Задача о дифракции волн на конусе Текст научной статьи по специальности «Математика»

А. Н. Бестужева

ЗАДАЧА О ДИФРАКЦИИ ВОЛН НА КОНУСЕ

Задача о дифракции неустановившихся гравитационных волн в несжимаемой жидкости впервые была рассмотрена в [1], где огибаемым препятствием служила вертикальная полуплоскость, погруженная в бесконечно глубокую жидкость, а источником образования волн — мгновенно приложенный в некоторой малой области заданной точки свободной поверхности начальный импульс. Решение задачи получено путем разложения в ряды по функциям Бесселя. В [2] решение задачи Коши—Пуассона при погруженной вертикально в бесконечно глубокую жидкость полуплоскости было выполнено с помощью метода разветвленных решений, предложенного Зоммерфельдом для исследования дифракции световых волн. Таким же методом в [3] была исследована задача дифракции неустановившихся волн гранями двугранного угла раствора, соизмеримого со 180°. В [4] была решена задача Коши—Пуассона для двугранного угла произвольного раствора и для бассейна конечной глубины. Для решения этой задачи были применены методы интегральных преобразований. В [5], наряду с задачей Коши—Пуассона, была изучена задача о дифракции волн, вызванных погруженными источниками периодического и непериодического дебита. В статье [6] дано решение задачи о волнах, возбуждаемых периодически действующим источником, в предположении, что жидкость имеет бесконечную глубину и распространение волн стеснено присутствием вертикальной полуплоскости. В настоящей статье изучается дифракция волн на конусе.

Рассматривается волновое установившееся движение идеальной несжимаемой жидкости в области, ограниченной свободной поверхностью и наклонным дном в виде бесконечного кругового конуса, вершина которого находится на свободной поверхности. Волновое движение вызывается плоской волной, идущей из бесконечности. Задача ставится для функции, описывающей потенциал скорости. Аналитическое решение задачи получено методом интегральных преобразований. Рассматриваются периодические во времени, с частотой а, колебания поверхности жидкости. Потенциал скоростей соответствующего движения будет иметь вид pelat. В рамках линейной дисперсионной теории краевая задача для р сводится к уравнению Лапласа с граничным условием третьего рода на свободной поверхности и второго рода на поверхности конуса [2, 7]:

Др = 0

в области

Q = {0 < z < ж, x2 + y2 > z2tg2в}

с граничными условиями

ри + кр = 0, z = 0,

Ри = 0, (x,y,z) € Г,

где Г — поверхность конуса. На рис. 1 представлено схематическое изображение области, занятой жидкостью.

Волновое движение жидкости вызвано плоской набегающей из бесконечности волной

р ^ = a exp (—k(z + ix)) при |x| ^ ж.

© A. H. Бестужева, 2008

Рис. 1.

Здесь ^ — потенциал скорости, х, у, г — декартовы координаты, а, к, к = а2/д — константы. Кроме того, налагается условие ограниченности потенциала и его производной по времени при д/ж2 + у2 + г2 —► 0.

В сферических координатах постановка задачи выглядит следующим образом:

д , 2 1 1 д

з?(г 'А') + ^ + 5^а«(и sm(,) = 0

в области О = {0 < г < то, 0 < ф < 27г, 7 < в < |},

п

^ = 0, 0=2’ ре = O, в = y — угол полураствора конуса,

Р ^ = a exp(—kr cos в) exp(—ikr sin в cos ф) при r ^ то.

Решение задачи ищем в виде

р + ф-

Тогда для Ф = Ф(г, в, ф) задача ставится следующим образом:

ДФ = O,

п

Фв - г кФ = 0, 0=2’

где

Фе = F, в = y,

F = —ar(k sin y — ik cos y cos ф) exp(—kr(cos y + i sin y cos ф)).

Заметим, что постановка задачи для Ф справедлива при к = к. Решение последней задачи ищем в виде

Ф = Фт cos тф, при этом F = Fm cos тф,

т=0

m=0

где для Фт имеем следующую задачу:

д , 2, ^ \ \ 1 д . ч ч т2 ^

Фш г + ^-^(Sln#($m)<?) - Т^Фт = °> дr sin в дв sin2 в

п

(Фш)в кгФт = 0, 0 = —,

(Фт )е = Fm, в = Y-

Так как задача для функции Фт имеет в граничных условиях две особенности, а именно, граничное условие третьего рода на свободной поверхности и ненулевое граничное условие второго рода на поверхности конуса, имеет смысл представить функцию Фт в виде Фт = Фт + Фт и получить, таким образом, две задачи. В первой задаче о нахождении Фт используется ненулевое граничное условие на поверхности конуса, а вторая задача о нахождении Фт включает в себя ненулевое граничное условие третьего рода на свободной поверхности. Таким образом, первая задача выглядит следующим образом:

д

Ід

(фт)г) + [пв(фш)в) - -

дг

sin2 е

ф1 2 О

о,

Вторая задача имеет вид д

< = 0, в=~, (Ф1)е = Fm, е = Y-

Ід

—Sr (Фт)г) + — — (8іп0(фт)е) - —^фт = 0

дг

sin2 е

(Фт)е _ кгФт — 0 —

(Ф1п)в =0, е = Y-Применяя к первой задаче преобразование Меллина

приводим уравнение Лапласа к известному виду [8]

1 d ( . (1Ф1

1 sin 9- т

+

sin в d6 \ d6 или после введения новой переменной cos в = и

sin2 е

Ф1 = 0

т

du du

v(v +1) -

І u2

Ф1 = 0

^ т

С учетом первого граничного условия Фт = 0 при и = 0 решение последнего уравнения строится с помощью присоединенных функций Лежандра степени V порядка т

ФІ = A(v)[P1 (u) - P1(-u)].

Второе граничное условие

(ф1т])в=Рт, в = 7, где F

сю

т — J FmV^dr = Fm(у) = COnst, 0

2

2

2

2

m

дает коэффициент

“ ~8ш7[(Р™(5))> + (Р™(-5))>У ГДе'-С°^'

Таким образом, первая задача решена и ее решение имеет вид

ф1 _ Рт Р?(и)-Р?(-и)

1

sin y (Pm (s))' + (Pm(-s))'’

откуда

Ф1 = — I Ф1 r_"_1dz/

т 2тгi J т

L

Интегрирование выполняется вдоль прямой L : — ^ — гое, — ioо, которая получена

в результате исследования подынтегрального выражения на наличие полюсов и нулей. После применения преобразования Меллина ко второй задаче уравнение Лапласа примет вид

т—2

А. (1_о^) +

du du

/(v +1) -

2

m2

1-м2

Ф2 = 0

1

решение которого известно:

_2

Фт = м мрт»+N мрт(-и).

Граничные условия для этой функции примут вид

(ф1)е=°, <? = 7,

_9 _О _і 7Г

(фтМ)в-«фт(^+і) = -(фт)в, в=~.

Из первого граничного условия получим

М М(рт(<*)У

N (v) =

(pm(-s)y

тогда

где

Так как

ФІ = м (v)[(P1 (-s)) P1(u) + (P1(s))' P1(-u)],

M{v) =

(P 1 (-s))

^ і 2Fm (P?(0))'

(,Фт)0І0=і -

^7 {РЦ1^))' + (Р™(—6))г

из второго граничного условия для определения

ф(^)

М(г/) " к''+11Т(0)[(Рр(6)У + (Р™(-б)У]

получим функциональное уравнение

Ф(^ + 1) + Р(^)Ф(^) = С(^),

где коэффициенты -В(^) и С(^) зависят от функций Лежандра и их производных, вычисленных на поверхности конуса, и трансформанты функции, задающей плоскую волну, идущую из бесконечности:

B(v)

C(v) =

(РПО)У (Р?(-6)У - (P?(S))' Р™( 0) {Ру{-5)У + {РГ{5)У'

2FmKv+1

(Pm(0))'

{Pln{_5)y + {Pln{5)y

В функциональном уравнении присутствует функция Fm. Она определяется из следующих соображений. Так как

F = ark(i cos7 cos ф — sin7) exp(-kr cos7 — ikr sin7 cos ф),

раскладывая экспоненту по функциям Бесселя, получим

Fm = — akrCm exp(—kr cos 7)

sin 7 Jm(kr sin 7) + ^ cos 7( Jm_i(kr sin 7) - Jm+1(kr sin 7))

Так как Fm = f Fmir)^dr, используя

СЮ

J rl/^1J{3(krsmy)exp(—krcosy)dr= ^+2 Г(/? + г/ + 2)Pt^1(cos7),

получим Fm=~2ku+1 (_1)тГ(г/_т+1)

(2+S2)Pm+1(S) —

s

V/T^2

((v — m+1) — S2(v+m+ 1))Pm(S)

^ / лт J 1, m = 0

где Cm = (—i) ^2 > 1. В итоге решение примет следующий вид:

Ф - 1 [ 1 ( Fm

pm (и)—pm (—и)

• +

+ Щи) (р?(-ё)ур?(и) + (р™(6)ур™(-и)

Kv+1Pm(0)

(pm( —S))'+(pm(S))'

В частности, на свободной поверхности при в = п/2 и, следовательно, и = 0,

1 [ ад)

Фт

2ni J (кг)V+1 L

dv.

Целью решения задачи является установление уравнения свободной поверхности жидкости п = п(г, 0, п/2,4) = — 1/ду>4(0 = п/2). Следовательно,

?7 =------------е

g

e—гкт cos ф

-\-----: cos тф

2ni

Ф(^)

(кг)V+1

dv

ш

2

1.5

1.5

-2

Рис. 2.

Через потенциал скорости можно вычислить важные характеристики волнового движения, в частности, давление, приложенное ко дну (поверхности конуса):

го

P = -p<fit(t = 0,в = y) = -iap^^ cosтф(ae-Krcos7CmJm(кгsin7) + Фт(в = 7)).

m=0

Для функционального уравнения рассмотрены два частных (предельных) случая: мелкой воды, когда угол полураствора конуса 7 ^ п/2, и вырождение конуса в вертикальный стержень при y ^ 0. В обоих случаях функциональное уравнение решено для ^(v) и построены аналитические решения исходной задачи, которые доведены до численных результатов и их графических изображений.

Рассмотрим предельные случаи.

При y ^ п/2 функциональное уравнение приводится к виду

tf(v + 1) = C (v),

из которого следует, что

р/ m+v+l \

ФЫ = -aCm2v—,—^хтт,

V / т р^ т—у+1 ^ ’

тогда

Фт = aCm Jm (kr).

Качественную картину установившегося волнового движения можно проиллюстрировать следующими графиками. На рис. 2 приведен график функции потенциала

n

Ф = £ Фт cos тф

m=0

для в = п/2 (на свободной поверхности) в направлении оси набегающей плоской волны при n = 8 и к = a = 1. Эту функцию можно трактовать как вклад в волновое движение, который обеспечивается наличием препятствия в виде конуса на пути движения плоской волны.

На рис. 3 приведен график той же самой функции перпендикулярно оси набегающей волны при тех же значениях параметров.

$

1.5 1.25 1

0.75 0.5 0.25

-0.25 -0.5

На рис. 4 приведена пространственная картина поведения функции потенциала (отклика на наличие препятствия) на свободной поверхности при в = п/2 в предельном случае при в ^ п/2.

Рис. 4.

Рис. 3.

При 7 ^ 0 (вырождение конуса в вертикальный стержень) функциональное уравнение приводится к виду

Ф(^ + 1) = —В (V )Ф(^),

решением которого является функция Ф^) = 2^Г(^ + т + 1)/2)собп/2(и + т). Тогда Ф! =0 и

Автор выражает огромную благодарность проф. А. А. Дорфману, под руководством которого была начата эта работа.

Литература

1. Бойко Л. А. Дифракция волн на поверхности тяжелой несжимаемой жидкости // Ученые записки МГУ. 1938. Т. 24. С. 34-60.

2. Сретенский Л. Н. Теория волновых движений жидкости. М., 1977. 816 с.

3. Себекин Б. И. Дифракция поверхностных волн на клине // Изв. АН СССР, МЖГ. 1966. Вып. 5. С. 148-151.

4. Себекин Б. И. Дифракция поверхностных волн на клине // Физика атмосферы и океана. 1967. Т. 3, №8. С. 890-902.

5. Себекин Б. И. Дифракция на клине неустановившихся гравитационных волн // Изв. АН СССР: Механ. жидкости и газа. 1968. Вып. 1. С. 136-142.

6. Войт С. С. Дифракция от полуплоскости волн, образуемых на поверхности жидкости периодически действующим источником // ПММ. 1961. Т. 25, №2. С. 370-374.

7. Стокер Д. Д. Волны на воде. М., 1959. 617 с.

8. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М., 1965. 296 с.

Статья поступила в редакцию 18 мая 2007 г.