CC BY
22
© Н.А. Малыхина, А.П. Погонин, 2002
УДК 621.926.5
Н.А. Малыхина, А.П. Погонин ЯВЛЕНИЕ ЗАВАЛА И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПИСАНИЯ ЗАВАЛА В ПНЕВМОТРАНСПОРТНЫХ СИСТЕМАХ
Я
вление завала в пневмотранспорте связано с выбором рабочей скорости транспортирующего потока. Завал - это закупоривание транспортирующего трубопровода сыпучим материалом, возникающее вследствие неустойчивого процесса транспортирования. В работе [1] происходящие завалы объясняются уменьшением расстояния между частицами при увеличении концентрации твердой фазы. Вследствие этого частицы попадают в гидродинамический след летящих впереди частиц, снижается лобовое сопротивление, увеличивается скорость витания и частицы выпадают из потока.
Для исследования характера возникновения завала предлагается воспользоваться уравнением неустановившей-ся фильтрации газа. Вывод уравнения основан на использовании закона Дарси и дифференциального уравнения неразрывности.
Скорость протекания газа в отдельных поровых каналах колеблется из-за непостоянства их поперечного сечения довольно в значительных пределах, в большинстве случаев она остается все же весьма небольшой. В силу этого течение газов в пористых средах чаще всего бывает ламинарным. Продвигаясь по каналу пористой среды, газ встречает со стороны последней сопротивление. Многочисленные опыты Дарси свидетельствовали, что связь между потерей давления на единицу длины и скоростью фильтрации может быть выражена линейной зависимостью:
тт dP U = -с — dx
(1)
где С - коэффициент фильтрации, характеризующий фильтрационные свойства пористой породы и физические свойства фильтрующегося флюида.
Для вывода дифференциального уравнения неразрывности выделим в потоке газа элементарный объем в форме параллелепипеда с гранями dx, dy, dz (рисунок) параллельно соответствующим координатам и применим к этому выражению закон сохранения массы.
Пусть скорость в центре параллелепипеда в точке А равна и и плотность р проекции скорости на оси ох, оу, оz обозначим их, Цу, ^. Масса газа, протекая через грань abcd параллелепипеда за единицу времени (т.е. массовый расход):
1 д(рих)
dM1 =
2 dx
-dx
dydz,
Z V<ih/ с •?' ¥ /4
^ * l/ dz
/~"А-b< dv Ж а1 ^
і У
dM x1
PU +1 d(PUx ) dx 2 dx
масса газа, вытекающая через противоположную грань а1, Ь1, с1, d1:
dydz .
В результате приток и отток массы газа в рассматриваемом элементарном объеме в направлении оси ох за единицу времени:
dMx - dMx1 = - дрХ) dxdydz . дх
Аналогично приток или отток в направлении оси оу
д(рЦу)
¿У
-dxdydz,
и в направлении оси о _д(рЦг) dxdydz.
&
Полное изменение массы в объеме параллелепипеда за единицу времени:
d(pUx) + d(pUy) + d(pUz)
dxdydz .
дх ду дz
Накопление (или уменьшение) массы газа в фиксированном объеме может иметь место только за счет изменения с течением времени ее плотности. Это изменение отнесено к единице времени и равно
— (pdxdydz) дt
Приравняем между собой два выражения изменения, найденные разными путями:
др
d(pUx)+dppUy) + d(pUz)
dt
(2)
дх ду дz
На основании уравнений (1) и (2) получим дифференциальное уравнение движения газов в пористых средах.
Если через е обозначить коэффициент пористости среды, то масса газа, заключенная в объеме параллелепипеда, Epdxdydz,
а ее изменение в единицу времени д Epdxdydz .
Приравняем это выражение к выражению изменения массового расхода газа через грани параллелепипеда:
дх (рих)+4у (риу)'+ 4~ (ри)+д~ЕрР=0.
дх ду дz дt
Предположим далее, что в соответствии с законом Дар-
Элементарный объем потока газа
Ux = -с Р U, = -с Р
дх у ду
Uz = -с ^.
dz
Внесем полученные соотношения в уравнение неразрывности:
др
±1 Рщ+Ц РЩ+Ц Р*
дх ^ дх) ду ^ ду) dz ^ dz Для одномерного случая: др
Ы
А! Р
дх і Р дх ер
= е-
где 0 =-----; К - постоянная Больцмана.
КТ
Считаем, что температура Т постоянна; после подстановки получим уравнение неустановившейся ламинарной фильтрации газа через пористую среду:
с д I др | др е дх і Р дх ) dt
(3)
Выделим на конце пробки образующегося завала элемент толщиной Ах . На пробку действует сила давления:
О 2 дР д Р =-----------Ах
4 дх
и сила трения, удерживающая его в равновесии:
Ртр = ълОАх.
Отсюда
=Б (дР
4 \^ дх
Чтобы поршень находился в равновесии, касательное напряжение не должно превышать допускающее [т], при котором происходит разрушение поршня. Окончательное условие устойчивости поршня:
дР <1Ы (4)
дх Б
Найдем градиент давления, который будет сдерживать пробку длиной і при установившемся режиме фильтрации.
Для этого воспользуемся уравнением (3), приняв др = 0 и
дt
граничные условия Рх=о = Рі Рх=і = Ро .
Тогда Щ Р дР'\ = 0.
дх ^ дх )
Решение дифференциального уравнения:
1Р 2 = Сіх + С2.
2 1 2
Определим постоянные С1 и С2 из граничных условий: 1P12 = С1 • 0 + С2, С2 =1P2,
- Ро2 = Сі • l + С2, Сі =
Ро2 - Рі2 p 2 2l
P =
дР
дх
х + Рі
х=1
Ро2 - Рі2 2l
Ро2 - Рі2 21Ро
l = -
С учетом (4) получим длину пробки, которая будет сдерживать заданное давление:
Ро2 _ Р2 Ь
8Ро [г] .
Найденная длина / есть минимальный шаг, с которым надо нарезать отверстия в трубопроводе, чтобы поддув обеспечивал отсутствие пробки.
Рассмотрим эту задачу для конкретного трубопровода. 4 2
Пусть р = 4 -10 кг/м _ начальное давление; 42
Ро = 3 -10 кг/м _ давление в конце трубы длиной
/1; [г] = 2 -104 кг/м2 _ допустимое касательное напряжение
для клинкера; D = 1,6 -10 _1м _ диаметр трубы.
Тогда искомая величина / = 2,3 -104 м = 0,23 мм . Так как найденный шаг получился очень маленьким, то, следовательно, образование пробки возможно на любой длине трубопровода. Значит, поддув газа должен быть сплошным. Этого можно достигнуть, например, если сверлить в трубе в шахматном порядке.
2
2
с
1
----------------------------------------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Zenz F.A., Othmer D.F. Fludization and Fluid-partical System, 1960.
2. Разумов И.М. Псевдожижение и пневмотранспорт сыпучих материалов, 1972. - 240 с.
КОРОТКО ОБ АВТОРАХ ----------------------------------------------------------------
Малыхина Н.А. - Белгородская государственная технологическая академия строительных материалов. Погонин Анатолий Алексеевич — профессор, кандидат технических наук, Белгородская государственная технологическая академия строительных материалов.
