CC BY
9УДК 519.2
ВЗВЕШЕННЫЕ LP-НОРМЫ, p ^ 2, ДЛЯ ВИНЕРОВСКОГО ПРОЦЕССА: ТОЧНЫЕ АСИМПТОТИКИ МАЛЫХ УКЛОНЕНИЙ
В. Р. Фаталов1
В статье доказаны результаты о точных асимптотиках вероятностей малых уклонений для винеровского процесса в £р-норме с весом при p > 2 и для Lp-норм от траекторий некоторых стохастических интегралов.
Ключевые слова: малые уклонения, винеровский процесс, стохастический интеграл.
Results concerning exact asymptotics for small deviation probabilities of a Wiener process in Lp-norm with a weight p > 2 and for Lp-norms of trajectories of some stochastic integrals are proved in the paper.
Key words: small deviations, Wiener process, stochastic integral.
1. Введение. В последние годы получен ряд интересных результатов о точных асимптотиках малых уклонений во взвешенных Ь2-нормах для широкого класса гауссовских процессов [1-4], названных в [4] процессами Грина. Гауссовский процесс Грина характеризуется тем, что его ковариационная функция совпадает с функцией Грина некоторого самосопряженного дифференциального оператора четного порядка. Теоремы, доказанные в работах [1-4] методами гильбертова пространства, основаны на исследовании собственных чисел упомянутого дифференциального оператора и не переносятся на негильбертовы нормы.
В настоящей работе мы докажем результаты о точных асимптотиках малых уклонений для простейшего процесса Грина — винеровского процесса во взвешенной £р-норме при р ^ 2. Наш метод — метод сравнения — основан на уже доказанных теоремах о точных асимптотиках малых уклонений для винеровского процесса в £р-норме (см. [5-7]) и теореме Радона-Никодима об абсолютной непрерывности.
2. Формулировка основных результатов. Перейдем к точной формулировке полученных результатов. Пусть w(t), £ ^ 0, обозначает стандартный винеровский процесс, -ш(0) = 0. Зафиксируем число р > 0. Пусть ко = ко(р) > 0 — минимальное собственное число самосопряженного оператора Шрёдингера В : £2(И) — £2(И,), имеющего вид
и уо(£) — соответствующая нормированная положительная собственная функция [8, с. 240, 431]. Отме-
оо
тим, что в силу приближения Лиувилля-Грина выполнено соотношение / Уо(х) (!х < то. Определим
— о
параметры
Обозначим через Т класс заданных на отрезке [0,1] функций 0(£), которые строго положительны и дважды непрерывно дифференцируемы.
Сформулируем основной результат работы.
Теорема 1 (точная асимптотика малых уклонений в £р-норме с весом). Пусть фиксировано число р ^ 2 и задана, функция 0(£) из класса, Т. Тогда, при £ — 0 справедливы асимптотические соотношения
w(t) |P 0(t) dt < £р\ = 0(0)
■0(0)
1/(2р+4) i 1 _р
Р{ ¡\w{t)\vdt^-p}{l + o{l)) =
ap о
ap ap \р2/к
L0(i)J
0(1)
1/(2p+4) 7 i bn a2
Уо(0) J y0(x)dxeexpi. —^ \ (l + o(l)), (2)
1 Фаталов Вадим Роландович — канд. физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. лаб. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vrfatalovQyandex.ru.
где
/ 1 \ (Р+2)/(2р)
аР = (I[^(¿}]2/(р+2) . (3)
Результат теоремы 1 новый, ранее в литературе рассматривался только частный случай, когда р = 2. Отметим также, что при р ^ 1 логарифмическая асимптотика вероятности из соотношения (3) ранее была вычислена в работах [9, теорема 1.2] и [10, теорема 7.9] для более широкого класса весовых функций (см. также [11, § 11.2, с. 53]). Для рассматриваемого нами класса весов указанный результат из [9, 10] согласуется с формулой (2). Используя первое соотношение в (2) и известную формулу точной асимптотики малых уклонений винеровского процесса в Ь2-норме (см., например, [5, формула (1.22)]), мы получаем р = 2
Следствие (малые уклонения в £2-норме). Для, заданной функции -ф(г) из класса Т при е — 0 справедливы соотношения
I и)2(г) М < е2 I =
а2 л/к
т
Ф(оу1/8
1/8
Р
I 1 (1 + 0(1)) =
|>(1)]
(4)
где а2 = / М.
Соотношение (4) было получено ранее в [4, теорема 3], где следует положить и = 0. Пример. Пусть весовая функция ф(Ь) является экспоненциальной:
^(г) = г € [о, 1],
(5)
где д € К — параметр. Такая функция, очевидно, принадлежит классу Т. Используя формулы (3) и (5), в результате простых вычислений получаем равенство
а,
V
2 + р 2д
е2д/(Р+2) _ 1
ч (р+2)/(2р)
(6)
Предложение. Для р ^ 2 и д € К щи е — 0 справедливы соотношения
I I =е-"/(2р+4)Р П \ги^)\р М < ^ \ (1 + о(1))
. о
. о
е-д/(2Р+4) ар
Уо(0) ! Уо{х) (1хе ехр | | (1 + о( 1)),
лД7Г
(7)
где константа ар задана, в формуле (6). р = 2
и=0
Используя теорему 1, несложно получить утверждение о точной асимптотике малых уклонений в £р-норме для следующего стохастического интеграла:
ъ
Ф) = I
¿■и(в)
г € [о, 1].
(8)
Теорема 2. Пусть фиксировано число р ^ 2 и заданы, две функции 0(г), <£>(Ь) из класса, Т. Тогда, при
е- 0
где
|п(г)|р <р(г) йг < ее) =
02(0)р(0)
в\ 1)^(1)
1/(2е+4)
1
е
е
Ср лД7Г
[02(1)р(1)]
1/(2е+4)
р<: / }> (1 + 0(1)) =
' Ь С2
Ье Се
2/о(0) I у0(х)(1хе ехр |—^1(1+о(1)),
Се И У [^)]2/(е+2) [0(г)]-2е/(е+2) йг
(е+2)/(2р)
(9)
(10)
Ради полноты изложения приведем результат о точной асимптотике малых уклонений для винеров-ского процесса во взвешенной норме-супремуме, доказанный в статье [12].
Теорема 3 (А. А. Новиков [12]). Пусть функция ф(г), заданная, на отрезке [0,1], строго положи-
е - 0
Р { вир |и(г)| ф(г) < е} = [ъе[о,1] )
где
ш
1/2
Р \ вир |ги(*)| < 5 \ (1+°(1)) = -
ъе[о,1]
<=
п
т 1т \
1/2
ехр< -
7ГЧ2 8е2
(1+о(1)),
Ф2(г) йг
1/2
Утверждение теоремы 3 можно получить, применяя теорему 1 из [12] при к = 1, д = 0 и известный результат И. Г. Петровского (см. [13, §18, с. 206] и теоремы 2.1, 2.10 в [14]). Отметим также, что для стохастического интеграла п(г) из формулы (8) и функции 0 (г) из класса Т выполнено следующее точное равенство для любого х > 0:
где
Р вир \г](г)\ < ж } = Р вир |«;(£)| < — 1ъе[о,1] I 1ъе[о,1] Сж
йг
(11)
02(г)'
Равенство (11) вытекает непосредственно из леммы 1, приведенной далее. Оно позволяет проводить вых
3. Некоторые вспомогательные утверждения. Зафиксируем некоторую функцию /(г) из класса Т, положим
ъ
С йв
(12)
1
Уо = Н(1) = У
йв
Ш''
(13)
и определим случайный процесс
ъ
х (г)=/
< и (в)
г € [0,1].
Обозначим через Н 1(у) функцию, обратную к монотонно возрастаю щей функции Н(Ь).
зо
С
Лемма 1. Случайный процесс
Y(v):= X(h-1(v)), v € [0,vo],
представляет собой стандартный винеровский процесс на, отрезке [0,vo].
Доказательство. Утверждение леммы следует из характеризационной теоремы Леви для мартин-
Y(v) v
Лемма 2. (i) Имеют место соотношения
= > °> = ÍGM> (15)
fsh-l(s) = f2(h-l(s)), se[0,vo]. (16)
(ii) Для любой заданной функции g (t) из класса, F существует единственная функция f (t) = fg (t) из класса, F, такая, что в обозначениях (12), (13) выполнено равенство
g(t) = f(h-1(vot)), t € [0,1], (17)
и при этом справедливы, соотношения
g(o)=f(o), g(i) = f(i), v0 = —^—•
/ g2(t) dt o
Доказательство. Равенства (15), (16) вытекают непосредственно из определения (12) и формулы для производной обратной функции.
Докажем второе утверждение леммы. Для этого в силу формулы (15) достаточно показать, что для
g( t) F
тающая на отрезке [0,1] функция h(t), для которой выполнено равенство (17). Мы зададим однозначным образом обратную функцию h-1 (v), а именно для заданной функции g(t) положим
V0 ■■= -¡—^-, (18)
/ g2(t) dt o
v/vo
h-1(v) := vo J' g2(t) dt, v € [0,vo]. (19)
o
h-1(0) = 0 h-1(1) = 1
ренцируема с производной
^h~l{v)=g2{v/v о), (20)
По функции (19) однозначно определяется обратная к ней гладкая функция h(t), t € [0,1], для которой положим
*е[0,1]. (21)
Vh'(t)
Из формул (20) и (21) вытекают равенства
1d
/2(/rl(v)) = h'(h-4v)) = Tvh~l{v) v G (22)
Положив в (22) v = vot, получаем равенство
f2(h-1(vot))= g2(t), t € [0,1]. (23)
gf
второе утверждение леммы. Лемма 2 доказана.
Для нашей фиксированной функции f (t) из маеса F определим случайный гауссовский процесс
t
Z(t) = f(t)J te [0,1]. (24)
0
Лемма 3. Для любых p > 0 е > 0 выполнено равенство i ^ ( i
P J I l z(t) ip dt <- еР
00
11Z(t)\pdt < Л = Р i J \w(t)\p [f(h-\v0t))]p+2 dt < 1 , (25)
г(9е константа уо задана, в формуле (13).
р > 0 е > 0
У | Z(t) |p dt < ер | = P i У |X(s) |p f p(s) ds < е4 . (26)
1 ^ ( 1
Р
оо
В последнем интеграле из формулы (26) сделаем замену переменной в = Ь-1(у). В результате этой замены
р > 0 е> 0
1 ^ ( ко
Р
оо
У |X(s)|p fp(s) ds < ep 1 = P i y |w(v)|p [f (h-i(v))]p+2 dv < ep 1 . (27)
Сделав в последнем интеграле из (27) замену переменной V = -ио£ и воспользовавшись свойством автомо-дельности стандартного винеровского процесса, заключаем, что из формул (26), (27) вытекает равенство (25). Лемма 3 доказана.
Из теоремы 3 работы [6] несложно вывести следующее утверждение.
Теорема 4. Для значений р ^ 2 при е — 0 справедливы, следующие соотношения в обозначениях (1);
у \z(t)\pdt^вЛ = ^щ1/\¡j)w(t)\pdt^вA а+о(1)) =
P
00
7(0)11/2 J y0(x)dx(l + o(l)). (28)
оо
f (1)J
-о
Отметим, что формула ор = рАо/(2 + р), отсутствующая в статье [6], доказана в работе [7, предложение 3].
4. Доказательство теоремы 1. Для заданного числа р ^ 2 и заданной функции ф (г) из класса Т функция [ф(г)]1/(е+2) также принадлежит классу Т. Используя п. (и) леммы 2 с д(г) = [ф(г)]1/(е+2), выберем однозначным образом функцию /(г) = /д(г) го масса Т, такую, что в обозначениях (12), (13) выполнены равенства
[Ф(г)]1/(е+2) = /(ь-1^ог)), г € [0,1]; (29)
[ф(О)]1/^ =/(0), [^(1)]1/(р+2) =/(1), Уо = ----• (30)
/[ф(г)]2/(е+2) йг
о
е > 0
р < у иг)^ф(г)йг < ее| = Р |£ ^(г)^ [/(н->ог))]е+2 йг < ее| =
= Р | у | я(г) |е йг < ее v0е+2)/21. (31)
Из соотношений (30), (31) и (28) следует формула (2), поскольку в силу (3) и (30) справедливо равенство
ар = 1/г0Р+2)/(2р). Теорема 1 доказана.
5. Доказательство теоремы 2. Для заданной функции из класса Т по аналогии с (12), (13) положим
г 1
Кг) = 1щгу щ = К1) = 1ш (32)
о о
Используя (8) и лемму 1, получаем следующее равенство для заданного числа р ^ 2 и любо го е > 0:
р|/= р 11 шгр^т)^-1^))^^ • (зз)
К вероятности, стоящей в правой части (33), применим теорему 1 с весовой функцией
0(*) = 02(^-1(^)) <^-1 (гл*)), * € [0,1]. (34)
С помощью равенств (3), (10), (32) и п. (¿) леммы 2 получаем для веса (34) следующие выражения:
0(0)= 02(О) р(0), 0(1)= 02(1) р(1), (35)
/ 1 \ (р+2)/(2р) аР = (I [е^-Ныт*^ ыи-\ут2/{р+2) а) = . (зб)
Применяя теорему 1 к вероятности, стоящей в правой части (33), и учитывая равенства (34)—(36), заключаем, что из формулы (2) следует соотношение (9). Теорема 2 доказана.
Работа над статьей выполнена при поддержке РФФИ, проект № 11-01-00050.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Назаров А.И. О точной константе в асимптотике малых уклонений в .¿2-норме некоторых гауссовских процессов // Проблемы математического анализа. Т. 26. Новосибирск: Т. Рожковская, 2003. 179-214.
2. Назаров А.И., Пусев P.C. Точная асимптотика малых уклонений в Ь2-норме с весом для некоторых гауссовских процессов // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 2009. 364. 166-199.
3. Пусев P.C. Асимптотика вероятностей малых уклонений гауссовских процессов в гильбертовой норме: Канд. дне. СПб., 2010.
4. Никитин Я.Ю., Пусев P.C. Точная асимптотика малых уклонений для ряда броуновских функционалов // Теория вероятн. и ее примен. 2012. 57, № 1. 98-123.
5. Фаталов В.Р. Метод Лапласа для малых уклонений гауссовских процессов типа винеровского // Матем. сб. 2005. 196, № 4. 135-160.
6. Фаталов В.Р. Точные асимптотики малых уклонений для стационарного процесса Орнштейна-Уленбека и некоторых гауссовских диффузий в Ьр-норме, 2 < p < то // Пробл. передачи информ. 2008. 44, № 2. 75-95.
7. Фаталов В.Р. Малые уклонения для двух классов гауссовских стационарных процессов и ¿^-функционалов, 0 < p < то // Пробл. передачи информ. 2010. 46, № 1. 68-93.
8. Функциональный анализ / Под ред. С. Г. Крейна. М.: Наука, 1972.
9. Li W.V. Small ball probabilities for Gaussian Markov processes under the Lp-norm // Stoch. Proc. Appl. 2001. 92, N 1. 87-102.
10. Lifshits M.A., Linde W. Approximation and entropy numbers of Volterra operators with applications to Brownian motion 11 Mem. AMS. 2002. 745. 1-87.
11. Lifshits M.A. Lectures on Gaussian processes. Heidelberg: Springer, 2012.
12. Новиков A.A. О малых уклонениях гауссовских процессов // Матем. заметки. 1981. 29, № 2. 291-301.
13. Лифшиц М.А. Гауссовские случайные функции. Киев: ТВиМС, 1995.
14. Фаталов В.Р. Константы в асимптотиках вероятностей малых уклонений для гауссовских процессов и полей // Успехи матем. наук. 2003. 58, № 4. 89-134.
15. Гихман И.П., Скороход A.B. Теория случайных процессов. Т. 3. М.: Наука, 1975.
Поступила в редакцию 30.10.2013
