Ядро и равновесие в моделях обмена с экстерналиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЛИТЕРАТУРА

1. Быкова Т.С., Тонкое Е.Л. Ляпуновская приводимость линейной системы с последействием // Диффе-ренц. уравнения. 2003. Т. 39, № 6. С. 731-737.

2. Быкова Т.С., Тонкое Е.Л. Асимптотическая теория линейных систем с последействием // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск, 2006. Вып. 2(36). С. 21-26.

Быкова Татьяна Сергеевна Ижевский государственный технический ун-т Россия, Ижевск e-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 4 мая 2007 г.

ЯДРО И РАВНОВЕСИЕ В МОДЕЛЯХ ОБМЕНА С ЭКСТЕРНАЛИЯМИ 1

© В. А. Васильев

Доклад посвящен анализу условий существования и коалиционной стабильности некоторых аналогов так называемого информационного равновесия в моделях экономического обмена с экстерналиями, изучавшегося в работах [1], [2].

Моделью экономического обмена с экстерналиями будем называть систему

E =< N, L, {Xi, wi, Ui}ieN >,

где N = {1,..., n} — множество участников, L = {1,..., 1} — множество продуктов, Xi С Rl — потребительское множество участника i £ N, а wi £ Rl и Ui : X ^ R — его начальный запас продуктов и функция полезности, соответственно (здесь, как и всюду далее, X = ЛXi). Специфической чертой рассматриваемой модели является неавтономность функций Ui (в классических моделях обмена функция полезности каждого участника i определена лишь на его потребительском множестве Xi и, следовательно, «нечувствительна» к уровню потребления других экономических агентов). Известно, что наличие «экстерналий» (externalities) в потреблении приводит к потере Парето-оптимальности стандартных равновесных распределений и необходимости рассмотрения надлежащих модификаций вальра-совского равновесия, свободных от указанного недостатка. К таким модификациям относится и предложенное В.Л. Макаровым информационное равновесие, изучаемое в настоящей работе.

хРабота выполнена при финансовой поддержке Российского гуманитарного научного фонда (проект №05-02-02005), программы Государственной поддержки ведущих научных школ (грант №4999.2006.6) и РФФИ (проект №07-06-00363).

Положим Л = (Мг)м и введем множество индивидуальных цен в Е, задаваемое формулой

Р = {(Р1,-;Рп) е Лм \ {0} I 3 Ро е Ло : ^гемРг = Ро}, где Ло = {(р1,...,рп) е (М+ )м |

р1 = ... = рп}. Отметим, что согласно определению Р, с каждым набором цен

р = (р1,...,рп) е Р связан вектор р0 = р°(р) е М++ (называемый общественными ценами, отвечающими р) такой, что ХлемРг = (Р0, -.,Р0). Будем предполагать, что индивидуальные функции дохода участников аг : Р ^ М удовлетворяют так называемому закону Вальраса

^ аг(р) = р0 • ^ шг, р еР (1)

гем гем

(здесь и далее р • х — скалярное произведение векторов р и х). Совокупность наборов функций дохода (а1, ...,ап), удовлетворяющих тождеству (1), будем обозначать через А. Далее, введем в рассмотрение множество X(М) сбалансированных распределений модели Е, определяемое формулой

X(М) = Ох = (хг)гем е X | £ хг ^ ^ шг}.

гем гем

Наконец, для каждого г е М и х е X положим Рг(х) = {г е X | щ(г) > щ(х)}.

Определение 1. Пусть а = (а1,..., ап) е А. Распределение х е X (М) будем называть информационным а-равновесием модели Е, если существуют индивидуальные цены р = (р1, ...,рп) е Р, удовлетворяющие соотношениям: ^1) рг • х = аг(р) для каждого г е М; ^2) рг • х > аг(р) для каждого г е М и х е Рг(х).

Совокупность всех информационных а-равновесий модели Е обозначим через Ша(Е).

В работе [1] для случая а1(р) = р0 • шг, г е М, найдены условия непустоты (Е), близ-

кие к весьма общим предположениям теорем существования классических вальрасовских равновесий, полученных к настоящему времени. В предлагаемом докладе основное внимание уделяется случаю а2(р) = рг • ш, г е М, где ш = (ш1, ...,шп), представляющему особый интерес в связи с индивидуальной рациональностью соответствующих информационных равновесий (вальрасовские равновесия, как и информационные а-равновесия при а = а1, как правило, не являются индивидуально рациональными). Установлено, что для указанного случая а = а2 существование информационного а-равновесия гарантируется лишь при достаточно жестких предположениях. В частности, одним из ключевых условий является существенно более быстрый рост функций полезности участников по их собственному потребительскому множеству, нежели по уровню потребления остальных экономических агентов.

К числу основных результатов работы относится и кооперативная характеризация информационных а2-равновесий. Именно, удается построить нечеткое доминирование, дающее хорошую аппроксимацию сверху для множества Ш2(Е) = ШI (Е) в терминах соответствующего нечеткого ядра. Для описания этого ядра напомним, что символом Тм обозначается множество представительных нечетких коалиций множества М : Тм = {г = (Т1, ...,Тп) е Мм I Тг е (0,1], г е М}.

Определение2. Нечеткая коалиция (т1, ...,тп) е Тм а2-доминирует распределение х е X(М), если существуют распределения х0 = (х^,...,хЩ) е X и гг = (г1,...,г™) е X, г е М, для которых выполняются следующие соотношения:

(С1) гг е Рг(х) для каждого г е М;

(С2) тг(гг — ш) = {т^х^ — ш1),...,тп(хп — шп)) для каждого г е М;

(С3)£гем Тгхг0 ^^2гем Тгшг (как и ранее, ш = (ш1, ...,шп)).

Множество распределений х е X(М), для которых не существует а2-доминирующей коалиции т е Тм, будем обозначать через 1Ср и называть представительным нечетким а2-ядром модели Е.

В завершение доклада доказывается вложение Wf(S) С ICp(E) и обсуждаются условия, гарантирующие совпадение множества информационных а2-равновесий и представительного нечеткого а2-ядра модели экономического обмена с экстерналиями.

ЛИТЕРАТУРА

1. Макаров В.Л., Васильев В.А. Информационное равновесие. Существование // Экономика и математические методы. М., 2006. Т. 42, №3. С. 31-52.

2. Макаров В.Л., Васильев В.А. Информационное равновесие. Коалиционная стабильность // Экономика и математические методы. М., 2006. Т. 42, №4. С. 50-63.

Васильев Валерий Александрович,

Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН Россия, Новосибирск e-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 10 мая 2007 г.

УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПАРАМЕТРУ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ С Р-ЛАПЛАСИАНОМ 1

© А. А. Васильева

Пусть О С Мп — область с липшицевой границей, (Т, р) — метрическое пространство,

и

1 < р < ж. Для каждого Ь е Т, х е О, и е М положим Ф(Ь, х, и) = / Г(Ь, х, у) йу, где Г

0

имеет следующие свойства:

1. для любых Ь е Т, х е О функция Г(Ь, х, •) непрерывна и возрастает, Г(Ь, х, 0) = 0;

2. если п ^ р, то существуют М > 0 и 1 < а < п-р такие, что Г(Ь, х, и)1 ^ М(1и1а-1 + 1) и Г(Ь1, х, и) — Г(Ь2, х, и)1 ^ М 1и1а-1 р(Ь1, £2); если п < р, то существует непрерывная функция с(и) такая, что Г(Ь, х, и) ^ с(и) и Г(Ь1, х, и) — Г(Ь2, х, и)1 ^ с(и)р(Ь1, Ь2).

-г-г 0 1 0 1

Пусть р : Т \¥р,(О) и / : Т (ЩДО))* липшицевы по Ь с константой Ь и

Л :=тах ^ир Mt)\\wl(n), II/ (Ь)Н<*1(П))*} < ж

хРабота выполнена при поддержке РФФИ (проект №06-01-00160).