Задача идентификации коэффициентов при производных по времени и пространственной переменной Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

Задача идентификации коэффициентов при производных по времени и пространственной переменной

Светлана В.Полынцева*

Институт математики, Сибирский федеральный университет, Свободный 79, Красноярск, 660041,

Россия

Получена 15.03.2008, окончательный вариант 05.05.2008, принята 15.06.2008 В работе доказана однозначная разрешимость задачи идентификации коэффициентов при производных по времени и пространственной переменной параболического уравнения в случае задачи Коши и условий переопределения, заданных на двух различных гиперплоскостях.

Ключевые слова: задачи идентификации коэффициентов, обратные задачи, уравнения в частных производных, метод слабой аппроксимации.

Одним из сложных для исследования классов обратных задач являются коэффициентные. Коэффициентные обратные задачи — задачи об определении коэффициентов дифференциальных операторов (обыкновенных или в частных производных) по некоторой информации о решении.

Задачи идентификации коэффициентов (коэффициентные обратные задачи) уравнений и систем уравнений в частных производных исследовались М.М.Лаврентьевым, В.Г.Романовым, Ю.Е.Аниконовым, И.А.Васиным, А.И.Прилепко, А.Б.Костиным, А.Лоренци, А.М.Денисовым, В.М.Исаковым, В.Л.Камыниным, А.Д.Искендеровым, А.И.Кожановым, В.В.Соловьевым, Н.Я.Безнощенко, Н.И.Иванчовым, Ю.Я.Беловым и другими.

Целью представленной работы является исследование на разрешимость задачи идентификации коэффициентов при производных по времени и пространственной переменной параболического уравнения в случае задачи Коши и условий переопределения, заданных на двух различных гиперплоскостях.

Случай линейного параболического уравнения с одним неизвестным коэффициентом при производной по времени исследован в [1], где решения рассматривались в классе гладких функций, достаточно быстро убывающих по выделенной переменной.

Задача идентификации коэффициентов при нелинейном члене и производной по времени для полулинейного параболического уравнения с нелинейностью достаточно общего вида была исследована в работе [2].

Обратная задача для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при производной по времени рассмотрена в [3].

Другие задачи идентификации двух, трех и четырех коэффициентов параболических уравнений с условиями переопределения, заданными на двух, трех и четырех различных гиперплоскостях соответственно, см. в [4-6].

* e-mail: [email protected]

© Siberian Federal University. All rights reserved

В полосе G[o,t] = {(t, x, z) | 0 ^ t ^ T, x G Ei, z G Ei} рассматривается уравнение

du д 2u du

a(t, x)— = L®(u) + gi(t)+ q(t, x)+ g2(t)u + f (t, x, z) (1)

с двумя неизвестными коэффициентами a(t, x), q(t, x), с начальным условием

u(0, x, z) = uo(x, z), (x, z) G E2. (2)

Здесь

d2u du

Lx(u) = ai(t) dx2 + a2 (t) ^

функции f (t,x, z), uo(x, z) заданы в G[o,t] и E2 соответственно, коэффициенты gj(t), aj(t), j = 1, 2, - непрерывные действительнозначные функции переменной t, 0 ^ t ^ T, T> 0 — const, причем ai(t) > 0 и gi(t) > 0. E2 — 2-мерное евклидово пространство.

Предполагается, что выполняются условия переопределения на двух различных гиперплоскостях:

u(t,x, 0) = <^>(t,x), u(t,x,b) = —(t,x), (t,x) G П[о,т], (3)

где П[о,т] = {(t,x)| 0 ^ t ^ T, x G Ei}, и <^>(t, x), — (t,x) - заданные функции, удовлетворяющие условиям согласования

у(0, x) = u0(x, 0), -0(0, x)= u0(x, b), x G Ei, b = 0 — const. (4)

Под решением задачи (1)-(3) в полосе G[ojtt], 0 < t* ^ T, понимается тройка функций a(t, x), q(t,x), u(t, x, z), которые удовлетворяют соотношениям (1)-(3).

Предполагая, что решение u(t, x, z) задачи (1)-(3) допускает прямое и обратное преобразование Фурье по переменной z

1 i -■

v(t,x, y) =— u(t,x, z)e dz = F(u)(t, x, y), 2п у

ж, г)= у *(4,ж,у)вг2у ¿у = Е ж, г),

перейдем от поставленной задачи к прямой вспомогательной задаче

£<5 (В1) т , ч 2 , • - . . 77/, N

Ж = ^ - л(')у * + --* + 52(Ф + ЕЖУ), (5)

*(0,ж, у) = *о(ж, у), (ж, у) € Е2. (6)

Здесь

+

Р = Еж(^(^,ж))+ ^2(¿)<Ж ж) + /(4, ж, 0) - У у2* (4, ж, у) ¿у,

д = Еж(^,ж)) + 52(*)^(*,ж) + /(¿,ж,6) - 51(4^ у2^,ж,уКЬу ¿у,

B = Qi I yv(t,x,y) dy - Pi I yv(t, x, y)elby dy

Ai = ReA, Bi = ReB, Sg (в) — срезающая функция класса C4(Ei), 5 > 0, 5 = const,

5 \ в в > g

Sg (в) > - при в e Ei, Sg (в) =g в ' 2,

3 U, в ^ 4,

(7)

Уо(х,у) = Е(ио)(х,у) — преобразование Фурье функции ио по переменной г, ДеФ — действительная часть Ф, Д — определитель системы алгебраических уравнений, из которой определяются неизвестные коэффициенты а(Ь,х) и д(Ь,х):

A = A(t, x)

¥t(t,x) -if yv(t,x,y) dy

ф^, x) -ifyv(t, x, y)eiby dy

= 0.

Разрешимость прямой вспомогательной задачи

Доказательство существования решения прямой задачи (5), (6) проводится методом слабой аппроксимации [1], [7].

Слабо аппроксимируем задачу (5), (6) задачей

dv

= 4

Sg (Ai)

dt ^Sg(Bi)L*(vT), nT<t < (n + 4)t,

dvT о . .Sg(Ai) T . 1 , Г

= -4y2gi(t)Sgbl)vT, (n + 4)t <t < (n + 2

dvT Re{QTy - PTфг] t ( + 1) <t . ( +-) "ST = 4iy--v , (n +-)r <t < (n + ~)r,

dt

Sg (Bi)

Ж = 4g2(t) ^vT + 4F(t, x,y), (n + 4)T < t < (n + Г)т,

vT(t, x, y)|t=o = vo(x,y),

где тМ = Т, N > 1 — целое, п = 0, N — 1, ут = ут(Ь, х,у), = ^(Ь, х), ф = ф(Ь, х),

+ сю

В1 = Де{Ятг I уот(Ь — 4,х,у) dy — Ртуот(Ь — 4,х,у)е'Ъу dy},

(8)

(9)

(10)

(11) (12)

Ai = Re{iA^t I yvT(t - 4,x,y) dy - iyt yvT(t - 4,x,y)etby dy],

PT = Lx(y)+ g2(t)y + f (t,x, 0) - gi(t) У y2vT (t - 4 ,x,y) dy

QT = Lx (ф)+ g2 (t)ф + f (t, x, b) - gi(t) y2vT (t - 4 ,x,y)eiby dy.

Предположения относительно входных данных

Пусть функции ^(¿,ж), ж), (<£>), Р(¿,ж,у), /|2=о, /|2=ь, «о(ж, у) —

непрерывные по достаточно гладкие по переменным ж, у в С[о,т] и удовлетворяют неравенствам

|Dfvo| + D F | + D f |z=o| + D f |z=b| + |D^t | + |D^| + №ж(и)| +

+ |Df+ DИ + |D£V| < N, |в| < 4; д д

-D>o + dyDXF < N Ы < 2;

|y|p+8-2|e|+e|DXvo| + |y|p+8-2|e|+e|DXF| < N,

|y|

p+4-2|7|+e

д

—DY F

^ 4;

< N, |y| < 2;

+ |y|P+4-2|7|+e

(t, ж, y) € G[o,T], e = const > 0, p ^ 4 — целое, N — неотрицательная постоянная.

n

Здесь в = (в1,..., вп), Y = (Yi,..., Yn) — мультииндексы, |в| = УЖ

i=i

и DX = д|в|/дхв1 ...джП".

Предположим выполнение условий

(13)

(14)

(15)

(16)

|В(0,ж)| = |Д(0,ж)| =

д^ж, 0) д-^ж, b) Qo-^--Po

дг

дг

д^(0, ж) дмo(ж, 0)

дг

at

> J > 0, ж € E1,

> J > 0,

дг

(17)

(18)

где J = const,

Po = Lx(-o(x, 0)) + g2(0)uo(ж, 0) + f (0, ж, 0) + gi(0) Qo = Lx(uo(ж, b)) + g2(0)uo(ж, b) + f (0, ж, b) + gi(0)

д2мс)(ж, 0) д^с^ж, b)

дг2 .

Из построения решения «т задачи (8)-(12) и условий (13), (14) следует, что для фиксированного т решение «т существует в С[о,т] и имеет непрерывные в С[о,т] производные В?«т, |в| < 4, Ю1 д«т/ду, |7| < 2.

Легко доказать априорные оценки (19)-(21) (см. [7]).

|y|q|D£vT(¿,ж,у)| < C, q = 0,... ,p + 8 - 2|a|,p + 8 - 2|a| + e, H < 4; ^^ € G[o,i„],

< C, |в| < 2; (¿,ж,у) € G[o,t.],

< C, |в| < 2; (¿,ж,у) € G[o,t.],

д

-Df vT (¿,ж,у) д

— Df vT (¿,ж,у)

(19)

(20) (21)

Из (19) (при ц = 0) следует равномерная в ограниченность по т семейства произ-

водных {Вв«т} для фиксированного в, |в| ^ 2, а из оценок (19)-(21) следует равностепенная непрерывность в по переменным ж, у этого же семейства. Согласно теореме Арцела

(см. [1]), множество {ДХ} компактно в С4 ]) (С4 ]) — пространство функций /(**, х, у), непрерывных в 1 ]), |в| ^ 2 при любой фиксированной постоянной М > 0.

4.1 = {(*, х, у) I 0 ^* ^ **, М, У е £1}.

Диагональным методом выберем подпоследовательность |«т} (обозначение не меняем), сходящуюся при т ^ 0 вместе с производными «т}, |в| ^ 2, к некоторой функции v в полосе С[0 ,г.], причем равномерно на 4 ], при любом фиксированном М > 0:

^ равномерно на ^|а| < 2. (22)

Функция V непрерывна в С[о ,г .] вместе со своими производными Д!^ и удовлетворяет неравенству

|у|*|ВД*,х,у)| < С, (*,х,у) е С[0,1, (23)

9 = 0,... ,р + 4 - 2|а|,р + 4 - 2|а| + е, |а| < 2, р > 4

и начальным условиям (6).

В силу (22), (23) выполняются условия теоремы метода слабой аппроксимации [7], следовательно, функция v(t,x,y) является решением уравнения (5) класса С1 X(С[о ,г .]). В нашем случае т = 4, г = 2,

*(*, х, у, «т, 7)) = ^^(*, х, у)) - Ы*)^Ц1)y2vт(*, х, у)+

+-yR£lQSEr£l + g2(t) f^ V (t. x y) + Kfl) F (t, x y),

, J(vT)) = Lx(vT(t,x,y)),

(t,x,y,vT, J(vT)) = Lx(vT(t,x,y)),

x, y, vT, J(vT)) = -gi(t) KD y2vT (t,x,y), Ф2 (t, x, y, vT, J(vT)) = -gi(t) y2vT (t,x,y),

*3(t, x, y, vT, J(vT)) = vT(t, x, y),

Ф? (t, x, y, vT, J (vT)) = PT M vT (t, x, y),

*4(t,x,y,vT, J(vT)) = g2(t)vT(t,x,y) + F(t,x,y),

Ф4(t, x, y, vT, J(vT)) = g2(t) 1Щ)vT(t, x, y) + F(t, x, y).

Доказана

Теорема 1. Пусть выполняются соотношения (7),(13)-(16). Тогда в классе C^'x(G[0't „]) существует решение v(t,x,y) задачи (5), (6), удовлетворяющее неравенству (23). Постоянная t*, 0 < t* ^ T, зависит от постоянных N, S из соотношений (7), (13)-(16).

Здесь и ниже через Ct' m (G[o,t „]) обозначено пространство функций f, имеющих непрерывные производные в G[o,t „] по t до порядка l и по x до порядка m включительно.

Существование и единственность классического решения обратной задачи

Рассмотрим тройку функций

Ьоо

(*,*,*)= У «(*,х,у)в<гу ¿у, (24)

-ОО

«(-) = ^^^ (25)

«('■*) = , (26)

где х, у) является решением задачи (5), (6).

Согласно (23) из представлений (24)-(26) следует, что тройка функций и, д, а принадлежит классу

—к Л

и= 1 -д^к € ^м^о,«*]^

к = 0, ••• ,р, р > 4, Л« € С (С[о,4*]), м,^ € С^2 (%,«*])} и имеют место неравенства

ЕЕ

к=0 а <2

к

д

—-кЩ и(М,г)

< С, (*,х,г) € С[о,4*], (27)

]Г |^аа(4,х)| + ^ < С, (¿,х) € П[о,«*]. (28)

|а|<2 |а|<2

Применим обратное преобразование Фурье по переменной у к задаче (5), (6). Получим, что функции и, д, а, заданные соотношениями (24)-(26), удовлетворяют уравнению

-и

а— = £ж(и) + д^и^ + + 52 (¿)и + /, (29)

или, что то же, уравнению (1), в С[о,4*] и начальным условиям

и(0, ж, г) = ио(ж, г), (ж, г) € £2

Заметим, что так как коэффициенты в уравнении (29) и /, ио — действительнозначные функции, то мнимая часть 1ши комплекснозначной функции и=И,еи+11ти является решением однородного параболического уравнения с нулевыми начальными условиями. Следовательно, по принципу максимума 1ши=0 в б[о,(*], и, значит, и — действительнозначная функция.

Следовательно, из (24) находим, что функции

У у2«йу = -игг|г=о, У у2«егЬу ¿у = -игг|2

и

ь

^ уус!у = иг\г=о, ^ уувъЬу ¿у = иг \х=Ъ

— ж — ж

действительнозначные. Тогда функции д(1,х), а(£,х) можно представить в виде

Я^г - Рфг ЫБ)

9 = Я1Г-РГ' а = ^. (30)

Рассмотрим производную по £ от функции Д: д Д

= ФаМг\г=о + Фги7л\г=0 - ^иЩ\г=Ъ - ¥гигг\г=ъ = N(г,х). (31)

Предположим, что

\фгг\ + Ы + ЫШ + \аи(1)\ + \ди(1)\ + \д2<,(1)\ + \/г\х=ъ\ +

+ \1ь\г=о\ + \Ьхг(ф)\ + \ЬМ\ < С, (£,х) е П[0,Т].

Теперь рассмотрим производную по £ от функции Б:

Здесь

(32)

дБ

ддБ = Яг^г\г=0 + Яигг\г=0 - Ри\г=ъ - Ри7г\г=ъ = М (Ь,х). (33)

Рг = Ьхг((р) + д2г(*)<Р + д2&)фг + 1г\г=о + ди(~£)игг\ = + д1^)иг7Л\г=о, Яг = Ьхг(Ф) + д2г(*)ф + д2^)фг + 1г\г=ъ + ди^)игг\г=ъ + дг (Ь)иххг\г=ъ,

д 2<р \д2<рг д<р \д<рг ЬМ = а1г(£) + а1(£) -д^Г + а2гт + а2(£) ~д£,

,д2ф д 2фг дф ~,дфг Ьхг(Ф) = аи^)—- + а1(Ь)—-2 + а2г(г) — + а-^)^-.

дх2 дх2 дх дх

В силу (27), (32) выполняются неравенства

N(г,х)\< Л(6), \м(г,х)\ < Лг(б).

Здесь Л(6), Лг(6) — постоянные, зависящие от 6. Проинтегрируем равенства (31) и (33) по

г г

Д = Д(0,х) +! N(в,х) ¿в, Б = Б(0,х) + ! М(в,х) ¿в. (34)

о о

В силу (4), (17), (18) из (34) следуют неравенства

66

Д > Г б>2 при £ е [0,**], (35)

где £* = шт{Ь*, 6/2Л, 6/2Лх}. Из определения срезки Б$(в) (см. (7)) следует, что Б$(Д) = Д и А (Б) = Б при £ е [0,г*].

Таким образом, (30) можно представить в виде:

ЯУг - Рфг Б

9 =-Д-, а = Д . (36)

При этом a ^ ao > 0, где ao > 0 — const.

Используя (36), можно показать, что выполняются условия переопределения (3) и, следовательно, доказано, что тройка функций «, q, a, заданная соотношениями (24), (36), является решением задачи (1)-(3) класса U(t*).

Докажем единственность решения задачи (1)-(3).

Пусть ui, qi, ai и «2, q2, a2 — два решения задачи (1)-(3) в G[o,t*], удовлетворяющие условиям (27), (28). Функции « = «i — «2, q = qi — q2 и a = ai — a2 удовлетворяют уравнению

Lx(u) gi(t) qi g2(t) . q a . n iQr7,

— =--1--«zz H--«z H--u H--«2z--«2t, (t, x, y) e Gro,t*] (37)

dt ai ai ai ai ai ai

и начальным условиям

«|t=o = 0. (38)

Здесь (ai > 0 см. (35)).

Так как aj, qj можно представить формулами (36), используя входные данные и функции «j (j = 1, 2), то в силу (27), (28) имеет место неравенство

yU

dzn+i vs' 7 dz

n = 0,2; С e [0, t*].

< cv(с),

(39)

sup

G[0,i]

Здесь g(£,x) = q(£,x)/ai(£,x), d(£,x) = — a(£, x)/ai(£, x), V(£) = ^ Vm(£), Vm(£) =

m=o

dm«(t, x, Z)

- ^ '— , постоянная C зависит от 5 (см. (35))и констант, ограничивающих модули

функций gi(t), g2 (t),

dm«2/dzm, m = 0,4, 5l«2i/dzl, l = 0,1, 2.

Из (38), (39) и принципа максимума для уравнения (37) имеет место оценка

км,*)! < CiV(С)С, оe [0,е], (40)

где Ci = Ceht*, h = sup |g2(t)/ai(t, x)|.

n[0,t*]

Применим оператор dm/dzm, m = 1, 2 к уравнению (37). Для функции dm«/dzm, повторяя рассуждения, которые использовались для вывода оценки (40), получим неравенство

dm«(0,x,z)

< CiV(£)£, 0 < 0 < С < t*, m = 1, 2. (41)

дгт

Из (40), (41) получим неравенство

(1 - (О < 0, 0 < £ < **. (42)

Из неравенства (42) следует, что V(£) = 0 при £ < 1/3С;. Доказали, что в G[о 1 ] функция и = и1 - и2 = 0.

Аналогично рассуждая, докажем, что и = 0 в G[__], затем в G[_2__] и т. д. Через

конечное число шагов докажем равенство

и = 0 в G[о,t*]. (43)

Из (37), (43) следует соотношение

д(4, ) . V а(4, . V / \

—-—тМ22 (4, ж, 2)---—-М2((4,ж, 2) = 0 в О-[0,4*1, «1(4, ж) > 0,

ац4, ж) «1(4, ж)

или

а(4, ж)м2((4, ж, г) — д(4, ж)и2z(4, ж, г) = 0. (44)

Положив г = 0, а затем 2 = Ь в уравнении (44), в силу (3) получим систему уравнений

а(4, ж)<^(4, ж) — д(4,ж)и22(4, ж, 0) =0,

(45)

а(4, ж)^((4, ж) — д(4, ж)и22(4, ж, Ь) = 0.

Так как в силу (35) определитель Д системы (45) отличен от нуля в С[о,4*], то а(4, ж) = д(4, ж) = 0 в П[о,(*]. Доказана

Теорема 2. Пусть выполняются условия (4), (13)-(18), (32). Тогда в классе и(4*) существует единственное решение и, д, а задачи (1)-(3), удовлетворяющее соотношениям (27), (28). Постоянная 4*, 0 <4* ^ Т, зависит от постоянных N, С, 5 из соотношений (13)-(18), (32).

Список литературы

[1] Ю.Я.Белов, С.А.Кантор, Метод слабой аппроксимации, Красноярск, КрасГУ, 1999.

[2] Ю.Я.Белов, И.В.Фроленков, О задаче идентификации коэффициента при производной по времени в полулинейном параболическом уравнении, Совместный выпуск, часть I, Вычислительные технологии, 9(2004), Вестник КазНУ, 42(2004), №3, Алматы-Новосибирск, 281-288.

[3] Ю.Я.Белов, Е.Г.Саватеев, Об одной обратной задаче для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при производной по времени, ДАН СССР, 334(1991), №5, 800-804.

[4] Ю.Я.Белов, С.В.Полынцева, О задаче идентификации трех коэффициентов многомерного параболического уравнения, Совместный выпуск, часть I, Вычислительные технологии, 9(2004), Вестник КазНУ, 42(2004), №3, Алматы-Новосибирск, 273-280.

[5] Ю.Я.Белов, С.В.Полынцева, Об одной задаче идентификации двух коэффициентов многомерного параболического уравнения, ДАН, 396(2004), №5, 583-586.

[6] С.В.Полынцева, Задачи идентификации трех и четырех коэффициентов многомерного параболического уравнения, Неклассические уравнения математической физики, Труды международной конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения" , Новосибирск, Институт математики СО РАН, 2007, 221-231.

[7] Yu.Ya.Belov, Inverse Problems for Partial Differential Equations, Utrecht-Boston-Koln-Tokyo, VSP, 2002.

The Problem of Identification of Coefficients by the Derivatives with Respect to Time and a Spatial Variable

Svetlana V.Polyntseva

The unique solvability of the problem of identification of coefficients by the derivatives with respect to time and a spatial variable of the parabolic equation with Cauchy data and overdetermination conditions given on two various hyperplanes is proved in this work.

Keywords: problem of the identification of coefficients, inverse problem, equations in individual derivatives, method of weak approximation.