CC BY
26
II. МЕХАНИКА
УДК 593.1
В. А. АЛПЕЕВА, В. К. МАНЖОСОВ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПРОДОЛЬНОЙ ВОЛНЫ ДЕФОРМАЦИИ С СОСРЕДОТОЧЕННОЙ МАССОЙ НА ТОРЦЕ СТЕРЖНЯ
Рассмотрена задача взаимодействия продольной волны деформации, распространяющейся по полуограниченному однородному стержню, с сосредоточенной массой на торце стержня. Падающая волна - волна сжатия прямоугольной и синусоидальной формы. Определены параметры отраженной волны, скорость и ускорение массы, продольная сипа на торце стержня, взаимодействующего с сосредоточенной массой.
Модель взаимодействия продольной волны деформации с сосредоточенной массой на торце стержня рассмотрена в работах [1-3]. Расчетная схема полуограниченного стержня, взаимодействующего с сосредоточенной массой при не-удерживающих связях на торце стержня, приведена на рис.1.
По полуограниченному однородному стерж-
ню в направлении оси х распространяется прямая продольная волка деформации,
параметры которой описываются функцией Да^х), где
а - скорость звука в материале Рис. I, Расчетная еяена стержня , _ ,
стержня; t - время; х - координата сечения Рис. 1.
Расчетная схема стержня стержня, через которое проходит волна деформации. В
момент времени ?=0 продольная волна деформации достигнет торцевого сечения
х=1> где расположена сосредоточенная масса М. Полагаем, что сосредоточенная
масса до взаимодействия с волной деформации находится в покое.
Движение поперечных сечений стержня опишем волновым уравнением вида
| зудг.г) л
где u(x,t) - продольное перемещение поперечного сечения стержня, положение которого определяется координатой х. Начальные условия при 1=0:
'"МКМ. Ц^й га
где и[х,()) - перемещение поперечного сечения стержня в начальный момент времени, и0(х) - функция, описывающая перемещение поперечных сечений
стержня в начальный момент времени - скорость поперечного
сечения стержня в начальный момент времени, у0(х) - функция,
описывающая скорость поперечных сечений стержня в начальный момент времени.
Граничные условия: . [.
если *=/, а продольная деформация в этом сечеиии, " то
Если х<и(1Д)
М^а. =е<м*. (4)
ОХ
где Е -модуль упругости 1-го рода материала стержня; А - площадь
поперечного сечения стержня; хм - координата, определяющая положение ударной массы М; уМ - скорость ударной массы; t. - время, когда произойдет отрыв ударной массы М от ударного сечения.
Решение волнового уравнения (1) по методу Даламбера представляется
как
к^и) = /{в* - аг) + ф(яг + {5)
где f(at - х), ф^ + х) - функции, описывающие параметры прямой и обратной волн.
Продифференцируем (5) по х и по V.
сх
¿г"
а?'{т ■ л) * а! Л (Т)
с г
ЗГ
Используя (6) и (8) в граничных условиях (3) для случая, когда ох .получим
=-М- /V - +
откуда имеем
+0=^¡ГЬ*- о-/V- 0- #
Ма Ма
Уравнение (9) связывает параметры обратной волны ф>^ + /), формируемой в сечении х = /, с параметрами падающей прямой волны -1).
Рассмотрим процесс взаимодействия падающих прямых волк деформаций различной формы: прямоугольной, синусоидальной, экспоненциальной.
1.Прямоугольная волна.
Для прямоугольной волны деформации
Г{(Л -!)= , /'(¿г/ -/)=0 г 101 п
' •* * * 1 1111 где еО - модуль
относительной продольной деформации прямой волны.
В этом случае из (9) следует
ЛШ Ма
Решение дифференциального уравнения (11) представляется в виде
Л! I" "/ Т-|ПГ™™*УЛ 4» ищи
+ 0 = (р. (а* + /) + <р.„ + ^ (12)
где' + 1 ^ : ' ^-г^ - решение однородного дифференциального
+■ Л + афг(ст/ + Л = 0: (\%)
уравнения вида 4 '
отношение погонной массы стержня и сосредоточенной массы; С,,С2 - постоянные интегрирования; ф*,(аА + /) = Б0Д? - частное решение уравнения (11). Общее решение (11) имеет вид
ф(йгЛ-/)=С, +С1*-МГ +с дДГ. (]4)
Дифференцируя по ^ получим
(15)
Скорость сечения х = / с учетом (7), (10) и (15)
-- = 2Ё0Й - мС^-™ - (] 6)
Постоянную интегрирования С2 определим из начальных условий: при
С учетом (17) из (16) следует, что скорость сечения х = Ь, взаимодейстующего с сосредоточенной массой,
Обратная волна ф'(а!+1), формируемая в сечении х =1, определится из
(15) с учетом (17) как
г№
Продольная сила в сечении х = 1 при взаимодействии волны с сосредоточенной
массой
га«
ЙГ
С учетом (6). (10) и (19)
Ускорение, которое будет испытывать сосредоточенная масса на торце стержня
при воздействии на нее падающей волны прямоугольного формы, определится
ЕЛ 9ЦЬ)
(22)
из (3) как 5'3 М ог Так как из (6), (10) и (19)
1-^)=-^", (=3)
то ускорение массы равно
^ ,24} э? " К *
2. Синусоидальная волна.
Параметры падающей прямой волны деформации синусоидальной формы опишем зависимостью
/'(д* -!) - $ й ял и г, Г(вг - = —со/ * (25)
/г
где со - круговая частота. В этом случае из (9) следует
Ф"(ям-1)+о' [ш +. /) = Ж* I - ЙДМ®. (26)
Л4л" а
Решение дифференциального уравнения (26) имеет вид
|р{и + 1-Сге"'"1Т + ^|£л ыи шг 4- ^ тгл ¡ы, {27}
где С,, С2 - постоянные интегрирования, { и14
(10) ¡[в т а ^
Дифференцируя (27) по и находим Скорость сечения х=1 с учетом (7),( 10) и (29)
Г , а, ^ шЛ, .
-- ? ¿Я --С3*--1 ллШ + " сани: : ■
(V у 6г. а а ,
Постоянную интегрирования С2 находим из условия: при \ ■; 1=0 тогда имеем из (29) откуда
С учетом (31) из (30) следует, что скорость сечения, взаимодействующего с сосредоточенной массой, равна
^JI| /, «м, 1 шл, шл, „л
— I ] -^ ■ —__■
гI
--М+^ииаг-Е^-Г™ (31)
I \ а / л с
Обратная волна ф'(а1+1), формируемая в сечении х = 1, определится из (29) как
И й
Продольная сила в сечении х = 1 при взаимодействии волны с сосредоточенной массой, учитывая (20), (6), (10) и (29)
:ние адаю
И1паI + - р ) | ■ (34)
Ускорение, которое будет испытывать сосредоточенная масса при взаимодействии с падающей волной синусоидальной формы, определится из (3), (6), (10) и (33) как ifj.il
05)
2 п , „--
(л 1
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Алимов О. Д.. Манжосов В. К., Еремьянц В. Э. Удар. Распространение волн деформаций в ударных системах. - М., 1985. - 358 с.
2.Алпеева В. А., Манжосов В. К. Взаимодействие волн деформаций с массой на торце стержня при неудерживаюших связях между массой и стержнем // Ударные процессы в технике. - Фрунзе: Киргизский гос. университет. 1988.
3.Алпеева В. А. Исследование процесса взаимодействия волны деформации, распространяющейся по стержню с изделием на торце стержня при неудер-жив^ших связях // Динамика механизмов для возбуждения виброударных нагрузок. - Фрунзе: ФПИ. 1988. - С. 17-27.
Алпеева Вера Алексеевна, кандидат технических наук, окончила машиностроительный факультет Фрунзенского политехнического института. Имеет статьи в области продольного удара в стероюневых системах, преобразования продольных волн деформаций в механических волноводах.
Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета, окончил механический факультет Фрунзенского политехнического института. Имеет монографии и статьи в области динамики механических систем переменной структуры, продольного удара в стержневых системах, преобразования продольных волн деформаций в механических волноводах. 28 Вестник УлГТУ 1/2001
