Задача Дж. В. Фике для треугольников Текст научной статьи по специальности «Математика»

ГЕОМЕТРИЯ И АНАЛИЗ

УДК 513

Н.В. Рассказова

Задача Дж.В. Фике для треугольников

Рассмотрим на евклидовой плоскости два пересекающихся конгруэнтных треугольника Т\ и Т-2- Пусть Ь\ - длина части границы треугольника Т\, которая лежит во внутренности треугольника Т-2, ¿2 _ длина части границы треугольника Т-2, которая лежит во внутренности треугольника Тх.

Рис. 1

Рассмотрим задачу Дж.В. Фике (.ГШ. Е1скеМ) для треугольников [1, 2]. Является ли -нЦ- максимальной величиной, которой может

эт -

достигать отношение где в - наименьший угол рассматриваемых треугольников?

В [3] Ю.В. Никоноровой решена аналогичная задача для прямоугольников, где доказывается неравенство ^ < ^ < 3. Справедлива следующая

Теорема 1. В обозначениях, приведенных выше, для правильных треугольников выполняется неравенство

отношения <3 = Ь\/Ь2, если многоугольник 51 остается неподвижным, а многоугольник 5г совершает всевозможные параллельные переносы.

Мы воспользуемся результатом Ю.В. Никоноровой, доказанном в [3].

Теорема 2. [3] Величина <3 достигает экстремальных значений лишь при тех расположениях 52 относительно 51, когда граница пересечения 9(51 П содержит по крайней мере две вершины многоугольников м 5г-

Доказательство теоремы 1. В случае, когда одна из сторон треугольника Т\ параллельна какой-либо стороне треугольника неравенство (1) очевидно. При этом, если такие стороны не лежат на одной прямой и в пересечении получается треугольник, в (1) достигается равенство.

Далее считаем, что в треугольнике Т\ нет стороны, параллельной какой-либо стороне треугольника Т-2- Пусть а - стороны рассматриваемых треугольников, в = - углы.

Применим теорему 2 к случаю треугольников: для достижения экстремальных значений величины <3, граница пересечения треугольников Т\ и должна содержать по крайней мере две вершины данных треугольников. Поэтому, учитывая различные значения углов, под которыми пересекаются стороны треугольников, можно рассмотреть только варианты пересечения, показанные на рисунке 2.

1 ¿1

- < — < 2.

2 " Ь2 ~

(1)

В силу симметрии достаточно доказать правую часть неравенства.

В [3] описан следующий способ для решения задач подобного класса.

На евклидовой плоскости рассматривается два произвольных многоугольника 51 и 5г, такие, что никакая из сторон многоугольника 51 не параллельна ни одной из сторон многоугольника 5г- Пусть Ь\ - длина части границы многоугольника 51, которая лежит во внутренности многоугольника 5г, аналогично Ь2 - длина части границы многоугольника 5г, лежащая во внутренности многоугольника 51. Задача заключается в нахождении экстремальных значений

Рис. 2

Очевидно, что в случае 1 (рис. 2) Ь\ = Ь2 и неравенство (1) справедливо.

Рассмотрим вариант пересечения 2 (рис. 3).

Обозначим ААВР = I, стороны четырехугольника СБИС:

СВ = Ь, ВН = с, НС =

СС = е.

Задача Дж.В. Фике для треугольников

Рис. 3

Тогда Ь\ = Ь + с, ¿2 = (I + е. По теореме синусов из треугольника АБС получаем следующее соотношение:

(2)

sin (

siní

Нетрудно убедиться, что ZGCF = ZADG = t. Тогда из треугольника GCF:

- Ь

sin 9 sin t

(3)

Из = (3) Ъ = а —

Приравнивая получившиеся выражения для b получим:

(а — е) sin ( siní

е siní

a sin 9 е sin 9 е sin t

= а —

siní siní

siní sin

siní

= a 1 -

sin 9 sin 9

siní

Рис. 4

Пусть ZBCD = t, DG = b, CD = c, CG = d. Тогда L\ = b + с, = d.

По теореме синусов из треугольника BCD получаем следующее соотношение: а с

sin(0 + í) sin 9

Отсюда

с =

(4)

sin(0 + í)'

По теореме синусов из треугольника DCG получаем следующие равенства:

sin 9 sin {9-t) sin(2 9-t)' Подставляя вместо с выражение (4), полу-

чим:

sin 9 sin (9-t) sin(26» - t) ■ sin(6» + t) Выразим & и с? из (5):

• (5)

sin t — sin 9 sin 9 ■ sin t

siní sin21 — sin2 9 sin t sin t Подставляем e в (3) для нахождения b: a sin 9 sin t

e sin t b = a--:—— = a —

sin 9

a 1 -

siní

sin t + sin 9 sin 9 1 a sin 9

sin t + sin 9

siní + sin 9

Получаем, что b = е, а значит, треугольники ADG и CFG равны (по стороне и двум прилежащим углам).

Следовательно, треугольники DBH и ЕСН также равны, то есть с = d. Таким образом, Li = L2 и неравенство (1) справедливо.

Рассмотрим вариант треугольного пересечения 3 (рис. 4).

,Ь =

a sin(0 — t) sin 9 sin(0 + t) sin(26> -t)'"~ sin(6» + t) sin(26» - t) Тогда

L\ b + c í a sin(0 — t) sin 9 a sin 9

T¡ ~ d ~ \sm(9 + t) sm(29 - t) + sin(9 + t)

2 1

a sin 9

sin(0 + í)sin(20-í) - t) + sin(26» - t) 2 sil

30-21

sin 9 • ЗЙ-2 t

2 sin I cos I

<

= 2.

sin ■

sin I Sin g-

(6)

Таким образом, неравенство (1) выполняет-

ся.

Неравенство (6) неулучшаемо, поскольку при

38 —2t ' / 7г

ГЕОМЕТРИЯ И АНАЛИЗ

Г Рис. 5

Рассмотрим вариант, когда в пересечении получается четырехугольник достаточно малых размеров, аналогичный представленному на рисунке 5. При стремлении диаметра этого четырехугольника к 0, в пределе получается пересе-

чение треугольников только в одной вершине. Рассмотрим такой случай. Обозначим стороны четырехугольника СБИС:

СО = Ь, ОН = с, НС = с/, СС = е.

Тогда Ь\ = Ь + с, Ь2 = (1 + е. Отсюда, применяя неравенство треугольника и теорему косинусов, получим:

Ь + с ^ Ь + с Ь + с

/ ^Ь2 + с2 -Ъс

Так как 3(& —с)2 > 0 - верное неравенство, то справедливо Ь2 + 2Ьс+ с2 < 4(&2 + с2 — 6с). Тогда (5 = Ье < 2. Таким образом, случай пере-

сечения треугольников только в одной вершине также удовлетворяет неравенству (1). Теорема доказана.

Литература

1. Croft H.T., Falconer K.J., Guy R.K. Unsolved Problems in Geometry. Berlin, etc.: Springer-Verlag, 25-26 (1994).

2. Fickett J.W. Overlapping congruent convex

bodies. Amer. Math. Monthly. 1980. V. 87.

3. Никонорова Ю.В. Об одной экстремальной задаче на евклидовой плоскости // Математические труды. 2001. Т. 4. №1.