CC BY
11
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE. 2017. No. 1
УДК 519.216.5 DOI 10.18522/0321-3005-2017-1-36-41
ЗАДАЧА О ПОЗИЦИОНИРОВАНИИ СЛУЧАЙНОГО ОБЪЕКТА ЗА СЧЕТ ОДНОКРАТНОГО ИЗМЕНЕНИЯ ПРИРАЩЕНИЙ ЕГО ТРАЕКТОРИИ
© 2017 г. Г.В. Мироненко
A PROBLEM ON POSITIONING OF A RANDOM OBJECT BY A SINGLE CHANGE
OF ITS TRAJECTORY INCREMENTS
G. V. Mironenko
Мироненко Георгий Викторович - Южный федеральный университет, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, магистр, кафедра высшей математики и исследования операций, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия, e-mail: [email protected]
Georgii V. Mironenko - Southern Federal University, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Master, Department of High Mathematics and Operation Research, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: [email protected]
Рассматривается одна из версий задачи позиционирования объекта, находящегося под воздействием случайных факторов. Цель работы - минимизировать отклонение терминального положения объекта от заданного положения за счет однократного изменения величины приращений соответствующего случайного процесса в выбранный момент времени. В качестве примеров можно привести изменение положения паруса лодки, находящейся под воздействием случайного ветра, и задачу хеджирования европейского опциона в среднеквадратическом при условии, что портфель может быть изменен лишь один раз.
Поставленная задача относится к теории оптимальной остановки, поскольку требуется найти лишь оптимальное время изменения приращений процесса, а величина изменения определяется автоматически. Для ее исследования применяются методы стохастического анализа (мартингалы, формула Ито), стохастического оптимального управления (уравнение Гамильтона - Якоби - Беллмана, вязкостные решения) и численные методы (разностная схема, метод итераций). В работе получены нижние оценки границы области продолжения в случаях, когда рассматриваемый процесс представляет собой броуновское движение со сносом и геометрическое броуновское движение. Приводятся результаты численных расчетов, которые сопоставляются с указанными оценками.
Ключевые слова: задачи об оптимальной остановке, теория вязкостных решений уравнений Гамильтона - Якоби -Беллмана, задачи оптимального управления, хеджирование в среднеквадратическом отклонении.
We consider a problem concerning the positioning of an object, affected by random factors. The aim is to minimize the deviation of a terminal object location from the predefined one by a single change of the increments of the corresponding stochastic process at a selected time moment. As examples, we mention the position of a sail boat, in the presence of random wind, and the problem of hedging of a European option under the assumption that the portfolio can be changed only once.
The problem is related to the theory of optimal stopping, since it is enough to find only an optimal time moment, when the increments of the stochastic process should be changed, and the magnitude of change is determined automatically. Is is explored by the methods of stochastic analysis (martingales, Ito formula), stochastic optimal control (Hamilton-Jacobi-Bellman equation, viscosity solutions) and numerical methods (finite-difference scheme, iteration method). We obtain the lower bounds of the boundary of the continuation region for the cases of Brownian motion with drift and geometrical Brownian motion. The numerical results are compared with these estimates.
Keywords: optimal stopping problems, viscosity solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman equations, optimal control problems, mean-variance rejection hedging.
Введение
Рассматривается одна из версий задачи позиционирования объекта, находящегося под воздействием случайных факторов. Цель работы - минимизировать отклонение терминального положения объекта от заданного за счет однократного измене-
ния величины приращений соответствующего случайного процесса в выбранный момент времени. При этом предполагается, что можно изменить интенсивность влияния случайных факторов, а также направление влияния. В качестве примера можно привести изменение положения паруса лодки, находящейся под воздействием случайного
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 1
ветра. Другой пример - задача хеджирования европейского опциона в среднеквадратическом отклонении при условии, что портфель может быть изменен лишь один раз (отметим, что подобная задача при п -кратном изменении портфеля рассматривалась в работах [1, 2]).
Приводится постановка задачи и указывается, что она сводится к задаче оптимальной остановки. При этом требуется определить лишь оптимальное время изменения приращений процесса, а величина изменения определяется автоматически. Далее получены нижние оценки границы области продолжения в случаях, когда рассматриваемый процесс представляет собой броуновское движение со сносом и геометрическое броуновское движение. Приводятся результаты численных расчетов, которые сопоставляются с указанными оценками.
Постановка задачи и ее сведение к задаче оптимальной остановки
Считая, что у рассматриваемого объекта нет внутренних источников энергии, отождествляем воздействующий на него случайный процесс с самим объектом. Рассмотрим диффузионный процесс
dSt = ц(?, St )А + а(?, , 50 = сош^ где Ж - стандартный винеровский процесс. Будем считать, что положение объекта имеет вид = Хо + ус 5 - Яо) + у х № - ).
Здесь Хо, у о - начальные положение и интенсивность воздействия, а стратегия изменения интенсивности воздействия представлена парой (ух, х), где х - момент остановки относительно естественной фильтрации Р = (Ря)^е[о,г] винеровского процесса; ух - Рх -измеримая случайная величина (в финансовой интерпретации X - капитал игрока; у - его портфель; Я - цена рискового актива).
Цель состоит в минимизации среднеквадра-тического отклонения положения объекта от заданного фиксированного уровня Но в терминальный момент времени Т :
ч2п
(Ух,х)
Данная задача сводится к задаче оптимальной остановки. Действительно, используя представление процесса ХТ и телескопическое свойство условного математического ожидания, находим Е[(Хт - Но)2)] =
= Е[(Xо + уо(Ях - Яо) + ут (5т - Ях) - Но)2] = = Е[Е((Ят -Ях)2 | Рх)у2 -2(уо(Ях -Яо)-Н)х
E[(Xy - H0 ) ] ^ min .
хЕ((Ят -Ях)|Рх)Ух+ (УоЯх-Н)2], (1)
где Н = Но - Хо +УоЯо. Если Е((ЯТ - )2 | Рх )>о, то функция (1) имеет единственный минимум по ух, который достигается в точке
S-(H v О ч E((ST - Sz)|FX)
Ух = (H - У0SXГ-
E((St - Sx)2|Fx)
(2)
Подставляя (2) в (1), получаем задачу оптимальной остановки
E
(
(H -У 0 Sx )
2 ^
1 -
E((St - Sx )| Fx)
E((ST - Sx )2 | Fx)
^ min.
x
(3)
Заметим, что если E((ST - Sx) | FT ) = 0, то выражение (3) соответствует (1) с учетом обычного соглашения 0/0 = 0 .
Преобразуем выражение (3) для моделей броуновского движения со сносом и геометрического броуновского движения. В первом случае dSt = jdt + adWt,
E((St - Sx )|FX ) = j(T -x),
E((St - Sx )2 | Fx) = (j(T-x))2 +a2(T-x). (4) Во втором - dSt = jStdt + aStdWt,
E((St - Sx )|Fx ) = Sx (eJT-x)-1),
E((St - Sx )2| Fx ) =
= Sx2(e(2l+a2)(T-x) -2el(T-x) +1). ( )
Здесь je R и а >0 - некоторые константы. В обоих случаях задача (3) принимает вид
E[Ä(Sx)<Kx)] ^mm, (6)
? CT
где h(St ) = (H-у öS )2, ф(,) =
j2(T -1) + а2 для модели броуновского движения со сносом и
ф(/ ) = ■
-t)(6ct2(T-t) -1) Д2^+ст2)(Т-t) - 2g^(T-t) + 1
(7)
для модели геометрического броуновского движения. Заметим, что функция (7) имеет устранимую особенность в точке Т .
Оценка границы области остановки
Для оценки областей остановки перейдем к интегральной форме задачи (6). Для этого применим к И(Ях)ф(х) интегральную формулу Ито в пределах от о до х.
н^ )ф(х) = й^оЖо)+Ш)Л+ + )ф(0^ +1 )Ф(t)v2(St )йг =
x
2
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 1
= h(S0 )ф(0) + fh(St )ф ' (t) + h ' (St )ф(Оц(^) + +1 h"(St )ф(t )a 2 (St )dt + J¿h' (St H(t)CT(St )dWt.
Заметим, что EJo (h '(St ))2 a2 (St )ф2 (t)dt < да, так
как (h '(St ))2 a2(St) является полиномом не более чем четвертой степени от случайной величины St и ф^) - непрерывная функция. Следовательно,
процесс Mt = Jth ' (St )a(St )ф(? )dWt является мартингалом и EMt = 0.
Таким образом, задача (6) принимает вид
h(So^(0) + e|/0f (t, St )dt \ —^ min, где
0
F(t, s)=+ц>+2 h"(^(t)a2«
Пусть t - любой момент остановки. Положим
*
т =mf{t > 0: F (t, St) > 0} л T.
t
*
Тогда JtF(t, St )dt >J0 F(t, St )dt на множестве
*
{т < т } ; справедливо неравенство
*
J0VT F(t,St)dt <J0TF(t,St)dt.
Это позволяет сузить интервал поиска
*
оптимального момента о с [0,T] до [т ,T].
Рассмотрим «область продолжения»
C = {(t, s) : F(t, s) < 0} , определяющую момент
остановки о*. Сразу заметим, что если ц = 0, то о* = 0, так как F (t, s) > 0 для модели броуновского движения со сносом; F(t, s) > 0 при s >0 для модели геометрического броуновского движения. Отметим также, что при этом у0 =0 при любом о в силу (2), (4), (5).
Далее рассматривается случай ц ф 0.
Для исследуемых моделей функция F (t, s)
" 2 является квадратической: F(t, s) = a(t)s + b(t)s + c(t).
В случае броуновского движения со сносом
a(t) = у2ф' (t)>0,
b(t) = 2у2цф(^ - 2^у0ф' (t),
c(t) = (yi)CT2 -2Ну0ц)ф(0 + H2ф'(t).
Вычислим дискриминант D(t) = b2 (t) - 4a(t)c(t) = (2у2цф(0 - 2Ну0ф' (t))2 --4у2ф'(t)[(y2a2 -2Ну0ц)ф(0 + H2ф'(t)] = = 4у()[ц2ф2(0 - a2ф(t)ф' (t)].
9 СТ '
Заметив, что ф (/) = — ф (/). Тогда Ц2
Б = 4у^а2ф ' (0[1 -ф(0] > 0.
Таким образом, уравнение F(t,5) = 0 имеет два вещественных корня ^1(/)< s2(t), t < Т ;
.^(Т) = ^ (Т), а область продолжения, определяющая
*
момент т , имеет вид
С = {(^ 5): F(^ 5) < 0} = {(t, 5) : ) < 5 < 52 (0}.
Функции ^(О, 52(0 монотонны на всем интервале [0,Т]. Действительно,
_- b(t) ±Jd (t)_ H цф(р^_ ¡1 -ФС/)"_
si,2(t)-------;—±СТ,—;--
' 2a (t) у 0 ф (t) ] ф (t)
Hn
CT
= H0-CT--ц(т -1) 2(T -t)2 + ct2(T -1).
У о ц
Следовательно,
- ч _1 2ц 2(T -1) + CT2 si,2(t) = ц + T- Ц ( )
2„
/ц 2(T -1 )2 +ct2(T -1)
Из неравенства 2
(ц(Т -1) + — )2= ц 2(T -1)2 +a 2(T -1) + 2ц
4
+ —- > Ц2(T-1)2 +a2(T -1)
4Ц 2
вытекает,
что sT(t) < 0, s2 (t) > 0 при ц >0 и
sj(t) > 0,s2(t) < 0 при ц <0.
Для геометрического броуновского движения со сносом
a(t) = У2 ((ct2 + 2ц)ф(/) + ф ' (t)),
b(t) = -2Ну0(цф(/) + ф (t)), c(t) = Н2ф (t). Рассмотрим дискриминант D(t) = b2(t) - 4a(t)c(t) = 4Н2у2ф(0[ц2ф(0 -а2ф ' (t)]. Границы области X имеют вид
H0 цфа) + ф '(t)±т/ЦУсо-СТ^фсоф7^) si,2(t) = " 0
У 0
(Ст2 + 2ц)ф(/) + ф (t)
С использованием правила Лопиталя после простых, но громоздких вычислений находим, что Б(Т) = lim t Б^) = 0. Таким образом, 5 (Т) = ^ (Т). Численные эксперименты показывают, что, как и в случае броуновского движения со сносом, верхняя граница области X является графиком монотонно убывающей функции, нижняя - монотонно возрастающей.
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 1
Разностная схема
Введем функцию Беллмана v(t, s) = inf E[h(S{'s )ф(т)_|,
(8)
хеТ,
где Tt - множество моментов остановки со
значениями на интервале [?, Т]; St, 5 удовлетворяет
условию = 5. Согласно общей теории
оптимальной остановки, V является вязкостным решением уравнения Гамильтона - Якоби -Беллмана
1
min\vt - [ц(хК +1 ct2(sKs ], КяШ) - =
2
(9)
= 0, (t, s) е G,
Рассмотрим прямоугольную сетку
Gh = {(ih1, jh2):0 ^ i ^ ^ Jmn ^ j ^ Jmax }, Ih1 = T, h2 Jmin = Smin, h2Jmax = Smax-
Здесь I,J,i,j - целые числа; h = (hi,h2) - шаг сетки. Узлы
zij = (ih1, jh2), 0 ^ i < 1, Jmin < j < Jmax
назовем внутренними, остальные - граничными. Множества внутренних и граничных узлов обозначим через Gh и dGh . Каждому внутреннему узлу поставим в соответствие уравнение для сеточной функции vij = v(ziJ-) :
0 = min
vi+l,j - vi,j
+ ^) Vi+1 - Vi+W +
см., напр., [3, теорема 7.7]. Кроме того, очевидно, что V удовлетворяет граничному условию
v(T, 5) = КХ)ф(Т). (10)
Использумые здесь и далее понятия теории вязкостных решений являются стандартными и изложены во многих источниках (см., в частности, [3-5]).
Для модели броуновского движения со сносом О = [о,Т ]хР, ц, ст - константы. В модели геометрического броуновского движения О = [о,Т]х[о,+<х>), ц(5) = ст(5) = ст5. Используя (8), нетрудно показать, что функция V, как и К, имеет квадратичный рост: v(t, 5) < с(1 + 52) .
Напомним, что если для любых вязкостного субрешения и (полунепрерывного сверху) и вязкостного суперрешения V (полунепрерывного снизу), удовлетворяющих условию полиномиального роста и таких, что и(Т, 5) < v(T, 5), справедливо неравенство и(г,5) < v(t,5), 5) е О, то говорят, что имеет место теорема сравнения. Для задачи (9), (10) теорема сравнения может быть доказана с использованием методов [3, теорема 7.8].
Как известно [6], наличие теоремы сравнения гарантирует сходимость разностной схемы при условии, что последняя обладает свойствами аппроксимации, монотонности и устойчивости. Не вдаваясь в подробности, отметим лишь, что приводимая ниже схема (относящаяся к известному классу схем [7]) обладает указанными свойствами. Проверка этого утверждения осуществляется стандартными средствами.
vi+U+1 - 2vi +1, j + vi+1, j-1, h(sj )Ф(%) - vi,j 1.
2
hi
Здесь Sj = 7^2, а уравнение справедливо для
случая как броуновского движения со сносом, так и геометрического броуновского движения. Отметим, что выбранный способ аппроксимации первой производной по пространственной переменной обеспечивает монотонность данной (явной) схемы. В граничных узлах ставится условие Дирихле:
vij = )ф(ihl), = 7К2) е дОк.
Перейдем к описанию численных экспериментов. Для модели броуновского движения со сносом задача решалась при следующих входных данных: Т = 1о , Н = 4, Хо = 1, Яо=1о, уо = 2, ц = о,1, ст = о,4. Граница области остановки (пунктирная линия) и её нижняя оценка (сплошная линия) представлены на рис. 1а.
Можно отметить, что полученная в результате численных расчетов граница качественно ведет себя так же, как и её нижняя оценка. Величина погрешности зависит от параметров, но приведенная на рис. 1а картина является типичной. Отметим, что выражения
2
512(0 - Яо= Н-Хо---ЦТ ^ц 2Т 2 +ст2Т Уо Ц
имеют при малых ц ф о одинаковый знак, т.е. Яо
не попадает в область продолжения С. Данный вывод подтверждается численными расчетами.
Для модели геометрического броуновского движения картина несимметрична. В типичном
h
2
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 1
случае верхняя граница области остановки оценивается менее точно, чем нижняя.
Соответствующие графики для входных данных: Т = 10, Н = 4, Х0=1, 50=15, у0=0,2 , ц =0,1, ст = 0,4 представлены на рис. 1б.
Отметим, что область остановки определяется лишь той частью границы, которая находится выше оси абсцисс.
Таким образом, проведенные эксперименты позволяют сделать вывод о том, что полученные оценки дают удовлетворительное качественное описание оптимальных областей остановки.
а / а
б / b
Рис. 1. Граница области остановки и её нижняя оценка для модели броуновского движения со сносом - а; геометрического броуновского движения - б / Fig. 1. The boundary of the stop and its lower bound for the model of Brownian
motion with drift - a; for geometric Brownian motion - b
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
Литература
1. Martini C., Party C. Variance optimal hedging in the Black-Scholes model for a given number of transactions: Raport de recherché № 3767. 1999. 31 р.
2. Trabelsi F., Trad A. L 2-discrete hedging in a continuous-time model // Applied Mathematical Finance. 2002. Vol. 9, № 3. P. 189-217.
3. Touzi N. Optimal Stochastic Control, Stochastic Target Problems, and Backward SDE. N.Y., 2013. 214 p.
4. Crandall M.G., Ishii H., Lions P.L. User's guide to viscosity solutions of second order partial differential equations // Bulletin of the American Mathematical Society. 1992. Vol. 27, № 1. P. 1-67.
5. Pham H. Continuous-time stochastic control and optimization with financial applications. Berlin, 2009. Vol. 61.
6. Barles G., Souganidis P.E. Convergence of approximation schemes for fully nonlinear second order equations. Asymptot. Anal. 1991. Vol. 66, № 4. P. 271283.
7. Oberman A.M. Convergent difference schemes for degenerate elliptic and parabolic equations: Hamilton-Jacobi equations and free boundary problems. // SIAM J. on Numerical Analysis. 2006. Vol. 66, № 44. P. 879895.
NATURAL SCIENCE. 2017. No. 1
References
1. Martini C., Party C. Variance optimal hedging in the Black-Scholes model for a given number of transactions. Raport de recherché № 3767, 1999, 31 p.
2. Trabelsi F., Trad A. L 2-discrete hedging in a continuous-time model. Applied Mathematical Finance. 2002, vol. 9, No. 3, pp. 189-217.
3. Touzi N. Optimal Stochastic Control, Stochastic Target Problems, and Backward SDE. New York, 2013, 214 p.
4. Crandall M.G., Ishii H., Lions P.L. User's guide to viscosity solutions of second order partial differential equations. Bulletin of the American Mathematical Society. 1992, vol. 27, No. 1, pp. 1-67.
5. Pham H. Continuous-time stochastic control and optimization with financial applications. Berlin, 2009, vol. 61.
6. Barles G., Souganidis P.E. Convergence of approximation schemes for fully nonlinear second order equations. Asymptot. Anal. 1991, vol. 66, No. 4, pp. 271283.
7. Oberman A.M. Convergent difference schemes for degenerate elliptic and parabolic equations: Hamilton-Jacobi equations and free boundary problems. SIAM J. on
Numerical Analysis. 2006, vol. 66, No. 44, pp. 879-895.
Поступила в редакцию /Received_29 сентября 2016 г. /September 29, 2016
