CC BY
66
Ю.Г. Дмитриев, Ж.Н. Зенкова
ЯДЕРНАЯ ОЦЕНКА ПЛОТНОСТИ НЕРАВНОПЛЕЧНО СИММЕТРИЧНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Предлагается ядерная оценка неизвестной плотности распределения, модифицированная с учетом знания ее неравноплечной симметрии относительно известного центра. Показана сходимость оценки к истинной плотности в среднеквадратическом.
При обработке статистических данных нередко возникает необходимость построения оценки неизвестной функции плотности распределения исследуемой случайной величины. На практике очень часто возникают ситуации, когда существует дополнительная информация о случайной величине, например ее положительности, ограниченности, непрерывности, симметричности, моментах и пр. Источником этой информации могут служить условия эксперимента, теоретические выводы, физический смысл анализируемой случайной величины и т.д. Следовательно, возникают задачи учета дополнительной информации при построении оценок плотности, а также исследовании качества модифицированных статистик.
Оценка Бр -неравноплечно симметричной функции плотности
ПустьX = {Х1, X»} - последовательность неза-
висимых одинаково распределенных наблюдений над случайной величиной £, (выборка объема N с неизвестной ф.р. F(x), хеИ, обладающей свойством (2).
Оценка плотности _Дх) по выборке Х с учетом свойства Бр -неравноплечной симметрии строится по формуле
Бр -неравноплечная симметрия функции распределения
Пусть случайная величина £, имеет функцию распределения F(x) с плотностью Ах) относительно меры Лебега на прямой хе Я.
Определение. Будем говорить, что функция распределения (ф.р.) F(x), хеЯ, обладает свойством Бр-
неравноплечной симметрии относительно центра с с известным весом
' =е (4
если она удовлетворяет условию
Е(шах(х, £(х)}) = 1 - -—Р Е(шіп(х, £(х)}), (2)
р
/Ы£р (х) = 8(х)(/м(х) - £'(х) /м(£ (х))
где
х < с,
- (1 - р), х > с,
1
/м (х) = X К
мны ,=1
V К у
(4)
(5)
(6)
(1)
где /М(х) - ядерная оценка плотности Розенблатта-Парзена, К(і) - ядро оценки (обычно это некоторая плотность распределения вероятностей), Нм - параметр размытости [1].
Формулу (4) можно также представить в виде
ЫН
с с
К
N ‘=1
- £'(х)К
V V П у
. (7)
Теорема 1 [2]. Если ядро
где функция Б (х) - непрерывна, монотонно убывает и удовлетворяет требованиям
где
(£)'(х) = £ (х), £ (с1 ) = с0, £ (с ) = с, с0 = ащшіп(Е (х)), с1 = ащшах(Е (х)).
К(і)>0, ієЯ,
+да
| К (і )йі = 1,
-да
БИр К(і) < да,
іє Я
Ііш іК (і) = 0,
(8)
(9)
(10) (11)
Заметим, что при
р = Е(с) = 0,5 , £(х) = 2с - х получим обычную симметрию
Е (х) = 1 - Е ( - х + 0) относительно центра с .
Нм - последовательность положительных величин, такая, что
(12)
Ііш НЫ = 0,
то в любой точке непрерывности функции А(х)
(3) Пт Щ» (х) = А (х). (13)
N
Теорема приводится без доказательства.
Теорема 2. Пусть плотность /х) непрерывна и обладает свойством (2). Тогда при выполнении условий (8)-(11)
lim MfSp (x) = f (x).
N ^да
Доказательство. Пользуясь (13), получим
Доказательство. Пусть x < с, тогда, воспользовавшись (15), получим
+ ps '(x) f (S (x)) = (1 + p) f (x),
(14) следовательно,
f (x) = pf (x) + ps '(x) f (S (x)),
1ип / (х) =
N ^да
= Я(х) Ит М( (х) - Б'(х)/»(Б(х))) =
N ^да
= Я(х) Ит M/N (х) - я(х)Б'(х) 11т М/у ((х)) =
N ^да N ^да
= Я(х)(/(х) - Б'(х)/(Б(х))
Пусть х<с. Применим свойство (2), которое для плотностей имеет вид
f (x) = p( x)S '(x) f (S (x))
где
p( x) =
1 + p 1 + p
x < c;
x > c.
(15)
поэтому
lim M(fNp (x) + f (x)) = lim M(pfi (x) +
N ^да N ^да
+ pS'(x) /n (s (x)) + pf (x) + pS'(x) f (S (x)))2 =
= p2 lim M(n (x) + f (x))2 + 2p2S’(x) x
N ^да
x lim M{(/N (x) + f (x))/N (s(x)) + f (S(x))}+
N ^да
+ p2 lim M( (S(x))+ f (S(x))2.
N ^да
Применив формулу (19), получим
lim M(fNp (x) + f (x))2 = +2 p2 S' (x) x
N ^да
x lim M{N (x) + f (x))fN (S(x)) + f (S(s)))} =
N ^да
= +2 p2 S’ (x) limcovS (x), /n (S (x))
Будем иметь
S ' (x) f (S (x)) = + l—p f (x), g (x) = p, p
поэтому
{tK (t )dt = О,
{ K 2(t )dt
< да,
lim NhN = да,
N ^да
то
lim m(/n (x) + f (x))2 = О.
Теорема 3. Пусть плотность /х) непрерывна и обладает свойством (2), ядро К(/) имеет все моменты. Тогда при выполнении условий (6), (7), (11)
lim м( (x) + f (x))2 = О.
В [4. С. 145] показано, что для непрерывной на R плотности f(x) при выполнении условий теоремы 1 для достаточно больших N
lim MfNP (x) = p| f (x) + 1—p f (x) I = f (x).
Для х > с доказательство строится аналогично. Теорема доказана.
Таким образом, модифицированная оценка (4) является асимптотически несмещенной.
В [2, 3] показано, что если выполняются условия (8)-(12), плотность К(і) имеет все моменты,
(1б)
(17)
(18)
(19)
(2О)
c°v(fN (x),fN (У)Ь
ЦУ (f (x) + f (у))2 (t)dt + о
f _± ^
V NhN У
(21)
где 5( х, у) = {1: х = у,0 : х Ф у} - функция Кронекера.
В данном случае 5(х, у) = 1 лишь при х = Б(х), что возможно только тогда, когда х = с = Б(с). Таким образом, выражение (21) принимает следующий вид:
covS (x), /n (s(x))) И )(c) J K2 (t)dt
NhN +да
+о
f _±Л
V NhN у
По условиям теоремы Пт NhN = да, [ К 2(/)Л < да.
N ^да ^
—да
Значение /(с) < да в силу интегрируемости /х), тогда Ит соу/(х), ^ ( (х))) = 0,
N ^да
из чего следует (20).
Для случая х > с доказательство строится аналогично. Теорема доказана.
Таким образом, использование дополнительной информации об Бср -неравноплечной симметрии случайной величины позволяет получить асимптотически несмещенную модифицированную ядерную оценку плотности с нулевым в асимптотике среднеквадратическим отклонением.
ЛИТЕРАТУРА
1. RosenblattM. Remarks on some nonparametric estimates of a density functions // Ann. Math. Statist. 1956. Vol. 27, № 3. Р. 832-837.
2. ParzenE. On estimation of a probability density function and mode // Ann. Math. Statist. 1962. Vol. 33. P. 1065-1076.
3. Тарасенко Ф.П. Непараметрическая статистика. Томск: Изд-во ТГУ, 1976. 294 с.
4. Непараметрическое оценивание функционалов от распределений стационарных последовательностей / В. А. Васильев, А. В. Добровидов,
Г.М. Кошкин / Отв. ред. Н.А. Кузнецов. М.: Наука, 2004. 508 с.
Статья представлена кафедрой теоретической кибернетики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 30 мая 2006 г.
