ВЗАИМОСВЯЗЬ ЗНАКОВО-СИМВОЛИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ И ПОНИМАНИЯ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

МЕТОДОЛОГИЯ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ В ОБЛАСТИ ТЕОРИИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

УДК 372.8

ВЗАИМОСВЯЗЬ ЗНАКОВО-СИМВОЛИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ И ПОНИМАНИЯ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

Брейтигам Элеонора Константиновна, доктор педагог. наук, профессор e-mail: [email protected] Кулешова Ирина Геннадьевна, кандидат педагог. наук e-mail: [email protected] ФГБОУ ВО «Алтайский государственный педагогический

университет», г.Барнаул, Россия Breitigam Eleonora, doctor of Pedagogical Sciences, professor

Kuleshova Irina, candidate of Pedagogical Sciences Altai State Pedagogical University, Barnaul, Russia

В статье раскрываются ключевые элементы образовательных систем развивающего обучения математике. С точки зрения авторов к ним относятся категории «смысл» и «понимание», уточняется трактовка «понимающего» усвоения математики. Другим важным элементом развивающего обучения математике является усвоение результатов знаково-символической деятельности обучаемыми. Выделены три плана в овладении символикой для организации «понимающего» усвоения математики: синтаксический, семантический и прагматический. Приведены примеры работы с математической символикой на примере изучения понятия функции. Рассмотрены операции знаково-символической деятельности: моделирование, кодирование, схематизация и замещение применительно к образовательной области «математика». Приведены методические рекомендации по формированию всех операций знаково-символической деятельности. Реализация взаимосвязи понимания и знаково-символической деятельности обеспечивает повышение качества усвоения математического материала обучающимися, его осознанное восприятие, структурирование и запоминание.

Ключевые слова: понимание, знаково-символическая деятельность, «понимающее» усвоение математики, смысл математического понятия, операции моделирования, схематизации, кодирования, замещения.

.......8-

Постановка проблемы. В современных условиях развития системы математического образования в России декларируется приоритет развивающей функции математического знания, как в школьном,

так и вузовском обучении. Основным понятием новой стратегии образования является совокупность «универсальных учебных действий» (УУД), обеспечивающих компетенцию «научить учиться», а не

только освоение учащимися конкретных предметных знаний и навыков в рамках отдельных дисциплин. Системно-деятельностный подход, являющийся идейной основой Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) школьного образования, предполагает формирование четырёх групп УУД: личностные; регулятивные, включая действия саморегуляции; познавательные, включая общеучебные, логические и зна-ково-символические; коммуникативные [10]. Для обучения математике крайне важно выделение в системе познавательных УУД знаково-символических, так как психологами и педагогами (Е.Г. Салмина, Н.Ф. Талызина и др.) доказано, что основные трудности в усвоении математики обучающимися связаны с абстрактностью учебного материала и непониманием символики, «спрятанного» в ней смысла, неумением её применять: недостаточные умения декодировать информацию, представленную знаково-символическими средствами; идентифицировать изображение с реальным математическим объектом; выделять в моделях закономерности; оперировать моделями, знаково-символическими средствами. Оперирование же математическими объектами представляет собой преимущественно знаково-символическую деятельность: оперирование системой знаково-символических средств. Поэтому ключевым элементом развивающего обучения математике является усвоение результатов знаково-символической деятельности обучаемыми, представленных в виде моделей, схем, кодов, знаков, символов, заместителей математических объектов; объяснение с целью понимания и осознанного оперирования математическими объектами. Это относится как к школьному, так и вузовскому обучению математике.

Другим ключевым элементом образовательных систем развивающего обучения математике, с нашей точки зрения, являются категории «смысл» и «понимание». Особая роль этих категорий при обучении математике связана с особенностями математического знания: абстрактность ма-

тематических понятий, широкое использование специальной знаковой системы, универсальность математического моделирования как метода исследования окружающего мира, использование законов логики и др.

Наш выбор этих ключевых элементов обусловлен их взаимосвязью и взаимозависимостью при обучении математике, а также тем, что развитие личности в обучении во многом определяется пониманием учебного материала; только в этом случае происходит обогащение личностного опыта обучающегося, осознанное усвоение им учебного материала. Известно, что обучение, нацеленное на понимание учебного материала, способствует развитию личности обучающегося путем приобретения нового личностного опыта, формирования обобщенных интеллектуальных действий и обогащения смысловой сферы личности.

Проблемами понимающего усвоения математики занимается Санкт-Петербургская методическая школа (Е.И.Лященко, В.М.Туркина и др.).

Цель статьи - исследуя важные элементы развивающего обучения математике обосновать необходимость усвоени результатов знаково-символической деятельности обучаемыми и охарактеризовать выделенные три плана в овладении символикой для организации «понимающего» усвоения математики.

Изложение основного материала. Опираясь на работы российских исследователей в области расвивающего обучения математике и собственные исследования, мы уточнили трактовку «понимающего» усвоения математики. Оно включает выполнение следующих условий:

1) целостность и системность предметного содержания и его знаково-символического представления;

2) постижение различных аспектов (структурно-предметного, логико-семиотического, личностного) смысла ведущих понятий (фактов);

3) направленность процесса обучения учебной дисциплине на приобретение личностного опыта (соотнесение нового с имеющимся опытом; осмысление дея-

тельностной предыстории фактов, понятий, явлений; личностное отношение к факту, понятию, явлению, включая эмоциональный опыт; опыт оперирования с ним), имеющего знаково-символическую природу.

Выделим основные идеи, лежащие в основе «понимающего усвоения» материала при обучении старшеклассников и студентов математике:

• обеспечение диалектического единства эмпирического и теоретического уровней познания математики;

• взаимосвязь учебно-познавательной деятельности, общения, диалога и знаково-символи ческих систем;

• базирование учебной деятельности на интегрировании логической (понятийного, структурного, дедуктивного) и смысловой компонент мышления в сочетании с наглядно-образным и практическим [1, С.62-63].

Организация «понимающего» усвоения учебного материала предполагает, что процесс обучения должен быть направлен, в первую очередь, на понимание смысла учебного материала, что будет обеспечивать его осознание, обобщение и уже на этой основе запоминание.

Обратим также внимание на возрастание роли категории «понимание» в современной системе образования, как в школе, так и в вузе. В частности, достижение результатов обучения сформулированы в Дублинских дескрипторах (система высшего образования). В них результаты обучения - это «формулировки того, что, как ожидается, будет знать, понимать и / или будет в состоянии продемонстрировать (делать) обучающийся после завершения периода обучения» [4].

Дублинские дескрипторы представляют согласованные требования к оценке результатов обучения на каждом цикле образования, они базируются на результатах обучения, сформированных в компетенциях.

Дублинские дескрипторы основаны на пяти главных результатах обучения (в скобках приведены разные варианты перевода):

• знание и понимание;

• использование на практике знания и способности понимания (применение знания и понимания);

• способность к вынесению суждений, оценке идей и формулированию выводов (формирование суждений или построение заключений);

• коммуникация (умения в области общения или связь);

• навыки обучения (умения в области обучения).

Отметим, что в первых двух результатах обучения присутствует категория «понимание».

Для достижения обучающимися понимания учебного материала мы основное внимание сосредоточили на реализации принципа наглядности и организации зна-ково-символической деятельности. При этом на старшей ступени обучения математике в школе и в вузе речь идёт об абстрактной ступени наглядности (наглядность на уровне сущности). Реализация принципа наглядности в этом случае и овладение обучающимися знаково-символической деятельностью имеют решающее значение в процессе постижения смысла учебного материала.

Понимающее обучение математике подразумевает постижение трех аспектов смысла математического понятия как базового элемента содержания учебного материала:

структурно-предметный аспект смысла математического понятия отражает структуру связей элементов (значений), объединяемых в некоторую целостность, это максимально редуцированная сжатая схема, включающая значения, связи и отношения между ними;

• логико-семиотический аспект смысла позволяет интегрировать различные формы представления математического понятия в некоторый внутренний (личностный) образ;

• личностный - приобретение личного опыта; смысл связан с актом деятельности в целом (а не с пооперационной структурой деятельности), то есть являет-

ся регулятором деятельности и её результата.

Приведем пример. Изучение логарифмической и показательной функций в классах с повышенным и базовым уровнем математической подготовки начинаем с рассмотрения натуральной логарифмической функции. Ее введение мы строим с использованием интеграла сразу же после рассмотрения темы «Определенный интеграл и его приложения»

Для визуализации структурно-предметного и логико-семиотического аспектов смысла понятия натуральная логарифмическая функция мы используем информационно-коммуникационные технологии. Введение натуральной логарифмической функции мы строим с использованием интеграла с переменным верхним пределом при решении задач о нахождении площадей криволинейных трапеций. Учащимся предлагается решить следующую задачу. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком гиперболы у =1, прямыми

1= 1 и 1=Ъ, где Ь е . Средством при-

нятия и осознания учащимися задачи нами избран диалог. Такой подход к введению понятия «натуральная логарифмическая функция» дает возможность на наглядном уровне показать учащимся закон соответствия между числовыми множествами, описываемого с помощью данной функции: числу ставится в соответствие площадь фигуры под гиперболой. Понимание закона соответствия, описываемого с помощью натуральной логарифмической функции, свидетельствует о становлении структурно-предметного аспекта смысла данного понятия. Визуализация структурно-предметного аспекта смысла понятия натуральная логарифмическая функция осуществляется в ходе решения задачи о вычислении площадей криволинейных трапеций. В знаково-математическом

1

представлении 1п х — ] —, х > 1 зафик-

1 t

сирован логико-семиотический аспект смысла данного понятия: обозначение

«1п» - это сокращенное название натуральной логарифмической функции, переменная х, стоящая под знаком логарифма, является аргументом этой функции.

Логарифмическая функция по произвольному основанию определяется в данном методическом подходе через натуральную логарифмическую функцию как

функция у = —, при а>0, а^1 и обозначается у = 1одах. Такое введение способствует становлению логико-семиотического аспекта смысла данного понятия. Определение логарифмической функции по произвольному основанию через натуральную логарифмическую позволяет учащимся в дальнейшем не запоминать формально формулу перехода от одного основания к другому, а свободно оперировать ею при решении задач.

Разработанная нами методика организации учебного материала и деятельности учащихся, ориентированная на становление различных аспектов смысла математических понятий у старшеклассников при изучении темы «Логарифмическая и показательная функции» дает возможность:

• сохранить целостность и системность содержания курса алгебры и начал анализа за счет соблюдения следующих условий:

1) исследование изучаемых функций мы проводим по общему плану исследования элементарных функций с опорой на одну теоретическую базу с использованием единого инструментария (элементов дифференциального и интегрального исчисления);

2) выделения основного системообразующего понятия в теме - натуральной логарифмической функции;

3) «типичности» основных характеристических свойств функций данного класса;

установить внутренние смысловые связи между основными понятиями темы (натуральная логарифмическая функция, логарифмическая функция по произвольному основанию, показательная функция), т.е. нацеливает на понимание;

сформировать специфические операционные умения по выполнению преобразований над логарифмическими выражениями, в частности, учащиеся достаточно свободно применяют формулу перехода от одного основания логарифма к другому; успешно декодируют информацию;

обосновать все основные свойства функций (непрерывность, монотонность и др.) при изучении класса логарифмических и показательных функций;

расширить наглядные представления основных понятий темы, использовав информационно-коммуникационные технологии для представления, в частности, функции переменной площади; геометрической интерпретации иррационального числа "е", понятия "натуральный логарифм некоторого положительного числа

• осознанно воспринимать учащимся новую форму представления числа, например, 1од2$ (логико-семиотический аспект смысла понятия «логарифм некоторого положительного числа»);

создать математическую модель, которая более приближена к практике применения, так как натуральные логарифмы шире используются в решении различных практических задач, в технических расчетах [5].

Для постижения логико-семиотического аспекта смысла при усвоении абстрактных понятий следует специальное внимание уделить формированию операций знаково-символической деятельности: операции кодирования, замещения, схематизации, моделирования.

Содержательной основой организации знаково-символической деятельности является семиотика - наука, исследующая свойства знаков и знаковых систем. Согласно Ю. М. Лотману, под семиотикой следует понимать науку о коммуникативных системах и знаках, используемых в процессе общения.

Семиотика выделяет три основных аспекта изучения знака и знаковой системы:

• синтаксис (синтактика) изучает внутренние свойства систем знаков безотносительно к интерпретации; наука о правилах сочетания слов и строения предложения;

• семантика (от греческого «обозначающий») рассматривает отношение знаков к обозначаемому; изучение смыслового значения единиц языка, их интерпретация;

прагматика исследует связь знаков с «адресатом», с конкретной деятельностью, то есть проблемы интерпретации знаков теми, кто их использует, их полезности и ценности для интерпретатора.

Основываясь на положениях семиотики и работах психологов, установивших необходимость выделения трёх планов в овладении символикой: синтаксический, семантический и прагматический, мы считаем необходимым для организации понимающего усвоения математики выделение всех трёх планов в овладении математической символикой.

При работе с математической символикой опишем их на примере изучения понятия функции (на старшей ступени школы или на первых курсах вуза). Согласно синтаксическому плану, преподаватель должен детально объяснить правила написания нового символа; его использование в сочетании с обозначением функции; место аргумента при использовании этого символа и др. На этом этапе важно создать условия, которые бы позволили обучающимся осознать важность грамотного написания и использования нового символа. Практика показывает, что у обучающихся вызывает некоторые затруднения следующая задача: пусть f(x)=-3x+2, найдите f(-x), f(x+5), f(f(l)), f(f(x)). Они неправильно читают или не понимают символической записи: f(-x), f(x+5), f(f(1)), f(f(x)). При решении данной задачи преподаватель учит читать символическую запись и декодировать информацию. Реализуя семантический план в освоении обучающимися новой символики, преподаватель обращает внимание на то, что введённые символы обозначают операции над функциями; выясняет вме-

сте с обучающимися смысл символической записи правил дифференцирования, интегрирования, предельного перехода. При этом задача преподавателя состоит в том, чтобы создать условия для понимания обучающимися смысла новых обозначений - новые операции над функциями, а до этого, в основном, изучались алгебраические операции над дискретными величинами. Работая с правилами дифференцирования, мы предлагаем обучающимся осуществить переход от символической записи правил к словесной.

Наконец, осуществляя прагматический план овладения символикой, преподаватель учит обучающихся «читать» символическую запись, использовать формулы, записанные в новой системе обозначений, для решения задач; декодировать информацию, переводя её в словесную или геометрическую форму, организует соответствующую работу обучающихся. Критерием овладения символикой в прагматическом плане может служить умение обучающихся переходить от одной формы представления информации (символьной) к другим и обратно: от других форм представления - к символьной. Так, при изучении теоремы Лагранжа обучающимся после словесной формулировки теоремы предлагается сделать геометрическую иллюстрацию к данной теореме. Практика показывает, что она может реализоваться только в совместной деятельности преподавателя и обучающихся. При руководящей роли преподавателя ведется диалог по вопросам:

- Что означает геометрически непрерывность и дифференцируемость функции на интервале? (Гладкая сплошная кривая).

-Что означает число ——(Угло-

Ь-а

вой коэффициент секущей).

-Что означает /'(с)? (Угловой коэффициент касательной).

-Как геометрически представить равенство этих чисел?

При решении задач на определение промежутков монотонности, мы предлагаем, например, следующую задачу: извест-

но, что функция у=/(х) убывает на Я. Решите неравенство

/ 2х + 7 >/(х-3).

В случае возникающих затруднений преподаватель учит правильно интерпретировать определение убывающей функции для данной конкретной задачи.

Для формирования знаково-символической деятельности необходима специальная работа преподавателя совместно с обучающимися по формированию всех операций знаково-символи-ческой деятельности.

Моделирование - знаково-символи-ческая операция, заключающаяся в получении объективно новой информации (познавательная функция) за счет оперирования знаково-символическими средствами, в которых представлены структурные, функциональные, генетические связи (изучение не самого объекта, а вспомогательной системы);

Кодирование - знаково-символи-ческая операция по передаче и принятию сообщения (коммуникативная функция); умение воспроизвести информацию в зна-ково-символической форме;

Схематизация - знаково-символи-ческая операция (структурирование) с целью ориентировки в реальности;

Замещение - знаково-символическая операция по оперированию не самим объектом, а его знаковым заместителем.

Примерами операции моделирования знаково-символической деятельности может выступать решение сюжетных задач на нахождение наибольших и наименьших значений величин с помощью аппарата дифференциального исчисления. Их решение состоит из трех этапов:

1) составление математической модели;

2) работа с моделью;

3) ответ на вопрос задачи. При составлении математической модели мы используем поисковый диалог.

В процессе диалога учащиеся составляют функцию у=/(х) - математическую модель задачи, которая затем исследуется на наибольшее (наименьшее) значение.

(12)

Для формирования операции кодирования мы используем перевод из одной формы преставления в другую из словесной в знаково-символическую или графическую и наоборот. Примерами операции кодирования могут выступать формулирование определений непрерывной функции в точке, монотонной функции (возрастающей или убывающей), правил дифференцирования и т. п. в знаково-символическом виде.

В частности, функvwяy=f(x) непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда значение предела в этой точке совпадает со значением функции.

Знаково-символическая запись: (f(x) непрерывна в точке лг0) ^

/ * = /М).

Реализация операции схематизации знаково-символической деятельности осуществляется обучающимися при составлении опорных конспектов (В.Ф. Шаталов) изучения отдельных тем или интеллектуальных карт. Примерами операции замещения знаково-символической деятельности могут выступать использование формул сокращенного умножения при преобразовании тригонометрических выражений, решении логарифмических, показательных, тригонометрических уравнений и неравенств, сводимых к квадратным с помощью замены переменной. Для формирования операции замещения преподаватель учит интерпретировать формулы сокращенного умножения в новых условиях.

Таким образом, взаимосвязь понимания и знаково-символической деятельности способствует использованию различных форм представления фактов, явлений, понятий; формированию образа (схемы) изучаемого предмета или явления, использованию эмпирического опыта (например, для возникновения ассоциаций между абстрактными и реальными объектами). Это важно в связи с необходимостью понимания формального специфического символьного языка математики, применения метода математического моделирования и понимания абстрактного содержания математического знания. Понимание

способствует осмыслению информации, связано с освоением знаковой и объективно-реальной ситуации (содержание и объём понятия, например). В философской и педагогической литературе тип понимания, связанный с формированием знаково-символической деятельности называется «рационалистическим» [8, С.148] или понимание - объяснение [7, С.276].

В процессе развития этого типа понимания, например, математического понятия, обучающийся опирается на данное словесное определение, на весь свой прошлый опыт. В частности, при введении математического понятия практически обязательным является требование одновременного введения словесной формулировки определения, его формализованной символьной записи и иллюстрации (схема, рисунок, модель). Реализация взаимосвязи понимания и знаково-символической деятельности обеспечивает повышение качества усвоения математического материала обучающимися, его осознанное восприятие, структурирование и запоминание[3].

1. Брейтигам Э.К. Достижение понимания, проектирование и реализация процессного подхода к обеспечению качества личностно развивающего обучения / Э.К. Брейтигам, И.В. Кисельников. - Барнаул: АлтГПА, 2011. -160 с.

2. Брейтигам Э.К. Уровни понимания учебного материала и условия их достижения обучаемыми в образовательном процессе. /Э.К. Брейтигам // Современные проблемы науки и образования, 2013. - №2. - Режим доступа: http://www. science-education. ru/1088985.- (дата обращения: 14.04.2017).

3. Брейтигам Э.К. Интеграция рационального и интуитивного опыта как средство обеспечения понимания учебного материала по математике / Э.К. Брейтигам // Современные проблемы науки и образования, 2015. -№ 1. - Режим доступа: http://www.science-education.ru/121-17971.- (дата обращения: 24.04.2017).

4. Глоссарий терминов Болонского процесса [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www. bogoslov. ru/text/794040. html (дата обращения: 14.11.2016).

5. Кулешова И.Г. (Попова И.Г.) Методические условия становления различных аспектов смысла математических понятий у

старшеклассников (на материале темы «Логарифмическая и показательная функции») [Текст]: автореф. дис. ... канд. пед. наук / И.Г.Кулешова (Попова И.Г.). - Омск: Изд-во ОмГПУ, 2006. - 21 с.

6. Концепция развития математического образования в Российской Федерации [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.rg.ru/2013/12/27/matematika-site-dok.html (дата обращения: 09.12.2016).

7. Лященко Е.И. Герменевтические аспекты проблемы понимания математического (учебного) текста в высшей школе / Е.И. Лященко, О.А. Сотникова. - Казанская Наука. Педагогические науки, 2011. - №8. -С. 272-278.

8. Лященко Е.И. Целостность при анализе учебного материала по математике / Е.И. Лященко // Проблемы теории и практики обучения математике: Сб. научных работ, представленных на междунар. научную конф. «56-е Герценовские чтения» / Под ред.

В.В.Орлова. - СПб: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2003. - С. 18-22.

9. Приказ Минобрнауки России от 04.12.2015 N 1426 «Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта высшего образования по направлению подготовки 44.03.01 Педагогическое образование (уровень бакалавриата)» [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www. consultant. ru/document/cons_doc_LA WJ92459/1flJjf4f7f64c42eca7cc2e9194ee0faf42 cf21c/(дата обращения: 11.03.2017).

10. Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (с изменениями и дополнениями 2017г.) [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www. consultant. ru/cons/cgi/ online. cgi?req=doc&base =LA W&n =142304&fld =134&dst=100003,0&rnd=0.441815404250507 9#0 (дата обращения: 19.03..2017).

Abstract. Breitigam E., Kuleshova I. INTERRELATION OF SIGN-SYMBOLICAL ACTIVITY AND UNDERSTANDING WHEN TRAINING IN MATHEMATICS. The article reveals the key elements of the educational systems of developing learning math. From the point of view of the authors, they include the categories "meaning" and "understanding", the interpretation of the "understanding" assimilation of mathematics is specified. Another important element of developing learning mathematics is the assimilation of the results of symbolic-symbolic activity by trainees. Three plans have been singled out for mastering the symbolism for the organization of the "understanding" assimilation of mathematics: syntactic, semantic and pragmatic. Examples are given of working with mathematical symbols on the example of studying the concept of a function. The operations of symbolic-symbolic activity are considered: modeling, coding, schematization and substitution as applied to the educational field of "mathematics". The methodological recommendations on the formation of all operations of symbolic-symbolic activity are given. The interrelation of understanding and symbolic-symbolic activity promotes the use of various forms of representing facts, phenomena, concepts; the formation of an image (scheme) of the studied object or phenomenon, the use of empirical experience. This is important in connection with the need to understand the formal specific symbolic language of mathematics, to apply the method of mathematical modeling and to understand the abstract content of mathematical knowledge. Understanding contributes to the comprehension of information, is associated with the development of a landmark and objective-real situation. In the process of developing this type of understanding, for example, the mathematical concept, the learner relies on this verbal definition, on his entire past experience. In particular, when introducing a mathematical concept, the requirement of simultaneous introduction of a verbal formulation of a definition, its formalized symbolic record and illustration (diagram, figure, model) is practically mandatory. The realization of the relationship between understanding and sign-symbolic activity ensures the improvement of the quality of mastering the mathematical material by the students, its conscious perception, structuring and memorization.

Key words: understanding, sign-symbolical activity, the understanding assimilation of mathematics, the meaning of the mathematical concept, operations of modeling, schematization, coding and replacement.

Поступила в редакцию 22.06.2017 г.