CC BY
85
УДК 621.391
ВЗАИМНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ДИСКРЕТНЫХ И НЕПРЕРЫВНЫХ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
И.Г. Карпов 1, С.В. Овсянников 2
Кафедра «Конструирование радиоэлектронных средств и микропроцессорных систем», ГОУ ВПО «ТГТУ» (1); кафедра радиосвязи (авиационной), Тамбовское высшее военное авиационное инженерное училище радиоэлектроники (Военный институт) (2)
Представлена членом редколлегии профессором Ю.Л. Муромцевым
Ключевые слова и фразы: дискретные и непрерывные законы распределения; случайные величины.
Аннотация: В результате сравнительного анализа основных числовых характеристик дискретных и непрерывных законов предложен новый подход к их взаимной аппроксимации.
Для решения задач синтеза оптимальных методов приема и обработки информации в лазерных информационных системах (ЛИС) очень часто в качестве вероятностных моделей флуктуации сигналов и помех используют дискретные законы распределения, необходимость использования которых в последнее время в связи с развитием устройств цифровой обработки сигналов еще больше возросла. Однако в настоящее время, как показывает анализ литературы [1-3], известно только 15 типов дискретных законов распределения, в то время как непрерывных законов известно более тысячи [4]. С другой стороны, при оценке помехоустойчивости и эффективности ЛИС часто для получения более простых выражений и упрощения выкладок и структурных схем устройств обработки приходится делать переход от дискретной к интегральной форме записи, и, соответственно, от дискретных к непрерывным законам распределения. Т акие переходы, основанные на разложении отсчетных функций по ортонормальным выборочным функциям с дальнейшим рассмотрением предельных соотношений, зачастую требуют громоздких вычислений и приводят к значительным погрешностям.
Цель работы - рассмотреть возможность аппроксимации дискретных законов непрерывными и наоборот.
В литературе неоднократно делались попытки разработать подобную методику аппроксимации [5], которая была основана на приравнивании первых начальных и вторых центральных моментов дискретного и непрерывного законов распределения, а также их коэффициентов асимметрии Ка = Дз /Д2 и эксцесса
Кэ = Д4 /д2 - 3 . Однако такой подход далеко не всегда приводил к требуемой точности аппроксимации и часто оказывался малоэффективным.
В ходе работы на основе сравнительного анализа основных числовых характеристик непрерывных и дискретных законов распределения было установлено,
что аппроксимация дискретных законов непрерывными, и наоборот, возможна, если приравнять их математические ожидания, дисперсии и коэффициенты асимметрии Ка, а совместный коэффициент асимметрии и эксцесса для непрерывных
законов К2н [6]
К2н =
1, 5ц^н + 6д2н
Д 2н ( Д4н +
3д2н )
1,5К2н+6
Кэн + 6
0 < К2н < 1,5
(1)
считать приближенно равным коэффициенту дискретных законов К2д [7]
К2д =
I,5 д2д + 6д2д -1,5 д2д
1,5К2д + 6 -1,5/
Д2д
Д2д ( Д4д +3 Д2д Д2д
Кэд + 6-1/
Д 2д
0 < Кзд < 1,5 (2)
(индексы «н» и «д» указывают на принадлежность к непрерывному и дискретному законам распределения соответственно).
Основное отличие данного подхода заключается в том, что наряду с математическими ожиданиями, дисперсиями и коэффициентами асимметрии предлагается приравнивать не коэффициенты эксцесса, как предлагалось ранее, а совместный коэффициент асимметрии и эксцесса Кзн и коэффициент Кзд , определяемые выражениями (1) и (2). Моделирование, проведенное с использованием прикладного пакета программы Mathcad 2000 Professional показало, что при этом обеспечивается высокая точность аппроксимации непрерывных законов распределения дискретными, и наоборот.
Результаты, полученные в соответствии с разработанной методикой для случая аппроксимации дискретных законов непрерывными, включая выражения для их параметров и результаты моделирования, приведены в таблице.
Для обратной аппроксимации непрерывных законов дискретными в качестве аппроксимирующего закона удобно использовать обобщенный закон распределения двухсторонней дискретной случайной величины [7]
Р (х ) =
C,
x = Д
1 +
1 +
(4К2 -5) (х-m1)-0,5(К1 + 4К2 -5)
(х-m) [(1 -К2) (х-m) + 0,5К1 +1,5-К2] + (2-К2) Д2 (4К2 -5) (m1 -х)-0,5(4К2 -5-К1)
(m -х) [(1 -К2) (m1 -х) +1,5-0,5К1 -К2] + (2-К2) Д2
Р (x -1) , X > Д
Р ( X + 1) , X < Д,
(3)
где С - коэффициент нормировки; т - параметр сдвига, который можно определить, используя следующие выражения:
b2 = 1 -К2; a1 = 4К2 -5; b1 = 0,5К1 +1,5-К2; b =( 2 - К2) Д2; a0 = 0,5 (К1 - 4К2 + 5).
(4)
При этом аппроксимация сводится к вычислению коэффициента асимметрии К1 =т з/т 2 и совместного коэффициента асимметрии и эксцесса К2н (1) для непрерывного закона, значения которых затем подставляются в (4) для определения параметров аппроксимирующего закона. При этом необходимо отметить, что
\
г
Результаты для случая аппроксимации дискретных законов непрерывными
Вид дискретного закона p(x)
Вид аппроксимирующего непрерывного закона _р!(х)
Результат моделирования
1
2
З
Биномиальный закон: а) q = G, 5
p(x ) = Г [7^I (1 — q)N'
Гауссовский закон
(N — x)lx! V 1 — q x = 0,..., N
pl(x) = 1 exp
V2nD
D = Nq(l — q), m = qN
(x — m)2 2D
v у
q = G, 5 N = 12
p(x)
4-
pl(y)
б) q < G, 5
p(x) = 777E^-l [7^I (1 — q)N'
(N — x)!x! V1 — q x = 0,..., N
Гамма-распределение iii(x — mj]v—1
pl(x) =1[1(x—m)]v—1 exp[— l(x—m)];
1 = -
2
T(v.
4Nq(l — q)
v= —її; m = .
1— 2q (l — 2q)2
qN 1 — 2q
q = G, 25 N = 22
х, у
в) q > G, 5
p(x)=uTN^~,I (l—q)N'
(N — x)!x! V1 — q x = 0,..., N
Гамма-распределение лілщ — x)]v—1
pl(x) = l[l(m — x)]v—1 exp[— l(m — x)];
1 = -
2
2q — 1
Gv
v = 4 Nq (l — q) . m =. qN
(2q — l)2
2q —1
G.2
q = G, б9 N = 12
p(x)
Л-
pl(y)
10 х, у
G
Распределение Пуассона
P(x) = ar exp(-a) x!
Г амма-распределение
P1(x) = l[l(x.m)] exp[-l(x - m)];
G(v)
1 = 2; v = 4a; m = -a
a = 9
х у
Отрицательный биномиальный закон r(a + x)
p(x) = -G-y-! qx (1 - q) r(a) x!
Гамма-распределение
P1(x) = l[l(* m)]— exp[- l(x - m)]; r(v)
„1-q 4aq qa
1 = 2-----; v=------— ; m =
q+1 (q+1)2
q +1
0.2
P(x)
a = 9 J-
n ^ P1(y)
q = 0,25 ------- 0.1
1— i
- /IT _
П L,
i
0 10 X у
Гипергеометрическое распределение: а) -1 < К 3 < 1
Р(x) = -
(с - N + ^ (N +1 - x)x (b + 2 -x)x
Распределение Пирсона (тип 9)
2
r| v+^+m^ exp aarctg
+ ^ - N +1)n (с - N +1)x (x)!
pl(x ) =
v+1
(21 )v
x = 0,..., N;
= (c - b)(b + c - 2N)
2pr(v) 12 +(x-m)
b = 14
c = 32
N = 8
К3 =
4yjbcN(c + b - N)
v = b + c +1 , a =
(c - b)(b + c - 2N) ^4bc -(b + c - 2N )2
0.3
0
2
yj4bc -(b + c - 2N )2
N c - b
24
б) К3 = 1
(x) (с-N + 1)n (N + 1 - x)x (b + 2-x)x
P(x) (b + c-N + 1)n (с-N + 1)x (x)!
x = 0,..., N
b = 7,508 c = 38,492 £(x)
N = 6
в) К3 = -1
Распределение Пирсона (тип 8)
P(x)=-
(с -N + 1)n (N +1 -x)x (b + 2- x)x
(b + c-N + 1)n (с-N + 1)x (x)!
x = 0,..., N
P1(x) =
1v
1
r(v)(m- x)
,v+1
exp
m-x
v = b + c +1, 1 =-yjbcN(c + b - N)
m = m1 +
v-1
где m1 =
bN
b+c
b = 28,492 p1(y) c = 6,686 jpx)
N = 4
2
г) К3 > 1
P(x)=-
(с -N + 1)n (N +1 -x)x (b + 2-x)x
(b + c -N + 1)n (с -N + 1)x (x)!
x = 0,..., N
Бета-распределение 2-го рода (тип 5)
v
a 1 ’ ) a1
v = b + c +1;
(c - b)(b + c - 2 N) b + c
P1(x) = Ff a , 2a, 2vl-
^ a 1 ) i
a =
2yj(b + c - 2N)2 - 4bc
2
b = 10
c = 60 N = 10
. V(b + c - 2N)2 - 4bc a1
1 = —--------------- -----------; m = m1
v-1
5
4
0
5
0
4
д) К3 < -1
P(x) = -
(с - N + 1)n (N +1 - x)x (b + 2 - x)x
(b + c - N + 1)n (с - N + 1)x (x)!
x = 0,..., N
Бета-распределение 2-го рода (тип 6)
P1(x)= F I
vm-x 2a, 2v\^;
v = b + c +1, m = m1 +
a1
a1
a =
v -1
(b - c)(b + c - 2 N) b + c
2л](b + c - 2N)2 - 4bc 2
. J(b + c - 2N)2 - 4bc bN
1 = —-----------—-----------, где m1 =
2
b + c
b = 60 c = 10
N = 8
Отрицательное гипергеометрическое распределение
(x) = G(b + c) G(c + N-x) N! ч P ’ Г( c) r(b + c + N)(N - x)! x! ^r(b + x). r(b) ; x = 0,..., N
Бета-распределение
P1(x)=ix-m::-)raa!iv)(c-* ^m)»-1:
r(v)r(a)ca+v-1
a 3 - 2К 2
m = m1 -c---------; a^^---2-v
a + v К2-1
v =
1,5 - К2
К2-1
1 + К1
к2 + 16m2 (2 - К2)(К2 -1)
c =
где
0,5K1 \ л 2 - K2
-—11 + 4m2----------2;
K2 -1) 2 K2 -1
bcN (b + c + N) ,
b =10 c = 10 N = 12
m 2 =
к =
(b + c)2 (b + c +1) = (c - b)(2N + b + c)
(b + c)(b + c + 2)
К 2 =
b + c + 3 .
m1 =
b+c+2 bN b+c
1
для определения параметра сдвига т можно воспользоваться выражениями, приведенными в [7], согласно которым, если 1 < К2 < 1,5 , то
З + к' — 2К2 4 (K2 —1)
З + K‘ — 2K2 4 (K2 — 1)
2—K
2
K2 —1
Если K 2 = 1 , то
m=
m1 — m1 +
2m
2
1 + K1 2m 2 1 — K‘
K‘ >—1; K1 £ —1.
Если K2 < 1, то
m = m‘ -fЩ (K з —^)
— V К з — 1 I при Кз > 1; —¥ < K4 < ¥ ;
m = mi — K‘/4(i — К 2) при —і<K3 < і; —і<К4 < і;
m=m‘ — 22— К (К4 WК4 — 1 )
где К3 =
К‘ + 3 — 2К 2
4 + у К 4 — і | при —¥ < К3 < і; К4 < —і, К‘ — 3 + 2К 2
^ (і — К 2 )(2 — К 2 )m2
K4 =
^(1 — К2 )(2 — К2 )m2 '
Таким образом, в результате сравнительного анализа основных числовых характеристик дискретных и непрерывных законов установлено, что наиболее высокая точность аппроксимации будет обеспечиваться, если приравниваются их математические ожидания, дисперсии и коэффициенты асимметрии, а совместный коэффициент асимметрии и эксцесса для непрерывного закона приближенно полагается равным коэффициенту для дискретного закона К2д .
2
Список литературы
1. Вадзинский, Р.Н. Справочник по вероятностным распределениям / Р.Н. Вадзинский. - СПб. : Наука, 2001. - 296 с.
2. Тихонов, В.И. Статистическая радиотехника / В.И. Тихонов. - М. : Радио и связь, 1982. - 624 с.
3. Шереметьев, А.Г. Статистическая теория лазерной связи / А.Г. Шереметьев. - М. : Связь, 1971. - 264 с.
4. Хастингс, Н. Справочник по статистическим распределениям / Н. Хастингс, Дж. Пикок. - М. : Статистика, 1980. - 95 с.
5. Деруссо, П. Пространство состояний в теории управления / П. Деруссо, Р. Рой, Ч. Клоуз - М. : Наука, 1970. - 620 с.
6. Карпов, И.Г. Методы обобщенного вероятностного описания и идентификации негауссовских случайных величин и процессов / И.Г. Карпов. - Тамбов : ТВАИИ, 2002. - 170 с.
7. Карпов, И.Г. Обобщенное вероятностное описание двухсторонних дискретных случайных величин / И.Г. Карпов, С.В. Овсянников, А.Ю. Козирацкий // Вестн. Тамб. гос. техн. ун-та. - 2005. - Т. 11, № 3. - С. 632-640.
Mutual Approximation of Discrete and Continuous Laws of Distribution
I.G. Karpov1, S.V. Ovsyannikov2
Department “Desighning of Radioelectronic Devices and Microprocessor Systems ”, TSTU (1); Department of Radio Communication (Aviation), Tambov Higher Military Aviation Engineering School of Radioelectronics (Military Institute) (2)
Key words and phrases: continuous and discrete laws of distribution; random variables.
Abstract: The new approach to mutual approximation of discrete and continuous laws is proposed as the result of comparative analysis of their basic numerical characteristics.
Gegenseitige Approximation der diskreten und stetigen Gesetze der Verteilung
Zusammenfassung: Als Ergebnis der vergleichenden Analyse der Hauptzah-lencharakteristiken der diskreten und stetigen Gesetze ist das neue Herangehen zu ihrer gegenseitigen Approximation angeboten.
Approximation mutuelle des lois discretes et continues de la repartition
Resume: A l’issue de l’analyse des caracteristiques principales discretes et continues des lois est proposee une nouvelle approche pour leur approximation mutuelle.
