CC BY
44
Машиностроение. Строительство. Материаловедение. Металлообработка
УДК 534:62-13
ВЗАИМОСВЯЗЬ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ УГЛОВОЙ ЖЕСТКОСТИ И РАДИАЛЬНЫХ ЗАЗОРОВ ОПОРНЫХ УЗЛОВ НАГРУЖЕННОГО РОТОРА
В.И. Галаев
Кафедра «Теоретическая механика», ТГТУ Представлена членом редколлегии профессором В.И. Коноваловым
Ключевые слова и фразы: амплитуда; колебания; опора; радиальная жесткость; радиальные зазоры; ротор; угловая жесткость; цапфа; эквивалентная жесткость.
Аннотация: Проведены аналитические исследования по определению угловых жесткостных характеристик нелинейной механической системы нагруженный ротор - упругие опоры с радиальными зазорами.
Решение задач точности выполнения операций большинства роторных машин, увеличения их скоростных режимов, уменьшения размеров и веса приводит к повышению требований к опорным узлам роторов, являющихся основными рабочими органами этих машин. Одной из причин, обуславливающей колебательные явления, возникающие при вращении ротора, являются упругие свойства опорных узлов и радиальные зазоры, образующиеся в них в процессе работы роторной машины [1, 2].
При конструировании реальных опор с целью обеспечения перехода ротора через зону его виброактивности необходимо стремиться к уменьшению радиальных зазоров, которые приводят к интенсификации как поперечных, так и угловых колебаний ротора вместе с опорными узлами и относительно них. В практике обработки материалов на роторных машинах наличием угловых колебаний (коническая прецессия ротора) можно объяснить появление дефектов на участках материала, обрабатываемых вблизи опорных узлов.
Установление динамических характеристик роторов указывает на необходимость исследований по оценке влияния на них как величин радиальных зазоров, так и характера их распределения в опорных узлах. Переменность зазоров в опорах обусловлена неравномерностью износа отдельных элементов конструкций опор, а также погрешностями их изготовления. В работе зазоры в опорах предлагается учитывать посредством их введения в эквивалентную жесткость опорных узлов, которая может быть определена одним из методов нелинейной механики. Расчетная схема для определения эквивалентной угловой жесткости системы ротор - упругие опоры с зазорами представлена на рис. 1.
Рис. 1
Положение цапфы ротора относительно опорного узла определяется с помощью полярной системы координат. В качестве полюса выбирается точка О, соответствующая геометрическому центру наружного кольца подшипника, полярной осью является ось Ох.
Обозначим: Р - вес ротора; 8(а) - радиальный зазор в опоре как функция изменения полярного угла а; ф(а), у (а) - углы, составляемые, соответственно, касательной и нормалью к траектории центра цапфы ротора относительно опоры с положительным направлением оси Ох; х = х(а); у = у(а) - прямоугольные координаты центра цапфы ротора; N - нормальная реакция, действующая на цапфу со стороны ограничивающей поверхности опоры; I - длина ротора; фх - угол поворота ротора в горизонтальной плоскости вследствие радиальных зазоров в опорах; ф2 - угол поворота ротора в той же плоскости вследствие радиальной и угловой деформации упругой опоры, характеристика которой принимается линейной; Су, Сф - общие, соответственно, радиальная и угловая жесткости упругих опор ротора.
Для равновесия ротора в положении, когда радиус-векторы 8(а) центра
цапф составляют углы а и - а с осью Ох, необходимо приложить в горизонтальной плоскости пару сил, момент М которой определяется из соответствующих уравнений равновесия ротора:
P = 2N cos y(a); M = Nl sin y(a).
(1)
Из соотношений (1) получаем:
Pl
M-
2
tg y(a) =
Pl
c tg j(a);
где 8*(а) - производная
Pl dx(a)
M =----^^
2 dy(a)
d 8(a)
Pl 8(a)sin a-81(a)cos a 2 8(a) cos a + 81 (a) sin a
(2)
da
Угловое смещение ротора в горизонтальной плоскости, обусловленное радиальными зазорами в опорах, равно
Ф1
28(a )sin a l
2
Используя соотношение (2), получим
25(a)
j =
l
Pl i M 5(a) + — 51 (a)
,2 P2l2 ^ M 2 +-
V 4 У
5(a)2 + ^(a)2
Угловое смещение ротора в той же плоскости, обусловленное радиальной и угловой деформациями корпуса упругих опор ротора, равно
4М
Ф2 =
Cyl + 4Cj
Абсолютное угловое смещение ротора в горизонтальной плоскости
28(a) |~2M -8(a) + Pl •51(a) 1 4M
j= , 1 J +-, (3)
lJ 4M 2 + P2l2) [§2(a) + 51(a)2 ] Со
где Со = Су12 + 4Сф.
Соотношение (3) неявно определяет упругую угловую характеристику М = М( ф) системы ротор - опоры с зазорами.
Действие технологической нагрузки на ротор приводит к отклонению его цапф от оси Ох на некоторый угол аст , величина которого определяется из соответствующих уравнений равновесия ротора. Это приводит к смещению центра абсолютных угловых колебаний ротора, величину которого обозначим через А. Пусть р - угол отклонения цапфы ротора в опоре, соответствующий углу А;
фст - абсолютный угол поворота ротора, соответствующий положению цапфы ротора относительно опоры, определяемому углом аст . Имеем следующие соотношения:
_ 25(аст )Бт аст 4М(фст)
Фст _ 1 + С0 ,
А_ 28(р)апр + 4М(А)
1 Со ,
при этом М(фст) _ М(аст), М(А) _ М(Р).
Величины М (аст), М (Р) определяются в соответствии с равенством (2). Для получения в конечном виде эквивалентной жесткости системы ротор-опоры с зазором представим упругую характеристику М(ф) в виде
М(ф) _ М(А) + М^СФ-А) + ^М^ф-А? + УМ^ф-дЗ. (4)
d j 2 dj2 6 dj3
Эквивалентная жесткость определяется равенством
2гс / ш
rj =— f M (j)sin wt • dt,
C экв pA J 0
где j = A + A sin wt; ш - частота; А - амплитуда абсолютных угловых колебаний ротора.
2ге / ш
Из равенства М(фст) = ш | М(ф)а(/2я следует соотношение между сме-
0
щением А и амплитудой колебаний А. Выполняя интегрирование и учитывая равенство (4), получим:
ф = dM (А) +1 а3 М (А) А2. (5)
Сэкв аф 8 аф3 ' 2
М(фст) = М (А) + -4 ^ А2, (6)
4 аф2
где
M(А) = Plr(ß)/29(ß), M(фст) = Plr (аст)/29(аст): j = Pl2со/(ß)/4[Pl2/(ß) + Q9(ß)3] ;
2
= Pl3c09(ß)4 Z(ß) /8[Pl2/(ß) + Co9(ß)3 ] ;
d j
d ЪМ (A) Pl 4Cc4e(P)5 { Z(b)d (b) + 9(b) Z1 (b) [mgf (b) + C09(P)3 ]} d j3 16 [ Pl2 f (b)+Co 9(b)3 ]5
9(a) = 5(a) cos a + 51 (a) sin a , r (a) = 5(a) sin a - 51 (a) cos a; f (a) = 5(a)2 + 251 (a)2 - 5(a)511 (a), Z(a) = f1 (a)9(a) - 3 f (a)q1 (a); d(a) = Pl2 Í491 (a)f (a) - 39(a) f1 (a)] - 5C091 (a)9(a)3.
Угол в, соответствующий смещению A центра колебаний, может быть определен следующим образом. В соответствии с дифференциальными уравнениями колебаний ротора, рассматриваемого теперь как в упругих опорах с линейной характеристикой, жесткости которых равны С^ , определяется амплитуда А угловых колебаний ротора, которая будет функцией угла р. Подставляя указанную функцию для амплитуды в равенство (6), получим уравнение относительно угла р, решение которого устанавливает конкретную величину угла, а следовательно, и амплитуды колебаний ротора.
Рассмотрим некоторые частные случаи применения полученных результатов при возможных распределениях радиальных зазоров в опорах ротора.
1 Радиальный зазор в опорах постоянный - 5(a) = 50.
С<р _ _ Pl2со
4(Pl2 + Co50 cos3 ß)
3Pl 4C0% cos5 ß [ Pl2 (5 cos2 ß - 4) + Co50 cos3 ß(5 - 4cos2 ß)] A2
(7)
128(Pl2 + C0 50 cos3 ß)5
При р = 0, что соответствует режиму работы ненагруженного ротора, из (7) получим
ф =-4^---(8)
4(Р12 + Со50) 128(Р12 + Со 50)4
+
Пусть Р1 □ Со 80, что указывает на значительное различие между частотами свободных угловых маятниковых колебаний ротора относительно опор и его угловых колебаний вместе с опорами. Из формулы (8) следует, что в этом случае
СЭкв ® Со /4, то есть влияние радиального зазора на эквивалентную жесткость
несущественно.
2
Пусть Р1 □ Со 80, тогда определяющими будут маятниковые угловые колебания ротора относительно опор
С j = P2 + зр14
_ "Г"
45q 128Ö03
A2.
(9)
С
2 Радиальный зазор в опорах 8(а) _ 0, при этом Сфкв _ —о, что соответствует угловой жесткости упругих опор ротора.
3 Ненагруженный ротор установлен в шарнирных опорах с постоянным радиальным зазором Со ® ¥, р _ 0, 8(а) _ 80 . Эквивалентная жесткость определяется в соответствии с формулой (9).
4 Колебания ротора происходят в окрестности точки, в которой касательная к траектории относительного движения центра цапфы почти параллельна оси Ох (см. рис. 1), т.е. 0(Р) ® 0. Это означает, что радиальный зазор в опорах практически выбран действием технологической нагрузки на ротор. Колебания ротора относительно опоры в этом случае намного меньше его колебаний вместе с упругими опорами. Эквивалентная жесткость, как и следовало ожидать, С^ ® Со /4.
5 В пределах дуги контакта цапф ротора с опорами зависимость радиального зазора в опорах имеет вид (рис. 2, а):
8(a) = 8о + 81 cos a ; -p/2 £ a £ p/2; 8(a) = 80 ;
p p
a<— и a>—. 22
Такое симметричное распределение зазора в опорах возможно вследствие износа цапф и самих опор неуравновешенного ротора, например, при его холостом режиме работы аст _ 0 . Величина 80 представляет зазор, соответствующий равномерному износу цапфы ротора в радиальном направлении (это характерно для первого режима работы опоры), а 81 - есть зазор, соответствующий максимальной величине износа опор ротора. В случае ненагруженного ротора смещение центра колебаний, очевидно, равно нулю, т.е. Р _ 0.
Рис. 2
=
Pl 2Cn
+ 3Pl4C045O(1 + YI)(1+У2) A2
4 [pl 2 + Co§o(1 + YI)] 128 [ Pl2 + C05o (1 + Y1) ]4
(10)
где gi =-2
§o2(1 + 25,/ 5O)
У2 =
gl
(l + 25,/ 5o)2
В случае §1 □ 8q (gi □ 1, g2 □ 1) при расчетах эквивалентной жесткости зазор в опорах можно считать постоянным и равным 50; при §1 □ 50(gi □ 1) формула (10) аналогична (7), если в последней принять b = 0, а величину зазора в опоре, равную половине ее максимального износа 5 = §1 /2.
6 Распределение радиального зазора в опоре определяется зависимостью (рис. 2, б)
5(a) = §о + §2 cos2 I ^).
Переменная величина §2 cos (Ka/2) может отражать погрешности геометрической формы деталей опор ротора в виде волнистости или огранки с различными профилями, характеризуемыми параметром K [2, 3]. Эквивалентная жесткость равна (b = 0)
Сф =
Pl 2Co
+ 3Pl4Co45o(1 + Xi)(l + X2) A2
4 [ Pl2 + Co5o(1 +Xi)] 128 [ Pl2 + C05O(1 + Xi) I
(ll)
где
Xi =■
52 / 50 + (2 - K 2)/2
l + (2 + K2)52 /250
X2 =■
52 K2
(2K2 + 4 - 3K4)522 /502 + 2(4- K2)52 /50 + 4(l-K2)
24
[l+(2 + K2)52/25O ]3 5O
При К ® 0, в соответствии с (11), получаем эквивалентную жесткость для случая постоянного зазора в опоре 5 = 5о + 52.
Если К □ 1 и 52 Ф 0, то Х1 ®-1, Х2 ® -1 и СЭКв ® Со /4 и не зависит от 5о и 52 . Таким образом, в этом случае зазор в опорах практически не влияет на величину абсолютных угловых колебаний ротора, т.е. смещения цапфы относительно опоры малы и локализуются в окрестности точки В (см. рис. 2, б).
Рассмотренные примеры показывают, что эквивалентная угловая жесткость опорных узлов ротора определяется как величиной радиальных зазоров, так и характером их распределения в опорах, при этом следует отметить значительное влияние зазоров на частоты свободных угловых колебаний ротора, которые могут оказаться существенно меньше частот, определенных в предположении отсутствия зазоров в опорных узлах.
5
2
5
о
Список литературы
1 Вибрации в технике. Справочник. В 6-и т. - М.: Машиностроение, 1980. -Т. 3. - 544 с.
2 Рагульскис, К.М. Вибрации подшипников / К.М. Рагульскис, А.Ю. Юр-каускас, В.В. Атступенас. - Вильнюс: Минтис, 1974. - 392 с.
3 Кельзон, А.С. Расчет и конструирование роторных машин / А.С. Кельзон, Ю.Н. Журавлев, Н.В. Январев. - Л.: Машиностроение, 1977. - 288 с.
Interconnection between Equivalent Angular Rigidity and Radial Clearance of Support Unit of Loaded Rotor
V.I. Galayev
Department "TheoreticalMechanics", TSTU
Key words and phrases: amplitude; oscillation; support; radial rigidity; radial clearance; rotor; angular rigidity; equivalent rigidity; trunnion.
Abstract: Analytical research into determination of angular rigid characteristics of non-linear mechanical system of loaded rotor - elastic support with radial clearance is carried out.
Wechselbeziehung der äquivalenten Winkelstarrheit und der Radielspälte der Auflagerpünkte des belasteten Rotors
Zusammenfassung: Es sind die analytischen Untersuchungen zur Bestimmung der Winkelhärtecharakteristiken des unlinearen mechanischen Systems des belasteten Rotors - elastische Auflagerung mit der Radialspälte durchgeführt.
Interaction entre la rigidité angulaire équivalent et les jeux radiaux des noeuds d'appui du rotor chargé
Résumé: Sont effectuées les études analytiques de la définition des caractéristiques angulaires de rigidité du système mécanique non-linéaire rotor chargé -supports élastiques aux jeux radiaux.
