Ячейки для исследования движения наночастиц в неоднородном магнитном поле Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 538.95:53.09:53.072.4

А. Н. Темников, Б. Сулайман

ЯЧЕЙКИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ НАНОЧАСТИЦ В НЕОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Ключевые слова: магнитные наночастицы, неоднородное магнитное поле.

Описаны конструкции ячеек для создания неоднородного магнитного поля в суспензии магнитных наночастиц с помощью постоянного магнита и проводников с током. Проведены расчеты величины магнитного поля и его градиента при различном расположении проводников и направлении тока в них. Предложен способ учета влияния нагревания проводников на результат эксперимента.

Keywords: magnetic nanoparticles, inhomogeneous magnetic field.

The design of cells for creation of inhomogeneous magnetic field in suspension of magnetic nanoparticles with help of permanent magnet and conductors is described. The calculations of magnetic field value and gradient for various positions of conductors and directions of currents are executed. The method for overcoming of thermal effect is proposed.

В настоящее время наночастицы, благодаря своим специфическим свойствам, широко применяются в различных областях человеческой деятельности [1 - 6]. В частности, магнитные наночастицы используются в качестве одного из компонентов смазочных масел, не вытекающих из подшипников и обеспечивающих их герметизацию, они применяются для локального нагрева участка ткани при проведении лечебной процедуры, так называемой гипертермии, их вводят в исследуемый объект для увеличения контраста изображения в методе магнитно-резонансной томографии и т.п.

Одним из свойств магнитных наночастиц, определяющих возможности их практического использования, является способность направленного перемещения (дрейфа) в неоднородном магнитном поле. Это свойство используется, например, для доставки лекарственных препаратов к нужному органу или участку ткани в живом организме. С этой целью разрабатываются сложные магнитные системы для управления движением наночастиц в реальном времени.

Нас интересует возможность решения обратной задачи - использование наночастиц для визуализации магнитного поля, что весьма полезно во многих практических случаях, в частности, при юстировке систем на основе постоянных магнитов. Первым шагом в направлении решения этой задачи является исследование поведения наночастиц в магнитном поле с известными характеристиками.

Расчет магнитного поля системы на основе постоянных магнитов является довольно сложной задачей и выполняется, как правило, с помощью специальных компьютерных программ. При этом необходимо знать магнитные характеристики всех материалов, входящих в состав магнитной системы.

Другой способ создания магнитного поля, который позволяет избежать подобных проблем, - с помощью проводников с током. Используя хорошо известный закон Био-Савара-Лапласа или закон полного тока, можно легко рассчитать (аналитически или численно) магнитное поле, создаваемое любой системой проводников. Например, напряженность магнитного поля Н

отрезка проводника, по которому течет ток I, в точке, находящейся на расстоянии г от проводника, рассчитывается по формуле

H = —^(cos a1 + cos a2). 4лГ

(1)

где

а,1 и а 2 - углы, под которыми из данной точки видны концы проводника.

Важным достоинством такого способа создания магнитного поля является простота изменения его величины - путем изменения силы тока в проводнике. Существенным недостатком является низкое значение индукции создаваемого магнитного поля. Формально это объясняется малой величиной магнитной постоянной (ц 0 = 4 л-10-7 Гн/м), связывающей напряженность Н и индукцию В :

В = ццоН . (2)

Здесь ц - магнитная проницаемость среды. Если среда не является ферромагнетиком, то ц = 1.

Используя формулы (1) и (2), можно найти силу тока, которая необходима для создания магнитного поля с заданной величиной индукции:

4лгВ 107гВ

I =

цц 0 (cos aj + cos a 2) cos aj + cos a 2 Например, для создания поля с индукцией 0,1 Тл на расстоянии 1 мм от длинного проводника (когда cos aj и cos a 2 и 1) сила тока в проводнике должна равняться 500 А.

Следует отметить, что при уменьшении расстояния r величина индукции магнитного поля возрастает по гиперболическому закону. Скажем, если r = 1 мкм, то для создания поля с индукцией 0,1 Тл требуется ток всего 500 мА. Это открывает принципиальную возможность наблюдения движения наночастиц, находящихся рядом с проводником, в магнитном поле тока, текущего по этому проводнику

Одним из факторов, который может повлиять на результат эксперимента, является нагревание проводника при протекании по нему электрического тока. Оценим величину изменения

температуры проводника; для упрощения расчет проведем без учета теплообмена.

Согласно закону Джоуля - Ленца, количество теплоты, выделяющееся в проводнике сопротивлением Р при прохождении по нему тока силой I в течение времени 1, равно

О = 12Р. (4)

Полагая, что все количество теплоты идет на нагревание проводника, имеющего массу т и удельную теплоемкость с, найдем изменение температуры проводника:

ДТ =

О 1

(5)

тс тс

Выражая сопротивление и массу

проводника через его длину _, площадь

поперечного сечения Б, удельное сопротивление

р к и плотность р т, после элементарных преобразований получим:

ДТ = 1 РР1 =j2 РР1

Б 2 Ртс

Ртс

(6)

Видно, что изменение температуры проводника не зависит от его размеров и прямо пропорционально квадрату плотности тока ] в проводнике.

С практической точки зрения формулу (6) удобнее представить в следующем виде:

ДТ =

26 I2Р^

л2 d4Ртс

(7)

где d - диаметр проводника.

Как видно, с увеличением тока в проводнике и уменьшением его диаметра нагрев проводника должен резко увеличиваться.

Из формулы (7) можно получить значения тока (при фиксированном значении диаметра проводника) или, наоборот, значения диаметра (при фиксированном значении тока), для которых изменение температуры не превышает заданной величины. Так, например, изменение температуры проводника за 5 мин не превысит 1°С, если сила тока в проводнике диаметром 0,2 мм не более 20 мА.

Отметим еще раз, что формула (7) была получена без учета теплообмена и значение ДТ является завышенным. Расчет ДТ при наличии теплообмена представляет собой самостоятельную задачу, выходящую за рамки данной статьи. Предварительные эксперименты показали, что нагревание тонкого проводника небольшой длины (d = 0,2 мм, _ = 10 см), концы которого подключены к подводящим проводам большого сечения, незначительно вплоть до токов ~ 1 А.

Поскольку исключить нагрев проводников принципиально невозможно, необходимо попытаться разделить эффекты влияния магнитного поля и тепловые эффекты. Это можно сделать, если учесть, что степень нагрева проводника не зависит от направления тока в нем. В то же время, при изменении направления тока в проводнике направление вектора магнитной индукции меняется

на противоположное. Отсюда следует, что магнитное поле двух рядом расположенных параллельных проводников с противоположным направление тока будет значительно слабее, чем поле таких же проводников с одинаковым направлением тока.

На рис. 1 показана конструкция ячейки с двумя парами проводников, реализующая описанный принцип и предназначенная для микроскопических наблюдений в отраженном свете.

Текстолит I I Стекло Медь

□ Суспензия I. - ) Пластик I I Герметик

Рис. 1 - Конфигурация проводников и поперечное сечение токовой ячейки -схематичное изображение. На верхнем рисунке вертикальный размер ячейки уменьшен вдвое, медное (теплоотводящее) покрытие в ее центральной части не показано

Система, состоящая из прямолинейных проводников, является наиболее простой для расчета. Если точка наблюдения находится вблизи проводника, его можно считать бесконечно длинным. В этом случае для расчета величины магнитной индукции В в точках, находящихся на расстоянии г от проводника, можно использовать простейшую формулу:

В = . (8)

4л г

Соответственно, выражение для градиента магнитного поля будет иметь следующий вид:

dr

ЦЦ 0 _2|_ 4л г 2

(9)

В этих формулах ц и 1, ц0 = 4л-10- Гн/м.

Полагая в (8) и (9) г = 0,01 мм, I = 20 мА, получим В = 0,4 мТл и dB /dr = 40 Тл/м. Подчеркнем, что в данном случае основным

является второе значение, так как сила Р, действующая на частицу с магнитным моментом р, определяется не абсолютным значением индукции, а величиной градиента магнитного поля.

Р = д^(р,В).

(10)

В декартовой системе координат компоненты вектора магнитной индукции определяются следующими выражениями:

Вх - В-

7 - 7

0

В7 =-В

г

х - х о г

(11)

г = -\(х - хо )2 + (7 - 7о )2 .

Здесь х иг - координаты точки поля, х0 и70 -координаты проводника, располагающегося вдоль направления оси ОУ.

Компоненты градиента рассчитываются по следующим формулам:

¿В х-хо

<7

= -В

г2 7 - 7 о

г

2

(12)

На рис. 2 представлены распределения величин В и <В / <х от х при 7 = о для системы с двумя парами проводников со следующими координатами: хо1 = 2 мм, х о2 = 2,1 мм, хоз = 4 мм, хо4 = 4,1 мм и 701 = 702 = 7оз = 7о4 = о. Компоненты результирующего вектора магнитной индукции рассчитывались как алгебраические суммы компонент полей, создаваемых отдельными проводниками (знак слагаемого выбирался в зависимости от направления тока в проводнике).

0.3-1

В, мТл

0.2 0.1

0 -0.1

-0.2

-о.з-1

2 3 X, мм

¿В/ск.Тл/м 1

, ] J 1

■ 1 2 / э -1—■ ■ ■' 4

\ X, ММ

-2Л

Рис. 2 - Распределения величин В и <В / <х вдоль оси ОХ в ячейке с двумя парами проводников. Направления токов в первой паре проводников противоположны, во второй -одинаковы

Видно, что как распределение поля, так и распределение его градиента в окрестностях первой и второй пар проводников существенно различаются. Это позволяет надеяться на возможность разделения теплового и магнитного действий тока на движение магнитных наночастиц в экспериментах с подобной ячейкой.

Расчет магнитного поля с использованием закона Био - Савара - Лапласа возможен и для ферромагнитных тел. Такой способ расчета основан на эквивалентности магнитного поля, создаваемого во внешней области пространства

ферромагнитными телами и системами проводников с током. Так, например, магнитное поле цилиндрического магнита эквивалентно магнитному полю соленоида, магнитное поле прямоугольного намагниченного бруска эквивалентно магнитному полю двух встречных пленок тока. Основным условием эквивалентности является равномерная намагниченность ферромагнитного тела. Равномерность намагниченности может достигаться в двух случаях: если протяженность тела по горизонтали значительно больше высоты тела (поле направлено вдоль высоты); если тело намагничено до насыщения, когда размер тела вдоль направления внешнего поля значительно больше поперечного размера [7].

Возможность намагничивания до насыщения зависит также от свойств ферромагнетика. Как известно, существуют магнитно-мягкие и магнитно-твердые материалы. Первые, в отличие от вторых, намагничиваются до насыщения в относительно невысоких полях. Это позволяет при расчете полей применять принцип эквивалентности и использовать закон Био - Савара - Лапласа.

На рис. 3 схематично изображен еще один возможный вариант конструкции ячейки для наблюдения дрейфа наночастиц в неоднородном магнитном поле.

Рис. 3 - Устройство для наблюдения дрейфа наночастиц в неоднородном магнитном поле. Арматура, поддерживающая отдельные детали конструкции, не показана

На полюсе постоянного магнита вертикально установлена система из тонких параллельных друг другу железных пластин, находящихся на небольшом расстоянии друг от

друга. Сверху укреплен образец суспензии, помещенной в зазор между двумя покровными стеклами, края которых скреплены герметиком. Так как размеры образца значительно меньше размера пластин, при расчете магнитного поля учитывалась только толщина пластин и расстояние между ними, остальные размеры пластин полагались бесконечными. Пластины считались

намагниченными до насыщения (равномерно) и каждая из пластин моделировалась двумя пленками тока, текущего в противоположных направлениях.

Расчетные формулы были получены интегрированием выражений (11) и (12) по координате ъ от Ъо до ж; значение Ъо определяется, в основном, толщиной стекла кюветы. Так как размеры образца значительно меньше размера пластин, при расчете магнитного поля учитывалась только толщина пластин и расстояние между ними, остальные размеры пластин полагались бесконечными. Пластины считались намагниченными до насыщения (равномерно) и каждая из пластин моделировалась двумя пленками тока, текущего в противоположных направлениях. Расчетные формулы были получены интегрированием выражений (11) и (12) по координате ъ от ъ0 до ж; значение ъ0

определяется, в основном, толщиной стекла кюветы. Отметим, что подынтегральное выражение должно содержать алгебраическую сумму компонент полей, создаваемых обеими пленками тока, в противном случае значение интеграла будет равно бесконечности.

На рис. 4 представлены распределения индукции магнитного поля и градиента поля вдоль оси ОХ для ячейки, подобной изображенной на рис. 3, с двумя вертикальными пластинами толщиной 0,1 мм, находящимися на расстоянии 2 мм друг от друга. Значение Ъо выбрано равным 0,5 мм.

Рис. 4 - Распределения величин B и dB / dx

вдоль оси ОХ в ячейке с двумя пластинами

Литература

1. А. И. Пименов, Р. А. Ибрагимов, В. С. Изотов, Вестник Казанского технологического университета, 1, 128 (2015)

2. А. Б. Кононенко, Д. А. Банникова, С. В. Бритова, Е. П. Савинова, О.А. Жунина, А.В. Лобанов, С. М. Васильев, В. Н. Горшенев, Г. Е. Заиков, С. Д. Варфоломеев, Вестник Казанского технологического университета, 2, 114 (2015)

3. С.В. Водопьянова, Р.С. Сайфуллин, Р.Е. Фомина, Г. Г. Мингазова, Вестник Казанского технологического университета, 4, 125 (2015)

4. B. M. Berkovsky, V. F. Medvedev, M. S. Krokov,Magnetic Fluids: Engineering Applications, Oxford: Oxford University Press (1993).

5. A. E. Merbach, Е. T'oth, The Chemistry of Contrast Agents in Medical Magnetic Resonance Imaging, Chichester, UK: Wiley (2001)

6. R. E. Rosensweig, J. Magn. Magn. Mater. 252, 370 (2002)

7. Л.А. Саркисян, Аналитические методы расчета стационарных магнитных полей, М.: Энергоатомиздат (1993).

© А. Н. Темников - к.ф.-м.н., доц. каф. физики КНИТУ, [email protected]; Б. Сулайман - магистрант каф. плазмохимических и нанотехнологий высокомолекулярных материалов КНИТУ.

© A. N. Temnikov, PhD in Physics and Mathematics, Associate Professor, Physics Department, Kazan National Research Technological University, [email protected]; B. Sulaiman, Master's Student, Department of Plasma-Chemical and Nanotechnologies of Macromolecular Materials, Kazan National Research Technological University.