Задача Дирихле для системы Ламе с кусочно-постоянными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

MSC 30D60, 35J55

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛАМЕ С КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

С.П. Митин, А.П. Солдатов

Белгородский государственный университет,

ул. Студенческая, 14, 308007, г. Белгород, e-mail: [email protected]

Аннотация. На основе подхода, использующего функции аналитические по Дуглису исследуется задача Дирихле плоской теории упругости для системы уравнений Ламе с кусочнопостоянными коэффициентами.

Ключевые слова: система Ламе, задача Дирихле, функции аналитические по Дуглису.

Рассмотрим в области О на плоскости систему Ламе [1,2]

д ( ди ди\ д ( ди ди\ ...

7Г- ЙЦ-------Ь Я12ТГ- + «217^--Ь С1‘22^— =0 (1)

дх \ дх ду) ду \ дх ду '

с кусочно постоянными матричными коэффициентами

/ а\ аб \

ац — , а12 -

а,\ аб

аб а3

аб а3

а4 а5

аб а4

а3 а5

а3 а5

а5 а2

а21 — I , а22 —

\ а4 а5 у

которые сохраняют постоянное значение в некоторой подобласти О0 С О и в ее дополнении О1 — О \ О0. Предполагается, что О и О0 ограничены сомкнутыми ляпуновскими дугами, соответственно Г и Г0 с общими концами в одной точке т (можно считать т — 0), причем в этой точке они некасательны друг к другу.

Элементы а^ матричных коэффициентов, называемые модулями упругости, подчиняются требованию положительной определенности матрицы

/ а1 а4 аб

а = а4 а2 а5

аб а5 а3

Вектор и — (и1,и2) характеризует смещение. Он связан со столбцами а(1) — (а1,а3), &(2) — (&з,&2) тензора напряжений

о\ а3

а

аз а2

Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы (госконтракты № 14.A18.21.0357, № 14.В37.21.0369).

соотношениями

ди ди

&(г) = Щ17; Ь «г2 7Г“ 1 *=112,

дх ду

которые составляют содержание закона Гука.

При отсутствии массовых сил матрица а удовлетворяет уравнениям равновесия

д(7(1) , д<Т(2) = дх ду ’

которые совместно с соотношением Гука и приводят к системе Ламе.

Требуется найти вектор смещения и = (г/1, г/г) С С (И), являющийся решением системы (1) в О0 и О1, удовлетворяющий краевому условию Дирихле

и|Г — / (2)

и подчиненный контактному условию

(а+ - а-)п|Го — 0 , (3)

где знаки + и — соответствуют его предельным значениям кусочно постоянной матрицы а на Г0 изнутри и снаружи О0 и п означает единичную нормаль на Г0 (внешнюю по отношению к О0).

Задачи подобного типа возникают в механике композитных материалов [3]. Более

типична и хорошо изучена (см., например, [4]- [6]) ситуация, когда Г0 является гладкой

разомкнутой дугой с концами на дО, разбивающая О на две «равноправные» подобласти.

Как и в [6,7] воспользуемся теоретико-функциональным подходом [8,9], основанным на представлении общего решения системы Ламе через функции, аналитические по Дуглису. С этой целью рассмотрим характеристическое многочлен эллиптической системы (1):

Х(г) — ае1 р(г); р(г) — ап + (а12 + а21)г + a22z2 — ^ ^(^)

Возможны два случая, когда в верхней полуплоскости уравнение х(г) — 0 имеет (1) два различных корня v1 — и2 и (11) один кратный корень V. Соответственно этим случаям положим

(!) 1—(о а) -^—^ <!1) 1 =( о V

В каждом из этих случаев найдутся такие линейно независимые векторы х,у Е С2, что (г) p(v1)x — p(v2)y — 0 и, соответственно, (гг) р(и)х — р(и)у + р'(и)х — 0. Составим из этих векторов как из столбцов матрицу Ь Е С2х2 ив обозначениях (1), (7) положим с —

— (а21Ь+а22Ь1). В таких обозначениях [8,9] общее решение и системы Ламе и нормальная компонента тензора напряжений в терминах этих матриц описывается равенствами

и — КеЬф, ап — Иесф/ , (4)

где 2—вектор- функция ф = (фьф2) является решением системы Дуглиса

дф ^дф

ду дх

0

(кратко — 3-аналитической функцией) и ф'3 означает производную по ортогональному к п направлению. Это представление рассматривается в каждой из подобластей Д0, 01, причем с точностью до постоянного вектора функция ф в каждой из этих подобластей определяется однозначно. В дальнейшем для простоты предполагаем, что матрица 3 одна и та же для обеих областей Д0 и Д1.

В явном виде матрицы Ь и с могут быть описаны [10] через корни характеристического многочлена х. С этой целью представим х в форме

Х(г) = ді(г)д2(г) — д^(г) = 1ц(г) — гЬъ(г) + г2кз(г)

(5)

с квадратными трехчленами

ді(%)

д2(^)

дэ(^)

аі + 2аб% + аз%2 , аз + 2а5% + а2%2 , аб + (аз + а4)г + а5%2

кі(г) = ^2 — @5% + в4%2

к2(г) = в5 — вз% + вб%2

Нз(г) = в4 — вб% + ві%2

Здесь

/ ві в4 в6

в = І в4 в2 в5

в6 в5 вз

і

означает присоединенную матрицу к матрице а, фигурирующей в законе Гука. Эта матрица также положительно определена и определяется элементами

в1 — а2а3 — а;2, в2 — а1а3 — аб , в3 — а1а2 — а^ ,

в4 — а5аб — аза4 , в5 — а4аб — а1а5 , вб — а4а5 — а2аб •

Очевидно, в случае (г) квадратный трехчлен Н3 с вещественными коэффициентами не может обращаться в нуль в обеих точках v1, и2, поэтому без ограничения общности можно считать к3(и2) — 0. Кроме того, совместное равенство Н2(и1) — к3(и1) — 0 невозможно. В самом деле, тогда в силу (5) и к1(и1) — 0. Следовательно, с учетом

приведенных выражений для многочленов Н заключаем, что вектор £ — (1, — v1,v2)

является решением системы в£ — 0, где матрица в получена из в перестановкой первой и третьей строк и столбцов, что невозможно.

В этих обозначениях соответственно двум случаям (г), (гг) матрицы 1 имеем равенства

Ь

д2(^і) д2(^)

—дзМ —дз(^2)

—дз(Ы д2М діМ —дз(^2)

с=

— Уікз(Уі) — ^2^з(^2)

М^і) Л-з(^)

— Уі1І2(Уі) — ^2^з(^2)

М^і) Л-з(^)

МЫ = 0

(іі)

М^і) = 0, (І2)

с

Ь

Ь = ( 92^) 92 И \ С = ( — ^3 П -Ы{у) — иЬ!ъ{и)\ ( л

Ь V —9э(^) —9з(и)) ’ С V Ы(у) к'з(у) ) , (11)

где, напомним, в случае (г) предполагается, что к3(и2) = 0. Во всех случаях матрицы Ь и с обратимы.

Как известно, для изотропной среды модули упругости связаны соотношениями

= а2 = 2а3 + «4, а5 = = 0.

Для этой среды имеем матрицу 3, отвечающей случаю (гг) с V = г. Соответственно в качестве матриц Ь и с можем взять

Ь = (1 —*Ж ) ' С = “3 ( —2* 1(5+1) ) (6)

с положительной постоянной ж = (а1 + а3)/(а\ — а3).

Отметим, что близкий подход к представлению решений анизотропной плоской теории упругости рассматривался в [11].

Подставляя (4) в соотношения (2), (3), в результате приходим к эквивалентной задаче отыскания 3-аналитической в открытом множестве О0 и О1 = О \ Г0 функции ф, удовлетворяющей краевым условиям

И,еЬф|г = /, И,е[(Ьф)+ — (Ьф)-]|Го = 0, Ке[(сф)+ — (сф)-]|Го = С е М2 , (7)

где постоянный вектор С подлежит определению вместе с ф. Эти краевые условия можно переписать в единой параметрической форме. С этой целью рассмотрим параметрическое уравнение х = 71 (Ь), 0 < Ь < 1 , дуги Г = Г!, выбранное так, чтобы определяемая

им ориентация Г оставляла область О слева. Предполагается кроме того, что произ-

водная 71 непрерывна по Гельдеру и по модулю равна 1 на концах Ь = 0 и Ь =1. Пусть х = 7о(Ь) имеет аналогичный по отношению к Г0.

Для описания граничных значений на дуге Г0 удобно эту дугу и ее параметризацию «удвоить», полагая Г2 = Г3 = Г0 и 72 = 73 = 70. Тогда тройку функций ф о 71 и ф± о 7о на отрезке [0,1] можем записать в виде трех-компонентного вектора

ф о 7 = (ф о 71, ф о 72, ф о 73); ф о 72 = ф- о 70 , ф о 73 = ф+ о 70 . (8)

В соответствии с этим краевые условия (7) можем представить в единой матричной

форме

Ь1 0 0

И,еА(ф о 7) = /, А = I 0 Ь1 —Ь0 I , (9)

\ 0 С1 —С0 )

где Ьд и Сд представляют собой значения Ь и с в области Од и вектор с компонентами /1 = / о 71, /2 = /3 = 0 обозначен снова /.

Эта задача является частным случаем общей задачи Римана, изученной в [12,13]. Переформулируем применительно к ней соответствующие результаты.

Согласно (8) параметризации ^і определяют сигнатуру ориентации е1 = е3 = 1, е2 =

— 1. Обозначим Ае блочную 3 х 3-матрицу, полученную из А заменой второго столбца на комплексно сопряженный. В предположении det Ае = 0 задача (9) принадлежит к нормальному типу. В частности, эта задача фредгольмова в классе функции ф, удовлетворяющих условию Гельдера в каждой из замкнутых областей Б к, к = 0,1. Другими словами, однородная задача имеет в этом классе конечное число п линейно независимых решений, а неоднородная задача разрешима тогда и только тогда, когда ее правая часть f «ортогональна» конечному числу П линейно независимых функционалов.

Формула для вычисления индекса п — П опирается на так называемый концевой символ задачи — аналитическую на всей комплексной плоскости матрицу-функцию X (£). В малой окрестности нуля открытое множество и Б1 разбивается на три криволинейный сектора Б і , 1 < і < 3, нумерация которых берется в порядке обхода их общей вершины т = 0 против часовой стрелки. По условию раствор ^ каждого сектора положителен. Пусть Г± означают боковые стороны сектора Б і , причем их нумерация такова, что поворот против часовой стрелки внутри сектора осуществляется от Г- к Г+. Обозначим единичный касательный вектор к боковой стороне Г± в вершине т = 0. Эти обозначения иллюстрируются рис.1, где в соответствии с (8) дуги Г изображены со стороны отвечающих им граничных значений.

Рис. 1:

Введем линейное отображение Е2 ^ С2х2 по формуле [х] = х1 ■ 1 + х23, где 3 фигурирует в (4), а 1 означает единичную матрицу. Тогда с каждым сектором Б і можем связать матрицу Qі = [?+][?-]-1 и ее комплексную степень QZ, ( Є С, как значение функции и от Qі. Например, в случае матрицы

3 И 0 1

0 1

отвечающей изотропном среде, имеем выражение

Д, = е г9* ят в,

Я] = е«< < (1 + с Д,)

где положено в, = а^ д+ + arg д— и, напомним, в

г 1 0 0

(10)

, — си±6У+ + arg д, и, напомним, в, = arg д+ — а^ д, .

Семейство из шести векторов д± занумеруем следующим единым образом:

д1 = д1>

д+ = д2;

д2 = дэ, д+ = до;

дз = дб,

д+

д4

(11)

Выбор этой нумерации мотивируется тем, что с учетом (8) имеем равенство д, =

7,(0), дз+, = —7'(1), ] = 1, 2, 3 (см. также рис. 1).

Теперь все подготовлено к построению матрицы X (£). Исходя из обратимой блочной 3 х 3- матрицы Ае, рассмотрим блочно-диагональную 6 х 6-матрицу В = diag(Ae,Ae). Обозначая В5, 1 < в < 6, столбцы этой матрицы, в соответствии с (11) положим

*1Й

в, + в2д\,

Х2М

Вз + В 6^2'

Хз(2)

Из векторов Х^{С,) и Ху(() = Ху(() как из столбцов составим 6 х 6-матрицу X, распо-

X

X ,з * ,2 ХЬХ2, Xз. В явном виде

/ 61 0 0 к 0 0 \

&1Я1 0 -о 1 0 Щ -Ьо 0

С1Я1 —Со 0 СгЯ\ -Со 0

0 0 61Я3 0 0

0 СМ о -о — 61 0 — Ьо(^2 Ьг

V 0 —Со^2 С1 0 — Со<^2 С1 /

(12)

Пусть матрица У (£) строится аналогичным образом по В =1.

В каждой полосе а < И,е£ < в определители матриц-функций X (£) и У (() имеют конечное число нулей и их отношение имеет ненулевой предел при 1ш£ ^ то. В соответствии с этим можем ввести на вещественной оси кусочно постоянную целочисленную функцию

det Х(() detУ(C)

С,=и—гж

(13)

Заметим, что по теореме Руше разность х(в) — х(а) равна т — п, где т и п есть число нулей функции, соответственно, ёе1 X(() и ёе1 У(() в полосе а < И,е( < вВ принятых обозначениях формула индекса задачи (8) в классе функций ф, непрерывных по Гельдеру в Бк, к = 0,1, имеет следующий вид [13]:

п — п' = 6 — х(—0) — в(0)

(14)

где в(0) — число нулей функции ёе1 X (£) на прямой И,е£ = 0 и х(—0) означает левосторонний предел функции х(^) в точке V = 0.

Определитель матрицы det Y подсчитывается элементарно. С помощью (10) легко убедиться, что с точностью до ненулевого постоянного множителя он совпадает с произведением sin2 9jZ, j = 1, 2, 3. В частности, с с учетом теоремы Руше формулу (14) можем переписать также в форме n — n' = — х(+0).

Вычисление определителя матрицы X(Z) (фактически над полем скаляров ее порядок равен 12) встречает определенные технические трудности. С помощью простых преобразований этот порядок можно понизить вдвое. В самом деле, умножая второй и пятый столбцы матрицы X на — 1 и переставляя ее третью и шестую строки, получим матрицу X блочного вида

' ~ ~ 4 (15)

X

У У

с элементами

x

b1 О О О О b1Q

i— Q1 ■«o bo О I , У = 1 О Q bo b1

О C0Q 2 c1 i— Q1 c1 co О

(16)

О

Матрица x треугольна и легко обращается. Поскольку матрица, полученная из у перестановкой первого и третьего столбцов, имеет ту же структуру, что и x, то это верно и по отношению к у.

В свою очередь из (15) следует, что

det X(Z) = С det (у — ух~1х') , С = const ф 0 .

В явном виде х~1х представляет собой матрицу

/ b^lbi 0

-bslbiQ\b1lbiQ\ + bo% Ъй% 0

V c^coQ^o 'lbiQ\b1lbi - c^coQ^bo %Q\ -c^coQ^o + c^coQ^ c^ci /

Заметим, что аналогично можно вычислить и у~1у. Подставляя эти выражения в (16), приходим к блочной 3 x 3-матрице, блоками которой служат 2 x 2-матрицы (над полем C ), т.е. к матрице шестого порядка. Однако вычисление ее определителя встречает весьма громоздкие выкладки и приводит к необозримому выражению.

Помимо формулы индекса, знание нулей определителя det X(Z) по прямой ReZ = О позволяет явно описать асимптотику решений задачи (Т) вблизи угловой точки т =

О. Общая ситуация здесь такова [13]. Пусть Z1, • • •, Zi — все различные нули функции det X(Z) на прямой ReZ = О, обозначим Uj порядок полюса матрицы- функции X-1(Z) в точке Zj • Пусть 0(z) — произвольное решение задачи (Т), причем для любого є > О функция |z|£0(z) удовлетворяет условию Гельдера в каждой из областей D0,D1.

Тогда если правая часть f задачи принадлежит классу Гельдера на Г и обращается в нуль в точке т = О, то в каждом из секторов Sj, j = 1, 2, 3, функция 0(z) может быть представлена в виде

(1T)

j=1

где Pj(s) есть некоторый многочлен степени Uj — 1 (с коэффициентами из R2), функция фо(^) удовлетворяет условию Гельдера в секторе Sj и обращается в его вершине в нуль. Напомним, что для комплексного числа z = x + iy матрица [z] = x + yJ, а [z]Zj и ln[z] есть значения функции, соответственно, uZj и lnи от матрицы [z]. Подставляя (17) в выражения (5), (6), в итоге получим асимптотику вектора смещений и и матрицы напряжений а исходной задачи (1)-(3).

Класс H функций ф, удовлетворяющих условию Гельдера в Dk, к = 0,1, соответствует в (17) случаю, когда Pj (s) = 0 при Zj = 0 и Pj (s) = const в противном случае. Обозначим H(1) совокупность всех ф Е H, для которых функция [z]0'(z) принадлежит H и обращается в нуль в точке т = 0. Эти же обозначения используем и для соответствующих классов функций f на дуге Г.

Из общих результатов [13] следует, что любое решение ф Е H задачи с правой частью f е h <■> автоматически принадлежит H (1).

Функции из H(1), очевидно, принадлежат соболевскому пространству Wf(D). Решения и Е H(1) задачи (1)-(3) можно рассматривать как обобщенные решения и Е Wf(D) задачи Дирихле (2) для системы (1), записанной в матричной дивергентной форме

i,j = 1,2

с кусочно постоянными коэффициентами a,ij.

Теория коэрцитивных краевых задач для сильно эллиптических систем вида (18) с кусочно гладкими коэффициентами хорошо изучены [14]. В частности, индекс рассматриваемой задачи (2), (18) в классе W-j2 равен нулю. Пользуясь плотностью класса H(1) в W-j2, отсюда аналогично [15] можно прийти к тому же заключению и по отношению к индексу задачи (1)-(3) в классах H (1) и H. Тем самым согласно (14) приходим к равенству 6 — х(—0) = s0, которое прямым вычислением получить весьма затруднительно.

Литература

1. Лехницкий Г.Г. Теория упругости анизотропного тела / М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.

2. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости / М.: Физматгиз, 1963.

3. Черепанов Г.П. Механика разрушения композиционных материалов / М.: 1983.

4. Hein V.L., Erdogan F. // Internat. J. of Fracture Mech. - 1971. - 7. - P.317-330.

5. Dempsey J.P., Sinclair G.B. // J. of Elasticity. - 11;3. - P.317-328.

6. Солдатов А.П., Жура Н.А. Смешанно-контактная задача плоской теории упругости // Дифференц. уравн. - 1988. - 24;1. - С.55-64.

7. Солдатов А.П. Система Ламе плоской анизотропной теории упругости // Докл.РАН. -2002. - 385;2. - С.163-167.

8. Солдатов А.П. О первой и второй краевых задачах для эллиптических систем на плоскости // Дифференц. уравн. - 2003. - 39;5. - C.674-686.

9. Солдатов А.П. Эллиптические системы второго порядка в полуплоскости / Известия РАН (сер. матем.). - 2006. - 70;6. - С.161-192.

10. Абаполова Е.А., Солдатов А.П. Система Ламе теории упругости в плоской ортотропной среде // Вестник СамГУ-естественно научная серия. - 2007. - №6 (56). - С.260-268.

11. Митин С.П. О представлении решений анизотропной теории упругости // Дифференц. уравн. - 1998. - 34;1. - С.94-100.

12. Солдатов А.П. Общая краевая задача теории функций // Докл.АН СССР. - 1988. -299;4. - С.825-828.

13. Солдатов А.П. Краевые задачи теории функций в областях с кусочно-гладкой границей / Тбилиси: Изд-во ТГУ, Ин-т прикл. матем. им. И.Н.Векуа, II, 1991.

14. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости / М.: Мир, 1974.

15. Митин С.П., Солдатов А.П. О разрешимости смешанно-контактной задачи плоской теории упругости // Дифференц. уравн. - 1993. - 29;5. - С.885-889.

THE DIRICHLET PROBLEM FOR THE LAME SYSTEM WITH PIECEWISE CONSTANT COEFFICIENTS

S.P. Mitin, A.P. Soldatov

Belgorod State University,

Studencheskaja St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. The Dirichlet problem for the Lame system with peacewise constant coefficients in plane elasticity theory is investigated on the basis of Douglis analytic functions.

Key words: Lame’s system, Dirichlet’s problem, Douglis’ analytic functions.