Задача дифракции электромагнитных ТЕ-волн на нелинейном слое Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.927, 519.624

Д. В. Валовик, Е. Р. Эргашева

ЗАДАЧА ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТЕ-ВОЛН НА НЕЛИНЕЙНОМ СЛОЕ1

Аннотация. Рассмотрена краевая задача дифракции электромагнитной ТЕ-волны на нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра; формулируется и реализуется численный метод рассматриваемой задачи. Представлены результаты расчетов.

Ключевые слова: уравнения Максвелла, задача дифракции, электромагнитные TE-волны, керровская нелинейность.

Abstract. The article considers a boundary diffraction problem of a TE wave on a nonlinear layer. The nonlinearity in the layer is described by Kerr law. A numerical method to solve the problem is suggested and proved. Results of numerical calculations are given.

Key words: Maxwell’s equations, diffraction problem, TE waves, Kerr nonlinearity.

1. Постановка задачи

Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся через однородный, изотропный, немагнитный диэлектрический слой, расположенный между двумя полупространствами x < 0 и x > h в декартовой системе координат Oxyz . Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость £l > £о, £3 > £о соответственно, где £о - диэлектрическая проницаемость вакуума. Вообще говоря, условия £1 > £0 , £3 > £0 необязательны, можно считать, что £1, £3 произвольные вещественные числа. Считаем, что всюду ц = ^0 - магнитная проницаемость вакуума.

Считаем поля гармонически зависящими от времени [1]:

E(x,y,z,t) = E+ (x,y,z)cosrot + E_ (x,y,z)sinrot;

H (x, y, z, t) = H + (x, y, z )cos rot + H _(x, y, z )sin rot,

где го - круговая частота; E, E+ , E_, H , H+, H_ - вещественные искомые функции.

Образуем комплексные амплитуды полей E (x, y, z) и H (x, y, z):

E = E+ + iE_, H = H+ + iH _,

1 'T 1 T , t

где E = x, Ey, Ez ) , H = x Hx, Hy, Hz) ; знак ( • ) обозначает операцию

транспонирования;

Ex = Ex y,z) Ey = Ey y,z), Ez = Ez (x,y,z),

1 Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг., соглашения № 14.В37.21.1950,

14.A18.21.2054, 8860.

Hx = Hx y,z) Hy = Hy y,z), Hz = Hz (x,y,z).

Ниже множители cos rot и sin rot будем опускать.

Электромагнитное поле E, H удовлетворяет уравнениям Максвелла

rot H =-iroeE,

(1)

rot E = iro^H,

условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред x = 0 , x = h и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |x| в областях x < 0 и

x > h . Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается законом Керра [2]

I |2

£ = £2 + а|E ,

где £2 - постоянная составляющая диэлектрической проницаемости в слое; а - коэффициент нелинейности.

Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.

На рис. 1 схематически представлена геометрия задачи.

Коэффициент I (падающая волна) считается известным, а коэффициенты R (отраженная волна) и T (преломленная волна) подлежат определению (см. рис. 1).

2. ТЕ-волны

Рассмотрим ТЕ-поляризованные электромагнитные волны

Е = (0,Ey ,0)Г , Н = (,0,Иг )Т, где Ех = Ех (х, у, г), Ez = Ez (х, у, г), Иу = Иу (х, у, г).

Можно показать, что компоненты полей Е, Н не зависят от у [3].

Волны, распространяющиеся вдоль границы г раздела сред, гармонически зависят от г. Значит, компоненты полей Е, Н имеют представление

Еу = Еу (х) в/уг, Их = Нх (х) в/уг, иг = Нг (х) в

іу

(2)

где значение у считается известным. Подставив (2) в (1), получим

/уНх (х) - Н'г (х) = -/'юєЕу (х), -/уЕу (х) = /юцНх (х),

Е'у (х) = /юцНг (х).

После простейших преобразований из последней системы получаем

,2с „2.

У Еу (х)- Е'у (х) = ю цеЕу (х).

2 2

Пусть к =ю Мц£0, выполним нормировку в соответствии с формулами

х = кх,— = к—, у = —, Є ,■ = к

’ ёх ёХ к ' ео кая значок тильды, получаем

¥'(х) = -(е-у2)Г(х),

где

(у = 1,2,3). Обозначим У(х):= Еу (х). Опус-

(3)

є =

Єї, х < 0,

є2 + аУ2, 0 <х <И, Є3, х > к.

3. Решение дифференциальных уравнений в полупространствах

При х < 0 имеем £ = £1. Из (3) получаем уравнение

его общее решение

У ' = (у2-Єї )У,

У(х) = Схв-^х + С2в^“^х .

Пусть к =у — £1, также обозначим С := R , С2 := I. Тогда

¥ (х ) = Re—klХ + 1екх . (4)

Причем величина I является известной, а величина R - неизвестна и подлежит определению.

2

Здесь мы считаем у _£ > 0, ибо в противном случае мы получим общее решение, выраженное через синусы и косинусы действительного аргумента, и, таким образом, не сможем удовлетворить условию излучения на бесконечности.

При x > h имеем £ = £3. Из (3) получаем уравнение

Y" = (у2 _ £3 )y,

его общее решение имеет вид

Y {x) = C^-^)у2_£3 + C4e^x_h)у2_£3 .

2 2

В силу условия на бесконечности C4 = 0. Пусть £3 =у _ £3, также обозначим C3 := T, тогда

Y ^ )= Te_(x_h Y1, (5)

величина T неизвестна и подлежит определению.

2

Здесь по тем же причинам, что и при x < 0, мы считаем у _£3 > 0 .

Из формул (4), (5) следует неравенство у2 > max ^1, £3).

Внутри слоя получаем уравнение

Y"fa) = _£2 _у2 _aY2xx))yxx). (6)

4. Условия сопряжения и формулировка задачи

Как известно [4, 5], касательные составляющие электромагнитного поля непрерывны на границе раздела сред.

В рассматриваемом случае касательными составляющими являются

дЕу

компоненты Ey и Hz . Но ---------= iro^Hz, следовательно, непрерывной явля-

r dx

дЕу

ется также и-----.

dx

Из непрерывности касательных составляющих компонент поля следуют условия сопряжения для функций Y и Y':

[Y U=0> [Y U=0-

lY 1=0 = 0. [Y 'U = (7)

где [ f ] = = lim f xx)_ lim f fa) обозначает скачок функции в точке

x=x° x^ ^0 _0 x^ ^0+0

x = x0 .

Тогда получаем

Y(0 _ 0) = R +1, Y(h + 0) = T,

Y'(0 _ 0) = (_R +1)k1, Y' (h + 0) = _Tk3 . (8)

Теперь мы можем сформулировать краевую задачу (задача FNl): найти

значения коэффициентов R и T и решение Y (x) уравнения (6) такое, чтобы выполнялись условия (7), причем в полупространствах x < 0 и x > h функция Y(x) описывается формулами (4), (5).

5. Линейная задача

Из уравнения (6) при а = 0 получаем линейное дифференциальное уравнение

Y" = ~k^Y, (9)

где kf =£2 _ у2 > 0 .

Общим решением уравнения (9) является

Y = C1 cos £2x + C2 sin £2x .

Полагая x = 0, из условий сопряжения (7) и формул (8) получаем систему уравнений

[R +1 = C1,

1 / \ (10)

[£1 (_ R + I ) = k2C2,

откуда, выражая C2 , получаем

C2 = k1k2_1 (_ R + I).

При x = h из условий сопряжения (7) и формул (8) получаем следующую систему уравнений:

[T = C1 cos k2h + C2 sin k2h,

1 1 2 2 2 (11)

[_k3T = _k2C1 sin k2h + k2C2 cos k2h.

Подставляя в систему (11) значения Q и C2, найденные из (10), получаем

[T = (R +1 )cos k2h + k^21 (_ R +1 )sin k2h,

[_k3T = _k2 (R +1 )sin k2 h + k1 (_R +1 )cos k2 h.

Преобразуем систему (12) к виду

T = R(os(2h _ k1k:_1 sink2h) +1(osk2h + x^1 sink2h),

k3T = R(2 sink2h + k1 cosk2h) _I( cosk2h _k2 sink2h).

Поделив в (13) одно уравнение на другое, получим

k3 R (os k2 h _ k1k2"1 sin k2 h ) + k31 (os ^2 h + ^k^ sin k2 h

(12)

(13)

= R( sink2h + к cosk2h) _I( cosk2h _ k2 sink2h).

Из последнего уравнения находим

(( _ k1k3 ) sin Y2h _ k2 (k1 + k3) cos k2h

R = -I I--------------------------------------------------------------(-. (14)

I k2 + kk I sin k2h _ k2 (k3 _ k) cos k2h

Теперь, зная R, из первого уравнения системы (12) получаем

T = (R +1 )cos k2h + k1k-_1 (_ R +1 )sin k2 h, (15)

или

T = I

f

\

f

+*LI

k2

(2 _k1k3 jsink2h _k2 (k1 + k3)cosk2h I ( + k1k3 ) sin k2h _ k2 (k3 _ k1) cos k2h

(2 _ k^ jsink2h _ k2 (1 + k3 )cosk2h (2 + k1k3 ) sin k2h _ k2 (k3 _ k1) cos k2h

+1

+ 1

cos k2h +

Последнее уравнение можно записать так:

2kk1

T=

(2 + kk )sin Y2h _ k2 (k3 _ k1)cosk2h Тогда для C1 и C2 получаем

k1 ( sin k2h + k2 cos k2h)

C1 = 2I "г------------г---------------------------------

( k-2 + k1k3 ) sin Y2h _ k2 ( k3 _ k1) cos k2h

2Ik1 (k2 sin k2h _ k3 cos k2h)

C2 =

(2 + k1k3 j sin Y2h _ k2 (k3 _ k1) cos k2h Таким образом, решение линейной задачи имеет вид

(2 _ k1k3 jsin Y2h _ k2 (k1 + k3 )cos k2h

R = _I

T =

(2 + k1k3 jsin k2h _ k2 (k3 _ k1 )cos k2h 2^21

Y (x ) =

(2 + k1k3 j sin Y2h _ k2 (k3 _ k1) cos k2h

2Ik1 sin k2 h + (2 cos (2 h )cos k2 x + (k2 sin k2 h _ k3 cos k2 h )sin k2 x)

(2 + k1k3 jsink2h _ k2 (k3 _ k1 )cosk2h

Формулы (14) и (15) будут использованы для получения численных результатов. Также на основе точного решения линейной задачи будет проведено тестирование численного метода решения линейной и нелинейной задач.

Заметим, что формулы (14) и (15) могут быть получены иначе (и будут иметь другой вид!). А именно уравнение (9) имеет первый интеграл:

¥/2 = -к2 ¥2 + С1, где с - постоянная интегрирования. Используя условия сопряжения (7) и выражения (8), из первого интеграла получаем

X — I)2 к2 — Т2к32 = к| (т2 — X +1 )2).

Последнее соотношение можно использовать для нахождения R или Т .

Таким образом, задача (линейная) в слое с постоянной диэлектрической проницаемостью решена точно.

6. Нелинейная задача

Рассмотрим нелинейную задачу. А именно, считая, что диэлектриче-

2

ская проницаемость в слое выражается законом Керра: £ = £2 + «¥ , получаем уравнение (6).

Несмотря на то, что уравнение (6) может быть решено в квадратурах (более точно: решение уравнения (6) выражается через эллиптические функции), мы не будем обращаться к точному решению. Во-первых, потому что анализ точного решения рассматриваемой задачи достаточно труден, а во-вторых, в случае более сложной нелинейности решение вообще может не выражаться через известные функции, а будет представимо интегралом (анализ такого выражения может оказаться весьма сложным). Точному решению через эллиптические функции рассматриваемой задачи посвящена работа [6]. Там же можно найти полезные обсуждения результатов.

Перейдем от решения нелинейной задачи сопряжения к решению некоторой вспомогательной задачи Коши. А именно, будем считать, что R задано, тогда из (8) для уравнения (6) имеем начальные условия

|¥(0+0)=*+'• (,6)

[Г (0 + 0 ) = к1 X — I).

Рассмотрим задачу Коши для уравнения (6) с начальными условиями (16). Решая задачу Коши, мы находим ¥ ( — 0), тогда пусть Т := ¥ ( — 0). Далее построим функцию

^Х):= ¥'(И — 0) — ¥'(И + 0). (17)

Поскольку ¥'X + 0) = —к3Т , а Т := ¥( — 0), то для (17) получаем

Е() = ¥'(к — 0) + к3¥(Н — 0). (18)

Мы видим, что правая часть (18) выражается только через решения задачи Коши. Тогда ясно, что если Я = Я таково, что Г(Я) = 0, то й и

Т := ¥Н — 0,Я| являются искомыми коэффициентами, а решение ¥(х,Я) задачи Коши для уравнения (6) с начальными условиями ¥ ( + 0, Я ) = Я +1,

¥'(0 + 0,Я) = к Н — 11 является искомым решением нелинейной задачи.

На основе полученных результатов сформулируем следующее

С

Я*, Я

е

таков, что

Утверждение. Пусть отрезок Я, Я ]<

Г(Я)Г(Я)<0, тогда существует по крайней мере одно Яе(Я) такое, что Я, Т := ¥Н — 0,Я| являются искомыми коэффициентами, а решение ¥(х,Я) задачи Коши для уравнения (6) с начальными условиями ¥ ( + 0, Я ) = Я +1,

¥'Н + 0, Я) = к Н — I),- искомым решением нелинейной задачи.

На основе этого утверждения можно построить численный метод для

Я*, Я*

, разде-

*

решения задачи Ркь. Для этого достаточно выбрать отрезок

лив его (п + 1) узлами, получим сетку {Яг-} , / = 0, п, где Яд = Я*, Яп = Я* . Для каждого индекса / получим начальные значения:

[¥ (0 + 0 ) = Я( +1,

[¥' (0 + 0 ) = к1 ( — I).

Решая задачу Коши для каждого / и вычисляя Г (Яг-), можно найти такие Яj и Яj+1, что Г(Яj )г(Яj+1 )< 0 (если таковые Яj и Яj+1 существуют). Если отрезок Яj, Яj+1 ^ найден, то дальнейшее уточнение искомого Я^

может быть найдено, например, методом дихотомии.

Отметим, что использованный нами подход для решения краевой задачи на основе решения вспомогательной задачи Коши широко известен (см., например, [7]). Этот метод может быть использован в том числе и для численного решения нелинейных задач сопряжения на собственные значения, описывающих распространение собственных волн в нелинейных однослойных и многослойных слоистых волноводах (см., например, [8-10]).

7. Численные результаты

На рис. 2-7 представлены зависимости значений коэффициентов Я и Т как от параметра а, так и от параметра I.

2

Выбирая определенные значения у , Ь, £1, £2, £3, решаем описанную выше краевую задачу описанным выше способом. Проделав эту операцию для нескольких значений I, мы можем построить график зависимости Я = Я(I). Если соединить точки, получим линии.

Рис. 2. Графики зависимости коэффициента Я от I при различных значениях коэффициента нелинейности. Использованы следующие значения параметров:

у2 = 2,8, £1 = 1, £2 = 9 , £3 = 2, И = 1, а = 0,001

Рис. 3. Графики зависимости коэффициента Т от I при различных значениях коэффициента нелинейности. Использованы следующие значения параметров:

у2 = 2,8, £1 = 1, £2 = 9, £3 = 2, И = 1, а = 0, а = 0,001, а = 0,1

Рис. 4. График зависимости коэффициента Я от I. Использованы следующие

2

значения параметров: у = 2,8, £1 = 1, £2 = 9, £3 = 2, И = 1, а = 0,001

Рис. 5. График зависимости коэффициента Я от значения коэффициента нелинейности а . Использованы следующие значения параметров:

у2 = 2,8 , £1 = 1, £2 = 9 , £3 = 2, И = 1, I = 1

Т

Рис. 6. График зависимости коэффициента Т от I. Использованы следующие

2

значения параметров: у = 2,8, £1 = 1, £2 = 9, £3 = 2, И = 1, а = 0,001

Т

-10-

-15- ф

Рис. 7. График зависимости коэффициента Т от значения коэффициента нелинейности а . Использованы следующие значения параметров:

у2 = 2,8 , £1 = 1, £2 = 9 , £3 = 2, И = 1, I = 1

Список литературы

1. Eleonskii, V. M. Cylindrical Nonlinear Waveguides / V. M. Eleonskii, L. G. Oga-nes’yants, V. P. Silin // Soviet physics JETP. - 1972. - V. 35, № 1. - P. 44-47.

2. Ахмедиев, Н. Н. Солитоны. Нелинейные импульсы и пучки / Н. Н. Ахмедиев, А. Анкевич. - М. : Физматлит, 2003. - 304 с.

3. Smirnov, Yu. G. Electromagnetic wave propagation in nonlinear layered waveguide structures / Yu. G. Smirnov, D. V. Valovik. - Penza : PSU Press, 2011. - 248 c.

4. Стрэттон, Дж. А. Теория электромагнетизма / Дж. А. Стрэттон. - М. ; Л. : ОГИЗ, 1948. - 540 с.

5. Вайнштейн, Л. А. Электромагнитные волны / Л. А. Вайнштейн. - М. : Радио и связь, 1988. - 440 с.

6. Schurmann, H.-W. Reflection and transmission of a plane TE-wave at a lossless nonlinear dielectric film / H.-W. Schurmann, V. S. Serov, Yu. V. Shestopalov // Physi-ca D. 2001. - № 158. - P. 197-215.

7. Волков, Е. А. Об исследовании и решении разностным методом нелинейных задач для обыкновенного дифференциального уравнения / Е. А. Волков // Труды МИАН СССР. - 1976. - Т. 140. - С. 103-129.

8. Валовик, Д. В. О методе задачи Коши решения нелинейной краевой задачи на собственные значения для электромагнитных ТМ-волн, распространяющихся в слое с керровской нелинейностью / Д. В. Валовик, Е. В. Зарембо // Радиотехника и электроника. - 2013. - Т. 58 (принята к печати).

9. Валовик, Д. В. Численное решение задачи о распространении электромагнитных ТМ-волн в круглом диэлектрическом волноводе, заполненном нелинейной средой / Д. В. Валовик, Е. Ю. Смолькин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 3. - С. 29-37.

10. Valovik, D. V. Electromagnetic TM wave propagation in nonlinear multilayered waveguides. Numerical technique to obtain propagation constants / D. V. Valovik, E. V. Zarembo // International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory 2012, Proceedings. - Kharkiv, 2012. - P. 105-108.

Валовик Дмитрий Викторович

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

E-mail: [email protected]

Эргашева Екатерина Рифкатовна

студентка, Пензенский государственный университет

E-mail: [email protected]

Valovik Dmitry Victorovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling,

Penza State University

Ergasheva Ekaterina Rifkatovna

Student, Penza State University

УДК 517.927, 519.624 Валовик, Д. В.

Задача дифракции электромагнитных ТЕ-волн на нелинейном слое /

Д. В. Валовик, Е. Р. Эргашева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 4 (24). -С. 73-83.