CC BY
26
ЕЛЕКТРОДИНАМ1КА
УДК 621.396
ВЗАеМОДШ ЕЛЕКТРОМАГН1ТНОГО ВИПРОМ1НЮВАННЯ З ШАРУВАТОЮ СФЕР1ЧНОЮ Л1НЗОЮ
Лющенко М.О., Лерман Л.Б., Криворучко Я.С.
Отримано точний розв 'язок задач1 взаемоди електромагнтного випромтювання з шаруватою сферичною л1нзою. Розроблена методика визначае залежност1 характеристик поглинання, розЫяння та екстинкци в1д характеристик шар1, що дозволяе розв 'язувати задачу синтезу неоднор1дних сферичних л1нз.
Вступ
Лiнзовi антени знайшли широке застосування в техтщ НВЧ. Звичайно розрахунок таких конструкцш виконуеться в наближенш геометрично! оптики [1]. Але, коли розмiри лшзи стають порiвняльними з довжиною хвилi, застосування цього наближення може привести до суттевого викривлення результата. Найбшьш важливою i дослiдженою з задач в теори поглинання та розЫяння плоских електромагнiтних хвиль (ЕМХ) на довшьних об'ектах е задача про кулю з вщомими показниками заломлення ^елект-рично! проникностi) кулi та середовища. Для розв'язання ще! задачi мо-жуть бути використанi рiзнi методи [2,3,4], кожен з яких мае певш переваги в тому чи шшому випадку. Для практичних цшей iнтерес становить до-слiдження неоднорщно! сферично! лiнзи, яка моделюеться кулею з довшь-ним, але кiнцевим, числом шарiв iз рiзними комплексними показниками заломлення. Для розв'язання ще! задачi пропонуеться модифшащя методу потенцiалiв Дебая [4] iз застосуванням трансляцiйних матриць, якi дозво-ляють переносити граничнi умови для систем звичайних диференцшних рiвнянь з шару на шар. Для обчислення електромагштного поля (потенща-лу) зовш розсiювача трансляцiйнi матрицi виявляються дуже зручними [911], бо дозволяють запобiгти необхiдностi розв'язання алгебрашних систем великого порядку i знаходження великого числа непотрiбних для цього сталих. Зауважимо, що в цитованих роботах розглядалася взаемодiя ЕМХ з малими металевими частинками в оптичному дiапазонi. На вiдмiну вiд вка-заних робгт в цiй статтi розглядаеться взаемодiя плоских електромагнiтних хвиль з дiелектричною лiнзою в дiапазонi НВЧ. Втрати електромагштно! енерги враховуються введенням дiелектричних втрат . На пiдставi роз-в'язку прямо! задачi взаемоди ЕМХ з багатошаровою кулею запропоновано алгоритм розв'язання задачi синтезу неоднорщних сферичних лiнз iз по-трiбними радiотехнiчними характеристиками.
Постановка i розв'язання задачi розсiяння
Розглядаеться куля, яка складаеться в загальному випадку з N iзотроп-них шарiв (див.рис.1)., що характеризуються своши товщинами i комплек-
сними дiелектричними проникностями е = е'+ /е'', де / - уявна одиниця. Нумерацiю шарiв почнемо iз вну-тршньо! кулi. Отже номер ядра кулi мае значення 1, а зовшшньо-го простору-У+1. Введемо сфери-чну систему координат г, ф, 0,
пов'язану з центром куль Радiуси концентричних куль (меж подшу шарiв) позначимо г}, (] = 1,2,...Д),
а показники заломлення - т^
(тн+1 -показник заломлення навко- Рис. 1. Багатошарова куля
лишнього середовища). Зауважимо, що будь-яка комплексна дiелектрична проникнiсть е = е'+/е" пов'язана з комплексним показником заломлення т = п + /к вiдомим спiввiдношенням е = т2. В загальному випадку дiелект-рична проникшсть може залежати вiд частоти ю, тобто е = е(ю) . Вважае-мо, що на кулю падае плоска ЕМХ одинично! ампл^уди, а залежнiсть вiд часу ? приймемо у виглядi ехр(-/Ш).
Потенцiали плоско! хвилi и0, У0, що поширюеться вздовж вiсi симетри г, можна подати у виглядi розкладiв за сферичними гармошками
и0 = гк2-/I^-1Чг(кК + 1г) р(1)(сс80)ес8ф
V0 = ^ / I /-1 т2г+Т)*/(кN + 1Г) ^(1)(соз0ф (1)
де кы+1 = 2пцм+1 / X - хвильове число, X - довжина хвил^ * (км+1г).- сфери-чнi функцп Бесселя, Р1 (1)(ссб 0) - приеднанi функцп Лежандра I порядку.
Потенщали розЫяно! хвилi мають аналогiчний вигляд, але замють фун-кцiй Бесселя мiстять сферичш функцп Ханкеля I роду с; / (kN+1г):
ин + 1=-^1- I аУ + 1У/(кЫ + 1г) Р(1)(ССБд)ССБ ]
гкы + 11 = 1
уы +1 = - I су + 1С/(км + 1г) Р(1)(ссз0)СС8ф (2)
гкЫ +11 =1
В формулах (2) +1 с N +1 - коефщенти рядiв розсiяння, що шдля-
а/ ,с /
гають визначенню з граничних умов. В розкладах потенцiалiв для кожного шару присутнi одразу сферичш функцп Бесселя i Ханкеля, за винятком внутршньо! кулi, для яко! потенцiали мають вигляд, аналопчний (1), але з невiдомими коефщентами. На межах подiлу шарiв повинш виконуватись
умови сполучення: т 2+1 [ги:+1 ] = т 2[ги:]
д = д -
д г _ги ] + 1 _ д г ги }
г -, г -| д - д -
_гУ ]+!_ = _ гУ 1 _ д г _ гyJ + 1_ д г
(3)
(4)
Задача полягае у визначенш 4И сталих, що входять у розклади потенщ-алiв, для яких з умов (3), (4) маемо стшьки ж лшшних рiвнянь.
Для визначення характеристик розсiяння i поглинання потрiбнi тiльки коефiцiенти а/ = +1, ^^ = с^ + Застосування трансляцiйних матриць
дозволяе виключити всi непотрiбнi сталi, i звести задачу до розгляду сис-теми другого порядку [10]. Шсля знаходження шуканих коефiцiентiв пере-
рiзи розЫяння СС i екстинци Сгх( обчислюються за формулами [2]
С =
V—' зса
х2
СС ех1
2 п
-£(2/ + 1) {а/|2 + \Ь\2} -¿(2/ +1) {е(а/ + Ь/}
(5)
(6)
2 п 1=
Iнтенсивностi цих величин (безрозмiрнi величини) визначаються ств-вiдношеннями
С* = С^ / па2, С^са = Сса / Па' (7)
де а = гк - рaдiус зовшшньо! сфери.
1нтенсившсть поглинання тодi надаеться виразом СЬ = Сх — Сса .
Чисельна реалiзацiя i приклади розрахункiв
Викладене складае основу чисельних алгорштв i програм, при розроб-цi яких врaховaнi особливостi обчислення сферичних функцш Бесселя i Ханкеля комплексного аргументу [14,15]. Деяк результати виконаних роз-рaхункiв наведено на рис. 2, 3. Як перший приклад розглядалась суцшьна дiелектричнa куля, а як другий - трьохшарова куля. Параметри останньо! вибрaнi таким чином, щоб змоделювати таз звану лшзу Люнеберга, яка мае специфiчнi влaстивостi [1]. На рис. 2 показано залежшсть iнтенсивностi кутового розЫяння а = ССса /(па2) вiд кута пaдiння вiдносно хвильового вектора на суцшьнш склоплaстиковiй кулi з характеристиками 8=3,98; tgд=0,02. На рис. 3 наведено залежност штенсивност екстин-кци, розЫяння та поглинання вiд параметру дифракци при наступних зна-ченнях комплексних показниюв заломлення або дiелектричноl проникнос-тi: для ядра приймалося, що «1=3,0, ^=0,01, для другого склопластикового шару, що 82=3,98, tg82=0,02 i для зовшшньо! оболонки з полютиролу -=1,05, к3 =0,001. Для вiдношень зовнiшнiх рaдiусiв шaрiв до рaдiусу ядра складали г2 / г1 = 0,5, г3 / г1 = 0,9
0 30 60 90 120 150 180
Рис.2. 1нтенсившсть кутового роз- Рис.3. Залежносп штенсивносп екстин-
аяння ст на суцiльнiй дiелектричнiй кцп, розсiяння та поглинання вщ пара-
лiн3i• метру дифракцп для трьохшарово'1' лiнзи:
_паралельна тол^изадш, !- екстинкцiя; 2 - розсiяння; 3 - погли-
_перпендикулярна поляризацiя.
нання.
Наведет приклади тдгверджують ефектившсть розроблених алгорит-м1в 1 можливють iх застосування на практищ. Вщмггимо, що зокрема, в на-ближеш геометричноi оптики неможливо врахувати частотш осциляци, як спостер^аються на графжах.
Постановка i метод розв'язання задачi синтезу
В загальному випадку задача синтезу полягае у знаходженш таких ма-тер1ал1в ^ вщповщно, будови лшзи, як б забезпечували потр1бн1 радютех-тчт характеристики конструкцii в заданому частотному д1апазош.
Позначимо . -ту характеристику лшзи, на яку накладаються певш об-
меження, наприклад, перерiз радiолокацiйного розсiяння, через Ц
(j = 1,2, к, 5), де 5 - число характеристик, на як накладаються певш об-меження. Цi характеристики будуть функщями фiзико-механiчних характеристик шарiв, тобто
Ъ = Ъ(^ гн; е^ в ^; х) (8)
Тодi задачу синтезу формально можна записати у виглядi системи нерь вностей
а> * . . = 1,2,к,3 (9)
де а.,Ь. - граничш значення потрiбних характеристик.
Оскшьки параметри шарiв можуть приймати обмежеш значення, то систему нерiвностей (9) потрiбно розглядати в 3И - вимiрному паралелепше-дi вiдповiдних змiнних (дiелектричнi проникностi вважаються комплекс-ними). При цьому довжина хвилi X вiдiграе роль параметру. Цю нелiнiйну задачу пропонуеться розв'язувати методом випадкового пошуку за допо-могою спецiальних 3N-вимiрних двiйкових послщовностей [11]. Задача спрощуеться, коли частину характеристик можна вибрати iз додаткових мiркувань. Зауважимо, що система (8) може i не мати розв'язюв, i це озна-чае, що система обмежень надто жорстка. При знайденш област iснування
розв'язюв можна вибрати оптимальну (за певною додатковою ознакою) конструкцiю лшзи, i одночасно розв'язати задачу допускного синтезу.
Висновки
Розроблено методику визначення характеристик розшяння i поглинання плоских електромагштних хвиль на багатошаровiй сферичнш лiнзi, ефек-тивнiсть яко! тдтверджена чисельними розрахунками.
Л1тература
1. Mishenko M.I., Hovenier J.V., Travis L.D. Light Scattering by Nonspherical Particles. -Academic press, 2002. - 690 p.
2. Aden A.L., Kerker M.. Scattering of Electromagnetic Waves from Two Concentric Spheres // J. Appl. Phys. - 1951. - V. 22, No 10. - 1242 - 1245.
3. Лопатин В.Н., Сидько Ф.Я. Введение в оптику взвесей клеток. - Новосибирск: Наука, 1988. - 240 с.
4. L.B. Lerman, L.G. Grechko, V.V. Gozhenko. Electromagnetic waves interaction with a lamellar spherical lens // Antenna Theory and Techniques. Proceeding Vl-th International Conference. - 24-26 May 2005, Kyiv, 2005. - P. 301-303.
5. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. - М.: «Наука», 1970. -856 с.
6. Moroz A. A recursive transfer-matrix solution for a dipole radiating and outside a stratified sphere // Annals of Physics. - 2005. - 315. - P. 352-418.
7. Hongxing Xu. Surface plasmon Photonics. - Thetsis for the degree of doctor of philosoph. - Geteborg University, 2002. - 92 p.
8. Wu Z.S., Wang Y.P. Electromagnetic scattering for multi-layered sphere: recursive algorithm // Radio Sci. - 1991, V. 26. - P. 1393-1401.
9. Гречко Л.Г, Лерман Л. Б., Шкода Н.Г. Розаяння електромагштного випромшю-вання на багатошаровш кулi // Вюник Кшвського у-ту. Серiя: фiзико-математичнi науки. - 2004, 3. - С. 376-385.
10. Гречко Л.Г, Лерман Л. Б., Шкода Н.Г. Ефективна дiелектрична проникливють матричних дисперсних систем з багатошаровими включеннями: пряма та оберне-на задачi // Вюник Кшв.ун-ту. Серiя: фiзико-математичнi науки. 2004, С. 475-481.
11. Гречко Л.Г, Лерман Л. Б., Шкода Н.Г. Багатошаровий елшсощ в електричному полi // Вюник Кшв. ун-ту. Серiя: фiзико-математичнi науки. 2004, С. 386-394.
12. Gurwich I., and others. Scattering of electromagnetic radiation by multilayered spheroidal particles: recursive procedure//Applied optics. 2000.V.39, No.3.P. 470-477.
13. Лерман Л.Б. Применение уравнений плоской задачи теории упругости к исследованию колебаний протяженных слоистых плит с внутренними линейными опорами // Прикл. механика, 1994. 30, № 6. С. 66 - 69.
14. Barber P.W. Light Scattering by Particles: Computational Methods. V.2. - Singapore, New Jersy, London, Hong Kong: World Scientific, 1990. - 253 p.
15. Bohren C.F., Huffman D.R. Absorption and Scattering of Light by Small Particles. -Wiley-Interscience, New York, 1983.
Лющенко М.А., Лерман Л.Б., Криворучко Я.С. Взаимодействие электромагнитного излучения со слоистой сферической линзой.
Получено точное решение задачи взаимодействия электромагнитного излучения со слоистой сферической линзой. Разработанная методика позволяет определить зависимости характеристик поглощения, рассеивания и экстинк-ции от характеристик слоев.
Lioushechenko M.O., Lerman L.B., Krivoruchko Ya. S.
Electromagnetic waves interaction with a multi-layered spherical lens.
Solution of interaction electromagnetic radiation problem with lamellar spherical lens is obtained. The elaborated method determinates dependence of absorbing, scattering and extinction versus slabs characteristics.
