющиеся на границе раздела "вода-нефть" при "поршневом" вытеснении.
Т roil, jrwater .-\roil jrwater.oil ^water í л \
Vt Hoil = Vt Hwater, Vn = Vn ; P = P ■ (1)
Здесь /^water, Vtwater, vnwater и pwater обозначают вязкость, касательную и нормальную компоненты скорости, а также давление со стороны воды (water): индекс (oil) указывает на анлогичные характеристики со стороны нефти. Рассмотрим положение точки Z на границе раздела вода-нефть в некоторый момент времени t: связанные с ней вектора касательной и нормали представлены на рис. 2 (слева). Здесь фронт заводнения (кривая L, выделенная черным) разделяет области, занятые водой (WATER), нагнетаемой через скважину (INJECTION WELL), и нефтью (OIL).
Далее рассмотрим в деталях вид функции скорости V(z) = Vx — iVy как для нефти, так и для воды в некоторой выбранной точке Z(x,y). Переходя в систему координат (t,n), получим:
V(z) = Vt(cos а — i sin а) + iVn(cos а — i sin а) = (Vt(z) + iVn(z))e-ia■ (2)
X
Рис. 2. Слева: взаимное расположение систем векторов (Х,У) и (£,те), связанных с точкой Z(x,y), на границе раздела "вода-нефть" (ВНК). Справа: схема параметризации контура ВНК
Будем искать V(г) в виде:
V(г) = Ф(г) + 2- / С(т - г)1 (т)втт. (3)
ь
Здесь Ф(г) представляет собой функцию скорости, построенную в работе [10] для двоякопериодической схемы заводнения в рамках модели "разноцветных" жидкостей:
п 1 _
Ф(г) = - £ Щл^-(С(г - ги) + а (г - хи) - в(г - ги))+
и=1
П2 щ(гп^есЬ) _
+ Е (^ (г - г-ш) + а (г - г-) - в (г - г-)).
Ш = 1
Здесь П1 и П2 — число добывающих (мощности Qu) и нагнетательных (мощности Qw) скважин соответственно, размещенных в точках ги и гш (и и и> -
индексы сумм) ячейки. ((г) = 1 + £ (+ и + О1) — дзета-функция Вейер-
штрасса; в = х и а = в - ¿2"С() —числовые параметры, обеспечивающие двоякую периодичность £ (г) ; Д - площадь ячейки;^ - толщина пласта, ш — узел двоякопериодической решетки (ш = тш1 + пш2/т, п € Z).
Второе слагаемое в правой части формулы (3) представляет собой сингулярный интеграл с ядром типа Коши, заключенным в дзета-функцию Вейерштрасса £(т - г) для удовлетворения условию двоякой периодичности. Подобное представление было использовано Койтером [15] в его работе, посвященной задачам теории упругости.
Воспользуемся введенным представлением (3) для определения функций скорости для нефти V°°1 (г) и воды уша1ег (г) на ВНК (Ь). Важно отметить требование гладкости для границы раздела "вода-нефть": указанное условие является необходимым для существования предлагаемого решения. Задавая естественную параметризацию для контура Ь, основанную на параметре длины дуги в (см. рис. 2 (справа)), и далее применяя формулы Сохоцкого — Племеля, получим следующую
систему уравнении:
VWater(z(s)) = <i>(z(s)) + -Л § Z(т - z(s))Y(т)dr + ; _ L (4)
Voil (z(s)) = ^(z(s)) + ¿¡-J Z(т - z(s))y(t)dT - ^•
L
Здесь z = z(s) , а переменная интегрирования т связана с точками контура L и имеет тот же смысл, что и z вне интегральной части.
Используя систему (4), а также условия (1), получим вид функции y(z) =
■yjwater , N -yjoil , .
= V (z) - V (z):
7(z) = Vtwater(z)[1 - ^^]e-ia• (5)
Благодаря совпадению ВНК с границей раздела "вода-нефть" и фронтом вытеснения, достаточно отслеживать эволюцию водонефтяного контакта лишь "с одной стороны": далее все рассуждения будут сфокусированы на функции V (z).
t water
Обозначим отношение вязкостей как к = м oil , а касательную и нормальную компоненты, соответственно, как T(s) = Vtwater(z(s)) и N(s) = VWater(z(s)). Далее выпишем вид функции V (z(s)) из (4) с учетом новых обозначений. Переходя к T(s) и N(s) с помощью (2) и заменяя контурный интеграл на определенный, а также принимая во внимание (5), получим:
1 + к 1 — к fS dz
T(s) + iN(s) = mz(s)) + — J0 Z(z(a) - z(s))T(a)da]-. (6)
Здесь переменная а имеет тот же смысл, что и параметр длины дуги s, а пре-
N-1
дел интегрирования S вычисляется по формуле: S = £ Asj. При этом справед-
i=0
ливо: z = z(s).
Уравнение (6) позволяет определить скорость течения воды в некоторой выбранной точке z = z(s) на границе раздела "вода-нефть". Однако для решения задачи о мониторинге ВНК необходимо описать трассировку нагнетаемой воды, что будет сделано далее.
2. Задача о продвижении ВНК. Построение решения
Решение задачи трассировки подразумевает отслеживание перемещения наблюдаемых частиц жидкости во времени: для этих целей в работе [10] была представлена соответствующая система уравнений. Аналогичная ей задача Коши может быть использована и в рамках настоящего исследования:
т % = V (г); _
%г=о = го + вгв.
Здесь т - пористость пласта, г0 - центр призабойной зоны радиуса нагнетательной скважины. V(г) обозначает скорость перемещения частицы г и является известной функцией в правой части уравнения: соответствующее ему начальное условие указывает на положение отслеживаемого трассера г в момент старта заводнения. Изначально все наблюдаемые частицы размещаются вокруг ствола
(7)
нагнетательной скважины: угол в указывает на точное местоположение трассера относительно центра хо колонны, а величина Ав определяет их (трассеров) суммарное число.
Как было сказано ранее, V(х) теряет непрерывность на ВНК ввиду особенностей поршневого вытеснения (различие вязкостей). В связи с этим необходимо определить функцию скорости на границе раздела вода-нефть: в рамках настоящего исследования V(х) представляет собой полусумму значений скоростей нефти V (х) и воды V (х). С учетом условий (1) выражение для V(х) примет следующий вид:
V(х) = 1 (Vой (х)+ V^(х)) = (ЦКт(а) + гМ(а)) е-га.
Переписывая систему уравнений (7), получаем:
т§ ^
хь=0 = хо + вгв.
(1+^) т^ег (а) + (а)
(8)
Далее сосредоточим внимание на уравнении (6), необходимом для определения компонент функции V(х). В отличиче от первого слагаемого, Ф(х(а)), заданного аналитически, сингулярный интеграл (СИ) в правой части (6) вычисляется приближенно. Обратимся к разбиению ВНК, предложенному на рис. 2 (справа): фронт заводнения (контур I) образован дискретным множеством точек — позиций трассеров хк. Каждой из хк соответствует значение а к, имеющее смысл параметра длины дуги: формула для вычисления ак представлена на рис. 2 (справа).
Используя предлагаемое разбиение, перепишем СИ в следующем виде:
Б N+ к-1 s¿+1
] С(х(а) - х(ак))Т(а)Са = ]Т ] С(х(а) - х(ак))Т(а)Са. (9)
0 г=к н
Согласно определению, сингулярный интеграл с ядром типа Коши включает в себя особенность вида ^— , которой обладают только два интеграла из указанной суммы. Выделяя их в отдельное слагаемое, получим сингулярную и регулярную составляющие СИ, входящего в правую часть (6):
N+к-1 «г+1 «к+1
£ I С(х(а) - х(ак))Т(а)Са = / С(х(а) - х(ак))Т(а)Са+
г=к въ Як_1 (10)
N+к-2 «¿+1 ( )
+ £ I С(х(а) - х(ак))Т(а)Са.
г=к+1 въ
Первое слагаемое суммы (10) является сингулярным, исходя из значений пределов интегрирования и определения дзета-функции Вейерштрасса, входящей в интегральное ядро:
»11 ч / NN 1 / 1 1 х(а) - х(а).
С(х(а) - х(а)) = —-— (—-—-+ - + ),
х(а) — х(а) z—' х(а) — х(а) — ш ш ш2
где ш = тш1 + пш2/т,п € Z — узел двоякопериодической решетки, на которой определена С.
Для устранения особенности первое слагаемое суммы (10) определялось в смысле главного значения Коши. В результате была получена следующая формула:
я»=+1 г , ч
/ С (г(о) - г(8к ))Т (о)3о = ± тк Ц + Тк+1 - Т-
+
+ 2 [С*Ы-1 - Ак )Тк-1 Авк-1 + С*Ы+1 - Ак )Тк + 1Авк }.
8к-1 "2 к^
Второе слагаемое (10), являющееся регулярным, определялось путем построения квадратурных сумм по формуле трапеций:
N+ к-2 1 И+к-2
С (а (о) - г(вк ))Т (о)(Ь = 2 [С А - Ак )Т + С (*г+1 - Ак )Ti+l}Aвi. i=k + 1 3. i=k+1
Отсюда приходим к итоговому выражению для определения СИ (9):
/3 С (а (о) - г(вк ))Т (о)3о = ± [Тк + Тк+1 - Тк-1
+2 [С*Ы-1 - Ак)Тк-1Авк~1 + С*Ы+1 - Ак)Тк+1Авк} +
+
"2 [С*(Ак-1 - Ак )±к-1АЬк-1 + С*(Ак + 1 - гк )±к+1АЬк} + (ц)
N+ к-2 У '
+1 £ [СА - Ак)Т + сА+1 - Ак)Ti+l}Asi.
i=k + 1
Далее вернемся к задаче Коши (8), обеспечивающей мониторинг ВНК во времени. Согласно выражению для V(г) для определения скорости на фронте заводнения необходимо вычислить касательную и нормальную компоненты. Значения Т (в) и N (в) можно получить из (6), разделив вещественную и мнимую части:
Т(вк) = Ъе{[Ф(г(вк)) + - /3 С(г(о) - г(вк))Т(о)М^} N (вк) = ф(г(вк)) + - /о3 С (г(о) - г(вк ))Т (о)во} Щ .
Записав систему (12) для всех точек гк водонефтяного контакта, получим две системы матричных уравнений:
(Tmatrix) Т = -Т ; Т - (Nmatrix) Т = —. (13)
Здесь Тта^Х и — матрицы коэффициентов для вектора касательных
компонент скорости Т : для их определения следует использовать систему (12) и выражение (11). После перегруппировки слагаемых по значениям вектора Т формула для вычисления СИ примет вид:
/о3 С(г(о) - А(вк))Т(о)3о = ¿т[2Тк + Тк+1 - Тк-1+
1о3 С(г(о) - А(Вк ))Т(о)3о = ^ [2Тк -
N+к-1
+ £ С(^ - Ак)%(Ав1 + Ав-1)гк}.
i=k+1
В свою очередь, векторы — г и — обозначают известную правую часть в уравнениях (13) и определяются по формуле:
Ф(А(В0)) \1 Г/ Ф(А(во))
... I; Nr =1т М ...
ф^Ы-1))^ Л IV -1))^
Определяя последовательно векторы — и — из уравнений (13), можно получить значения функции V(а) из системы (8) в выбранный момент времени. Для
решения основной задачи Коши использовались методы Рунге-Кутты, модифицированные с учетом комплексной природы г. В качестве переменной интегрирования использовалось т. н. "безразмерное время" т, связанное с исходной временной переменной £ следующим образом:
т = Qw 1/2птН\ш\\
Здесь т и Н — пористость и толщина нефтеносного пласта соответственно, — один из двух периодов двоякопериодической решетки, а Qw — величина дебита нагнетательных скважин из формулы для Ф(г) (см. раздел 2). Как можно видеть из выражения для Ф(г), в настоящем исследовании мощности добывающих (нагнетательных) скважин полагаются равными между собой. В связи с этим удобно ввести отношение Qu/Qw и далее вынести за общую скобку значение Qw, использованное в "безразмерном времени" т.
3. Результаты расчетов
Итогом решения задачи стал программный комплекс, позволяющий как отслеживать эволюцию ВНК во времени, так и количественно оценивать эффективность той или иной схемы заводнения. Результаты работы программы представлены изображениями заводненной области, отражающими распространение нагнетаемой воды со временем, а также числовыми параметрами — временем начала обводнения добывающих скважин и коэффициентом охвата по площади (Ksweep). Значения первой характеристики определяются с помощью ранее указанной переменной интегрирования т: мониторинг ВНК прекращается после прорыва воды в добывающие скважины, поскольку с этого момента граница раздела "вода-нефть" теряет гладкость, которая является необходимым условием существования решения. Алгоритм определения коэффициента охвата по площади также основан на гладкости водонефтяного контакта: аппроксимируя заводненную область выпуклыми четырехугольниками и вычисляя их площадь по правилам векторного произведения, можно оценить размер участка, охваченного разработкой. Значение Ksweep можно получить по следующей формуле: Ksweep = . Здесь Sw a — площадь заводненной области, а Sra, — площадь исследуемого элемента схемы заводнения: величина Sra, определяется из геометрии схемы расстановки скважин.
В рамках настоящего исследования был проведен численный эксперимент, целями которого стали как сравнительный анализ различных схем заводнения, так и оценка влияния, оказываемого различием в вязкостях фильтрующихся жидкостей на эффективность вытеснения нефти водой. В процессе исследования проводились как визуальное сравнение картин заводненной области, так и оценка числовых параметров. Для сравнительного анализа использовались пятиточечная, лобовая рядная, семиточечная и девятиточечная схемы заводнения. Суммарные дебиты добычи (prod) и закачки (inject) были приняты равными: J2 QUprod) = J2 Qwnject).
и=1 w=1
Для мониторинга ВНК было задействовано 180 трассеров: их траектории определялись путем решения основной системы (8), для чего применялась расчетная схема Эйлера.
Известно [1; 16], что отношение вязкостей (к) оказывает негативное влияние на нефтеотдачу: с уменьшением параметра к, при сохранении прочих условий разработки, наблюдается уменьшение объемов извлекаемых нефтяных запасов из-за
растущей нестабильности вытеснения нефти водой. Кроме того, при определенных значениях к возможно проявление эффекта, называемого "вязким пальце-образованием" [17; 18]: значительная разница вязкостей нефти и воды ведет к нарушению устойчивости фронта вытеснения, в результате чего нагнетаемая вода "пронзает" нефтяную область острыми мысами (пальцами), оставляя за собой неосвоенные нефтяные запасы. Подобный эффект был также обнаружен в ходе описываемого численного эксперимента: при определенных значениях параметра к наблюдалось нарушение гладкости границы раздела "вода-нефть" с последующим образованием "вязких пальцев". Указанный эффект изображен на рис. 3 на примере четвертинки пятиточечной схемы заводнения: для большей наглядности рисунок дополнен картиной из работы [18] (Figure 6.a в цитируемой работе) для аналогичной геометрии расстановки скважин. Изображение слева было получено в рамках вышеописанного численного эксперимента для значения к = 1/5. Картина справа соответствует значению числа Пекле 1200 и моменту времени t = 0,1 в обозначениях автора. Острые выступающие мысы изображают языки обводнения и демонстрируют нарушение гладкости фронта вытеснения в обоих случаях.
В то же время необходимо заметить, что изучение эффекта "вязкого пальцеоб-разования" не является предметом настоящего исследования: указанная проблема требует большего внимания к проблеме неустойчивости фронта вытеснения и может быть рассмотрена в будущем.
Ниже представлены результаты мониторинга ВНК при различных значениях вязкостей воды и нефти для семиточечной схемы расстановки скважин: важно отметить, что характер изменений в движении фронта вытеснения оказался схожим для всех четырех исследованных схем (пятиточечной, лобовой рядной, семиточечной, девятиточечной). На рис. 4 представлены картины заводненной области (траектории трассеров выделены белым) в момент прорыва воды т и при различном отношении вязкостей воды и нефти: здесь изображены окрестности одной из добывающих скважин (выделена белым кругом) при семиточечной схеме их размещения.
Таблица 1 содержит значения времени начала обводнения т, подсчитанного для всех четырех схем заводнения при различных значениях вязкостей нефти и воды: результаты определения коэффициента охвата по площади отражены в табл. 2. Аббревиатура VF (viscous fingers) указывает на появление "вязких пальцев" для выбранной схемы заводнения при заданном отношении вязкостей: из-за нарушения гладкости границы раздела "вода-нефть" подсчет коэффициента охвата по площади для данного значения к невозможен. Для большей наглядности столбцы табл. 2 дополнены значениями, взятыми из монографии Ф. Крэйга [16] для случая коэффициента подвижности M, равного единице. Следует отметить, что указанный параметр определяется в настоящей работе как величина, обратная отношению вязкостей воды и нефти: M = 1/к.
Визуальный анализ картин заводненной области показал качественное совпадение результатов настоящего исследования с данными других авторов, полученными как при численном моделировании [19], так и в рамках физического эксперимента [5]. Также результаты опытов подтверждают выводы, сделанные ранее другими авторами, об отрицательном влиянии высокой разницы в вязкостях воды и нефти на показатели нефтеотдачи: с уменьшением параметра к наблюдается сокращение "безводного" периода добычи, а также уменьшение площади, охватываемой заводнением, что негативно сказывается на величине коэффициента охвата по площади и, следовательно, на объеме извлекаемых запасов нефти.
Таблица 1
Значения времени т при различном отношении вязкостей воды
и нефти
Схема заводнения Значения т при различном отношении вязкостей к
к = 1 к = 1/2 к = 1/3 к = 1/4
Пятиточечная 0,2304 0,2034 0,1920 УЕ
Лобовая рядная 0,1820 0,1500 УЕ УЕ
Семиточечная 0,1539 0,1416 0,1356 0,1317
Девятиточечная 0,1108 0,1008 0,0960 0,0928
Значения Кч.
Таблица 2
при различном отношении вязкостей воды и нефти
Схема заводнения Значения Кзшеер при различном отношении вязкостей к
Ф.Крэйг к = 1 к = 1/2 к = 1/3 к = 1/4
Пятиточечная 70 % 72,5 % 63,5 % 60 % УЕ
Лобовая рядная 58 % 57,2 % 47 % УЕ УЕ
Семиточечная 73 % 75,2 % 68,5 % 65,3 % 63,3 %
Девятиточечная 55 % 52,7 % 48 % 45,5 % 44 %
Рис. 3. Пример "вязких пальцев" для четверти элемента пятиточечной схемы заводнения: изображение слева соответствует результатам, полученным в рамках настоящего исследования; изображение справа взято из [18]
Заключение
Настоящее исследование является продолжением работы, описанной в [10], и обобщает ранее полученные результаты на случай учета физических различий между водой и нефтью: при этом все прочие составляющие модели переносятся в новое исследование без изменений. Результатом проделанной работы стал программный комплекс, функции которого во многом аналогичны его предшественнику [10]: основанная на решении задачи о мониторинге ВНК, программа предоставляет как графические данные (картины заводненной области), так и значения числовых критериев (время прорыва воды, коэффициент охвата по площади) для
к=1 т= 0,1539 тс= 1/4 т= 0Л317
Рис. 4. Картины заводненной области для фрагмента семиточечной схемы заводнения при различных отношениях вязкостей к. Время начала обводнения указано в значениях т
исследуемой схемы расстановки скважин. Разработанный программный комплекс представляет собой инструмент для сравнительного анализа различных схем заводнения при неизменных геофизических параметрах пласта: данные сравнения могут применяться при проектировании разработки реальных месторождений в качестве рекомендаций к выбору схемы расстановки скважин из числа возможных вариантов, определяемого анализом геофизических особенностей нефтеносного участка. При этом учет физических различий совместно фильтрующихся фаз (нефти и воды) заметно приближает моделируемый процесс к реалиям нефтедобычи.
Литература
[1] Желтов Ю.П. Разработка нефтяных месторождений: учебник для вузов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Недра, 1998. 465 с.
[2] Уолкотт Д. Разработка и управление месторождениями при заводнении. М.: ЮКОС-Schlumberger, 2001. 144 с.
[3] Уиллхайт Г. Пол. Заводнение пластов. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2009. 788 с.
[4] Басниев К.С., Кочина И.Н., Максимов В.М. Подземная гидромеханика: учебник для вузов. М.: Недра, 1993. 416 с.
[5] Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде. М.; Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2004. 628 с.
[6] Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика. М.: Гостоптехиздат, 1963. 396 с.
[7] Данилов В.Л. Интегродифференциальное уравнение движения границы раздела двух жидкостей в пористой среде // Изв. КФ АН СССР. Сер.: Физ-мат. и тех. науки. 1957. Вып. 2. С. 99-133.
8] Фазлыев Р.Т., Гайнетдинов А.Т. К исследованию процесса площадного заводнения нефтяных месторождений. В кн.: Численные методы решения задач фильтрации несжимаемой жидкости. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1975. С. 289-296.
9] Пилатовский В.П. Об одной системе функциональных уравнений плоского фильтрационного потока // Труды ВНИИ. 1963. Вып. 40. С. 138-156.
10] Касаткин А.Е. Сравнительный анализ схем расстановки скважин при заводнении // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2013. № 9/2(110). С. 197-208.
Герольд С.П. Аналитические основы добычи нефти, газа и воды из скважин. М.; Л.: Нефтеиздат, 1932.
Астафьев В.И., Ротерс П.В. Моделирование двоякопериодических систем добывающих скважин // Вестник СамГУ. 2010. № 4(78). C. 5-11.
Астафьев В.И., Ротерс П.В. Моделирование двоякопериодических систем добывающих скважин. 2. Коэффициент продуктивности // Вестник СамГУ. 2011. № 8(89). C. 118-127.
Астафьев В.И., Ротерс П.В. Моделирование и оптимизация разработки месторождений многоскважинными двоякопериодическими кластерами // Вестник СамГУ. 2013. № 9/2(110). C. 170-183.
Koiter W.T. Some general theorems on doubly-periodic and quasi-periodic functions // Proc. Konikl. Nederl. Akademie Wetenschappen, Amsterdam. 1959. Vol. 62. № 2. P. 120-128.
Крэйг Ф.Ф. Разработка нефтяных месторождений при заводнении. М.: Недра, 1974. 192 с.
Polymer Floods: A Case Study of Nonlinear Wave Analysis and of Instability Control in Tertiary Oil Recovery / P. Dapira [et al.] // SIAM Journal on Applied Mathematics. 1988. Vol. 48. № 2. P. 353-373.
Chen C., Meiburg E. Miscible porous media displacement in the quarter five-spot configuration. Part 1. The homogeneous case // J. Fluid Mech. 1998. Vol. 371. P. 233-268.
19] Моделирование разработки нефтяных месторождений на параллельных вычислительных системах / М.А. Корнилина [и др.] // Математическое моделирование: математические модели и вычислительный эксперимент. 1995. Т. 7. № 2. С. 35-48.
References
[1] Zheltov Yu.P. Development of oil fields: schoolbook for Institutions of Higher Education. 2-nd ed., revised and enlarged. M., Nedra, 1998, 465 p. [in Russian].
[2] Wolcott D. Development and management by minefields at waterflooding. Nefteyugansk, Yukos-Schlumberger, 2001, 144 p. [in Russian].
[3] Whillhite G.Paul. Waterflooding. M.-Izhevsk, Institut komp'iuternykh issledovanii, 2009, 788 p. [in Russian].
[4] Basniev K.S., Kochina I.N., Maksimov V.M. Subsurface hydromechanics: schoolbook for Institutions of Higher Education. M., Nedra, 1993, 416 p. [in Russian].
[5] Muskat M. The flow of homogeneous fluids through porous media. M.-Izhevsk, NITs "Reguliarnaia i khaoticheskaia dinamika", 2004, 628 p. [in Russian].
[6] Charny I.A. Underground fluid dynamics. M., Gostoptekhizdat, 2006, 436 p. [in Russian].
7] Danilov V.L. Integrodifferential equation of movement of boundary line of two fluids in porous medium. Izv. KF AN SSSR. Ser.: fiz-mat. i tekh. nauk [Proceedings of KF AS of S'S'S'R. Ser.: physico-mathematical and technical sciences], 1957, Issue 2, pp. 99-133 [in Russian].
8] Fazlyev R.T. On the sudy of the process of pattern waterflooding of oil fields in Numerical computation of filtering problems of incompressible fluid. Novosibirsk, izd. SO AN SSSR, 1975, pp. 289-296 p. [in Russian].
9] Pilatovski V.P. About one functional equations system for flat filtration stream. Trudy VNII [Proceedings of All-Russian Scientific-Research Institute], 1963, Vol. 40, pp. 138-156 [in Russian].
10] Kasatkin A.E. Comparative analysis of wells arrangement schemes at waterflooding. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta: estestvennonauchnaya seriya [Vestnik of Samara State University: Natural Science Series], 2013, no. 9/2 (110), pp. 197-208. [in Russian].
11] Gerold S.P. Analytical foundations of oil, gas and water development from wells. M.-L., Nefteizdat, 1932 [in Russian].
12] Astafiev V.I., Roters P.V. Simulation of doubly-periodic systems of producer wells. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta [Vestnik of Samara State University], 2010, no. 4(78), pp. 5-11 [in Russian].
13] Astafiev V.I., Roters P.V. Simulation of doubly-periodic systems of producer wells. 2. Productivity index. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta [Vestnik of Samara State University], 2011, no. 8(89), pp. 118-127 [in Russian].
14] Astafiev V.I., Roters P.V. Modeling and optimization of mining with multiwell doubly periodic clusters. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta [Vestnik of Samara State University], 2013, no. 9/2(110), pp. 170-183 [in Russian].
15] Koiter W.T. Some general theorems on doubly-periodic and quasi-periodic functions, Proc. Konikl. Nederl. Akademie Wetenschappen, Amsterdam, 1959, Vol. 62, no. 2, pp. 120-128.
16] Craig F.F. Oil-field development at waterflooding. M., Nedra, 1974, 192 p. [in Russian].
17] Dapira P., Glimm J., Lindquist B., McBryan O. Polymer Floods: A Case Study of Nonlinear Wave Analysis and of Instability Control in Tertiary Oil Recovery. SIAM Journal on Applied Mathematics, 1988, Vol. 48, no. 2, pp. 353-373.
18] Chen C., Meiburg E. Miscible porous media displacement in the quarter five-spot configuration. Part 1. The homogeneous case. J. Fluid Mech, 1998, Vol. 371, p. 233-268.
19] Kornilina M.A., Samarskaia Е.А., Chetverushkin B.N., Churbanova N.G., Yakobovsky M.V. Simulation of oil fields development on the parallel computer systems. Mathematicheskoe modelirovanie [Mathematical modeling], 1995, Vol. 7, no. 2, pp. 35-48 [in Russian].
V.I. Astafiev, A.E. Kasatkin3
WATERFLOODING FRONT MOVING TASK IN DUAL PERIODICAL AREA: PISTON-LIKE DISPLACEMENT
CASE
Water-oil contact moving task has a high significance in a waterflooding theory: it's possible to improve oil recovering characteristics due to prediction of flow features for both liquids - oil and water displaced it. There is the simplest mathematical pattern for conjoint oil-water flow presenting: it is called "versicolor" liquids model and it suggests making oil and water physically identical to simplify solving process for water-oil contact moving task. However, another pattern was used in research described in this paper: it is called pistonlike displacement model and it supposes that oil and water physical characteristics, for example, viscosities, may be different. As for the oil-keeping reservoir pattern used in this research it was presented as homogeneous and infinity, with fixed thickness: furthermore its surface was covered by dual periodical lattice included production and injection wells in its cells.
Key words: waterflooding, piston-like displacement of oil by water, oil-water boundary, flood front, tracing task, singular integral equation, Weierstrass dzetta-function, areal sweep efficiency, waterbreak time.
Статья поступила в редакцию 18/7/2014. The article received 18/7/2014.
3Astafiev Vladimir Ivanovich ([email protected]), Department of Development and Using of Oil and Gas Fields, Samara State Technical University, Samara, 443100, Russian Federation.
Kasatkin Andrey Evgenievich ([email protected]), Department of Information Systems Security, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.
