CC BY
14Труды МАИ. Выпуск № 110 http://trudymai.ru/
УДК 531.383: 532.516 DOI: 10.34759/trd-2020-110-21
Задача динамики взаимодействия сдавливаемого слоя вязкого сжимаемого газа с упругой пластиной
Блинкова О.В.1*, Кондратов Д.В.2**
1 Саратовская государственная юридическая академия,
Вольская улица, 1, Саратов, 410056, Россия
2
Поволжский институт управления имени П.А. Столыпина,
Московская улица, 164, Саратов, 410012, Россия *e-mail: [email protected] **e-mail: [email protected]
Статья поступила 05.02.2020
Аннотация
Рассматривается задача моделирования течения вязкого сжимаемого газа в щелевом канале, состоящем из двух пластин. Первая пластина является абсолютно жесткой и совершает гармонические колебания в вертикальной плоскости, вторая является однослойной упругой пластиной. Математическая модель в безразмерных переменных представляет собой связанную систему дифференциальных уравнений в частных производных, описывающую динамику движения вязкого сжимаемого газа и упругой балки-полоски с соответствующими граничными условиями. Найдено выражение для амплитудно-частотной характеристики.
Ключевые слова: вязкий сжимаемый газ, щелевой канал, балка-полоска, упругая трехслойная пластина, уравнение Навье-Стокса, амплитудные частотные характеристики.
1. Введение
Современная авиационная и космическая промышленность активно применяет различные упругие элементы конструкции, такие как пластины, стержни и оболочки [1-4]. Такие упругие элементы конструкции могут использоваться как элементы двигателей, обшивки самолета, топливных элементов, конструкции шасси, приборов навигации и других [3, 5-7]. Причем упругие элементы конструкции могут взаимодействовать с вязкой жидкостью или газам. Это требует решения достаточно сложных задач контактного взаимодействия, влияния колебаний и волн на упругие элементы [7-12].
Вопросы моделирования поведения упругих пластин при динамическом взаимодействии с жидкостью или газом тщательно изучаются. Случаи, когда пространство между пластин заполнено вязкой несжимаемой жидкостью, исследованы в работах [11, 12], устойчивость нелинейных колебаний пологих оболочек двойной кривизны, нелинейные колебания и устойчивость оболочек и пластин рассмотрены в [13,14], нелинейная динамика аксиально движущихся пластин описывается в [15], динамика пластин при аэродинамическом воздействии рассмотрена в [16], вибрации упругой платины под значительной жидкой нагрузкой - в [17].
Наряду с исследованием однослойных тонкостенных конструкций, для конструирования современных изделий авиастроения и машиностроения характерно все более частое использование различных слоистых материалов и многослойных упругих конструкций. Например, механика слоистых вязкоупругопластических
элементов конструкций описана в работах [18], математическое моделирование
2
проводилось в [19], постановка задачи моделирования взаимодействия слоя вязкой
сжимаемой жидкости с упругим трехслойным статором и абсолютно твердым
вибратором опоры описывалась в работах [20, 21]. Линейный анализ вибрации
консольных пластин, частично находящихся в жидкости проводился в [22],
свободная вибрация консольных композитных пластин в воздухе и жидкости
рассматривалась в [23].
Несмотря на большое количество исследований, поведение однослойных пластин при динамическом взаимодействии с вязким сжимаемым газом, заполняющим пространство между ними, изучены пока еще недостаточно широко. Разработка агрегатов, состоящих из упругих тонкостенных конструкций в виде пластин, взаимодействующих с окружающим слоем вязкого газа, предусматривает исследование динамики механической системы пластина-слой вязкого газа. Это приводит к необходимости постановки и решения задач моделирования динамики взаимодействия однослойных пластин и пластин со слоем вязкого газа, находящегося в плоском щелевом канале, в котором поддерживается гармонически изменяющееся давление, с целью нахождения и изучения амплитудно-частотной характеристики модели, что позволит выявить режимы работы, при которых возникают резонансные явления.
2. Постановка задачи
Рассмотрим физическую модель механической системы, состоящую из абсолютно жесткой пластины I (вибратора) и однослойной упругой пластины II
3
(рис.1).
Рис.1 Физическая модель (Fig.1 Physical model)
Внутренняя поверхность вибратора считается плоской и является одной из стенок щелевого канала. Предполагаем, что вибратор имеет упругий подвес. В слое газа пульсирует давление, возникают гармонические колебания вибратора в вертикальном направлении относительно статора. Движение пластины I описывается гармоническим законом и имеет амплитуду zm.
Статор представляет собой упругую пластину. Длина и ширина статора (21 и b) аналогична длине и ширине вибратора. Ширина стенок считается значительно большей, чем их длина, то есть 2b >> 21. Предполагается, что жесткость пластины
производными по у можно пренебречь (т.е. далее рассматривается плоская задачу), так как плоскости данной модели в направлении оси у можно считать неограниченными.
Вязкий сжимаемый газ III полностью заполняет щелевое пространство, образованное вибратором I и упругим статором II. Толщина слоя заполнителя значительно меньше длины пластин: h0 << 2l.
Предполагается также, что в газе, заполняющем щелевой зазор, и вне его, поддерживается давление р0 + Ρ\(ωΐ), состоящее из постоянной составляющей р0 и гармонической по времени составляющей ρλ(ωΐ).
Температура газа, вибратора и упругого статора считается постоянной. Предполагается также, что возникающие при взаимодействия слоя газа со статором прогибы пластины II, и амплитуда колебаний вибратора являются намного меньшими средней толщины слоя заполнителя, т.е. zm << h .
Закон движения вибратора имеет вид: z = h(t) = h0 + zmf (ωΐ), где h0 - среднее значение ширины щелевого зазора h, zm - амплитуда колебаний вибратора в вертикальном направлении, ω - частота колебаний стенки верхней пластины, t -время.
Таким образом, физическая модель опоры представляет собой совокупность абсолютно жесткого вибратора и упругого статора, взаимодействующих друг с другом через сдавливаемый слой вязкого сжимаемого газа с пульсирующим в нем давлением.
Пусть X, z - декартовы координаты; Vx - проекция вектора скорости на ось x; Vz - проекция вектора скорости на ось z; t - время; p - давление; р - плотность; у -коэффициент кинематической вязкости газа.
Динамика движения вязкого сжимаемого газа, находящегося между пластинами, описывается уравнениями Навье-Стокса и уравнением неразрывности, которые в декартовых координатах имеют вид [24]:
dV dV dV
-vx + у x + у X = .
dt x dx z dz
1 dp+_d_
р dx dx
4
у
dV
2
у
3 dx 3 dz
dV } d( (dV dV ^
+— у
dz
x + z
dz dx
jj
dV dV dV
z + V z + V z
1 dp d
dt x dx z dz р dz dz
(4 dV 2 dV }
у z - — у x
3 dz 3 dx
V
+ ■
j
d
dx
( (dV dV
у
X + . z
dz dx
;(1)
jj
1 (dp dp dp\ dVx dVz
+ V + V +z = 0;
Р
dt x dx z dz
dx dz
Граничные условия системы уравнений (1) представляют собой условия прилипания вязкого газа к поверхностям абсолютно жесткого вибратора и упругого статора. Данные условия в рассматриваемом случае выражаются в совпадении скорости заполнителя со скоростями движения этих поверхностей:
Vx = 0 ’ ^ = Zp- ПрИ z = h> + ~mfz («*) + h;
(2)
тг du dw3
Vx=d · Vz=-ğT
h
при z = w3 + .
x
V
V
Здесь u - проекция упругого перемещения статора на ось x; w3 - упругое
перемещение статора по нормали (т.е. его прогиб).
Кроме того, для уравнений (1) ставятся условия свободного истечения газа на
Труды МАИ. Выпуск № 110 http://trudymai.ru/
торцах. Условия свободного торцевого истечения газа в направлении оси x и в
противоположном направлении принимают вид условий совпадения давления на
торце с давлением в окружающем газе. Данные условия записываются в виде:
p = p0 + pY (ωΐ) при X = l,
(3)
p = po + p (ωΐ) при X = -l.
Уравнение динамики однослойной пластины имеет вид [25]:
Eh3
д 4 w3
12(1 - (ур)2) дх
+ Ро h
2
д 2 w,
л
dt2
+
qzz
h
z=w3 + +2
(4)
дVv
h
где qzz =-p + 2ру - при z = w + .
dz r 3 2
Граничные условия принимают следующий вид:
dw3
w3 = 0, 3 = 0 при х = l;
(2Х
w3 = 0, = 0 при х = -l
дх
dw3
w3 = 0, 3 = 0 при y = 0;
(5)
л дw3
w3 = 0, -^3 = 0 при y = b.
X
Введем в рассмотрение следующие безразмерные переменные: τ = ωt, ξ = ,
ζ=γ, Ψ=^ «і, л=zm, Vx =
l
h
Σιηω1 Uξ(ξ,ζ,τ), Vz = z^U((ξ,ζ,τ),
h
0
P = P0 +рУ^Ρ(ξ,τ) + ρι(τ) Ma2 = l-^~ Ψ
ω2 P0 ho ωΡ00
c2 , C = P00 , Re = ру
4
к
у
переменных примут вид:
Re + ЛМа2 Р
(δυ
dU
dU Л
_+л_ _ + Л_ ξ
δτ ξ δξ ζ δζ
δ 2U
дР ξ 2
'^-__ +—υ + ψ
δξ δζ2
Г4д2и д2U ^
ξ+ ζ
3δξ
2 3δζδξ
ψ21 Re +ЛМа2P
(δϋ
dU
δϋ Л
О + Ли ^ + Ли ζ
δτ ξ δξ ζ δζ
δΡ , 2
= - +ψ2
δζ
f4δ2ϋ δ2ϋ ψ2δ2ϋ λ
ζ+---ξ_ + ψ ζ
3δζ2 3δζδξ δξ
2
Ma2 _P + ЛМй2 δτ
(
U
δΡ
+ U,
δΡ
л
ξ δξ ζ δζ
+1 Re + ЛМа2Ρ
(δυ δυ Л __ξ + __ζ δξ δζ
= 0.
(6)
Граничные условия (2) перепишутся в виде:
U(= 0, ϋζ= fT при ζ—1+fz (τ);
(7)
Uξ — 0, Uζ —
w _w w
m_W при ζ — Л mW3, Ζ δτ z
где W3 — wmW3 - прогиб пластины.
Граничные условия для давления (3):
Ρ — 0 при ξ — 1,
(8)
δΡ
— — 0 при ξ — 0.
δξ
Уравнение динамики пластины (4) примет вид:
С20 а2 δ 4W . δ W
12ω2 δξ4 δτ2 p0hwmwz
[p0+ν^ω\ρ+οψ21
ψ
— 0
(9)
Граничные условия жесткого защемления и условия симметрии задачи
1
Труды МАИ. Выпуск № 110 относительно оси Ox (5) запишутся:
W = 0 при ξ = ±1,
(10)
dW,
з
0 при ξ = 0.
9ξ
a
2
(ı -μ2) ’
E
где E, μ0 - модуль Юнга и коэффициент Пуассона; р0 - плотность пластинки; c00 -скорость звука в материале пластинки.
Таким образом, построена математическая модель динамической задачи упругости виброопоры, состоящая из: уравнения динамики слоя вязкого
сжимаемого газа (6); уравнения динамики упругого однослойного статора (9); граничные условия на поверхностях пластин (7), граничные условия для давления на торцах и в торцевых щелях (8) и условия свободного опирания упругого статора
Для решения задачи будем использовать метод возмущений. Для этого разложим неизвестные параметры в ряд по степеням малого параметра: возьмем одночленное разложение по малому параметру ψ, а затем представим решение в виде ряда по малому параметру λ:
(10).
3. Метод решения
Uξ = Uξ0 + λυξ1 + ...,
Ur = UГ0 + λυη + .,
^ = υζ0
ζ1
Труды МАИ. Выпуск № 110 Р — Ро + λΡγ +
W3 — W30 + λWи + ....
Из системы уравнений и условий получим для одночленного разложения по ψ и по λ уравнения:
ReU0L + ВР> — о
δτ δξ δζ
2
δρο_
δζ
— 0.
(11)
Ma2 ВР0 + Re δτ
(δϋζ0 + Βϋξ0 Λ
V
δζ δξ
— 0.
Граничные условия:
ϋξ0 — 0, ϋζ0 — f при ζ — 1;
dt
ϋ — 0, ϋ —
ξ0
ζ0
wm dW30 zm ^
при ζ — 0;
Ρ0 — 0 при ξ—+1,
δΡ
ξ——0 при ξ—0.
δξ
Уравнение динамики пластины и граничные условия:
С020a2 δ4Ψ^ . δ2Ψ,
30
30
12ω2 δξ4 δτ2 ρ0h wmwx
Ρ0 + ^P<P — 0.
ψ
W30 — 0 при ξ — +1.
dW:зр
δξ
— 0 при ξ — 0.
1
Труды МАИ. Выпуск № 110
Решение будем искать в виде:
Uξ0 = a— cosτ+Cnξ sin τ,
P0 = Anp co^+Cnp sin^
W30 = A3 cosτ+Cз sin τ+A0,
f (τ)=α0 sin τ-ο0 cosτ.
Решая первое уравнение в (11), получим:
2
ЗС* - Re A -d-Cl Re Αηξ „ ^2
3ξ
дС
Βΐπτ +
Re С +
ηξ
dAnp З2 Αηξ
8ξ дС
2
0Θ8τ = 0.
Перепишем с помощью системы:
dCnp д2С^
- Re Αηξ+^Α-^2-=0~
3ξ дС
dAnp д 2 An-
Re Cn-+—-—ψ= 0·
д- дС
Выражая из первого уравнения системы An- и подставляя во 2 уравнение получим дифференциальное уравнение:
д 4Cn- 2 дА
-Ct+Re2 Cn-=-Re-Annp-
дС
д-
л 1 dA
Решение уравнение запишется в виде: Cn- =Σ4 = 1CiFi (εζ)-—, где
Re д-
F1 =οΗε—Ηεξ.
F2 =1 (οΗεξ sin εξ+ΞΗεξ cosεξ),
<
Труды МАИ. Выпуск № 110 F3 = 1 sh εξ sin εξ,
F4 =1 (οΗεξ sin εξ-ΞΗεξ οοΒεξ).
4
Выражая аналогично из второго уравнения Οηξ и подставляя в 1 уравнение получим дифференциальное уравнение:
д4 Αηξ 2 дС
-А^+Re2 Ant= Re
дζ
дξ
его решение запишется в следующем виде: Αξ = Ґ4=СА (εζ) +
1 дС,
np
Re дξ
Таким образом,
υξ0 =
E?=ıCiFi (εζ)+
1 dCnp''
Re дt
CQST +
Z4=iQF· (εζ)
1 дАпрЛ
Re дt
sınr.
Найдем коэффициенты Ci, i = 1,...4:
___ı_ С,
' 2ε2 д
_ ' ' дСпр п Fl п Ғз F4 ' '
2 2ε2 F2 дξ 1F2 3 F, F2 ε2 ί4F,2 + f2
дАт
дС
пР np
дξ
дξ
+
+
F4) 4С' ҒзF2 -F'F4 ^ F4 Сз (4ҒзF4 +F'F2).
F2
V 2 J
4F42+F2
F2 ί4F42+f22
' дАпр
Сз = ~2 ;
ε2 дξ
С
'
'
4 ε2 ί 4F42 + F22
F2 dAnF-lF, Се-V 4С'(ҒзF2 -F'F4) С3(4ҒзF4+F'F2)
дξ
4
дξ
4F42 + F22
4F42 + F22
Труды МАИ. Выпуск № 110 1
U =
ε
-Cnp -a -Cnp -a
-CtUO)+ -AtL2°) cosr+ l3(0)+ -APlo sinr
|_ -ξ -ξ _ -ξ 3V ' -ξ _
где
ио = — ((l-Fi (εζ))Α+BF2 (εζ)~ 4CF4 Ю);
2 A
12(ζ)=I (-CF2 (εζit AF3 ζ bf4 (εζ));
LO = h ((- Fi εεζ)Α + BF2 (εζ)- 4CF4 (εζ));
І4(0)=
ί λ
-CF2 ζA F3ζ- -bf4{o
2
J
Здесь A=4F42 + F22, B=F1F2 - F2 + 4F3 F4, C=F4 + F3 F2 - F1F4.
P0 и полученное ϋξ0 подставим в уравнение неразрывности (третье
уравнение) и используем граничные условия, получим систему уравнений для определения коэффициентов Anp и Cnp, приравнивая их при sin г и cosr.
При небольших λ:
Ma1 δΡ0+Re
дг
ϋξ0 =0, ϋζ0 =
-ϋξ0 + -ϋζ0
-ξ + -ζ dfz (г)
=0;
при ζ=1;
dr
Uξ0 =0, ϋζ0 = Wm dW30 при ζ=0;
ξ ° zm dr
J
к
- Ma2Â + 2ε1 ηζ + 2 пр δζ
22 ÖÇ, д C д
δξ
пр
2 3
(ζ)
L Ιζ)+ 2-
δξ
пр
2 4
L
ζ)=
0;
Ma2C + 2ε2 ^Αζ + 2--npL (ζ)
пр 2 1
d 2C
д 2 Â
L Ιζ)+ 2-
δζ δξΖ
δξ
пр
22
L
(ζ)=0·
Из граничных условий получаем значения коэффициентов Αζ и £ηζ в
'ηζ
граничных точках:
Αηζ= ao> ^ηζ =co при ζ=ΐ;
w„
w„
Αηζ=~*-03, Οηζ=--^Α3 при ζ=0
Ζ
m
Ζ
m
Проинтегрируем обе части системы от 0 до 1 и подставим полученные значения коэффициентов, получим:
д2С„п „ д2ΑηΡ ~ 2 2 wm л
ηρ ■ _2 p ■ а 'jpq =-2ε2ϋο -2ε2 тАз;
Zm
-Ma2 Αηρ + ηΡ Ρ +
дξ2 дξ
д2С
д 2 А.
Ma2Cnp + —d + — p = -2ε2α0 + 2ε2
ηρ 2
дξz
3;
Ζ„
<
где
1 _ 1 1 _ 1
1ρ = {Ьз(СЩ, 1 ρ ={,
2 ο 2 ο
1 ρ 1 1 ρ 1
1Ρ = ί Lı(ζ)dζ, 1ρ = { .
2 ο 2 ο
Уравнение колебания нижней пластины запишем следующим образом:
2 4
a а4 A
ко
A
Л)0 Zml
24
a а с
------4і -А
ко аξ
a 2 а4 A
Роh WmV Re А)0 Zml
Роh Wm^ Re Ро
A = о·
np
CnP=о;
ко аξ Роh ^ω
Получаем систему из 5 уравнений для поиска коэффициентов Anp, Cnp, A3,
Сз, Ao.
Применяя метод Бубнова-Галеркина, будем искать решение в виде:
Anp =(ΐ-ξ2]A, Cnp =[ 1-ξ |С
np
A3 =11-ξ І *
з,
Сз =11-ξ2 )сз,
An =-Ро—- , где ко = 1 ω
роh w24a2
соо
Подставим в систему уравнений:
- Ma2 (і-ξ2 )a - 2Cp - 2 Aq = -2ε% - 2ε2 Wm (l-ξ2 )2 a3;
zm
Ma2(l-ξ2C -2Cd -2Ap = -2ε2a0 + 2ε2 (l-ξ2j2c3;
m
a
τ 24a3
ко
24a3-(l-ξ2 )2 a3-рр^(l-ξ2 У=о; a 24c3-(і-ξ2 )2 c3-pоiРwmmk(і-ξ2 с=о;
ко 3
A =
Ро к
о
роh wmω2 24a2
Домножим левую и правую части первых двух уравнений системы на 11-ξ I,
2
2
<
Труды МАИ. Выпуск № 110 http://trudymai.ru/
а третьего и четвертого уравнений на (l-ζ21 , затем проинтегрируем все от 0 до 1:
16 2 8 8 2 2 wm 32
-—Ma A—Cp—Aq =-2ε c -2ε---a;
15 3 3 z 35
m
16
15
2 8 ~ 8 ~ 2 Ma C—Cd-—Af=-2ε a + 2ε
2 wm 32
33
384 a
2
256
-a3 ----a —
P00 Zml 32
z 35
A=0;
-c3;
15 k 315 pQhwmψRe 35
384 a
2
256
c3 -MM c3-_
P00 Zml 32
C=0;
15 k 315 p0hwmψ Re 35
A
Po
k
0 2 2' p0hwmw 24a
Решая систему, получаем, что
A
_ V
3 Q 3 2 a0 8 f 4S f
\( ~ \
3 2 a0 2
-ε 4rS-2ε c0
JV
4 f
J
Г3 1 8 A
QS—f 8f 3 ,
, 3 3 2 a0 2
—ε -°S-2ε c0
C =
V
4 f
j
^3 1 8 Л
-3J QS—f 8 f 3
f
a3 =
1 p00 zml 32
3 Q 3 2 a0
8 f 4 f
V
JV
- 3ε2 00 S - 2ε2ο
4 f
J
η p0hwmψRe 35
3 1 8 ~
s7qs - 3 p
<
С3
_ 1 А)0 -ml 32
-3 ε2 «0 S - 2ε2
4 f
'С0
η РоhWmWRe 35 f з i 8 J
0s - P
8f
3
Выражаем теперь коэффициенты Anp, Cnp, A3, C3:
Λ
np
( A)
з Q + з ε2 «0 8f 4 p
V
A
3 a
- 3ε2 aP S - 2ε 2 с
4 f 0
Ais - 8p
8f 3
Cnp = (l -i2)
- 3ε2 6~0S - 2ε%
4 f 0
^3 1 8 p^
fS - 3 p
^ _ I - ξ2У1 Pqq-ml 32
3 з 'η p0 h w^ Re 35
3 Q 3 2 «0
8f 4 f
V
A
3 ε2 «0 S - 2ε2^
4 f 0
^3 1 8 p^
-,JQS - 3 p
C _ (1 - A )2 1 M)0-ml 32
31 'η p0 hwψ Re 35
f ~ >
- 3 ε2 «0 S - 2ε2^
4 f 0
r3 1 8 p^
8fQS - 3P
Таким образом,
^0 4 -^2)
3 Q + 3 ε2 «0
8 f 4 f
V
A
3 9 a
ε
4 f
2 0 S - 2ε V
3i QS - 8 p 8 f 3
cosr + (1 -^2)
3 9 a
ε
4 f
2 0 S - 2ε2с
3i QS - 8 p 8 f 3
sinr
W30 = (-#2 А ^ Ц
3 о 3 2 Û0
8f 4 f
- 3ε2 a0S - 2ε2ν0
4 f 0
η ρ0hWnW Re 35
'1-І os -8 p' 8 f 3
cosr +
+((-#2)
2 2 ( P00-ml 32
f ~ 7
- 3 ε2 a0S - 2ε2ε0
4 f 0
η A)h wm¥Re 35 f 3U, 8~
8f0S - 3 P
Ч J
j · P0 ^0
- sınr + 0 0
A0hwmo>2 24a2
где
16 2 8 ~ 16 2 8 ~
Q=—Ma — d-χ, S=---Ma — q +χ, η=
Q 15 3 χ 15 3q χ 7
384 a2 256 15 k0 315
λ ί 32 ]
, χ = 35
J V J
A00l A0 hψη
Преобразовывая последнее выражение, получим:
λ
3 ε2 a0S - 2ε2c0 6
4 f 0
W
30
= i - p2 V2 ( A00-ml 32
η A0hwm¥Re 35 f 3 ( 8 ~
4°- 3 p
Λ
V
(+
2
3 о+3 ε2 asi
8 7 4 7,
'7
f
X sın
f
f 3 о 3 2 a0
gV8f 4 f
+ m
J J
4. Результаты
Из выражения выше получаем выражение для амплитудно-частотной
характеристики упругого статора:
АЧХ
( A00 -ml 32
i ~ 7
4 ε2 a0 S - 2ε2 c0
4 f
f
η A0hwm¥Re 35 f 31,8-
8f0S - 3 P
Ч J
7
( +
2
3 о+3 ε2 a4 8 f 4 f j
Λ
J
2
X
Труды МАИ. Выпуск № 110 http://trudymai.ru/
Таким образом, осуществлена постановка задачи в безразмерных переменных
для механической системы, состоящей из абсолютно жесткого вибратора, упругого
однослойного статора и движущегося между ними слоя вязкого сжимаемого газа.
Получено выражение для амплитудно-частотной характеристики, исследование
которой позволит определить режимы работы, при которых возникают резонансные
явления, учесть их при построения новых конструкций в современной
машиностроительной и авиакосмической промышленности.
Выполнено при поддержке гранта РФФИ 19-01-00014-а.
Библиографический список
1. Кондратов Д.В., Калинина А.В. Исследование процессов гидроупругости ребристой трубы кольцевого профиля при воздействии вибрации // Труды МАИ. 2014. № 78. URL: http: //trudymai .ru/published.php?ID=53453
2. Нуштаев Д.В., Жаворонок С.И., Клышников К.Ю., Овчаренко Е.А. Численноэкспериментальное исследование деформирования и устойчивости цилиндрической оболочки ячеистой структуры при осевом сжатии // Труды МАИ. 2015. № 82. URL: http: //trudymai .ru/published.php?ID=58589
3. Агеев Р.В., Кондратов Д.В., Маслов Ю.В. Применение аддитивных технологий при проектировании и производстве деталей аэрокосмических объектов // Полет. 2013. № 6. С. 35 - 39.
4. Гаврилов Д.Г., Мамонов С.В., Мартиросов М.И., Рабинский Л.Н. Сравнительная характеристика прочностных свойств образцов с различными типами
19
http: //trudymai .ru/published.php?ID=22867
5. Кондратов Д.В. Гидродинамические силы, действующие на поплавок поплавкового гироскопа с упругим корпусом при несимметричном истечении жидкости в торцы // Авиакосмическое приборостроение. 2007. № 11. С. 4 - 11.
6. Коровайцева Е.А. Смешанные уравнения теории мягких оболочек // Труды МАИ. 2019. № 108. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=109235
7. Antsiferov S.A., Kondratov D.V., Mogilevich L.I. Perturbing moments in a floating gyroscope with elastic device housing on a vibrating base in the case of a nonsymmetric end outflow // Mechanics of Solids, 2009, vol. 44, no. 3, pp. 352 - 360.
8. Грушенкова Е.Д., Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А. А. Продольные и изгибные колебания трехслойной пластины со сжимаемым заполнителем, контактирующей со слоем вязкой жидкости // Труды МАИ. 2019. № 106. URL: http: //trudymai .ru/published.php?ID= 105618
9. Агеев Р.В., Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А.А. Движение вязкой
жидкости в плоском канале, образованном вибрирующим штампом и шарнирно опертой пластиной // Труды МАИ. 2014. № 78. URL:
http://trudymai.ru/published.php?ID=53466
10. Блинков Ю.А., Ковалева И.А., Кузнецова Е.Л., Могилевич Л.И. Нелинейные волны в трех упругих соосных цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними // Труды МАИ. 2014. № 75. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=49679
Труды МАИ. Выпуск № 110 http://trudymai.ru/
11. Агеев Р.В., Быкова Т.В., Могилевич Л.И., Попов В.С. Динамика
взаимодействия подвижных стенок плоского канала со сдавливаемым слоем жидкости, находящимся между ними // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2009. Т. 4. № 1. С. 7 - 13.
12. Агеев Р.В., Кузнецова Е.Л., Куликов Н.И., Могилевич Л.И., Попов В.С. Математическая модель движения пульсирующего слоя вязкой жидкости в канале с упругой стенкой // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. 2014. № 3. С. 17 - 35.
13. Amabili M., Garziera R., Mukharlyamov R.G., Riabova K. Stability of non-linear vibrations of doubly curved shallow shells // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Математика, информатика, физика. 2016. № 2. С. 53 - 63.
14. Горшков А.Г., Старовойтов Э.И., Яровая А.В. Механика слоистых вязкоупругопластических элементов конструкций. - М.: Физматлит, 2005. - 576 с.
15. Попов В.С., Христофорова А.В. Математическое моделирование динамических процессов в гидродинамической опоре с трехслойным статором // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2007. Т. 3. № 1. С. 38 - 45.
16. Кондратов Д.В., Блинкова О.В. Математическая модель взаимодействия сдавливаемого слоя вязкой сжимаемой жидкости с упругой трехслойной пластиной с легким несжимаемым заполнителем // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2018. № 1. С. 4 - 11.
17. Кондратов Д.В., Блинкова О.В. Задача моделирования сдавливаемого слоя
вязкой сжимаемой жидкости с упругой трехслойной пластиной с легким
21
«Компьютерные науки и информационные технологии»: сборник трудов (Саратов, 2018). - Саратов: Наука, 2018. С. 56 - 59.
18. Бучной Н.В., Кондратов Д.В., Могилевич Л.И. Задача моделирования взаимодействия сдавливаемого слоя вязкого газа с упругой пластиной // Прикладная математика и механика. 2017. № 11. С. 94 - 98.
19. Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. Общий курс. - М.: Наука, 1964. - 815 с.
20. Chapman C.J., Sorokin S.V. The forced vibration of an elastic plate under significant fluid loading // Journal of Sound and Vibration, 2005, no. 281, pp. 719 - 741, DOI: 10.1016/j.jsv.2004.02.013.
21. Анкилов А.В., Вельмисов П.А. Динамика и устойчивость упругих пластин при аэрогидродинамическом воздействии. - Ульяновск: УлГТУ, 2009. - 220 с.
22. Ergin A., Ugurlu B. Linear vibration analysis of cantilever plates partially submerged in fluid // Journal of Fnluids and Structures, 2003, vol. 17, no. 7, pp. 927-939. DOI: 10.1016/S0889-9746(03)00050-1.
23. Kramer M.R., Liu Z., Young Y.L. Free vibration of cantilevered composite plates in air and in water // Composite Structures, 2013, vol. 95, pp. 254 - 263. DOI: 10.1016/j.compstruct.2012.07.017.
24. Amabili M. Nonlinear Vibrations and Stability of Shells and Plates // Cambridge University Press, New York, USA, 2008, 374 p.
25. Mergen H Ghaesh, Marco Amabili, Michael P Paidoussis. Nonlinear dynamics of axially moving plates // Journal of Sound and Vibration, 2013, vol. 332, issue 2, pp. 391 -406.
