CC BY
34
______ УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И
Том XIV 1983
№ 1
УДК 533.6.011.5 -і- 532.526.5
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ И СВЕРХЗВУКОВОГО ПОТОКА ПРИ СИЛЬНОМ ЩЕЛЕВОМ ВДУВЕ
А. В. Казаков
Исследованы течения в нестационарном пограничном слое с самоиндуцированным давлением около проницаемого участка, через который осуществляется вдув газа перпендикулярно поверхности пластиньь Приведена постановка задачи для области взаимодействия пограничного слоя и сверхзвукового потока и результаты численных расчетов нестационарных течений.
1. Вдув газа в пограничный слой широко используется для защиты по верхности летательного аппарата от аэродинамического нагревания, а также как средство управления отрывом пограничного слоя. Исследование влияния вдува газа на обтекание летательного аппарата и его аэродинамическое нагревание имеет большое практическое значение. В данной работе рассматривается нестационарный вдув газа в сверхзвуковой ламинарный пограничный слой на плоской пластине при стремлении характерного числа Рейнольдса к бесконечности. Исследование проводится на основе трехслойной схемы нестационарного течения, реализующегося в области взаимодействия сверхзвукового потока с пограничным слоем [1—4]. Как известно, эта модель течений со свободным взаимодействием первоначально была развита и использовалась для анализа чисто стационарных течений при больших значениях характерного числа Рейнольдса.
Асимптотическое решение уравнений Навье — Стокса в этом случае различно в трех частях - области взаимодействия, имеющей малую длину ~Ие—3,8. В области с продольным и поперечным масштабом порядка Ее-“3,8 реализуется слабовозмущенный невязкий сверхзвуковой поток, который описывается линейной теорией сверхзвуковых течений. Течение в основной части пограничного слоя толщиной ~ Яе~112 оказывается также невязким и в первом приближении не влияет на распределение давления в области взаимодействия. Изменение толщины вытеснения пограничного слоя происходит в первом приближении только за счет вязкого пристеночного слоя толщиной ~ Ке—5/8. Течение в этой области описывается обычными уравнениями для несжимаемого пограничного слоя. Градиент давления в уравнениях не задан, а определяется в процессе решения задачи с использованием формулы Аккерета линейной теории сверхзвуковых течений, в которую в качестве местного наклона входит наклон, образованный изменением толщины вытеснения вязкого пристеночного слоя [5, 6].
2. Рассматривается обтекание плоской пластины сверхзвуковым потоком вязкого газа при стремлении характерного числа Рейнольдса Ее =
к бесконечности. Здесь Рсс, их, — плотность, скорость, коэффициент динамической вязкости набегающего потока, а ¡л. — расстояние от передней кромки пластины до начала проницаемого участка. Предполагается, что через прони-
цаемый участок длиной Дх ~ / Ке 3/8 осуществляется вдув газа по нормали к поверхности со скоростью ~ и^ Не-3'8. Скорость вдува может изменяться от нуля до некоторого значения Ущ^сопб! за характерное время Д^~//и00Ие_1/4. В дальнейшем будут использоваться только безразмерные величины; для этого все линейные размеры отнесены к I, составляющие вектора скорости — к иоа,
плотность — к р^, время — к 1/исо, давление — к рэнтальпия — к коэф-
фициент динамической ВЯЗКОСТИ—К
Течение в окрестности проницаемого участка разбивается на три характерные области [1—9] с масштабом Ах ~ Ие~3/8- В области 1, продольный и поперечный размеры которой имеют одинаковый порядок Дл: ~ Ду ~ Яе—3/8, течение оказывается квазистационарным [1—4] и описывается обычной линейной теорией сверхзвуковых течений. Течение в области 2 (основной части пограничного слоя) с поперечным размером порядка Не-также оказывается для таких интервалов времени квазистационарным и в первом приближении не влияет на распределение давления. Изменение толщины вытеснения пограничного слоя индуцируется в первом приближении только за счет нестационарного вязкого подслоя толщиной ~ Ие-5'8 (область 3) [1—4].
Асимптотические разложения координат и функций течения для области 3 в ортогональной системе координат, связанной с поверхностью тела, имеют вид:
I =Ъе~114(^а0 рГ1/2 Т; х = 1 + Ие“3'8 дЦрз)-1/4Х;
у — ие-5/8[{^/р®«о£)1/4 у’ ? = ?*> + ■■■'> н-=нч» + --->
р = ~ \ +Ие 1/4([!„, Й0/Р)’,2Р; « = Ие
V = Ие-3/8 («і® а\ р/рІ,)1'4 V; = + Ие-1 8 а0/Р® р)1/4 Ь0 Л0.
(2.1)
Здесь 7 — отношение удельных теплоемкостей; Мм:—число М набегающего потока, рто, ¡1® — безразмерные величины энтальпии, плотности и коэффициента динамической вязкости на поверхности тела; а0, —безразмерные ве-
личины напряжения трения и теплового потока в невозмущенном пограничном слое перед областью взаимодействия, и использовано обозначение {5= —
-I)1'2.
В результате подстановки асимптотических разложений (2.1) в уравнения Навье — Стокса и совершения предельного перехода Не -}- оо получается следующая система уравнений и краевых условий для вязкого пристеночного слоя:
ди±иди
ди
дТ
дЬ0
дТ
дЦ
дУ
дХ + У дУ
йР д3 и
ТХ + дУ2
дЦ
дХ
+ и
д/ц
дХ
дк0
дУ
1 д*1іо
а дУ2
р= -¿у [1іт (Г-V)];
йЛ V СХ)
и (О, У) = У; Л0 (О, X, У)= У; Р (0, *) = 0;
і
' 1’ дУ
1 при X -> — с» или К-» + оо (Т 0) ;
и ( Т, X, 0) = 0; к0(Т, X, 0)=0; V (Г; X, 0) =уп (Т, X); Р(Т, Х-^ + оо) = 0.
(2.2)
Полученная система уравнений (2.2) решалась численно с помощью алгоритма, предложенного в работе [41. В уравнениях (2.2) осуществлялся переход
гіТТ
к завихренности <!>! = — 1 и использовалась неявная схема решения раз-
ностных уравнений с итерациями на каждом временном слое Ті+1. Схема имела второй порядок точности по пространственным координатам и первый порядок
точности по времени. Для нахождения возмущенных скоростей £/] = и— У, У1 использовались определение завихренности и уравнение неразрывности [второе уравнение системы (2.2)], которое аппроксимировалось разностным уравнением второго порядка точности. Для определения завихренности на поверхности тела «»1(7,/+1, X, 0)= 1 использовалось уравнение импульса [пер-
вое уравнение (2.2)] при У= 0 [4], которое в разностном виде в данном случае можно записать следующим образом.’ •
[ 2+2 4£) <4+\+-я-:,. 1=о+-й.1,) -
1=1
7 = 2
1Й+1/
— 2<о
І + 1 щ
¿4-1 N.
-У)
лУ
2ХХ1
"їй
Д У3
,,+1 *П. 2-
(2.3)
методом прогонки с граничными условиями
(2.3) решалось
= а?£1:, причем для величин, стоящих в правой части уравнения
Уравнение
°4+1Л = °> 1
(2.3), использовались их значения, взятые с предыдущей итерация на временном
слое
Т1+у
Величина о>£+1 подбиралась в процессе итераций на времеввом слое 7\+1 [4] так, чтобы удовлетворить краевому условию Я(7’(-_(_1, X ->оо)*=0.
3. С помощью предложенного метода были исследованы нестационарные течения около проницаемых участков поверхности с различной длиной и скоростью вдува газа — Ут('Г, X). Для апробации расчетного метода были выполнены расчеты нестационарных течений, в которых скорость вдува У. (Г, X) задавалась по формуле:
(Т, X) =
0, Х<0и Х>5; У0(Т), 0<Х<5;
Уо\Г)='
Уоо
Ф
Т), 7-<1;
(3-І)
V*
Г> 1.
(АХ = 5)
При таком выборе длины проницаемого участка (Д^ = 5) стационарные решения краевой задачи (2.2)—(2.3), получающиеся после установления течения в вязком подслое области взаимодействия, можно сравнить с известными решениями стационарной краевой задачи о сильном щелевом вдуве газа, полученными в работах [7, 11].
Были проведены численные расчеты нестационарных течений, возникающих около проницаемого участка, скорость вдува через который задавалась соотношениями (3.1). Расчеты течений с предельными скоростями вдува У00==0,1 и У«, = 0,5 показали, что течение в вязком подчлое, а следовательно, и всей области взаимодействия, устанавливается за время Т ~ 12,0 и 19,6 соответственно. Течение считалось установившимся, когда максимальные отличия функций течения на временных слоях 7* и Т1+1 становились меньше некоторой заданной малой величины е0. Полученные при этом стационарные распределения возмущенного давления при скоростях вдува У0о = 0,1 и Уоо = 0,5 приведены на рис. 1 (кривые 1 и 2 соответственно), где пунктирными линиями показаны результаты работы [11], полученные при решении стационарной нелинейной задачи для аналогичных скоростей вдува газа.
На рис. 2 приведено сравнение распределений напряжений трения по поверхности тела, полученных в данной работе и работе [11] (кривая 1 соответ-
Рис. З
Рис. 4
ствует случаю Удо = 0,1, кривая 2—случаю У00 = 0,5). Сравнение с данными работы [11] и ряда других авторов показывает, что результаты, соответствующие установившемуся течению, полученные с помощью предложенного метода, хорошо согласуются с известными результатами решения стационарной краевой задачи. Отметим, что метод позволяет получать численные решения нестационарных уравнений движения одновременно с решением нестационарного уравнения энергии, что дает возможность определять тепловые потоки к поверхности обтекаемого тела в любой момент времени.
На рис. 3 и 4 представлены распределения напряжения трения и теплового потока на поверхности тела в случае вдува, осуществляемого по закону (3.1) с предельной скоростью 1^оо=1,0. Кривые 1 и 2 (рис. 3 и 4) соответствуют распределениям величин напряжения трения и теплового потока в моменты времени 7’ = 0,6 и 1,0, а кривая 3 представляет стационарные распределения соответствующих величин для Т ~ 25,6. Время установления течения в вязком подслое области взаимодействия, возникающей около проницаемого участка, оказывается больше, чем время установления течения в вязком подслое области взаимодействия около угловой точки щитка, отклоняемого в сверхзвуковой поток [4].
Результаты расчетов нестационарного течения, приведенные на рис. 3 и 4, показывают, что при увеличении скорости вдува (0<7’<1) и дальнейшем установлении течения происходит монотонное уменьшение напряжения трения на поверхности тела около проницаемого участка. Тепловой поток, соответствующий небольшому начальному интервалу времени 0<7’^3, довольно быстро уменьшается на участке поверхности, через который осуществляется вдув газа О < ЛГ < 5, а также на небольшой части поверхности пластины выше и ниже по потоку от этого участка. Затем благодаря интенсивному ускорению потока около точки прекращения вдува для этих же интервалов времени наблюдается появление области с тепловыми потоками большими, чем в невозмущенном йограничном слое 6^Х^!0 (рис. 4). Стационарное распределение теплового потока на поверхности тела (рис. 4, кривая 3) показывает, что вдув газа приводит к монотонному уменьшению теплового потока во всей области взаимодействия. При этом взаимодействие сверхзвукового потока с пограничным слоем приводит к уменьшению теплового потока перед проницаемым участком на расстояниях— 6 ^ X 0 и на достаточно большом протяжении вниз по потоку от участка вдува газа 5 ^ X 40.
Были также проведены расчеты нестационарного течения в вязком подслое области взаимодействия, вызванного вдувом газа с расходом <2, равным расходу газа в случае Код =1,0, но распределенным по поверхности щели по параболическому закону:
Стационарные распределения напряжения трения и теплового потока, полученные в этом случае, после установления течения в вязком подслое (Г ^ 22,4) представлены на рис. 3 и 4 (кривые 4). На рис. 5 приведены распределения
О X < 0 и X >5; У0(Т)(Х^-5Х) 0<ЛГ< 5;
напряжения трения и теплового потока (тепловой поток изображается пунктирными кривыми), соответствующие моментам времени 7 = 0,4; Т = 0,8: Т = 1,2 {кривые 1, 2, 3 соответственно). Сравнение стационарных распределений трения и теплового потока, полученных для вдува газа по параболическому закону (3.2) и вдува газа с постоянной скоростью 1/,)0 •: - 1,0 (3.1), показывает, что вдали от проницаемого участка величины трения и теплового потока практически совпадают. Поэтому можно сделать вывод, что зависимость скорости вдува от пространственной координаты X существенно влияет на распределение напряжения трения и теплового потока только в окрестности проницаемого участка 0 <С.Х<С.5. В начальные моменты времени 0 < Т ^ 4 тепловой поток уменьшается только на участке, через который вдувается газ в пограничный слой (см. рис. 5). По мере установления течения длина участка поверхности, на котором тепловые потоки меньше, чем тепловой поток в невозмущенном пограничном слое, монотонно растет и достигает максимальной величины в случае стационарного течения в области взаимодействия (рис. 4, кривая 4).
ЛИТЕРАТУРА
1. Daniels P. Q. The flow about the trailing edye of a supersonic oscilluting aerofoils. „J. Fluid Mech.% vol. 72, pt. 3, 1975.
2. Рыжов Д. С., Терентьев Е. Д. О нестационарном пограничном слое с самоиндуцированным давлением. ПММ, т. 41, вып. 6, 1977.
3. Р у б а н А. И. Численное решение локальной асимптотической задачи о нестационарном отрыве ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. „Ж. вычисл. матем. и матем физ.“ № 5, 1978.
4. К а з а к о в А. В. Нестационарное обтекание пластины со щитком сверхзвуковым потоком вязкого газа. „Ученые записки ЦАГИ“, т. XI, № 4, 1980.
5. Нейланд В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке газа. „Изв. АН ССР МЖГ“, № 4, 1969.
6. Stewart son К., Williams P. G. Self-induced separation. Proc. Roy. Soc. London., ser A., vol. 312, 1969.
7. S m і t h F. Т., Stewartson K. On slot injection into a supersonic laminar boundary layer. Proc. Roy. Soc. London, ser. A, vol. 332, 1973.
8. Smith F. Т., Stewartson К. Plate injection into a separated supersonic boundary layer. „J. Fluid Mech“. vol., 58, pt. 1, 1973.
Рукопись поступила 10f VII 1981 z.
