Задача Коши для линейного уравнения Осколкова на гладком многообразии Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЗАДАЧА КОШИ

ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ОСКОЛКОВА НА ГЛАДКОМ МНОГООБРАЗИИ *

Г.А. Свиридюк, Д.Е. Шафранов

Рассмотрена задача Коши для уравнения Осколкова (1 — кA)Aфt = уА2ф в цилиндре х К, где - гладкое римано-во компактное многообразие без края. Получено точное решение и изучена морфология фазового пространства.

Ключевые слова: относительно а-ограниченные операторы, вырожденные аналитические группы операторов, оператор Лапласа-Белътрами, фазовое пространство.

моделирует плоекопараллельное течение вязкоупругой несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта. Задача Коши-Дирихле для уравнения (0.1) и для его линейной модификации

в цилиндре О х К, где О С К2 - ограниченная область с границей 90 класса С°°, изучалась ранее в различных аспектах [1; 2]. Однако рассмотренные задачи далеко не исчерпывают возможные ситуации, поэтому данная статья посвящена задаче Коши для уравнения (0.2) в цилиндре х К, где - ориентированное гладкое компактное риманово многообразие без края.

* Работа частично поддержана грантом Минобразования России Л*4 1’1) 02-

Введение

Уравнение Осколкова

(0.1)

(1 - кА)Афг = /'Л2о

(0.2)

1.1-82.

Статья состоит из трех частей, В первой изложены предварительные сведения, почерпнутые из [3] и модифицированные сообразно данной ситуации. Во второй задача Коши для уравнения (0,2) в цилиндре 0„ х 1 редуцируется к задаче Коши

а(0) = а0 (0.3)

для линейного уравнения соболевского типа

/л'і = Ма + 7. (0,4)

Редукция основана на теории гармонических полей Кодаиры (см,[4], гл, XIX), В третьей доказывается (Ь, ^-ограниченность оператора М и строится решение задачи (0,3), (0,4),

1. Предварительные сведения

Пусть 11 и $ - банаховы пространства, операторы Ь, М Є £(И;30 (т.е, линейны и ограничены). Множество

рь{М) = {р Є С : {цЬ - М)-1 є £(£;Н)}

называется Ь-резольвентным множеством оператора М. Оператор М называется (Ь, а)-ограниченным, если

З о Є К+ Є С (|//| > а) => {р, Є р1(М)) .

Замечание 1. Если существует оператор ЬЄ £(^11), то оператор М (Ь, £т)-ограничен.

Теорема 1 (см, [3]), Пусть оператор М[Ь, а)-ограничен. Тогда существуют аналитические группы операторов, представимые интегралами типа Данфорда- Тейлора

С = ‘ . / Д£(М)Л// . Ґ = ‘ . I 1^{М)е^йц,, г є С.

/і711 ^ //К I ^

Г Г

Здесь Щ(М) = (цЬ — М)^1 Ь-правая, а Ь^(М) = Ь{ рЬ — М)^1-левая Ь-резольвенты оператора М; контур Г = {[л Є С : \[л\ = г > а}.

Оператор-функцию (цЬ — М) 1 назовем Ь-резолъвентой оператора М.

Замечание 2. Группа {11г : t Е Ш} является разрешающей группой однородного (т.е. 7 = 0) уравнения (0,4), а группа {Р* : t Е К} является разрешающей группой уравнения Д£(М)/ = (ХЬ - М)-1М/, где

Л е рь{М).

Рассмотрим единицы групп {£/* : £ Е К} и {Р* : £ е К} соответственно, Очевидно, что операторы

и° = 2й / = Р’ Е°= 2й / = 0 (1Л)

Г Г

являются проекторами; Р Е -С(И) и е £({?). Положим кегР = 11°, тР = И1, кег<5 = 3го, Ш1<2 = Зг1, Обозначим через (А^) сужение оператора Ь (М) на , />• = 0.1.

Теорема 2 (см. [3]). Пусть оператор М [Ь, а)-ограничен. Тогда при любом ц Е С, \р\ > а

ОО ОО

(///. - л/) 1 = -^//лс/л л/(1'(: - о) + ^// *•//* 'д.

й=0 й=1

Здесь операторы С = М^Ьо Е £(11°) , Н = , 1 Л/1 Е /^(И1);

причем, С0 = (I — Р), если С ф О, и Н° = Р, если Н ф О.

Определение 1. Пусть оператор М [Ь, а)-ограничен.

Точка оо называется

({) устранимой особой точкой Ь-резольвенты оператора М, если С = О; "

(п) полюсом порядка, р Ь-резольвенты оператора М, если СР ф О, Ср+1 = О;

(т) существенно особой точкой Ь-резольвенты оператора М, если Ск Ф О при любом к Е {0} и М.

Пусть кегЬ ф {0}. Условимся векторы Е кег Ь \ {0} называть собственными. Упорядоченное множество {991, ,... } называется це-

почкой М-присоединенных векторов собственного вектора щ, если

Ь^Рк+1 = М(рк, к = 0,1,...] (рк ^ кег Ь \ {0}, к = 1.2......

Цепочка М-присоединенных векторов может быть бесконечной, В частности, она может быть заполнена нулями, если ко г /л'кег М Ф {0}, Однако она обязательно конечна, если существует число р Є N такое, что М(рр 0 іт ІД {0}. Порядковый номер М-присоединенного вектора называется его высотой.

Теорема 3 (см, [3]), Пусть оператор М (Ь, а)-ограничен, причем

(і) оо - устранимая особая, точка. Тогда, 11° = кег Ь и ни один собственный вектор оператора, Ь не имеет М-присоединенных векторов;

(п) оо - полюс порядка р. Тогда, множество 11° \ {0} содержит только собственные и М-присоединенные векторы высоты, не больше р.

Условимся в дальнейшем устранимую особую точку называть полюсом порядка нуль.

Рассмотрим задачу Коши

Ц0) = щ (1,2)

для уравнения

І.іі = М и. (1,3)

Вектор-функцию и Є С'°°(К;ІІ) назовем решением задачи (1.2), если она удовлетворяет уравнению (1.3) и условию (1.2).

Теорема 4 (см.[3]). Пусть оператор М (Ь, а)-ограничен, причем, оо - пол,юс порядка р Є {0} и М. Тогда, при любом, и0 Є IIі существует единственное решение и Є С'°°(К;И1) задачи (1.2), (1.3), которое к 'тому же имеет вид и(і) = игщ, і Є К,

Замечание 3. Если и0 0 И1, то задача (1.2), (1,3) решения не имеет, Этот феномен впервые был отмечен в [5]. В [3] подпространство

IIі было названо фазовым, пространством уравнения (1.3). Если оо -существенная точка Ь-резольвенты оператора М, то решение задачи

(1,2), (1.3) существует, но не единственно (см, пример в [3]),

Теорема 5 (см, [6]), Пусть оператор Ь - фредгольмов (т.е. іпсІЬ = 0). Тогда, следующие утверждения эквивалентны:

(і) оператор М (Ь, а)-ограничен, причем, оо - пол,юс порядка р Є

{0} и М;

(п) ни один собственный вектор оператора Ь не имеет М-присоединенных векторов высоты большей р.

2. Постановка задачи

Пусть - п-мерное ориентированное гладкое (т.е. класса С°°) компактное связное риманово многообразие. Через Шк = Нй(0„), ЕГ1 = ЕР+1 = {0} обозначим линейное пространство гладких //-форм на многообразии Формулой

где * - оператор Ходжа, определим скалярное произведение на Шк, к = 0,1,,,,, п, а соответствующую норму обозначим через || • ||о- Про-

п

должим скалярное произведение (2,1) на прямую сумму ф Н , требуя,

к=О

чтобы различные пространства Шк были ортогональны. Пополнение пространства Шк по норме || • ||0 обозначим через 5з°,

Теорема 6 (Ходж-Кодаира [7]), Для, любого к = 0,1,,,,, п существует расщепление пространства 5з° в прямую ортогональную сумму

причем пространство 5з^д конечномерно.

Здесь с1-оператор (внешнего) дифференцирования А;-форм, оператор 5 = (^1)"№+1)+1 * (І*, а Д = — г/г) — 5(1 - оператор Лапласа-Бел ьтрами, Пространство із^ (із^) является пополнением линеала сМ[Нй] = сІ[Нй_1] (5с1[Нй] = 5[НЙ+1]), а пространство 5з^д содержит только гармонические А;-формы (т.е, такие убї, что Аш = 0),

Замечание 4. Имеет место равенство 5з0д = К.

Через Ркд обозначим ортопроектор на іЗйд- Формулами

вводятся скалярные произведения на Шк, где шд = Р^дш, Пополнения линеала Шк по соответствующим нормам ||'||1ИН'1|2 обозначим

(2.1)

п

© ІЇкЛ ,

(С, V) 1 = (-Д£, V)о + (Сд, »7д)о, (С, V)2 = (Д£, Аг})о + (с, Г])

через $)\ и соответственно. Пространства $}1к, I = 1,2 - банаховы (их гильбертова структура нас в дальнейшем не интересует), причем в силу непрерывности и плотности вложений С !?)\ С , а также конечности ранга оператора /', д. к = 0,1,,,,, п, справедливо следующее

Следствие 1. Для любого к = 0,1,... ,п существуют расщепления пространств

= -'М'л © -С3/.Л-где Ізід = (I - РкАШІл], 1 = 1,2.

Далее, формулами

Ь = 1 — кА, М = и А, к,у£Е \ {0}

определим операторы Ь, М : !г)\ —>• 5э°, />• = 0. 1.и. Отметим, что

отрицательные значения параметра к не противоречат физическому смыслу уравнения (0.2) [8]. Обозначим через <т(Д) спектр оператора Лапласа-Бельтрами. Справедлива

Теорема 7. (і) Для, любых кии операторы, Ь,М є С($)\ ;із°),

/.• = 0. 1.а.

(И) Для, любого кГ1 4 <т(Д) существует оператор

Ь~1 є £(ІЗ°;ІЗІ), к = 0,1,...,п.

Фиксируем некоторое /.• = 0. 1......и н. обозначив через = 11,

редуцируем уравнение (0.2) к уравнению (0.4), где 7 Є іЗйд-Учитывая конструкцию операторов I. и М и представив а = /3 + /',дп. а0 = /30 + /ап,,, окончательно получим

Ь'Р = МР,Р{ 0) =/30, (2.2)

причем Ркдо:0 = 7,1 л 1 = е*7- Для решения задачи (2.2) можно применить теорему 1.4.

3. Задача Коши

Спектр <т(Д) неположителен, дискретен, конечнократен и сгущается только к точке ^оо. Обозначим через {А;} последовательность собственных значений оператора Лапласа-Бельтрами на многообразии занумерованную по невозрастанию с учетом кратности.

Через {(рі} обозначим ортонормированную (в смысле (2,1)) последовательность собственных функций, { г'/ }• С Нк, Аїрі = А[(рі; если А/ = О, то ц>і Є іЗйд при некотором фиксированном к = 0,1,... ,п.

Лемма 1. При любых кб!\ {0}, к = 0,1,,,,, п оператор М(Ь,о)-огранпчен, причем оо - полюс порядка нуль Ь -резольвенты оператора

Доказательство. Если /с-1 0 <7(Л), то утверждение следует из теорем 2,2 (И), 1,2 и замечания 1,1,

Пусть і; 1 є с(Л) , положим ко г I. = ,зрап{(рі, кг1 = А;}, Тогда для любого вектора ф є кег Ь \ {0},

Теперь найдем фазовое пространство уравнения (2,2), Для этого по формулам (1,1) построим проектор

Поэтому согласно замечанию 1,3 фазовым пространством уравнения

(2,2) в нашем случае является подпространство IIі = {и Є 11 : (и, <рі) о = 0, /г 1 = А;}, если /г 1 є с (А); IIі = 11, если и 1 0 <т-( А).

Из теорем 1,1 и 1,4 вытекает

Теорема 8. При любых ке! \ {0}, к = 0,1,,,,, п и /Зо Є IIі существует единственное решение [З Є С'00(К;И1) задачи (2.2), которое к 'тому же имеет вид

М.

к ! = Л і к 1 = А;

имеем Мф = и к 1ф 0 \тЬ \ {0},

Отсюда в силу теоремы 1,5 следует утверждение леммы. Замечание 5. Нетрудно найти I. -спектр оператора М

□

ЛМ) = {-^у : / М

к- — Л1

Р = I- ^2 (‘,^)о 1 Є о(А);Р = 1,к 1 0 <т(А)

К~1=\ і

ОО

/5(і) = '^2'еші(Ро,(рі)о<Рі

і=і

Здесь /// = /'Л//(к 1 — Л/) . а штрих у знака суммы означает отсутствие слагаемых с номерами I такими, что /г 1 = Л/.

Отсюда единственное (при любом а0 G £)°) решение задачи (0,3), (0,4) а = п (/) имеет вид о (/) = fj{t) + е*7, где 7 = /', ди0.

Список литературы

1. Свиридюк Г. А., Келлер А.В. Инвариантные пространства и дихотомии решений одного класса линейных уравнений типа Соболева // Изв. вузов. Математика. 1997. №5. С. 60-68.

2. Свиридюк Г.А., Якупов М.М. Фазовое пространство начально-краевой задачи для системы Осколкова // Дифференц. уравнения. 1996.

Т. 32, №11. С. 1538-1543.

3. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов// УМН. 1994.

Т. 49, №4. С. 47-74.

4. Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965.

5. Coleman B.D., Duffin R.J., Mizel V.J. Instability, uniqness and nonex-istance theorems for the equation щ = ruxx — uxxt on a strip // Arch. Rat. Mech. Anal. 1965. Vol. 19. P. 100-116.

6. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г., Дудко Jl.Jl. Относительная ст-ограниченность линейных операторов // Изв. вузов. Математика. 1997. т. С. 68-73.

7. Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. М.: Мир, 1987.

8. Амфилохиев В.Б., Войткунекий Я.И., Мазаева Н.П., Ходорковский Я.С. Теория полимерных растворов при наличии конвективных ускорений // Тр. Ленингр. кораблестроит. ин-та. 1975. №96. С. 3-9.

Челябинский государственный университет [email protected], [email protected]