CC BY
30
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №12-4/2016 ISSN 2410-6070_
Mathematical Sciences, 2016, № . Vol. 10, no. 60, pp. 2993-3002 HIKARI Ltd, www.m-hikari.com https://doi.org/10.12988/ams.2016.68231
5. Димитриенко Ю.И. Моделирование нелинейно-упругих характеристик композитов с конечными деформациями методом асимптотического осреднения//Известия ВУЗов. Машиностроение. 2015. № 11. с.68-77.
6. Ю.И. Димитриенко, Е.А. Губарева, Д.Ю. Кольжанова Моделирование слоистых композитов с конечными деформациями методом асимптотической гомогенизации// Инженерный журнал: наука и инновации, 2015, вып. 5(29). URL: (http://engjournal.ru/catalog/msm/pmcm/1405.html DOI: 10.18698/2308-6033-2015-5-1405
7. Dimitrienko Yu.I. Nonlinear Continuum Mechanics and Large Inelastic Deformations. Springer. 2010. 722 p.
8. Димитриенко Ю.И. Универсальные законы механики и электродинамики сплошной среды /Механика сплошной среды.Т.2. Изд-во МГТУ им.Н.Э.Баумана. 2011. 560 с.
©Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Алешина А.С., 2016
УДК 539.3
Димитриенко Ю.И., д.ф.-м.н., профессор Губарева Е.А., к.ф.-м.н., доцент Шурпо А.А., магистрант Московский государственный технический университет им.Н.Э.Баумана,
г.Москва, Российская Федерация
ЯВНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ВСЕХ КОМПОНЕНТ ТЕНЗОРА НАПРЯЖЕНИЙ В ТОНКИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ, ПОЛУЧЕННЫЕ НА ОСНОВЕ
МЕТОДА АСИМПТОТИЧЕСКОГО ОСРЕДНЕНИЯ
Аннотация
Представлены соотношения в явной аналитической форме для всех шести компонент тензора напряжений в тонкой многослойной упругой цилиндрической оболочке, в виде зависимости от деформаций, искривлений срединной поверхности оболочки, а также их производных по продольным координатам. Полученные формулы позволяют рассчитывать все распределения компонент тензора напряжений по толщине в цилиндрической оболочке после того, как найдено решения двумерной задачи теории оболочек Кирхгофа-Лява. Формулы для напряжений являются асимптотически точными, поскольку получены из трехмерных уравнений теории упругости без каких либо допущений о характере распределения перемещений и напряжений по толщине оболочки.
Ключевые слова
Метод асимптотической гомогенизации, многослойные цилиндрические оболочки, тензор напряжений, оболочки Кирхгофа-Лява, касательные напряжения, поперечные напряжения
Dimitrienko Yu.I.,
Doctor of Science ( Phys@Math), professor,
Gubareva Е.А., Ph.D (Phys@Math), associate professor, Shurpo А.А., Post-graduator,
Bauman Moscow State Technical University
EXPLICITE FORMULAE FOR SIX STRESS TENSOR COMPONENTS IN THIN CYLINDRICAL SELLS ON THE BASE OF HOMOGENIZATION METHOD
Abstract
Ratios presented in a compact closed form for all six components of the stress tensor in a thin multilayer elastic
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №12-4/2016 ISSN 2410-6070_
cylindrical shells, as a function of strain, the middle surface curvatures and their derivatives. These formulas enable us to calculate the distribution of all the stress tensor components in the thickness of the cylindrical shell after the solution of two-dimensional problem of the Kirchhoff-Love shell theory have been found. Formulas for Stress are asymptotically exact as derived from the three-dimensional equations of elasticity theory without any assumptions about the nature of the distribution of displacements and stresses on the shell thickness.
Keywords
Asymptotic homogenization method, multilayer cylindrical shell, the stress tensor, shell Kirchhoff-Love, shear stresses, transverse stresses.
Для расчета несущей способности конструкций из композиционных материалов необходимо учитывать возможность их расслоения вследствие низкой прочности при межслойном сдвиге и на поперечный отрыв. Для этой цели нужно достаточно точно вычислять напряжения межслойного сдвига и поперечные напряжений. Классические теории расчета тонких композитных оболочек основаны на определенных допущениях, адекватность которых необходимо подтверждать для каждого класса задач. В работах [1-4] разработан метод асимптотического осреднения уравнений трехмерной теории упругости для тонких многослойных пластин и оболочек, который без каких-либо гипотез относительно распределения перемещений или напряжений по толщине, позволяет получить явное, математически обоснованное выражение для всех 6 компонент тензора напряжений. В настоящей работе представлены соотношения для полного тензора напряжений, полученные с помощью асимптотической теории для случая тонких цилиндрических оболочек.
Рассмотрим тонкую многослойную упругую оболочку, для которой выполняется соотношение & = h / L << 1 где h -толщина оболочки, & - малый параметр, L - длина оболочки, R- радиус оболочки.
Вводятся безразмерные ортогональные координаты qt и локальная £ координата по толщине оболочки: Цк = Як / L, £ = Чз / & . Для цилиндрической тонкой оболочки параметры Ламе Ha и их производные
дИа / д£и 3Ha / dqp имеют следующий вид [5]: H3 = 1, Hi = 1; Hj = R ,
дИа /д£ = &Ha3, H13 = 0, H23 = 1, дНа / dq^ =0 . Слои оболочки предполагаются упругими, с
цилиндрической моноклинной симметрией упругих свойств [5].
Согласно асимптотической теории тонких оболочек [4] решение 3-х мерных уравнений теории
упругости в ортогональных координатах, записанное относительно компонент вектора перемещений U ищется в виде асимптотических разложений по параметру в виде функций, зависящих от глобальных и локальной координат: uk = u^iqj + &ufXqa,£) + &2uf\qa,£) + &3uf)(qa,£) +... (1)
Здесь и далее индексы, обозначенные заглавными буквами I, J, K, L, M, а, ( принимают значения 1,2, причём аФ (, а индексы i, j,к,l - значения 1,2,3.
В виде асимптотических рядов ищутся также деформации и напряжения в оболочке
=j++&242)+..., y = <>+y+&2^>+... (2)
С помощью этих асимптотических разложений в работе [4] получены явные выражения для продольных Уjj , сдвиговых У 13 и поперечной СУ33 компонент тензора напряжений через деформации
sKKLl и искривления нулевого приближения T]kl оболочки, при сохранении в асимптотических разложениях членов до первого порядка, второго и третьего порядков, соответственно [4]
y =C(1) е(0)+C(0) £п
yIJ ^UKiyKL IJKLb'lKL
(3)
~Уа3 = Ccc3KLSKL + Rct3KLJ£KL,J + Na3KL^KL a3KLJ^KL,J
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №12-4/2016 ISSN 2410-6070_
°33 = C33KLSKL + R33KLJ£KL,J + E33KLJM£KL,JM + N33KLnKL + ^33КЬИПКЬ,М + ^КЬ ПKL - (Р± + + 05))
В формулах (3) обозначены тензоры, зависящие только от приведенного тензора модулей упругости слоев оболочки CJKl , толщин слоев и параметров Ламе срединной поверхности оболочки
CIK = cJKL = CIK ; cs>a = xc^kl ♦ Xc^;
^(3) _ „ , _ 3W3) , „V(3) АГ _ i
(4)
г1*3- = г+ г(2- + (3- /V = ^2 V
^ЗЗКЬ ^ЗЗКЬ ^ЗЗКЬ ^ЗЗКЬ аЗКЬ 1 у аЗКЬ
Р(2) доР^ +до2 Р(2) • Р® _,р2 р(2^ 3 п(3)
^аЗКЬ/ + ^аЗКЬ/' Л33КЬ/ /^33KL^ ^ЗЗКЬ/
Уа3КЬ1 = Ж^^аЗКЬ/ • ^3) = де3И3) • #(3) =
*33КЬМ ЗЗКЬМ' КЬ гг КЬ
¡7(3) = Е(2) Е(3) у^3) = „2 ^(2) ,„3 ^(3)
^ЗЗКЬ/Ы ^ ^ЗЗКЬ/Ы ^ ЗЗКЬ/ ' ^у ЗЗКЬ 1 у ЗЗКЬ ЗЗКЬ
Тензоры, участвующие в этих формулах, определены в [4], для цилиндрической оболочки они принимают вид
7 = г4 г Г/(1) =-< 7 >
ЗКЬ 3333 ЗЗКЬ > ЗКЬ < ^ЗКЬ >£'
< ZiKL >£ =
£
£ ZiKLdt-<) ZiKLd% >, {f(qj, } (f(qi £)-< f(qi £) >) d£
-0.5 -0.5 -1/2
C(D - 0 C(1) = {C(0) } / R
a3KJ =U 33KL V^23КЬ> £ 1
Ф =0 ф = Т/ / р Ф = 0 аЗКЬ =и ЗЗКЬ I 22КЬ / £
^!!КЬ и> 22КЬ и ЗКЬ ' ^ 12КЬ и ,
= {Г11КЬ + {Г12ККЬ / П2КЬ/ = (Г20КЬ }£/ / Р + {г12КЬ
и3кЬ =-< 7зкьфкш >£ + < ГззззГ3(ЗКЬ >£ тт (2) _ ^г-! Г(1) = 0
аКЬ < аЗ/ 3^IЗКЬ >£ и /3КЬ =< 73КЬ£ >£ , КаКЬ/ =< 0-3/3Р1;КЬ/ >£ < >£ ^а/
Для величин, входящих в этих выражения имеют место следующие формулы:
г® -7 г(0) хГ(0) сГ) г(2) =-{г(1) } / р г(2) =-2{г(1) } / р /КЬ =з/ЛЗЗКЬ +^ит^жкь ^13КЬ 13К^/£ ' 23КЬ ^ 23КЬ ) £ 1
п^ь/ = {г!!КЬ£}£^1/ + (ПКА^ / - {ПК/ }£-/п,
^2J I^^IKLJ i£,
(2) _/fr'(1) ^^ ^(Y-O) ^ DJ? _OfD(1) } ,, R
J N
a3KL
(0) л т?>> -L sr^ Я МЪ Т/ _/fr-(0) Л ^ _Lir,(0)
R^3kKLJ = (IC:(2KL£}£^2J + (C1:1KL£}£ 2{R2KLJ }£ )/ R N -0
V13KLJ = ({QIKL£}£IJ +{CI(30KL£}£^3J )/R, V33KJ = ({C30KL£}£^3J + (C^KL £} RIJ )/R
C33KL = ({C32KL }£ — {C;53KL }£/ R33KLJ = ({C1(KL }£ ^ {C3(3KL }£ ^3J ) / R = 0
E^UM = ({^KLJ }£ R+{R3(KLJ }£)/ R n33KL = ( {C(((0KL£}£+(C33KL£}^R) / R L(2) = 0 L(2) = J(2) / R L(2) = 0
11KL u , 22KL ° 3KL1 , (2 KL ^
ФКь = 0, = -^iKL / R, 3^f22KL = 0 bJKu = 0
KV[kljm = K JiM , KU = K3 J3M /R, 2K\2KLJM = К1ш$зм / R + RK3KLJ^IM
c(2) = c(0) Ф(2) - 7 C(2) R(2) = C(0) B(2) - 7 R(2)
WjKL ^ IJSP SPKL ^ 3/J^ 33K^' JKLM ^ IJSPnSPKbM A 3/J^3 KLM
E(2) _C(0) K(2) _7 E(2) (з) (0) (з) ^(3)
IJKLMN ^IJSP SPKLMN ^3IJ^33KLMN N^ = C^LSP^ -Z3ijN^3>k^¥ 33KLM V
(5)
(6)
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №12-4/2016 ISSN 2410-6070_
C33KL = —({C22KL } ^ {C33KL ) ^ R, R33KLM = -((R22KLM } (R33KLM ) ^ R E33KLJM = ~(iE22KLJM ^ iE33KLJM R, N33KL = ~({N22KL ^ {N33KL R
v£L = о wKL = [<£>,C(0KL },/ R
Выражения для деформаций срединной поверхности и искривлений цилиндрической оболочки имеют следующий вид:
= и1д), = TT(u2,2 + u3 )), 2s":L;2) = ТГ«10 + «2д> (7)
R R
т.:=-«351Л22=-«i+«202)/r2 -т,2=(«gl;+о/R
Эти выражения совпадают с формулами теории цилиндрических оболочек Кирхгофа-Лява. Для искривлений 2-го приближения лЖ ) имеем следующие формулы:
^1(12) = 0 т]22 = ~Г(М3,22 + ^22,2) ^ = - ^((^Ц + М:2,1)) ,оч
к 2К (8)
Перемещения мГ0) срединной поверхности оболочки находим из решения системы двумерных уравнений цилиндрических оболочек Кирхгофа-Лава [4,5].
ТШ + 7(2,2/К = 0, ^22,2 / К + Т(2,( = 0,
М„д + М(2,2/к - = 0, Ы2Х2/Я + М(2,( - 02 = 0, (9)
Q(,( + 02,2/Я-АР = 0
Вывод этих уравнений на основе асимптотической теории представлен в работе [4]. В системе (72)
обозначено Ар = % Ар. Усилия Ти , моменты Ми и перерезывающие сил 0} в оболочке, входящие в систему (72) определяются в виде асимптотических разложений:
Ти=«т™>+а!«т<?>+... г(0)
Ми = а? < ^(Тц > +ге1 < ^ > +... (10)
<21 = ге < > +зе2 < сг^ > +...
Определяющие соотношения для цилиндрической оболочки с цилиндрической моноклинной симметрией упругих свойств связывают усилия, моменты и перерезывающие силы с деформациями и
искривлениями срединной поверхности б^), Л к) [4]:
Т =С + В Л М = В £(0) +D Л ПП
1и ^икьскь +иики1кь, 'У1и иикьскь +^1ЖЬ]1КЬ , ((()
Здесь обозначены мембранные жесткости оболочки Сию , смешанные жесткости В^^, В^^ и изгибные жесткости DJJкL цилиндрической оболочки
С1Ж1 =< С1Ж) > +% < Сикь >, DJJKL = % Сикь > Викь = % < > , Вик) = %< >+% < ^Ж) >
После решения двумерной системы уравнений (7),(9),(П) все 6 напряжений в слоях оболочки вычисляются по явным аналитическим формулам (Г).
Выводы. На основе разработанной ранее асимптотической теории тонких многослойных упругих анизотропных оболочек, получены явные, математически точные аналитические формулы для расчета распределения компонент всех 6 5лмпонет тензора напряжений по толщине цилиндрической оболочки. Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект №(4-(9-00847). Список использованной литературы: ( Димитриенко Ю.И. Асимптотическая теория многослойных тонких пластин/ Ю.И. Димитриенко// Вестник
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №12-4/2016 ISSN 2410-6070_
МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. - 2012. - № 3. - С. 86-100.
2. Димитриенко Ю.И. Асимптотическая теория термоупругости многослойных композитных пластин/ Ю.И. Димитриенко, Д.О. Яковлев // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2014. - Т.20. - № 2.
- С. 260-282.
3. Dimitrienko Y.I. Effect of thermomechanical erosion on heterogeneous combustion of composite materials in high speed flows. Y.I. Dimitrienko, I.D. Dimitrienko // Combustion and Flame. - 2000. -Т. 122. -№ 3. -С. 211-226.
4. Димитриенко Ю.И. Расчет полного тензора напряжений в тонких моноклинных композитных оболочках на основе метода асимптотической гомогенизации [Электронное научное издание]/ Ю.И.Димитриенко, Е.А. Губарева, Ю.В. Юрин // Инженерный журнал: наука и инновации. - 2016. -№12(60). . - DOI 10.18698/23086033-2016-12-1557. - URL: http://engjournal.ru/articles/1557/1557.pdf.
5. Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление/ Ю.И. Димитриенко - М.: Высшая школа.- 2001. - 576 с.
6. Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды. Т. 4: Основы механики твердого тела / Ю.И. Димитриенко.
- М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана.- 2013.- 580 с.
©Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Шурпо А.А., 2016
УДК 539.3
Димитриенко Ю.И., д.ф.-м.н., профессор Захарова Ю.В., к.ф.-м.н., доцент Сборщиков С.В., младший научный сотрудник Московский государственный технический университет им.Н.Э.Баумана,
г.Москва, Российская Федерация
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ОТВЕРЖДЕНИЯ ТОЛСТОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ ПОЛИМЕРНЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
Аннотация
Предложена математическая модель процесса отверждения толстостенных конструкций из полимерных композиционных материалов с учетом неравномерного прогрева по толщине. Сформулирована связанная задача тепломассопереноса, кинетики отверждения и термомеханики отверждаемой композитной конструкции, а также локальная задача микромеханики, которая решается численно с использованием метода конечных элементов. Модель может быть использована при оптимизации параметров режимов термообработки и отверждения толстостенных конструкций из композиционных материалов.
Ключевые слова
Отверждение, тканевый композиционный материал, прочностные свойства, метод конечных элементов.
Dimitrienko Yu.I.
Dr.Sc.(Phys@Math), professor Zakharova Yu.V. Ph.D.(Engineering) Sborschikov S.V.
Bauman Moscow State Technical University
MODELING OF CURING PROCESSES OF THE THICK- WALLED POLIMER COMPOSITE STRUCTURES
Аnnotation
A mathematical model of the process of curing a thick-walled cylindrical structure of a woven polymer
