Задача о действии подвижной периодической нагрузки на многослойную тонкостенную оболочку в упругом полупространстве Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3:534.1

ЗАДАЧА О ДЕЙСТВИИ ПОДВИЖНОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ НА МНОГОСЛОЙНУЮ ТОНКОСТЕННУЮ ОБОЛОЧКУ В УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

В.Н. Украинец, М.К. Бейсембаев, С.Р. Гирнис, А.К. Тлеулесов

Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова

Бул жумыста cepniMdi жарты кещстжте орналасцан жiцiшкe квпцабатты айнымалы цилиндрлыц цабыцшалы цуысына беттшген осесимметриялъщ емес цозгалмалы периодты жуктемесШц acepi туралы ece6i шешшген.

Цабыцша цабатыныц цозгалысы жiцiшкe цабыцша теориясыныц классикалыц тецдеулермен, ал жарты кецютж цозгалысы — координаттардыц цозгалмалы жyйeciндeгi cepпiндi теориясыныц динамикалыц тецдеулермен сипатталады. Периодты жуктеме цуысыныц бойынша дыбыстыц жылдамдыгынан кем массивтщ кезтде кернеу-деформациялыц кушшц компоненттерш аныцтауга арналган есептердщ аналитикалыц шeшiмi бершген.

In persisting work is solved problem about action on supported by fine multi-layer circular cylindrical shell cavity, located in elastic half-space, asymmetrical rolling periodic load.

Moving the layers of the shell is described by classical equations . to theories fine shell, but half-space — a dynamic equations to theories to bounce in rolling coordinate system. Analytical decision of the problem of the determination component tense-deformed conditions of the array is received under subsonic velocity periodic on axis of the cavities of the load.

В статье [1] решена задача о нагрузке, равномерно движущейся вдоль тонкой круговой цилиндрической оболочки в упругом полупространстве, свободная поверхность которого параллельна оси оболочки. Используя данное решение, в настоящей работе рассматривается подобная задача в случае неоднородности (многослойности) оболочки.

Рассмотрим бесконечно длинную круговую цилиндрическую многослойную тонкостенную оболочку, состоящую из N концентрических слоёв с разными физико-механическими и геометрическими характери-

стиками, расположенную в линеино-упругом, однородном и изотропном полупространстве, отнесённому к подвижной декартовоИ x,y,n=z-tc или цилиндрической системе координат rДn=z-tc (рисунок 1). В силу малости толщины слоёв оболочки полагаем, что они контактируют вдоль срединных поверхностей. Контакт между слоями оболочки и оболочки с окружающей её упругой средой (массивом) полагаем жёстким.

'УУУУУУ

а

/ ////77

ЧЧЧ ЧЧЧ ЧЧЧ ЧЧЧ ЧЧЧ ЧЧЧ'

Рисунок 1 - Многослойная оболочка в упругом полупространстве

Пусть на внутреннюю поверхность оболочки действует движущаяся с постоянной скоростью с в направлении оси г нагрузка интенсивностью Р(9, п), периодичная по п и представима в виде синусоидальной нагрузки с произвольной зависимостью от угловой координаты

(1)

И=-00

где Р} (9, п) - составляющие интенсивности подвижной нагрузки

Р(е, п).

При этом будем считать, что скорость движения нагрузки меньше скорости распространения волн сдвига в окружающей оболочку среде (дозвуковой случай), а граница полупространства свободна от нагрузок, то есть

= = ахп = 0 , (2)

где а ^ - компоненты тензора напряжений в среде, j = х, у, п.

Последовательно пронумеруем слои оболочки, присвоив контактирующему с массивом слою порядковый номер 1. Для описания движения к-го слоя воспользуемся классическими уравнениями теории тонких оболочек в подвижной системе координат [1], переписанными в виде

1 (1 -У ок

2|д

0 к

д ЧЛк + 1 -У о к д\пк + 1+ У о к д Чек + V ок дио к

дп

2К 2

де2

2Як дпд9 Як дп

98

2

1

2моккок

^Пк-1)

1 + ^ок дЧЛк + ( -Vок ^ -РокС2 VЧек + 1 дЧек + 1 диок _

■ + -

2Щ дпде 2

1 -V

М ок

+___ЦЩ +

У

дп2 щ де2 щ де

ок

2моккок

(<7ек - ^ек-1) (3)

Уц ^оп* , 1 дчщ , ^ у2у2и , (1~Ур^)ро^2 а2м0г, | иш Як дц Ягк 59 12 ^ 2цм с^2 Д2

1 к -чк-1 )

2моккок

где к = 1, 2,.. N v0k, мок, рок и кок - коэффициент Пуассона, модуль сдвига, плотность и толщина к-го слоя; по]к и щк, щк-\ - соответственно перемещения точек срединной поверхности к-го слоя и составляющие реакции смежных слоёв (/ = п, е, г), при к = \ дуо _ | - составляющие реакции окружающей оболочку среды, при

- оператор Лапласа.

Для описания движения массива используем динамические уравнения теории упругости

Мр2 -м;2 )м div и + м;2у 2и _ д2и/5п2. (4)

Здесь Мр = с/ср, Мз = с/сз - числа Маха, ср = [(X + 2м)/р]1/2, сз = (м/р)1/2

- скорости распространения волн расширения - сжатия и сдвига в массиве, X = 2 мv/(\-2v); V, м, Р - коэффициент Пуассона, модуль сдвига, плотность среды; и - вектор смещения среды.

Вектор и можно выразить через потенциалы Ламе [2]

и _ §гаёф; + 10;(р2еп)+ 10;г0;(ф3еД (5)

которые, как следует из (4) и (5), удовлетворяют уравнениям

V2ф . _ М2 д2фдп2, ] _ 1, 2, 3, (6)

где М1 = Мр, М2 = М3 = Мь.

99

В установившемся состоянии зависимость всех величин от п имеет вид (1), поэтому ф/'(г, 9, п) = Ф/(г, 9)ег'£п,

V 2 Ф; - т;2 £2 Ф; = 0, ' = 1,2,3, (7)

где V2 - двумерный оператор Лапласа, т} = (1 - М' )12,

ад

«0А (9, п)=Е' V® , (8)

П=-ео

п=-оо .

Выразив компоненты напряжённо-деформированного состояния (НДС) среды через потенциалы Ламе можно получить выражения для перемещений и1 и напряжений аы от синусоидальной нагрузки в декартовой (I = х,у,п, т = х,у,п) и цилиндрической (I = гДп, т = гб,п) системах координат как функции от Ф ' .

В дозвуковом случае М& < 1, и решения (7) можно представить в виде:

Ф =Ф(1) +Ф(2). (9)

Здесь Ё^Ы8"'. ф? = Я+(х-щ^С+к), Кп(к'г') - функции Макдональда, к]=т]Ъ,; '£„0, ап' - неизвестные функции и коэффициенты, подлежащие определению,' = 1,2,3.

Как показано в [3], представление потенциалов в форме (9) приводит к следующим выражениям для потенциалов в декартовой системе координат:

Ф

А/у и=-оо

(10)

где / , Ф =

, 1 = 1, 2,3.

V к} Г

Воспользуемся граничными условиями (2), с учётом (10). Выделяя коэффициенты при егуг= и приравнивая, в силу произвольности у, их нулю, получим систему трёх уравнений, из которой выражаем через

коэффициенты а'

з

(11)

Ви д определителя А* и алгебраических дополнений А* совпадает

I *

с аналогичными определителями для неподкрепленной полости в

100

упругом полупространстве и определён в [3]. В частности, здесь А* - это определитель Рэлея, который в данном случае имеет вид

А*& о = (2р2 -м2^2)2 - 4р2д/р2 -м2^р2 -м2е, р2 = ^ +С2,

и не обращается в ноль при любых если скорость бегущей нагрузки меньше скорости рэлеевской волны в полупространстве (сЯ). В против-

ном случае в точках с, = ±С = ±Щ^мЯ -1, МЯ = с / сЯ, он обращается в ноль, и интегралы в формуле (10) становятся расходящимися.

Пусть п < пЯ . В этом случае все подынтегральные функции в (9) непрерывны и экспоненциально стремятся к нулю на бесконечности. С учетом (11), формулы (10) имеют вид

ф ,=1

^С (12)

- , ^ П] П] '-'К

А7/ п=-^> к=1 п

Для определения неизвестных коэффициентов апу найдем представление (12) в цилиндрической системе координат.

Воспользовавшись известным разложением ехр(г£гсо8б)= [4],

представим (9) в цилиндрической системе координат, используя (11)

Ф J=Y.^nik]r) + bn]In{kJr)У^>, (13)

Л=—оо

где ь, . < = ¡фф^"«^.

Подставляя найденные для потенциалов соотношения в выражения для и1 и <5Ы в декартовых и цилиндрических координатах, получим для них новые выражения, где неизвестными будут только коэффициенты апу.

Определим эти коэффициенты по аналогии с [1] из граничных условий на поверхности полости, допуская, что, в силу малости толщины оболочки, Як = Я, где Я - радиус поверхности полости, к = 1, 2,.. .Ж По этой же причине и исходя из условия жёсткого сцепления слоёв оболочки и последней с массивом, принимаем

иод = и0],к = 1,2,..., Ы,=ц,д,г. (14)

Тогда граничные условия на поверхности полости будут иметь такой же, как в [1] вид

иЛг=я = и у, у = п e, г. (15)

Подставляя (8) с учётом (15) в (3), для п-го члена разложения получим

101

4u0„n + VQ „e - 2iV0k= G0k (jV - Чщк-1)

+e2iMo»e ~2inu0nr = °ак(3м 1) (16)

2iV0k^0u0„n + 2inu0„e + s3>0„ = G0k (q„rk - q„rk-i X

где k = 1, 2,..., tf;

2 _ 2 2 2 _ q2 2 2 _ 2 2 £ _ £D

S1k = a0k - S0k, S2k = e0k - S0k , S3k = Y0k - S0k, ^0 =

a02t=2402+v0U«\ Pot=Voi^o+2n\ ylk=xlil+n)+2, s^k=vmk^Mfok,

v =l-v v =l+v M =dc с = V2=-^- G =-V<MRl

v01* 1 v0*>v02* 1+V0*> ms0k 01 Cs0k'Cs0k J > Kk s „2 ' "О* , •

V Poi 6R VoAk

Если разделить обе части уравнений (16) на G0k и произвести суммирование систем этих уравнений по k от 1 до N, то можно получить вместо k систем уравнений - одну, подобного [1] вида

Si2u0„n + vQ n^0u0„e - 2iV0^0u0„ = P„n - q„n0,

+e2Mo»8-2inG~ 1u0nr=Pnl)-qneo, 2iV0^0u0nn + 2inG0-1u0ne + = Pn - qn 0 >

N NN N

где е2 = ZE2VG0k' s2 = Zs2^G0k> s2 = ZE»/G0k' V0 =ZV0^G0k>

k=1 k=1 k=1 k=1

ЛТ W

v02 =Hv02jG0k, ^ =ZVG0k.

k=1

Разрешая (17) относительно u0„n, u0„e, u0nr, находим

u0„n = 5П j (p'nj - q„]0 ))

°n j=1

u0„e = о

5n j=1

1 Z 5ejp - Ь 0 )

5" E 5 p - % J.

'n j=1

Здесь 5„ =5,„ =(8182S3 )2-(s1^1 J-(s2^2J-^ J + ^^

102

un„ =

5„1 =(8283 У , 5П2 2 Чз£з2 , 5Л3 = 4 2^2 - ^3 У

561 =5Л2 , §62 = (^1^3 )2-^2, 5е3 = ))

5г1 = -8Л3 , 5г2 = -§63 , 5 г3 = (В1В2 У ,

для Р" и индекс] = 1 соответствует индексу п, ] = 2 - 6, ] = 3 - г.

Подставляя в (15) соответствующие выражения и приравнивая коэффициенты рядов при в'"6, получим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений с определителем нормального типа для определения коэффициентов ащ.

Рассмотрим случай, когда п > пк. В этом случае подынтегральные функции в (9) имеют неинтегрируемые особенности. Однако, деформируя контур интегрирования с обходом особенностей знаменателя Рэлея в точках ^ = ±С* по в-полуокружностям в областях, где выполняются условия излучения (см. [3]) и устремляя в к нулю, можно получить решение и в этом случае в виде

~ехГ' А _ .-ш ^ Л*.,

У у 1- •<: к= 1 №=-оо

№=-00

- Гх-к¥.+аС

е ' .. I е

М.

-со

•«н ? С

Здесь в формуле во второй строке стоят вычеты подынтегральных функций в указанных точках, д^ = дА О . Используя асимптотические свойства интеграла в смысле главного значения [5], из этой формулы следует, что при У ~^

00 3 ^-ДОуВД'

Ф. -?-А'^ФЛ

„=-п 4=1 Л; ц ц

С учетом множителя ехрО'^л) отсюда следует, что при сверхрэлеевских скоростях подвижной нагрузки на свободной поверхности полупространства х = И возникают рэлеевские волны, распространяющиеся в направлении волнового вектора (*, в полуплоскости (у > 0, п), а в полуплоскости (у < 0, п) в направлении ,

В случае произвольной периодической по п нагрузки, разлагая ее в ряд Фурье, для каждой составляющей ряда получим вышерассмотренную задачу.

103

ЛИТЕРАТУРА

1. Алексеева Л.А., Украинец В.Н. Динамика упругого полупространства с подкрепленной цилиндрической полостью при подвижных нагрузках // Междун. науч. жур. "Прикладная механика". НАН Украины - Киев, 2009.

- Т. 45. - № 9. - С. 75-85.

2. Гузь Л.И., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. -Киев: Наукова думка, 1978. - 308 с.

3. Ержанов Ж.С., Айталиев Ш.М., Алексеева Л.А. Динамика тоннелей и подземных трубопроводов. - Алма-Ата: Наука Казахской ССР, 1989. -240 с.

4. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т.2. - М.: Изд. иностр. лит., 1960. - 886 с

5. Федорюк М.В. Асимптотика, интегралы и ряды. - М.: Наука, 1987.

- 544 с.

104