CC BY
20
PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Scientific journal
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видасться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Астаф'ева М. М. Задача MÍHÍMÍ3auli'i функ^онала в теорИ керування// Фiзико-математична oceima : науковий журнал. - 2017. - Випуск 4(14). - С. 143-148.
Astafieva M. Problem Of Function Minimization In Theory Of Management // Physical and Mathematical Education : scientific journal. - 2017. - Issue 4(14). - Р. 143-148.
Анотаця. В останш десятилiття теорiя оптимального керування '¡нтенсивно розвиваеться, що пояснюеться не лише наявшстю складних > цкавих суто математичних проблем, а й широким спектром прикладних задач у р'зних галузях науки > людськоУд'1яльност'1: фiзицi, економiцi, б'юлоги, екологП, медицин'!, енергетиц та /н. Новi науков (теоретичнi) й реальн (прикладнi) задач> в'1др'1зняються своею складнстю, що зумовлюе не лише розширення сфери застосування математичного моделювання, а й удосконалення самих моделей у напрям> бльшоУ Ух точност'1 та повноцiнностi. Особливо гостро в сучасних умовах стр>мкого розвитку науки, технки, iнформацiйних технологiй постае проблема керованост'1 системи (процесу). Як в!домо, кожна задача оптимального керування м>стить так складовг. 1) математичну модель об'екта керування; 2) мету керування (т. зв. критерiй якост>); 3) певн обмеження на стан (траекторiю) системи, тривал>сть процесу керування та /н., при яких мае бути забезпечена мета керування. Пропонована стаття присвячена однш iз оптимiзацiйних задач математичноУ теорп керування, у яшй еволю^йний процес описуеться лiнiйними диферен^альними р>вняннями, а функ^я керування задаеться невласним '¡нтегралом.
Ключов'1 слова: лiнiйне диферен^альне р'вняння, функц'/я керування, функ^онал, невласний '¡нтеграл, оптимальне керування, мМмум функ^онала, рiвняння Рiккатi.
Постановка проблеми. Лопка розвитку математичних методiв i моделей за останш роки, суттеве розширення сфери Тх застосування у наукових дослщженнях та при розв'язуванш прикладних задач, диктуе включення до освгшх програм шдготовки фахiвцiв рiзних галузей знань i спещальностей навчальних дисциплш з математичного моделювання. I тут ми наштовхуемося на проблеми. Математичне моделювання потребуе глибоких i комплексних знань та винахщливосл. Певна рiч, що розв'язувати так задачi не пщ силу однш людиш, бо вона, при сучасному розвитку науки, не може волод^и ушверсальним знанням. Потрiбна кооперащя фахiвцiв певноТ (конкретноТ) предметноТ галузi i математимв, осктьки друг не завжди можуть самостшно зрозум^и суть задачi (проблеми), визначити характеристики реального процесу (явища, об'екта), що моделюеться, а полм оцшити адекватшсть i ефектившсть розробленоТ модели а першим, iз цшком зрозумтих причин, не вистачае математичноТ подготовки, щоб «перекласти» реальну задачу мовою математики, обрати i застосувати вщповщш математичш методи для ТТ розв'язання, сформулювати висновки. Аналiз змiсту курсiв на тему математичного моделювання для рiзних спецiальностей в рiзних унiверситетах показуе, що вони, зазвичай, передбачають розгляд стандартних у певнш галузi (бюлогп, медицинi, екологи, економiцi тощо) моделей i Тх розв'язання (дослiдження) за допомогою кнуючих програмних засобiв (математичних пакетiв). I це, звкно, той максимум, якого можна очтувати вiд вивчення математичного моделювання на нематематичних спещальностях, осктьки ш навчальний час, нi попередня математична пiдготовка студентiв цих спещальностей не дозволяе зробити бiльшого. Натом^ь, викладання математичних дисциплiн студентам-математикам мае бути пронизано нас^зною iдеею прикладного застосування математичних методiв i моделей, а спещальш курси з математичного моделювання не лише знайомити з вщомими математичними моделями, а й розширювати Тх спектр, виховувати у студенев здатнiсть iнтегрувати
УДК 517.9:519.8
М.М. Астаф'ева
КиУвський ушверситет ¡мен Бориса Грнченка, УкраУна
ЗАДАЧА М1Н1М1ЗАЦМ ФУНКЦ1ОНАЛА В ТЕОРП КЕРУВАННЯ
й творчо використовувати математичш факти з рiзних роздiлiв математики для модифтацп й розробки нових моделей.
Аналiз актуальних дослiджень. Математична теорiя керування iнтенсивно розвиваеться, охоплюе на сьогоднi широкий клас задач i численнi методи та модель 1й присвячено дуже багато монографш, пiдручникiв i наукових статей украТнських та зарубiжних авторiв. Основи сучасноТ теорп оптимального керування заклали Понтрягш Л. С., Болтянский В.Г. [4]. Методам варiацiйного числення в оптимiзацiйних задачах присвячеш, наприклад, дослiдження [2, 3]. Дослщженням лiнiйних та нелшшних систем диференцiальних рiвнянь присвяченi монографп [1, 5]. Питання теорп керування лшшних систем, зокрема й методи аналiзу систем з невiдомими параметрами, розглядаються в [6]. Актуальною е задача знаходження оптимiзацiйноТ функцп керування в лшшних диференщальних рiвняннях та Тх системах, яка забезпечуе м^мум функцiонала певного виду. Для лшшних диференщальних рiвнянь зi сталими коефщентами ця задача розглянута в [7]. У пропонованш статтi викладено суть ТТ розв'язання i наведено iлюстрацiйний приклад. Крiм того аналогiчна задача розв'язана для нестацюнарного випадку, тобто, коли коефiцiенти у правiй частит рiвняння залежать вiд часу.
Мета статтк Розглянути математичну модель у виглядi лiнiйного диференцiального рiвняння для оптимiзацiйноТ задачi керування еволюцiйним процесом у будь-якш галузi (мiнiмiзацiя ризимв, досягнення потрiбного результату за найкоротший час, економiя енергоресурсiв тощо); знайти оптимальне керування у виглядi невласного штеграла певного виду.
Виклад основного матерiалу
1 (скалярний випадок). Нехай математичною моделлю процесу е скалярне диференщальне рiвняння
х=ах+ Ьи, (1.1)
де а, Ь - деяк сталi коефiцiенти, и(:) - скалярна функцiя керування. Задано початкову умову:
4=0 = Хо . (1.2)
Потрiбно знайти таку функцiю и=и(:), визначену i неперервну на пiвосi [0,+а), щоб розв'язок х=х({) рiвняння (1) прямував до нуля на i, ^м цього, iнтеграл
/[и]=+|"(и2 (^)+х2 (1.3)
о
набував найменшого значення.
Шукатимемо керування, яке забезпечуе м^мум функцiонала (1.3), у виглядi
и(г)=-кх(г). (1.4)
Зазначимо, що при цьому вщповщний розв'язок х(:) разом iз функцiею керування прямують до нуля на що гарантуе збiжнiсть iнтеграла (1.3).
Щоб знайти значення коефiцiента к, розглянемо допомiжну функцiю
у(:)=б ■ х2 (:), (1.5)
де х(:) - деякий розв'язок рiвняння (1.1) з початковою умовою (1.2), а коефiцiент 5 залишаеться поки що невизначеним. Диференщюючи рiвнiсть (1.5), маемо:
Щ=25 ■ х(:) ■ х(: )=25х(: \ах(:)+Ьи(::))
Останне сшввщношення iнтегруемо в межах вiд 0 до Т i переходимо до границ при Т —. Отримуемо
+ ОД
о=Цо)+ |25х(:)[ах(:)+■
)+J2sx(t)|ax(t)+1
0
Додаючи цю piBHicTb з (1.3) i враховуючи (1.5), маемо:
i[u] = V(0)+\[u2 + 2sbux+ x2 +2saX \lt=sx2 + Д^+sbx) +(l+2as-b2s2 )x2 |t. 0 0 Пщберемо s так, щоб виконувалася умова 1+2as-b2s2 = 0. Це буде, зокрема, якщо
a W a2 + b2 т г , , s = s =-р-. Тепер i[u] набувае вигляду:
i[u]=s0x2 + J(u(t)+s0bx(t))2dt. (1.6)
0
Бачимо, що функцюнал (1.6), а з ним i (1.3), набувае найменшого значення при умовi u(t)+s0bx(t)=0. Отже, в (1.4) k=$р. Урахувавши це i пiдставляючи (1.4) в рiвняння (1.1), отримуемо
x=ax + b(- s0b)x=-x -Va2 + b2. Розв'язок цього рiвняння, який задовольняе початкову умову (1.2),
х=х(: )=хе'^
i вiдповiдна функцiя керування и = u(t) = — а + ^а +Ь-х0е~^а+Ь забезпечуе мiнiмум функцiонала (1.3).
Ь
Значення цього м^муму:
. ,г -1 2 а+л/а2 + Ь2 2 ГП1П/[и] = 5оха =-—--х0.
Отже, для будь-яких дшсних а, Ь (ЬФ0) i фiксовaного х0 знайдено функцiю керування и(:), при якiй
функцiонaл (1.3) досягае найменшого свого значення.
2 (векторний випадок). Розглянемо тепер випадок, коли еволюцшний процес описуеться лшшною системою зi сталими коефiцiентaми
х=Ах+Ви, хеЯ", иеЯт, (2.1)
початкова умова: х(:0 )=х.
Припускаемо, що iснують неперервш вектор-функцп керування : еЯ+, и(:) — о, таш, що розв'язок
прямуе до нуля на нескшченносл.
системи (2.1) iз заданою початковою умовою х(:)=еА: +|е~АтВь(т)с1г
V 0
На множинi таких вектор-функцш дослiджуемо на мiнiмум функцюнал
/[и]= Д(©и(0,и(0)+(Мх(0, х(ф, (2-2)
о
де ©, М - ст^ квaдрaтнi мaтрицi розмiрностi тхт та пхп, вiдповiдно, причому, матриця © додатно визначена, а М - невщ'емна.
Як i у скалярному випадку (п. 1), шукаемо и(') у виглядi
и(:)=—к ■ х(:),
де К - деяка стала прямокутна матриця.
Розглядаючи допомiжну квадратичну форму
Цх)=( Бх, х), х еЯ",
i виконавши тi ж процедури, що й у скалярному випадку (диференщювання, наступне iнтегрувaння, перехiд до границу почленне додавання вiдповiдних рiвностей), знаходимо:
К = ©1ВТБ.
У результат виявиться, що для мiнiмiзaцiТ функцюнала (2.2) 5 мае бути розв'язком матричного рiвняння Рiккaтi:
—БМБ+ БА+АТБ+М=о, де фасована симетрична матриця N визначаеться рiвнiстю N=В©1ВТ.
Якщо вдалося знайти розв'язок Б цього рiвняння, то оптимальне керування и()) мае вигляд
и = —©1ВТБ ■ ех р[(А - В©^)! х, а мЫмальне значення функцiонaлa (2.2) дорiвнюе: /т.п =(Бх, х). 3 (приклад). Для зaдaчi Кошi
Г х-х+2х=и, (3 1)
]х(о)=1, х(о)=-1
потрiбно знайти функцiю керування и = u(t), визначену i неперервну на додатнш пiвосi, при якiй мiнiмiзуеться функцюнал
/[и]=^¿и2^ Эх2 ())+26х(:)х(:)+41х(0}^. (3.2)
о
Знайти м^мальне значення цього функцiонaлa. Розв'язання.
Перейдемо вщ лiнiйного диференцiaльного рiвняння другого порядку до системи двох рiвнянь, вважаючи х(') = х), х2())=х(). Тодi задача (3.1) набувае вигляду (3.3) - (3.4)
(3.3)
х1(о)=1, х2(о)=-1, (3.4)
х2 = -2х1 + х2 + и,
а функцiонaл (3.2) запишеться так:
Hu]-J
4u2 +
9 13Y x1 13 411 x.
2 У
Л, \\
V x2
dt.
(3.5)
Таким чином, маемо:
V° D'-(0
Невiдому симетричну матрицю s -
A-| " "I' fl-ri' 0-4' M-I 9 13 I' N-B&1BT -
9 13 13 41
--и и* D-4(0 0i ■
^ 5Л V 5 52 У
4 v 7 4 VO „ отримуемо i3 рiвняння PiKKaTi (2.3), яке у нашш 3aAa4i мае
вигляд матричного рiвняння
f _2
5 55 55 52
+
25 5 + 5Х V~252 5 + 52
+
25 - 25,
V 5 + 5 5 + 52
+
9 13 13 41
O O O O
розв'язуючи яке, знаходимо s -
1
^i K-@1BTS - - (o 1)
3O 2 2 18
30 21 (1 9
2 18 J V2 2
i оптимальне керування u--kx--1 x -9x , або, для
початкового рiвняння, u--1 x-9x. Пiдстaвивши знайдену функцiю u в (3.1), д^аемо лiнiйне однорiдне
-x -2 2
диференщальне рiвняння 3i сталими коефiцiентaми x +7x+5x-0. Його розв'язок, що задовольняе умови
2 2
(3.2), x(t)=е ', а шукана функцiя керування u(t)-4е-. Найменше значення функцiонaлa дорiвнюе:
minl[u]-(Sxo,xo) -
30 2 2 18
1
-1
1
-1
-3O-1+4•!•(-1)+18-(-1)2 -44.
У V У V У/
4 (задачам'ш'ш'заф'функ^оналаз векторною функ^ею керуванняiзмНними коеф'ц'ентами). Розглянемо диференщальне рiвняння iз векторною функцiею керування
x - a(t)x+bL(t)u1 + ¿¿(')цг +...+bm(t)um' (4.l)
де a(t) i b(t) - деяк скалярнi функци, неперервнi i обмежен на пiвoсi [O,+»), початкова умова: x(tQ)-x0. Розглянемо функцiонaл вигляду
i[u]- J(i(')U;!(')+гШ' )+...+rm(t)u2m (t)+Я('У(')}1',
(4.2)
де скaлярнi функци ; (t ),q(t )eCO R ) задовольняють умови:
r(t)>г, i- 1m, Г -con5t>O, q(t)>O V eR+. (4.3)
Розглянемо скалярну функцiю
КО-5(t)-x2 (t),
(4.4)
де 5(t) е, поки що, невизначеною скалярною функцiею, неперервно диференцшовною i обмеженою на R+. Диференцiюючи рiвнiсть (4.4), маемо
V(t)-5(t )x2(t)+25(')x(')x(')-5(')x2 (t)+25(t )x(t (а^ )+) (t )u(t)
Отриману рiвнiсть iнтегруемо вiд 0 до Ti переходимо до границ при T^-ж, отримуемо:
+?f Г m
O - V(O)+ jj 5(t)x2(t)+25(t)x(t) a(tW+Yfi (t)u(t)
(4.5)
Праву частину рiвностi (4.5) додамо до правоТ частини (4.2), отримуемо запис функцюнала (4.2) в iншому виглядi:
l[u]- V(O) + J 2);"? + 2s[bux+5x2 + 25ax2 + qx2
(O)x2 + J
dt -
2r| Ч- + ^x I +|5+2a5+q-))"52 jx2
dt
(4.6)
При цьому 5(t) е довiльно вибраною неперервно диференцiйовною i обмеженою на твоа R+ скалярною функцiею. Доцтьно вибрати цю функцiю так, щоб другий доданок в пiдiнтегральнiй функци (4.6) дорiвнювaв нулю, тобто, щоб виконувалася рiвнiсть:
5-(^У - ^ - q(t). (4'7'
1
O
O
i-1
O
O
Нехай це е можливим, тобто диференщальне рiвняння Рiккатi (4.7) мае розв'язок s = s0(t), обмежений на пiвосi R , який задовольняе нерiвнiсть
s0 (t)> 0 Vt eR+. (4.8)
(Зазначимо, що питання кнування обмежених розв'язкiв рiвняння Рiккатi, ям задовольняють умову (4.8) - предмет окремого дослщження.)
Пiдставляючи в рiвнiсть (4.6) s = s0 (t), отримуемо
i[u]=s0 (0)*2+J
£i (t ]Ц)+^ x(t i2
i=1
r (t)
dt.
(4.9)
Враховуючи нерiвностi (4.3), бачимо, що функцiонал (4.9) набувае найменшого значення s (t)x^ при виконаннi наступних спiввiдношень:
u(t) = -x(t), i = 1m (4.10)
,w r (t) v;
Пiдставляючи (4.10) у рiвняння (4.1), запишемо його розв'язок, що задовольняе початкову умову
x(t0 ) = x0 :
x = x0 ex|
a(a)-s0 (a)X
mbf (a)
=1 r (a
i (a)
da).
Тодi вiдповiдна оптимальна вектор-функщя керування набувае вигляду
4(t) bm(t)> ^
u = (ui (t ),...um (t ))=-s0 (t)
V 1
(t).....m(t )y
J
a(a)-s0 (a)Z
/=1
b2(a) 1 (a).
da)
0
0
• x0ex
0
Висновки i перспективи подальших дослiджень. У заданш постановцi задачi встановлено умови, при яких функцiонал мiнiмiзуеться, знайдено вщповщш оптимiзацiйнi керування. Пропоновану математичну модель i метод и дослщження можна включити до змiсту дисциплш на теми математичного моделювання, теорп керування для магiстрiв математичних спещальностей унiверситетiв.
При розв'язуваннi подiбних задач доводиться мати справу з рiвняннями Ршкатк Знаходження його розв'язкiв - сама по собi складна задача, розв'язати яку вдаеться далеко не завжди. Тому перспективними е пошуки в напрямi знаходження та дослщження розв'язкiв цього класу рiвнянь.
Список використаних джерел
1. Митропольський Ю. А., Самойленко А. М., Кулик В. Л. Исследование дихотомии линейных систем дифференциальных уравнений с помощью функций Ляпунова. - К.: Наук. думка, 1990. - 270 с.
2. Миненко А. С. О минимизации одного интегрального функционала методом Ритца // Укр. мат. журн. -2006. - 58, № 10. - С. 1385-1394.
3. Моклячук М. П. Варiацiйне числення. Екстремальш задачк К.: TBiMC, 2004. - 384 с.
4. Понтрягин Л. С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Наука, 1983. - 393 с.
5. Самойленко А. М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. - М.: Наука, 1987. - 302с.
6. Tadeusz Kaczorek. Teoria sterowania i systemow. - Warszawa: PWN, 1999. - 801 c.
7. Zdzistaw Wyderka. Teoria sterowania optymalnego : (skrypt przeznaczony dla studentow IV i V roku matematyki, nr.397). - Katowice : Uniwersytet Slqski, 1987.
References
1. Y. Mitropol'skii, A. Samoilenko, V. Kulik, Investigation of the dichotomy of linear systems of differential equations using the Lyapunov functions. - K.: Science. Dumka, 1990. - 270 p. (In Russian).
2. A. Minenko. On the minimization of an integral functional by the Ritz method, Ukrain. mat. journal. - 2006. - 58, No. 10. - P. 1385-1394. (In Russian).
3. M. Moklyachuk. Variational calculus. Extreme tasks. K .: TVIMS, 2004. - 384 p. (In Ukrainian).
4. L. Pontryagin, V. Boltyanskii, R. Gamkrelidze, E. Mishchenko. Mathematical theory of optimal processes. -Moscow: Nauka, 1983. - 393 p. (In Russian).
5. A. Samoylenko. Elements of the mathematical theory of multifrequency oscillations. - Moscow: Nauka, 1987. -302 p. (In Russian).
6. Tadeusz Kaczorek. Theory of control and systems. - Warsaw: PWN, 1999. - 801 c. (In Polish).
7. Zdzislaw Wyderka. Theory of optimal control: (script for students of the fourth and fifth year of mathematics, no.397). - Katowice: University of Silesia, 1987.
PROBLEM OF FUNCTION MINIMIZATION IN THEORY OF MANAGEMENT
Maria Astafieva
Kiev Boris Grinchenko University, Ukraine Abstract. In recent decades, optimal control theory is intensively developed, which is explained not only by the presence of complex and interesting pure mathematical problem, but also a wide range of applied problems in various fields of science and human activity: physics, Economics, biology, ecology, medicine, energy etc. New scientific (theoretical) and real (application) tasks differ in their complexity, resulting in not only expanding the scope of mathematical modeling and improve the models themselves in the direction of greater their accuracy and usefulness. Particularly acute in modern conditions of rapid development of science, technology, information technology arises the problem of controllability of the system (process). As you know, each optimal control problem contains the following components: 1) a mathematical model of control object; 2) goal management (T. N. The quality criterion); 3) constraints on the state (trajectory) of the system, the process time control, etc., which must be provided for the purpose of control. The article is devoted to one of the optimization problems of mathematical control theory in which the evolutionary process is described by linear differential equations and the control function is specified by an improper integral.
Keywords: linear differential equation, control function, functional, inappropriate integral, optimal control, minimum of functional, Rikkat equation.
