CC BY
65
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Сер. 4. 2009. Вып. 4
УДК 530.1
А. Г. Сыромятников
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В КВАНТОВЫХ ГРАВИТИРУЮЩИХ СИСТЕМАХ
Введение. Ранее в рамках калибровочного подхода [1-3] рассматривалась обобщённая теория гравитации с метрикой, а также с кручением и неметричностью как независимыми переменными. Метрика на пространственно-временном многообразии определяет интервал длин и времён в различных точках. Вместе с тем при высоких энергиях предпочтительнее оперировать теорией, не зависящей от масштаба длин, т. е. конформно инвариантной. Однако в конформно инвариантном пространстве Вейля из-за немет-ричности метрика не сохраняется, её ковариантная производная не ноль. И хотя в этом случае для массивных частиц световой конус не сохраняется, это не приводит к нарушению движения частиц нулевой массы. В пространстве с кручением без неметрич-ности, как известно, след кручения рассматривается как эффективный вектор Вейля. При этом оказалось, что комплексное скалярное поле типа Хиггса можно отождествить с полем Хиггса стандартной модели.
Настоящая работа посвящена изучению вопроса генерации масс тем самым полем типа Хиггса в условиях спонтанного нарушения симметрии в метрике плоского пространства-времени. Процессы развития и становления космических структур гравитирующих систем характеризуются по методу корреляционных функций Грина в главном порядке приближения Хартри-Фока гравитационным корреляционным радиусом (ГКР), обратно пропорциональным кубу массы молекулы [1]. Это приводит, в частности, для гелия к величине ГКР порядка 20 кпк, что эквивалентно поперечнику галактики. В структуре ядра нашей Галактики обнаружено кольцо молекулярного водорода при температуре 140 К.
Детальная структура гравитационного взаимодействия в ньютоновском пределе конформной калибровочной теории тяготения (ККТТ) [2, 3] определяется параметром гравитационного экранирования а, аналогичным дебаевскому радиусу экранирования кулоновской плазмы:
Р = -^—-у (!)
г (г + а)
В ньютоновском пределе а ^ 0 ККТТ приводит к точному уравнению Ньютона с дельтаобразным источником массы (см. приложение) и градиентности потенциала
д = -Уф.
При высоких скоростях в гравитационном взаимодействии необходимо учитывать релятивистские добавки к (1) в плоской метрике. В силу конформной инвариантности ККТТ это будет эквивалентно гравитационному воздействию в искривлённом римано-вом пространстве-времени без кручения, где имеет место соответствие с ОТО в классе конформно-плоских метрик, в котором производится расчёт всех основных эффектов
© А. Г. Сыромятников, 2009
ОТО (смещение перигелия Меркурия, гравитационное красное смещение и др.). Источник массы в уравнениях ККТТ для статических решений определён только при учёте ненулевой бесследовой части кручения (в общем случае, в космологии это не так). Это не позволяет получить конформное соответствие с ОТО как в вакуумном секторе ККТТ. Обобщение квантовых систем на макромасштабы в ККТТ производится в условиях масштабной симметрии при фазовых переходах.
Величина а из-за положительной определённости тензора энергии-импульса точечного распределения массы неотрицательна. Однако может изменить знак в вакуумном секторе ККТТ в отсутствие источников массы при наличии локализованного источника спина (ненулевого магнитного момента). К таким источникам можно отнести глюоний хромодинамики и т. п. В этом случае внутри сферы радиуса а (1) будет отталкивание, и сам гравитационный потенциал
Ф = —— 1п-----т-, д = —От2 (2)
У а 1 + У ’
I г
приобретает вид потенциала с твёрдым керном.
При малом радиусе г ^ а сила
га
эквивалентна силе тяготения протяжённой массивной нити - космической струны. Согласно [4], минимальный размер струны, возникшей при фазовом переходе и сохранившейся до настоящего времени, не более 0,3 Мпк.
Потенциал (2) интересен тем, что именно потенциалы такого вида способны обеспечить конденсацию газа по уравнению ван-дер-Ваальса [5]. В приближении самосогласованного поля области притяжения и отталкивания учитываются по-разному. Однако модель твёрдых шаров, как известно, далека от реальности трёхмерного пространства. Поэтому ниже вклады в сдвиг энергии основного состояния от областей притяжения и отталкивания (внутри сферы экранирования (2)) будут рассматриваться по отдельности. В остальных случаях потенциал будет фигурировать полностью. Замкнутые космические струны (это протяжённые квантовые системы очень малого сечения) характеризуются радиусом сферы, содержащей их полностью. Внутри сферы их положение считается произвольным. В критической точке конденсат струн локализован на поверхности сферы. В этом случае при касании двух сфер нетрудно определить область, где корректен учёт квантовых спиновых обменных взаимодействий, как длину полосы шириной порядка 10 нм. При длине струны (радиусе сферы) до 0,3 Мпк (1024 см) длина квантовой полосы - как корень от произведения её ширины на радиус сферы - сопоставима с размерами Солнца. Если точнее - с размером солнечных пятен. Этот масштаб в ККТТ есть малый космологический масштаб тонкой структуры.
Цель данной работы состоит в определении природы гравитационного взаимодействия на основе применения формализма функций Грина [5] к гравитирующей ферми-системе (протоны, электроны, и т. д.) с четырёхфермионным взаимодействием вида (2).
Квантовые гравитирующие системы. Гравитационные уравнения в ньютоновском пределе конформной калибровочной теории тяготения в пространстве-времени сферической симметрии приводят к статическому ньютоновскому потенциалу для дель-таобразного источника массы в плоской метрике с ненулевыми следом тензора кручения и его бесследовой частью. В силу конформной инвариантности устанавливается конформное соответствие между вакуумным решением того же вида для следа кручения и центрально симметричным вакуумным решением Шварцшильда для риманова
пространства без кручения, которое также статическое. Тем самым, согласно ККТТ, гравитирующая система релятивистских фермионов приводится к системе фермионов с парным статическим гравитационным потенциалом в плоской метрике Минковского.
В нерелятивистской теории парное гравитационное взаимодействие для комплексного поля у, в диаграммной технике [5] определяется через производящую вершину
вида
¿Я(¥,¥+) = ^ J J dAxdAyy+{x)y+{y)T{x,y)y{y)y{x)
Г(х,у) = -ib(t - t')V(x,y),
где V - симметричный потенциал гравитационного поля (2).
Производящий функционал S-матрицы, представляющий её оператор в нормальной форме, в универсальных обозначениях для 2-вектора-столбца комплексного поля и его вариационных производных:
exp
8 л 5
---Д і 2------
5\|/ 5\|/+
0iSv(v,V+)
где Д12 - хронологическая свёртка или пропагатор комплексного поля.
На практике чаще используется другая диаграммная техника с введением дополнительного бозонного поля ф(ж):
R(y,
exp
5 5 16 5
5\|/ 12 5\|/+ 2 5ф 5ф
ерф|
где правая часть имеет вид производящего функционала ^-матрицы для взаимодействия типа Юкавы:
p(x) s v+(x»(x), РФ SJ
в которой взаимодействию сопоставляется не одна, а две вершины диаграммы. Согласно [5], эквивалентность этих представлений устанавливается соотношением
exp
1АГА
2 5ф 5ф
=рФ
ф=0
еірГр
0iSv(v,V+)
В случае гравитационного поля использование техники типа Юкавы продиктовано самим способом введения инертной массы через взаимодействие с полем Хиггса ф(х) в калибровочном подходе. Действительно, например, в конформной гравитации массу спинорного поля можно ввести только таким образом через взаимодействие Юкавы. В этой технике ядро гравитационного взаимодействия Г(х,у) играет роль пропага-тора ф как поля Хиггса, а условие ф = 0 в производящем функционале ^-матрицы для взаимодействия типа Юкавы означает, что рассматриваются только диаграммы без внешних линий поля Хиггса; гравитационное взаимодействие изображается теперь не одной, а двумя вершинами диаграммы, соединёнными между собой линией Г [5, с. 49], как это и должно быть при определении массы по механизму Хиггса. Гравитация в качестве пропагатора массообразующего поля Хиггса методически подходит лучше всех других взаимодействий. С другой стороны, данное условие отвечает спектру масс конформно-инвариантной квантовой теории, который, как известно, может
быть либо нулём, либо непрерывным [16]. Дело в том, что при таком определении отношение инертных масс останется тем же самым и в пределе исчезающее малого ф = 0. Кроме того, скаляр при конформном преобразовании метрики g^v = e2Xg^v преобразуется как ф' = ехф. Поэтому при фиксации калибровки скаляра ф' = const поле Хиггса ф = eX становится зависящим от X и, следовательно, от метрики. А через эту зависимость ньютоновское гравитационное взаимодействие получает связь с метрикой.
Представление производящего функционала S'-матрицы континуальным интегралом для гравитационного взаимодействия (2) спинорных полей в универсальных обозначениях, согласно определению [5, формула (168)], в представлении взаимодействия с полем Хиггса:
R(a, a+)= c J DyDy+ei\-'v+K'v+'v+a+Sv('v+a’'v++a)}, д
Sv(v, V+) ^ Sv(v, V+) +Sh(ф,V+, V), Sh (ф, v+, v) = -дм ф^+v,
Д(а, а+) = С,у У ^(ф2)е4ч'+^+Ч'+а-Мф2 + Я(Ф,Ч/++а+,Ч,+а)]е1рГрерф'|ф; = 0;
А 0
СЮ
с'-1 = у у &(ф2ук+ку-мф2].
А0
В таком представлении масса вводится через взаимодействие типа Юкавы со скаляром Хиггса, свободное (со штрихом, [5]) действие которого может отличаться от исходного свободного действия и представляет квадратичный по полю «массовый член» М, зависящий в общем случае от координат М = М(х). Причём по скаляру Хиггса мы должны производить интегрирование в диапазоне непрерывного спектра масс при конформной симметрии. Соответственно переопределена и нормировочная константа, аналогично формуле (163) [5]. Интегрирование по спинорным полям производится в пространстве Е(Д) [5] асимптотик решений классического уравнения движения в классе хорошо убывающих полей с требуемыми свободной частью действия свойствами вещественности, что равносильно предположению об использовании соответствующей теории возмущений, когда включение взаимодействия не меняет пространство интегрирования. Что касается интегрирования по скаляру Хиггса, то квадратичная по полю мера интеграла определена из более общих соображений в целях использования представления скаляра Хиггса в виде двухкомпонентного поля в Стандартной модели, взятого в унитарной калибровке. В этом случае интегрирование необходимо производить по обеим компонентам, что и приводит к данному виду дифференциала. Формальное взятие интеграла от свободного действия поля Хиггса (по формулам (154) [5] прямого и обратного преобразования Фурье) даёт дельта-функцию от М:
с = у У &(ф2)е^+к^-мф2] = у Ку]5(м(х)).
А 0 А
Функция М(х) может включать всевозможные массовые члены различных калибровочных полей, векторных, тензорных и др., включая через взаимодействия и электромагнитное поле. При построении теории возмущений для электромагнитного поля,
а также других безмассовых векторных калибровочных полей Янга-Миллса с вырожденными лагранжианами, предварительно бесконечный множитель по объёму группы калибровочной инвариантности в континуальных интегралах производящего функционала й'-матрицы выделяется явно и содержит дельта-функцию (от калибровки), в частности, линейную калибровку вида паБа + ! = 0 [5] для безмассово-го векторного поля Ба, и лишь потом строится теория возмущений. В нашем случае появление дельта-функции фигурирует в результате интегрирования по массовому масштабному фактору - скаляру Хиггса в объёме спектра масс, соответствующему масштабной симметрии подгруппы и(1) дилатаций конформной группы. Исходные поля конформной симметрии изначально безмассовые. Поэтому такое выделение здесь в континуальном интеграле объёма калибровочной конформной группы через дельта-функцию до построения теории возмущений совершенно необходимо, также как в случае калибровочного электромагнитного поля группы и (1) внутренней симметрии и калибровочных полей Янга-Миллса, произведено достаточно естественно и корректно, и, самое главное, произведено в рамках стандартной диаграммной техники типа Юкавы без каких-либо искусственных построений через учёт массового члена свободного действия скаляра Хиггса. Тогда как из-за произвольности различий выбора функционалов на группе известными методами ^-матрица определяется неоднозначно. Согласно ККТТ [2], электромагнитное поле находится во взаимосвязи с калибровочным гравиполем, что даёт конформную калибровку кривизны.
Таким образом, получено определение производящего функционала ^-матрицы континуальным интегралом для гравитационного взаимодействия (2) спинорных полей. Аргумент дельта-функции М = 0. Принимая это значение, или полагая М малым, под интегралом взаимодействия можно отдельно вычислить интеграл вида (112) и (169) [5] с учётом массового члена спинорного поля, который можно представить в виде кубической формы вида у+ Ьу с ядром
0 У0 у+е-у+Лі2у-і(у+ + а+)3м (у+а) = еХр
— Г —
да 6а+
= ёе^1 - ЬД^)1/2ва+(ь 1-Лі2) а, где дм - массовая постоянная спинора; а+ (Ь-1 — Д12) 1 а = а+ (Ь + ЬДі2Ь + ...) 1 а,
ОО ..
<іеЦ1 - ЬДі2)1/2 = е~р&\ Р(ф) = -Шп(1 - ЬА12) = V -Ма+ГаД12)п.
< ^ п
=о п
ггтпггт
а12
р(ф)=( ) + - *+-
г
Это формальное вычисление, согласно [5], совпадает с результатом прямого суммирования диаграмм теории возмущений для данного функционала. Квадратичная форма
+
+
в экспоненте изображается графически в виде цепочек прогрессии, в которой направленным линиям соответствует пропагатор фермионного поля, а точкам - вершинные множители Ь для массового члена фермионов в виде их взаимодействия с бозоном Хиггса. А определитель представляется экспонентой, показатель которой со знаком «минус» графически изображается суммой замкнутых петель, в вершинах которой остаётся только поле Хиггса. Представление производящего функционала S-матрицы для гравитационного взаимодействия спинорных полей после этого сводится к добавлению всеми возможными способами линии пропагатора Г бозона Хиггса - потенциала гравитационного поля (2) между вершинами цепочек и колец. Так как поле фермионное, появляется дополнительный знаковый множитель —1 на каждую замкнутую фермионную петлю. Далее по известным формулам можно вычислить производящий функционал функции Грина гравитирующих фермионов во взаимодействии с хиггсовским бозоном. Точное значение интеграла можно получить по методу стационарной фазы. Одетый пропагатор фермионного поля для полного действия:
Вычисление производящего функционала функции Грина для действия Б (у, у+) = = Бу(у+, у) + Бн(у+, у, ф) по методу стационарной фазы [5] приводит в точке стационарности к интегральному уравнению
Здесь и далее Г заменено на Г/12. Действуя оператором Д12 = ІК 1 справа на левую часть этого уравнения, имеем
Правая часть представляет бесконечную сумму разветвлений по вершинам третьего порядка, из каждой выходит три линии фермионного пропагатора. По двум разветвлениям можно провести суммирование и это даст полный пропагатор фермионов [5]:
ёе^1 — (Ь + а+ГаД12))1/2 = е-Р (ф)
У+ = (—Ідм ФУ+ + у+у+Гу)Д12 + Іа+Д12.
В = Д12(1 — (—Ідм Ф + а+Га)Д12) 1
С учётом этого решение уравнения стационарности переписывается в виде у+ = (—гдм фу+ — у+*ГД)Д12 + ш+Д12.
Среднее по вакууму от обеих частей уравнения в первом порядке приближении деревьев [5], когда все выражения факторизуются, представимо в виде
(у+)о = —дм (ф)о (у+)о — (у+)с*Г^ + ia+Дl2.
При этом предполагается отсутствие аномальных средних вида (у+у+)о. Тогда для вакуумного среднего в точке стационарности получаем окончательно
(у+)0 = га+Д12 [1 — ( — гдм (ф)0 — *Г^) Д 12] , (3)
куда вошло также вакуумное среднее скаляра Хиггса (ф)0.
Согласно [5], связная функция Грина фермионов в однопетлевом приближении:
Ш(1) (а) = — ^п^-1 Д12) = — ^1п(1 — (Ь+а+Га)Д12) = — ^1п(1 — (—гдм ф+а+Га)Д12).
Вторая вариационная производная по спинорному полю от связной функции Грина, пропорциональной эффективному действию Я' = —гШ(1), даёт полный пропагатор гравитирующих фермионов:
—* ^ 2 ~ —2*ГД12[1 — (—*(?мф + а^Га)Дх2] 1 = — 2*Г_0,
с точностью до малого вклада, квадратичного по гравитационному пропагатору, а первая производная - среднее по вакууму от гравитирующего спинорного поля
(¥+)о = = -2а+ГД12[1 - (—*<7мф + а+Га)Д12]-1.
оа
Это вакуумное среднее, имеющее смысл намагниченности [5], определяется величиной гравитационного потенциала Г. Гравипотенциал (2) в секторе вакуумных решений уравнений конформной калибровочной теории тяготения (ККТТ) [2], согласно приложению определяется вектором следа кручения пространства-времени, пропорциональным вектору-потенциалу А электромагнитного поля нулевой напряжённости, поскольку это градиент. Величина Г, а тем самым и пропорциональное Г вакуумное среднее (у+)о, таким образом, определяется интегралом от электромагнитного вектора-потенциала по замкнутому контуру:
Г А • 3,1 = Ф = пФо,
который по теореме Стокса равен магнитному моменту Ф внешнего магнитного поля, измеримому целочисленно в единицах элементарного кванта магнитного потока Фо = Не/е. Исключение, согласно ККТТ [2], составляют электрон и его нейтрино. Но и в этом случае могут быть подобные эффекты с учётом рождения мюонных пар. Данный нелокальный эффект поляризационных обменных взаимодействий гравитирующих фермионов аналогичен эффекту Ааронова-Бома [15], характеризующему влияние внешнего электромагнитного поля, сосредоточенного в области, недоступной
для заряженной частицы, на её квантовое состояние - определяет фазу волновой функции и приводит к наблюдаемому на сверхпроводящих квантовых интерферометрах интерференционному эффекту даже при отсутствии прямого силового воздействия на частицу (независимо от калибровки потенциала - при рассеянии на длинном, непроницаемом для частиц соленоиде, внутри которого есть магнитный поток Ф). Но, конечно, для электрически нейтральных частиц типа нейтрино этот эффект не рассматривался. Теоретически, как известно, рассматривается вклад кручения в массу реликтовых нейтрино, которую также можно определять по механизму Хиггса. Как показано выше, пропагатор гравитирующего спинорного поля также определяется гравипотенциалом, представляющим пропагатор хиггсовского бозона.
Нелокальность гравитационного взаимодействия фермионов аналогично эффекту Ааронова-Бома очень существенно проясняет применимость рассматриваемого подхода на макромасштабах ГКР.
Наконец, можно определить вакуумное среднее скаляра Хиггса (ф)о, определяющего массу спинора через взаимодействие Юкавы, - посредством второй вариационной производной по спинорному полю от связной функции Грина, пропорциональной эффективному действию Я' = —гШ(1). Это приводит к полному пропагатору гравитирующих фермионов,
(Ф)о = ~ дд2 ~ 2ГД12(1 - (—*#мФ)Д12)[1 - (—*£мф + а+Га)Д12]~2 = 2ГБ.
Таким образом, по вакуумному среднему бозона Хиггса определён масштаб масс гравитирующих фермионов.
В такой постановке необходимо положить равными вакуумные средние спиноров с их значениями в точке стационарности по формуле (3), а также отождествить значение поля Хиггса с его вакуумным средним. Эти величины, таким образом, должны удовлетворять системе уравнений:
га+Д12 [1 — ( — гдм (ф)о — гГБ) Д 12] = (у+)о = — 2а+ГД12[1 — ( — гдмф + а+Га)Д12 ] 1,
ф = (ф)о = 2ГД12(1 — (—гдм ф)Д12 )[1 — (—гдм ф + а+Га)Д^]-2,
Б = Д12 [1 — (—гдм ф + а+Га)Д12]~\
Г = —гУ, V = 2ф, Д12 = гО.
Из первого уравнения видно, что кроме нулевого (когда а+ = 0), возможно и ненулевое решение для вакуумных средних спиноров. Для существования решения требуется, чтобы величина а+а была неотрицательна. Для вакуумного среднего поля Хиггса имеем
1 2
(Ф)о = 2^ 1 — 5,м(Ф)о) 1 ~ (дм{§)о+ — (дм<$> + а+Уа,)С\ х)) .
Во всех уравнениях зависимость от а+ и а входит в виде а+а. Расписывая последнее соотношение при малых импульсах для случая при О-1 = р — М = дм(ф)о + )
исчезающее малых вакуумных средних от спиноров а+ = а = 0, когда в скобках в знаменателе появляется ведущая особенность, имеем
1 __________________________________________________________2
(Ф)о = 2^ 1 ~ 9м{§)о) (У^[1 — (дм<$> + а+Уа,)С\ х)
или
(Ф)о — 3(С 1~9м(Ф)о)3-
2
Отсюда для физической массы М:
О-1 = р — М = дм(ф)о + V(2(ф)о)1/3, (ф)о « -Мд--1.
Это соотношение в системе покоя частицы определяет гравитационный дефект инертной массы М, который, согласно сказанному выше, пропорционален квантованному магнитному потоку Ф. Исключение, согласно ККТТ [2], составляют электрон и его нейтрино. Но и в этом случае могут быть подобные эффекты с учётом рождения мю-онных пар. В случае мюонного нейтрино этот эффект может определять всю её массу. В тех же порядках малости первое уравнение для вакуумных средних спиноров даёт
С^1 = р — М = дм{ф)о ± %/2У.
Отсюда с учётом предыдущей зависимости получается, что вакуумное среднее скаляра Хиггса может принимать два значения (как в модели Голдстоуна):
<ф)о = ±>/2.
Вместе с тем, так как было произведено отождествление хиггсовского скаляра с его вакуумным средним, здесь необходимо выбрать знак «минус». Тогда физическая масса спинора отрицательна (что не вносит каких-либо разночтений, так как, согласно [5], масса-энергия спиноров может принимать любой знак):
М = —\ПдМ-
По механизму спонтанного нарушения симметрии в модели Голдстоуна [16] действие скалярного поля сигма-модели с отрицательным квадратом затравочной массы (здесь в формулировке свободного действия эта величина равна нулю за счёт дельта-функции) приводит к неустойчивости состояния минимума энергии ф = 0, а устойчивыми становятся состояния (два), обладающие меньшей симметрией, вблизи одного из которых с ненулевым вакуумным средним скалярного поля строится теория возмущений. При этом вакуумное среднее скаляра отсутствует в любом порядке теории возмущений и появляется только в результате точного суммирования по всем порядкам. В случае ненулевых вакуумных средних фермионов выполнено
(ф)0 = а+а ± а/2,
причём снова выбираем знак «минус». Тогда при малых импульсах
М + дм (ф)о = —(ф)о^
+ а+
(¥+)с
уД'
М а/2
г~ IV 1 V ¿і
а' а = а/2-----------— «-------V = коФ = коФоМ.
дм + V дм
Здесь слева стоит оператор числа частиц (Ж), а справа - магнитный поток Ф в единицах элементарного кванта магнитного потока Фо. Данное соотношение можно считать доказательством существования кванта магнитного потока.
Эффект Ааронова-Бома при целочисленных значениях магнитного потока, как известно, отсутствует. Это соответствует условию квантования Дирака для магнитных зарядов (магнитного монополя). Эксперименты по его наблюдению проводились на электронах. Электрон и его нейтрино в рассмотренной задаче представляют исключение, согласно ККТТ [2]. Установленный в настоящей работе эффект проявления воздействия целочисленного магнитного потока в гравитирующих системах тяжелых лепто-нов и др., таким образом отличается от эффекта Ааронова-Бома, что означает и нарушение условия квантования Дирака для магнитных зарядов.
Наличие ненулевого вакуумного среднего спинорного поля также означает спонтанное нарушение калибровочной симметрии вакуума. Намагниченность, связанная с пространственной анизотропией, как известно, происходит в условиях спонтанного нарушения О(3)-симметрии. Здесь это связано с появлением инертной массы по специфическому механизму Хиггса.
Приложение. Ньютоновский предел в ККТТ. В современных представлениях о гравитации на основе локального калибровочного подхода метрика и кручение рассматриваются как независимые переменные, грань между которыми довольно условна. При этом метрика может рассматриваться как поле хиггс-голдстоуновского типа [9]. В работах [2-3] по конформной калибровочной теории тяготения поля кручения рассматривались в качестве геометрических характеристик физических полей, источником которых служит спин. Для разрешения проблемы калибровочной инвариантности (спин калибровочных полей не является локально калибровочно-инвариантной величиной) в ККТТ была введена связь между следом кручения и вектором-потенциалом электромагнитного поля, что обусловливает действие механизма Хиггса, устраняющего скалярное поле как динамическую переменную и приводит к обобщённой калибровке кривизны. При этом след кручения получает след плотности спинового момента электромагнитного поля в качестве своего источника. Ньютоновское тяготение не характеризуется конформной симметрией как электромагнитное поле, и поэтому соответствие может быть достигнуто только в результате некоторого предельного перехода.
Ньютоновский предел может быть рассмотрен с учётом следа и бесследовой части кручения, не учитывая псевдовектор кручения (как и в постньютоновском приближении), поскольку это может привести к нарушению симметрии пространственных отражений [9]. Действие механизма Хиггса непосредственно приводит к обобщённой калибровке кривизны, связывающей метрику и все компоненты кручения.
Бесследовая часть тензора (БСЧ) кручения в представлении [2-3]:
(4)
симметричным тензором - ковариантная производная в средней связности [2]
пространства Вейля-Картана 14) инвариантна относительно калибровочного сдвига тензора-потенциала БСЧ на тензор энергии-импульса. Потенциал нового взаимодействия вида торсиального или же торсионного тяготения определяется по этому сдвигу и определяет различие гравитационной и инертной массы - 10-11. Вариация действия ККТТ по БСЧ кручения есть бесследовая часть тензора спинового момента [2] ( — ^ в формализме тетрад [10]). Поэтому закон динамики торсионного тяготения есть закон сохранения бесследовой части спинового момента [2].
В представлении (4) ковариантная производная определена в средней связности [2] пространства Вейля-Картана:
Г^ = { 7 } — ^ ^ ^ — у,5х + 2д,у — — М^, (5)
зависящей от тех же самых производных; V = ^ Q/3, где ^ Q - след кручения; N - вектор вейлевской неметричности [11]. Определение ковариантной производной в (4) представляет отдельную задачу разрешения структурной зависимости средней связности (5) относительно
В общем случае эта задача не рассматривалась. Ниже рассмотрен случай единственной неисчезающей компоненты потенциала торсиального тяготения. Следует оговориться, что при задании ковариантной производной в представлении (4) имеется произвол, но (4) представляется как наиболее последовательное определение, так как производные всех полей кручения, в конечном счёте, будут расписаны в симметричной средней связности.
Торсиальное тяготение. Определение торсиального тяготения, опосредуемого бесследовой частью кручения, в терминах потенциала симметричного тензорного поля Ш^ (4) дано в [2], исходя из специфики классификации динамических полей по представлениям группы Лоренца как подгруппы конформной группы локальной калибровочной симметрии ККТТ. Как известно, в лоренцевой метрике пространства Минков-ского поля высших спинов .1 =2, 3,... заданы симметричным и бесследовым тензором фа|3... (фа|3... = фРа...), удовлетворяющим условию поперечности 9аФав " = 0. Поле спина 2 отвечает бесследовому Ша = 0 симметричному тензору.
Бесследовая часть кручения Яху (Яхх = 0, Я^х + + Я= 0) Я^ = —Я^ не может
описываться тензором спина 3, и поэтому её следует рассматривать в представлении полями спина 2±, 0±, а соответствующий проектор на спиновые состояния должен содержать производную. Представление (4) бесследовой части кручения бесследовым тензором автоматически удовлетворяет требуемому условию поперечности из-за бесследовости, так что Ш“ — 1/45аШ^ действительно задаёт точную волновую функцию поля спина 2 в средней связности пространства аффинной связности [12].
Рассмотрим условие бесследовости для случая единственной неисчезающей компоненты Шо и д^о = 0 (к = 1, 2, 3). Случаи ненулевых Ш/, Ш22, рассматриваются аналогично.
(6)
0 = Я“^ = Ба\¥аі1 - £уИ^аа = + Я^.
(7)
Свёртка обеих частей (6) с учётом (5) даёт
+ VxWkl(1 - 260) + - 50)- (9)
Согласно (8) и (9),
Daw;-D Wva = 2W°[D W00 - DaW0a)+2VxW^(b°-baa) + NxWMl(b°0-baa). (10)
Соотношение (10) разрешимо относительно
S
^0 = £>„W0a - 0^00 = 2(ôg - ô“)VoWoU(l + 2W"TL +
+ (ô° - ôa)Wo^00(1 + 2^o0)^1, (11)
Slo = Sîk = 0.
Из (11) и условия бесследовости (7) следует
S0 — S — о
S0k — Sik — 0,
— S00 — SÍ0 — (00 - ôa)(2Vc + N0)W00(1 + 2W00)-
(12)
Таким образом, условию бесследовости (7) в пространстве Вейля-Картана можно нетривиальным образом удовлетворить, полагая
2V0 + N0 — 0.
(13)
Это означает V} =0 в пространстве Римана-Картана и Жо = 0 в пространстве Вей-ля-Картана без следа кручения.
Структура ковариантных производных
D0W", D„W0° = D„W00 + 2W0° (DWp0 - + 2(1/, + W„)W0
при учёте (9) разрешима:
DkWg = dkW°( 1 - <)(1 + О“1 + 2Wq (14 + Nk - { f }) (1 + Wo0)“1, D0W° = -Wo4 Wo°(l + Wo0)-1 + W0° (14 +Nk-{ °0fc }) (1 + Wo0)-1
(D0W00 = 5oWo0).
Однако условие бесследовости (12) требует
S°0k = D0W° - DkW° = -
W0dk
ln
W00
л/gôô)
+ W0 (Vk + Nk )
откуда
Vk + Nk — —dk (ln
Wp0
л/900
(14)
(1 + Wo0)-1 — 0,
Остальные производные аннулируются.
Таким образом, разрешение структурной зависимости ковариантных производных
(5), (6) в случае единственной неисчезающей компоненты потенциала W00 торсиального тяготения приводит к отсутствию бесследовой части кручения и градиентности следа кручения
W00 N
п = [0'-дк[ы7Ёго)
0
выраженного в пространстве Римана-Картана в терминах потенциала торсиального тяготения W00 через его след. При этом некоторые ковариантные производные - напряжённости торсиального тяготения по (14) - отличны от нуля.
В пространстве Вейля-Картана в отсутствие следа кручения это приводит к гради-ентности вектора Вейля, что означает римановость средней связности по определению [12] за счёт устранения вектора Вейля конформным преобразованием метрики.
Фактически получен новый механизм Хиггса устранения единственной компоненты потенциала W00 тензорного поля как динамической переменной. W00 есть поле хиггс-голдстоуновского типа нулевой энергии. В силу связи следа кручения с потенциалом W00 торсиальное тяготение получает возможность соответствующего воздействия на спинорные частицы и через новый механизм Хиггса, также как на спиноры действует след кручения.
Движение частиц со спином в пространстве Римана-Картана (с малой скоростью) происходит, согласно [10], с ускорением
22
д= - с2У = -- c2VlnW, W = W0°. (15)
В пустоте уравнения для метрики и в обобщённой калибровке кривизны [2-3] приводят в плоской метрике к условию div g — 0, идентичному уравнению тяготения Ньютона в пустоте. Показано таким образом, что потенциал торсиального тяготения определяет потенциал ньютоновского тяготения
2 2
ф = — с In W,
У 9 ’
а градиентность ньютоновского тяготения следует только по механизму Хиггса в ККТТ.
Полное выражение ускорения тяготения (15) отличается от ньютоновского квадратичными добавками по скорости частиц, причём в силу связи следа кручения с вектором-потенциалом электромагнитного поля гравиускорение оказывается ему пропорционально. Тогда^уравнение тяготения Ньютона в пустоте эквивалентно кулонов-ской калибровке div A — 0.
С учётом этих результатов для случая единственной неисчезающей компоненты потенциала торсиального тяготения рассмотрим действие ККТТ при некотором распределении масс р0, заданном тензором энергии-импульса (ТЭИ) с единственной ненулевой компонентой Т0 — р0 в пространстве Римана-Картана для случая однородного и изотропного пространства-времени сферической симметрии, геометрия которого рассматривалась в [10]:
L — ф2 [Д(Г) + aiQ^Q^ + aQvQ1^ + a3Q'Q' + Л„^a — Q-1Aa)] +
+ ^ЭМП + LM, (16)
где ф - скаляр Хиггса, ai, a2, аз - неопределённые постоянные добавок к скаляру кривизны Д(Г), Ла множитель Лагранжа, Q - постоянная ККТТ, ^эмп и Lm - лагранжианы распределения электромагнитного поля и масс, соответственно. Действие полей кручения не включено, так как в ньютоновском пределе псевдовектор кручения может нарушать симметрию пространственных отражений, что здесь не рассматривается, бес-следовая часть кручения отсутствует по механизму Хиггса, а след кручения образует калибровочную связь с вектором-потенциалом электромагнитного поля.
Согласно [10], метрический тензор сферически симметричного пространства-времени может быть задан в виде
g = diag(ev, —eK, —r2, —r2 sin2 0),
где v и X являются функциями r и t, а неисчезающие компоненты бесследовой части кручения
о0 _ о с1 _ С q2 _ q3 _ q q2 _ q3 _ q (i n\
S01 = Sb S10 = S3, S21 = S31 = $2 S20 = S30 = S4- (17)
Условию аннулирования бесследовой части кручения, рассмотренному выше, соответствует $1 = S2 = V1.
Несмотря на различные способы введения калибровочной группы, выбор полевых переменных и напряжённости поля тяготения оказывается независящим от используемой трактовки [10]. Расписывая в переменных тетрад и лоренцевой связности аналогично [10] уравнения для метрики с учётом условия (13) S3 = S4 = 0, получаются следующие уравнения для лоренцевой метрики при v = X = 0:
^=ñ=a(s\ + ^±+S2 -2S2)+4b (s!> + — - SÍ
0 = Т{= 2(-а + 26^2 + 2ЪБ1 - 2((а + 2Ъ)Б2 + 2ЪБ1)82 - аБ2 - 4Ьв^, 0 = Т\-Т\ = - ((а + 26)^ + 26^) - (а + 26)^2 + 2ЪБ1 - 2((а + 2Ь)Б2 + 2Ь31)Б2, ^
0 = ТР — то = —46^оЯ2 — адоЯи Т^ = Т§, а = 2а1 + а2 + аз, Ь = а + 2.
Все индексы тензора энергии-импульса - тетрадные.
Обобщённая конформная калибровка кривизны
-4Эодо-4^уд-8Я2(я2+2я1)+8Я4(5,4+25,3)+а + 4а2 + 2аз(д2-д2)+БСч = о (19)
(БСЧ - вклад бесследовой части кручения, здесь отсутствующий); д1 = Я1 + 2Я2, до = Яз + 2$4 - компоненты следа кручения.
Вариация действия (16) по следу кручения даёт
ф2(л^ — Зу) + ,1ц = 0, (20)
3 определяется постоянными а, а1, а2, аз. Вариация по ЭМП даёт источник электрического тока плотностью, пропорциональной Л.
В условиях аннулирования БСЧ кручения уравнения для метрики (18) удовлетворяются только при а = —4Ь, когда левые части уравнений (18) тождественно обращаются в нуль. Это означает, что в сферически симметричном пространстве-времени градиентный след кручения отвечает вакуумному решению уравнений ККТТ нулевой энергии. Конформная калибровка кривизны (19) даёт уравнение связи
4/ ё1у д + ед1 = 0,
е = а + 4а1 + 2аз + 8, / = с4 / (16пОн).
r
r
Уравнение (19) имеет точное решение
ІІ = -^т, (21)
г(г + го)
го = кє и при є ^ 0 зависимость (21) сводится к закону Ньютона в пустоте, но в начале координат согласно (20) есть скачок спина .1, обеспечивающий отсутствие электрического тока.
Таким образом, единственным физическим источником вакуумного решения ККТТ служит скачок спина. Из-за гиромагнитных эффектов таким источником может быть локальный магнитный или электрический момент любых частиц или спиновые ударные волны [13] (проявляются, в частности, при магнитном пробое металла с переворотом спина).
В случае ненулевого тензора энергии-импульса необходим учёт ненулевой бесследо-вой части кручения, когда $1 не равно Б2. Это имеет место, когда выполнено уравнение (18) для нулевой компоненты тензора энергии-импульса
(а + 2Ь)$2 + 2ЬБ\ = 0,
отсюда
$2 = -2Ь(а - 2Ь)-1дь Я = (а + 2Ь)(а - 2Ь)-1дь
Подстановка (22) в уравнение (18) для ненулевой плотности тензора энергии-импульса даёт
^ = Т0° = (Ііу д(а2 + 2аЪ - 8Ъ2)(а - 26Г1 + <2?(а + 2Ь)(а2 + 2аЪ - 8Ъ2)(а - 2ЬГ2. (23) ф2
Отсюда следует, что получить уравнение тяготения вида уравнения Ньютона при ненулевой плотности массы можно только при условии
А = -2Ь, (24)
когда $1 = 0. Оставшееся в системе (18) уравнение удовлетворяется тождественно. С учётом размерности из (23) получается соотношение между параметрами действия (14)
4 4
С с4
V = = а3 +
ЗблСн 8лСн
Зависимость (21) задаёт дельтаобразное распределение масс,
є
Р
г2 (г + ей)2 ’
причём скаляр ф(ж) как сомножитель дельта-функции получает фиксированное значение ф(0). В данном случае е > 0, поэтому вне точечной массы нет никаких дополнительных особенностей.
Таким образом, действие ККТТ (14) в однородном изотропном пространстве сферической симметрии приводит к уравнениям Ньютона при ненулевой плотности массы при некотором выборе добавок (24).
1. Сыромятников А. Г. // Тр. конгр. «Фундаментальные проблемы естествознания и техники». Сер.: Проблемы исследования вселенной. СПб., 2001. Вып. 23. C. 107-109.
2. Он же. О структурном сходстве расширяющейся вселенной и молекулы водорода // Там же. C. 415-424; Он же. // Теор. мат. физика. 1991. T. 87. № 1. C. 157-160; Сыромятников А. Г., Сатаров А. Г. // Там же. 1992. T. 92. № 1. C. 150-153; Сыромятников А. Г. Конформная калибровочная теория тяготения при нулевой температуре // Тез. докл. междунар. научн. конф. «Лобачевский и современная геометрия». Ч. II. Казань, 1992. C. 54-55; Он же. О тяготении, опосредуемом кручением пространства-времени // Тез. докл. 8-й Российской гравитационной конференции. Пущино, 1993. C. 82; Satarov A. G., Syromyatnikov A. G. Some features of two approach to the affine-metric theory of gravitation. Plenum publishing corporation, 1993. P. 799-801; Сыромятников А. Г. // Физическая мысль России. 2000. № 2. C. 1-14.
3. Он же. О происхождении тяжёлых лептонов // Там же. 1997. № 1 C. 10-44.
4. Серебряный Е. М., Скаржинский В. Д., Фролов В. П. Физические эффекты в поле космической струны // Квантовая теория гравитации. Труды ФИАН. М., 1989. С. 166-180.
5. Васильев А. Н. Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике. Л., 1976.
6. Давыдов А. С. Высокотемпературная сверхпроводимость. Киев, 1990. 176 с.
7. Поляков А. М. Калибровочные поля и струны / пер. с англ. Ижевск, 1999. 312 с.
8. Быценко А. А. Вопросы квантовой теории поля и статистической физики // Записки научн. семин. ЛОМИ. Т. 180. 1990. C. 36-40.
9. Иваненко Д. Д., Пронин П. И., Сарданашвили Т. А. Калибровочные теории гравитации. М., 1985. 141 с.
10. Минкевич А. В. Физические аспекты калибровочного подхода в теории гравитационных
взаимодействий: дис. ... докт. физ.-мат. наук. Минск, 1985. 302 с.
11. Poberii E. A. // GRG. 1994. Vol. 26. P. 1011-1054.
12. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976. 431 с.
13. Сыромятников А. Г. Метод самосогласованного поля в задачах нелинейной динамики. СПб., 1993. 80 с.
14. Syromyatnikov A. G. // Proc. Int. science congr. “Fundamental problems in natural science”. S.-Peterburg, 1998. P. 177-178.
15. Aharonov Y., Bohm D., Significance of electromagnetic potentials in the quantum theory // Phys. Rev. 1959. Vol. 115. P. 485.
16. De Alfaro V., Fubini S., Furlan G., Rosetti C. Currents in hadron physics. N.Y.: American
Elsevier publishing company, Inc., 1973.
Принято к публикации 1 июня 2009 г.
