CC BY
17
МНТЕН
ЗАДАЧА ИНВЕСТОРА С ИНТЕРВАЛЬНЫМИ
ДАННЫМИ
В.А. Перепелица, Ф.Б. Тебуева, В.А. Гречкин
PROBLEM OF THE INVESTOR WITH THE INTERVAL DATA
V.A. Perepelitsa, F.B. Tebueva, V.A. Grechkin
It is considered the polynomial solvable case of one combinatory problem on rearrangements which is known under the name«problem of the investor». The proof of intractability for this problem in a case when its parameters accept interval values is given. It is submitted polynomial solvable subclass of problem of the investor with the interval data.
Рассматривается полиномиально разрешимый случай одной комбинаторной задачи на перестановках, которая известна под названием «задача инвестора». Приведено доказательство труднорешаемости этой задачи в случае, когда ее параметрыi принимают интервальные значения. Представлен полиномиально разрешимый подкласс задачи инвестора с интервальны1ми данными
УДК 519.6
1. Базовая формулировка задачи инвестора. Рассмотрим следующую формулировку известной «задачи инвестора» [1]. Имеется п инвестируемых объектов, перенумерованных индексом / = 1,2,...,п ; для
объекта / заданы: Ti - длительность его ввода в строй; ^ - директивный срок ввода объекта / в эксплуатацию; у - удельная (за единицу времени) прибыль, получаемая от объекта / после его ввода в эксплуатацию,
начиная с момента времени ^ = О, / = 1, п.
Допустимым решением формулируемой задачи инвестора является одна из п! перестановок х = (/1, /2,..., /п) чисел 1,2,...,п ; X = {х} - множество всех допустимых решений (МДР).
Согласно допустимому решению х = (/'1, /2,...,/к,..., /п ) объект /к вводится в строй в момент
К (1)
I=1
Тогда потери этого объекта в случае нарушения или ненарушения директивного срока О составят
^ =тах К0, к - О Ж • (2)
С учетом обозначений (1), (2) минимизируемая целевая функция (ЦФ) суммарных потерь инвестора определяется выражением
ы
Ш Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Гречкин В.А. «Задача инвестора с интервальными данными»
F(x )=i 7tZh =
k=1
= Z Ггк max ( ( - D I® min-
(3)
k=1
В дальнейшем проблему отыскания решения x е X, оптимального по значению ЦФ Fj, условимся называть «задача инвестора MINSUM».
На МДР X также определена минимизируемая ЦФ наихудшего исхода (наибольшего штрафа) среди инвестируемых объектов
F (Х)= ^ = C1 \
= max 10,Ii - D II® min.
1£ k £ nV 4 lk"
В дальнейшем условимся задачу с ЦФ F2 называть кратко «задача инвестора MINMAX.».
Примечание 1. По своей социально-экономической сути ЦФ Fj оптимизирует эффект инвестора, а ЦФ F2 оптимизирует те финансово-экономические гарантии, которые инвестор может дать клиенту. Иными словами, F1 - ЦФ инвестора, а F2 - это ЦФ клиента, ибо оптимизация этой ЦФ означает не что иное, как снижение уровня риска для клиентов-заемщиков.
Сформулированная выше задача инвестора MINSUM в случае ненулевых директивных сроков D, является NP -трудной [2, 3]. В случае нулевых директивных сроков (Dt = 0, i = 1, n) эта задача является полиномиально разрешимой, при этом ее ЦФ (3) приобретает вид
п
F1 (x )=Z TiA ® min.
(4)
k=1
Полиномиальная разрешимость в случае (4) обеспечивается тем, что оптимальное
о
решение х определяется согласно простого решающего правила [1]: объекты запускаются в производство в соответствии с нумерацией упорядочения по невозрастанию величин
yh gi2
1 > 2 > ... >
V i 0 V г2 0 V гп 0
(5)
С ЦФ Е2 задача инвестора является полиномиально разрешимой и в случае ненулевых директивных сроков [4]: О, > 0,
, = 1, п .
2. Задача инвестора МШ8иМ с интервальными значениями удельной прибыли. В настоящей работе рассматриваем задачу инвестора МШБиМ с ЦФ (4) в интервальной постановке, когда параметр удельной прибыли представляется интервальными значениями [5]
71 = [г1,7, ], г! £ г,2,г = 1п. (6)
В этом случае согласно определению арифметических операций интервального исчисления [5] ЦФ (4) представляет собой интервальную целевую функцию (ИЦФ) вида
К =
Fi (x tf]
k=1
= [F (х), Fi2 (x)]® min,
(7)
где
tik
Е (х)=!7! Ч , Е(х)=Х7, к=1 к=1 Решением интервальной задачи явля-
0 V
ется такой элемент х е X , при котором значение ИЦФ (7) достигает необходимого экстремума.
С введением интервальных значений параметров задачи поиск оптимума наталкивается на проблему выбора наиболее целесообразного решения из множества несравнимых альтернатив. В связи с этим определим бинарные отношения предпочтения, эквивалентности и несравнимости [6], используя при этом общее обозначение Е (х) для целевых функций Е (х) и Е2 (х).
Определение. Из двух решений х1 и х^, х1, х^ е X х1 лучше х2 (х1 • х2), если Е (х1) £ ¥г (х2 ), г = 1,2, при этом хотя бы одно из этих неравенств является строгим.
Решения Х1 и Х2 несравнимы (Х1 е Х2), если имеет место строгое включение интервалов: ^(х1) е ^(х2) или ^(х2) е ^(х1). Эти решения эквивалентны (х1 ° х2), если совпадают соответствующие им интервалы ^ (х1) = ^ (х?).
Отношения предпочтения и несравнимости порождают на МДР X паретовское
множество (ПМ) X ^ X [7], которое состоит из паретовских оптимумов (ПО). Для задачи с ИЦФ решение ~ е X называется ПО,
если не существует х* е X такого, что
* ~
х • х .
Искомым решением интервальной задачи является так называемое полное множество альтернатив (ПМА) Xи [3], которое определяется как наибольшее подмножество
несравнимых представителей ПМ X .
При обосновании оценок вычислительной сложности проблемы нахождения ПМА используется понятие полноты. Пусть для рассматриваемой задачи в ее МДР X
определено ПМ X . Тогда эта задача является полной, если существуют такие значения ее параметров, при которых ПМА, ПМ и
МДР совпадают: X0 = X = X .
Для задачи инвестора М1ШиМ с ИЦФ вида (7) справедлива следующая
Лемма 1. Задача инвестора МШБиМ с ИЦФ вида (7) является полной.
Доказательство. Рассмотрим случай, когда удельная прибыль
71 = [/1,7?]=[1 -10;1 +10-д/], где д -
количество значащих цифр в десятичной записи числа п и длительность ввода в строй каждого объекта принимает единичное значение Т = 1, / = 1, п . Тогда ИЦФ (7) можно переписать в следующем виде:
Р1 (х)=![1 -10-д;1 +10-д]К .
к=1
Поскольку
к
г =у т = 1 +1 +... +1 = к,
'к / ' 1=1
то в этом слу-
^¡(х)=2[1 -10-д/ ;1 + 10-д ]к :
к=1
к п п к ; V к +У-А-
110дк'и к"! 10д ' к
V к-V
к=1 к
п(п
(7а)
(п +. п(п +1) V ■¿—11 пя'к ' о
к
2
2
10д/ к
к~110д'к ^ к=1 Представленное в правой части выражения (7а) число в десятичной записи имеет пд значащих цифр, причем под каждое сла-
к
гаемое —д— отведена одна из п групп по д
разрядов в каждой записи значащих цифр данного слагаемого (числа к). Каждому допустимому решению х = (/,/2,...,/п) соответствует интервал вида (7а) с центром п(п +1)
2
. Радиус этого интервала определя-
ется перестановкой чисел 1,2,...,п по п группам по д разрядов в каждой десятичной к
. Отсюда для каждой
записи числа
V к:
к=1 10
пары различных перестановок х', х" е X найдется хотя бы одна пара разрядов с несовпадающими значениями. Таким образом, МДР X порождает систему вложенных друг в друга интервалов ^ (х), х е X, т.е. для всякой пары перестановок х' , х" е X соответствующая пара интервалов ^ (х') и Fl (х " ) оказывается несравнимой, откуда
получаем равенства X0 = X = X . Лемма доказана.
3. Задача инвестора М1№иМ с интервальными значениями сроков строительства. Рассмотрим задачу инвестора МШБиМ, для которой ЦФ (4) принимает интервальные значения длительности строительства Ti = Т/1, Т2 ], Ti 1 < Т2, / = 1, п. Тогда ЦФ (4) принимает вид
л (х )=Ё 7/к 1[Т' т
к=1
I=1
(8)
чае
ы
Ш Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Гречкин В.А. «Задача инвестора с интервальными данными»
k (x), Fl (x)]
® min
где
Е1 (х) = 17'к IК , Е12(х)=17,к I
к=1 1=1 к=1 I=1
Для этого случая справедлива Лемма 2. Задача инвестора с ИЦФ вида (8) является полной.
Для доказательства положим 7г = 1 ,
1 = 1, п. Тогда ИЦФ (8) приобретает следующий вид
п к п
Е(х)=Е IТ = Е(п - к+1)Тк.
к=1 I=1 к=1
Полагая для каждого к = 1,2,...,п значение Т =1 -10-41 ;1 +10-а1 I, где а
- это
значность п , получим дальнейшее доказательство леммы 2, аналогичное доказательству леммы 1.
Лемма 2 доказана.
Учитывая экспоненциальный рост мощности МДР |Х| = п! из лемм 1 и 2 получаем, что являются справедливыми следующие теоремы.
Теорема 1. Задача инвестора МШБиМ с ИЦФ вида (7) является труднорешаемой.
Теорема 2. Задача инвестора МШБиМ с ИЦФ вида (8) является труднорешаемой.
4. Полиномиально разрешимые подклассы интервальной задачи инвестора М1№иМ. В контексте последних утверждений особого внимания заслуживает вопрос о выявлении полиномиально разрешимых подклассов задачи инвесторов с интервальными данными или, иначе говоря, вопрос о достаточных условиях, при которых для этой задачи существует решающее правило нахождения оптимального решения
х0 е X .
Пусть интервальные значения 71 = [у1, у2 ] принимает только параметр удельной прибыли у,, 1 = 1, п и при этом
длительности ввода в строй , 1 = 1, п являются действительными положительными
числами. Тогда можно определить достаточное условие полиномиальной разрешимости рассматриваемой задачи. Оптимум х 0 е Х
определяется существованием такого упорядочения инвестируемых объектов
1к , к = 1, п , при котором выполняются бинарные отношения:
T ' g1 ) 1 ' g2 ) """ Y ' g'n ) '
(9)
Существование решающего правила возможно и в случае, когда длительности ввода в строй принимают интервальные значения \fl, T2 ], а параметры удельной прибыли gi, i = 1, П принимают ненулевые действительные значения. Оптимум
0 ХА
X е Л определяется существованием такого упорядочения инвестируемых объектов
ik , к = 1, П , при котором выполняются отношения:
_!_ Т т2) • — (т т2) • • — (т т2)
g V il ' il ' g V i2 ' г 2 / " ' g V in ' ! n ''
i1 i2 in
(10)
Наличие решающих правил вида (9) и (10) позволяет находить оптимальное решения задачи инвестора с верхней оценкой вычислительной сложности O(n log n) [8]"
ЛИТЕРАТУРА
1. Перепелица В.А., Попова Е.В., Семенчин Е.А. Теория игр и исследование операций. -Ставрополь: Изд-во СГУ, 2004. - 182 с.
2. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. - М.: Мир, 1982. - 416 с.
3. Емеличев В.А., Перепелица В.А. Сложность дискретных многокритериальных задач // Дискретная математика. - 1994. - Т. 6. -№ 1. - С. 3-33.
4. Костевич Л.С., Лапко А.А. Теория игр. Исследование операций. - Минск: Вышейшая школа, 1982. - 254 с.
5. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. - М.: Мир, 1987. -360 с.
n
6. Вощинин А.П., Сотиров Г.Р. Оптимизация в условиях неопределенности. - М.: Изд-во МЭИ (СССР); «Техника» (НРБ), 1989. - 224 с.
7. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. - М.: Наука, 1982. - 256 с.
8. Кнут Д. Искусство программирования: В 3-х томах. Т. 3. Сортировка и поиск. - М.: Мир, 1978. - 675 с.
Об авторах
Перепелица Виталий Афанасьевич, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры организации и защиты информации. Сфера научных интересов - нелинейные
модели экономической динамики, дискретная математика и ее приложения. Тебуева Фариза Биляловна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики Карачаево-Черкесской государственной технологической академии. Сфера научных интересов - нелинейные модели экономической динамики, дискретная математика и ее приложения.
Гречкин Виктор Алексеевич, аспирант кафедры организации и защиты информации Ставропольского государственного университета. Сфера научных интересов - нелинейные модели экономической динамики, дискретная математика и ее приложения.
