CC BY
25
Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 2(13). C. 28-33. ISSN 2079-6641
DOI: 10.18454/2079-6641-2016-13-2-28-33
УДК 517.95
ЗАДАЧА ГЕЛЛЕРСТЕДТА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С ВЫРОЖДЕНИЕМ ТИПА И ПОРЯДКА
З. С. Мадрахимова
Институт математики при Национальном университете Узбекистана, г. Ташкент, 100125, Академгородок, ул. Дурман йули, 29 E-mail: [email protected]
Настоящая работа посвящена постановке и исследованию краевой задачи типа задачи Геллерстедта для уравнения параболо-гиперболического типа с вырождением типа и порядка внутри области, которая эквивалентным образом сводится к интегральным уравнениям.
Ключевые слова: задача Геллерстедта, уравнение параболо-гиперболического типа, вырождение типа и порядка, интегральные уравнения, интегро-дифференциальный оператор дробного порядка, видоизмененная задача Коши
(с) Мадрахимова З. С., 2016
MSC 65M32
THE LINEAR INVERSE PROBLEM FOR THE EQUATION OF TRIKOMI IN THREE-DIMENSIONAL
SPACE
Z. S. Madrakhimova
Institute of Мathematics, National University of Uzbekistan, Tashkent, 100125, Academgorodok, Do'rmon yo'li, 29 str. E-mail: [email protected]
This paper deals with the formulation and study of boundary value Gellerstedt type problem for parabolic-hyperbolic equation with degeneration of the type and order within the area which equivalently reduced to integral equations.
Key words: Gellerstedta problem, parabolic-equation hyper-parabolic type, type and order of degeneracy, integral equations, integral-differential operator of fractional order, modified Cauchy problem
@ Madrakhimova Z.S., 2016
Постановка задачи
Рассмотрим уравнение
0 f хмхх + ao"x - My, (x; y) G По, __^
\ xMxx + (—x)nMyy + aiMx, (x; y) G П j, (j = 1, 3) ,
где ao,a1,n = const, причем
0 < ao < 1, (2)
здесь П0 - область ограниченная прямыми 0: x = 0, 0 < y < 1, 1:0 < x < y = 0, 2: 0 < x < y = 1; Пц - характеристический треугольник, ограниченный отрезком AE оси y и двумя характеристиками
n + 1 n + 1
2 - 2 -
AC1: y- — (-x) 2 = 0, EC1: y+ —-(-x) 2 = y0, n + 1 n + 1
уравнения (1), выходящими из точек A (0; 0) и E (0; y0), пересекающимися в точке 2
С ( — (Уо)п + У0 е [0; 1]; ^12 -характеристический треугольник, ограни-
ченный отрезком Е оси у и двумя характеристиками
п + 1 п + 1
2 - 2 -
ЕС2: у — — (—х) 2 = уо, ВС2: у +—-(—х) 2 = 1, п + 1 п + 1
уравнения (1), выходящими из точек Е(0; уо) и В(0; 1), пересекающимися в точ-( . , \
ке C2
П + 1 (! -n + ^ 1 + y°
; П13 - характеристический четырехугольник,
4 4 ' 2
V ' )
ограниченный характеристиками ECi, EC2 и
n + 1 n + 1
2 - 2 -
C1C: y - — (-x) 2 = 0, C2: y+ —-(-x) 2 = 1, n + 1 n + 1
/ J- \
n + M n + 1. 1
уравнения (1), пересекающихся в точках E, Ci, C2 и C
V /
Введем обозначения: Q = П11UQ12UQ13 UEC1UEC2,/ = {(x, y) : x = 0, 0 < y < 1}, Q = Q UQ U/, /1 = {(x, y) : x = 0, 0 < y < yo},/2 = {(x, y) : x = 0, yo < y < 1}. В области П изучается следующая задача для уравнения (1). Задача Г1. Найти функцию u (x, y) со следующими свойствами:
1) u (x, y) ограничена для всех 0 < x < 0 < y < 1 и непрерывна вплоть до
границы области Q;
2 1 2 2
2) u (x, y) G cxx;;(Q0) n ex 'у (П11 U П12 U П13) удовлетворяет уравнению (1) в областях Q0, и j, (j = 1,3);
3) на / выполняется условие склеивания
lim (—x)a1 ux = f (y) lim xa0ux + g (y)равномерно при0 < y < 1; (3)
4) и (х, у) удовлетворяет краевым условиям
и (х, у)|у=о = ф (х), (4)
уо У0 + 1
и (х, у) |ас1 = Щ1 (у), 0 < у < уи (х, у) |ес2 = Щ2 (у),Уо < У < , (5) где ф (х), щ1 (у), щ2 (у), f (у), £ (у)- заданные функции, причем
Ф (х)[0; + ~) , (6)
Щ (0) = ф (0), (7)
¥.2 (У) € C1
У0 + 1 У0; —
~>2
пС3( уо;1, (8)
f (у), g (у) € С Д п С2 (/), f (у) = 0, V (0; у) € 7. (9)
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Если выполнены условия (2), (6)-(9), то в области Q существует единственное решение задачи Г1. Доказательство.
Решение видоизмененной задачи Коши с начальными данными
lim и (x; у) = т (у), (10)
для уравнения (1) в области определяется формулой [1, C. 110-111]
и(х,у) = Y1 /т (у + ^(-x)^ (2i - 1)) (t (1 -t))e-
0
1
- (-x)1-a1 nj У.(у + ^(-x)^ (2t - (t (1 -t))-edt, 0
Г(2в) Г(2 - 2ß) n - 1 + 2«1 n _ 1
где Y1 = Ш, Y2 =(1 -С(1)Г2(1-ß), e = ,причем 0 <e < 2.
Удовлетворяя (11) первому условию из (5), имеем
1
^GD = * /т^ (1 -1))в-1dt-0
-72(n+1 у)1-2в f V2 (/у)(t (1 -1))-edt, 0 < у <
(11)
у0.
Отсюда, произведя замену /у = z получим:
у 1—2в у
Ц2) = пу1-2в/т (z)(z (у - z))e-1dz - 7/ ^^ J V2 (z)(z (у - z))-e dt
0
В силу определения интегро-дифференциального оператора дробного порядка [1, С. 19] из последнего равенства имеем
(У)/- -М(^)1-2в-Ч-*(У)У = 1 -1» (У
Г,г (в МУ' (12)
Применяя оператор к обеим частям равенства (12) с учетом тождеств </в-Ч-1У-в / (У)= ув-1<-1 / (У),
/ (у)=/ (у),
получим функциональное соотношение междут (у) и У2 (у) принесенное из области П11 на 11
т (у) = ^ (^ Г <-1* (у)+
+ ^У1-в <у2в-1»1 ( У ) . (13)
ПГ (в Г 0уУ Г^2 Точно также удовлетворяя (11) второму условию из (5), имеем
т(у)= Т2Г(1 -в) («+1 )1-2в^-1(у) +
т (У) Я г (в) V 4 / °жу (У) +
+ (У - У0)1-в<.(у -У0)2в-1»2 (^) . (14)
Решение второй краевой задачи для уравнения (1) в области По, удовлетворяющее условиям (4) и
lim x«0 мх = Vi(y), (15)
x^+0
имеет вид [2]:
и(х,у) = -ГТОГ/е У-(у-а0МО^ + 1Е(х,*,у, ао)ф, (16)
( 0) 0 0
где
Е(х, ,у - п, ао) = (У - П)-1 (х<§)1-50е-Й^«0-1
- фундаментальное решение уравнения (1), /^(г) - модифицированная функция Бесселя [3].
В (16) переходя к пределу при х ^ +0, с учётом условия 1) задачи 1 получим функциональное соотношение между т(у) и У1(у) на линии вырождения /, принесенное из области
т (у) = - 1Г-Г 0У-1у1 (У)+р (У), (17)
DO
где
сю
F (y) = f^f-"0/1 y Ф (t . (18)
о
В силу (2), (6), с учетом формулы [4, C. 4]:
сю
Г (z) = У e-ttz-1dtиз (Re z > 0), о
(18) следует, что
|F(y)|< const. (19)
Исключая т(y) из соотношений (13), (14) и (17), с учетом (3), (10), (15) получим равенств
DOT1 vi(y) + F (y)= * У1-в -1* ( 2 ) +
+ ( r(ßf Dy- (f (y)vi(y) + g(y)), о < y < y0, (20)
r(1 - ao) Dao-l
Г(ао) D°y
Г(ао) 0y w ПГ (ß )-
+ 1 \1-2ß^(1-ß) D2ß-1 ) 7iF(ß) Dy
Vi(y) + F (y) = ^y (y - yo)1-ß Dßoy(y - yo)2ß->2 ( + 1_2ß
(т^ ^^ГК1^-)11 Dfoß-1 (fCy)V1(y) + g(y)),yo < y < 1. (21)
Далее, для нахождения У1(у) рассмотрим следующие случаи.
I. Если а0 < 2в (т.е. а0 — 1 < 2(П+—^), то, применяя операторы ^0-2в и к
обеим частям равенств (20) и (21) соответственно получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода
у
VI (у) +1 к (у, г) VI (г) ¿г = Ф1 (у), (22)
0
у
VI (у) +1К (у, г) VI (г) ¿г = Ф2 (у), (23)
0
где к (у г) = М1 (у г)2в — «0 — 1 к (у г) Г к21 (y, г) , 0 < г < y0, где К1 (у, г) = ^(у — г) , К2 (у, г) = | к22 (у, г), у0 < г < у,
К21 (у, г) = ^(2в — а0)(у — г)—"0 (у — у0)2в—1 ^у—^;0^ (20, «0, 2в + 1; ) +
+^ 2в (у — у0)2в—1(у0 — г)—- у;—г, К22 (у, г) = — «0) (у — г)2в—а0—1,
ф (y)_ № D1-2ß F(y) М3 D1-2ß1-ß Dß y2ß-1,,, fy A g(y)
ф1 (y)_ f(y)Do- F(y) - ЖDo- y D°yy - f(y) '
ф2 (y) _ Ж_D1-2ß F (y) - gM
ф2 (y) f(y)Dyoy F (y) f(y)
№
D1o-y2ß(y -yo)1-2ßDßoy(y -yo)2ß-1,2 i^ ,
f (y) уоу v j0> yoyv^ ^^ \ 2 J
а Ду, (j = 1,2,3) -постоянные.
Ядра и правые части интегральных уравнений (22) и (23) соответственно допускают оценки
|Kl (y, t )|< Cii(y - t)2e-ao-1, |Ф1 (y, t)|< С12У2в-1, C11, C12 = const, (24) |K2i (y, t)|< C11(yo -t)-ao(y-yo)2e-1, |K22(y, t)|< C22(y-t)2e-ao-1, (25) |Ф2 (y, t) | < C23 (y - yo)2e-1, C2j = const, (j = 1,3) . В силу оценки (24) и (25) уравнения (22) и (23) соответственно являются интегральными уравнениями Вольтерра второго рода со слабой особенностью. Согласно теории интегральных уравнений Вольтерра [4], заключаем, что интегральное уравнение (22) однозначно разрешимо в классе C2 (0, yo), причем функция V1 (y), может иметь особенность порядка меньше 1 - 2в при y ^ 0, а при y ^ yo ограниченно и его решение дается формулой:
y
V1 (y) = Ф1 (y) - / R (y, t) Ф1 (t) dt, 0 < y < yo, o
где R1 (y, t) - резольвента ядра K1 (y, t). Точно также решая уравнение (23) получим
y
V1 (y) = Ф2 (y) -I R (y, t) Ф2 (t) dt, yo < y < 1, 0
где R2 (y, t) - резольвента ядра K2 (y, t). V1 (y) G C2 (y0, 1), причем может иметь особенность порядка меньше 1 - 2в при y ^yo, а при y ^ 1 ограниченно. Следовательно, задача 1 при ao < 2в однозначно разрешима в силу эквивалентности ее интегральным уравнениям Вольтерра второго рода (22) и (23).
Решение задачи 1 при ao < 2в можно восстановить в области По как решение второй краевой задачи (16), в Пц и П12 - как решение видоизмененной задачи Коши (11), а в П13 как решение задачи Гурса для уравнения (1) (методом Римана).
II. Аналогично как и вышеизложенным методом доказывается однозначная разрешимость задачи Г1 в случае, когда ao > 2в, и ao = 2в. □
Список литературы
[1] Смирнов М. М., Уравнения смешанного типа, Наука, М., 1985, 304 с.
[2] Терсенов С. А., Первая краевая задача для уравнения параболо-гиперболического типа с меняющимися направлением времени, Новосибирск, 1978, 52 с.
[3] Ватсон Г. Н., Теория Бесселевых функций. Т. 1, Издательство иностранной литературы, М., 1949, 798 с.
[4] Михлин С. Г., Лекции по линейными интегральными уравнениям, Физматгиз, М., 1959, 224 с.
Поступила в редакцию / Original article submitted: 01.06.2016
