CC BY
136
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
УДК 534.1
ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЫ КОССЕРА
© 2009 г. Ю.В. Виноградова 1, В.И. Ерофеев 1,2
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского 2 Нижегородский филиал Института машиноведения им. А.А. Благонравова РАН
Поступала вредакцаю 24.06.2009
Рассмативается вывод уравнений динамики нелинейной среды Коссера. В рамках предложенной модели сформулированы постановки задач о распространении плоских термоупругих продольной и продольно-ротационной волн, плоских волн сдвига и вращения.
Ключевые слова: модель Коссера, несимметричная теория упругости, плоские волны, термоупругие продольные волны, термоупругие продольно-ротационные волны, волны сдвига и вращения, тензор деформации, тензор изгиба-кручения, тензор напряжений, тензор моментов.
Краткая характеристика несимметричной теории упругости
Развитие механики сплошной среды тесно связано с появлением обобщенных математических моделей, рассматривающих частицу материала не как материальную точку, а как более сложный объект, наделенный дополнительными свойствами, описывающими микроструктуру материала.
Классическая теория упругости описывает свойства тел, у которых между частицами действуют центральные силы. Теория упругости основывается на модели упругого континуума, в которой связь нагрузок между обеими сторонами малого поверхностного элемента dS описывается исключительно главным вектором сил pdS. Это приводит к симметричному напряженному и деформированному состоянию. Но теория симметричной упругости не описывает с необходимой точностью явления, происходящие в зернистых средах и при прохождении акустических волн через кристаллы, поликристаллические структуры и полимеры.
В связи с этим была развита теория упругости сплошных сред, учитывающая моментное (вращательное) взаимодействие частиц, - мо-ментная теория упругости.
В 2009 году исполняется 100 лет со времени опубликования работы Э. и Ф. Коссеров, в которой описана модель, получившая название континуум Коссера или микрополярная среда. Появление модели континуума Коссера ознаменовало собой начало перехода в теории сплошных сред от механики Ньютона, исходным объектом которой является материальная точка, к механике Эйлера, имеющей в качестве исходного объекта твердое тело. Модель среды Кос-сера - континуальное обобщение уравнений механики Эйлера.
В рамках этой модели каждая микрочастица, образующая тело, представляет собой абсолютно твердое тело. Учитывается изменение не только центров тяжести микрочастиц, но и их ориентации. Так как частицы представляют собой не точки, а пространственные образования, расположенные на расстояниях, сравнимых с их размерами, действие одной частицы на другую определяется целой системой сил и моментов. Даже система одних сил в общем случае не может быть сведена к одной лишь равнодействующей, необходимо введение еще и результирующего момента.
Взаимодействие любых двух частиц, например А и В, необходимо воспроизводить с по г-'А т-’Б
мощью двух нецентральных сил г1 и (можно считать, что они приложены к центрам
£ ' '
Рис. 1. Взаимодействие двух частиц
инерции частиц) и двух моментов и Мв (рис. 1).
Таким образом, в рамках континуума Коссе-ра учитывается вращательное взаимодействие частиц. Наряду с обычным полем напряжений в микрополярной среде присутствуют также и моментные напряжения.
Среду, моделируемую таким образом, что передача нагрузки через малый элемент поверхности dS описывается не только главным вектором сил pdS, но и главным моментом mdS, называют средой Коссера, а в литературе за теорией закрепилось название несимметричной теории упругости.
Начиная с работы Э. и Ф. Коссеров, опубликованной в 1909 году, механика микрополярной среды (континуума Коссера) получила значительное развитие в работах Э.Л. Аэро и Е.В. Кувшинского [1], В.А. Пальмова [2], В.Т. Кой-тера [3], В. Новацкого [4].
Более общие модели сред, содержащие большее число степеней свободы, изучались В.Т. Койтером, Р.А. Тупиным [5], А.К. Эринге-ном [6] и др.
Модель континуума Коссера нашла приложения в механике твердого тела и жидкости: моделирование геоматериалов, гранулированных и сыпучих сред [7, 8].
Вывод уравнений нелинейной динамической модели среды Коссера
В динамической модели среды Коссера рассмотрим произвольную область тела, ограниченную ортогональным трехгранником (рис. 2а), где каждая материальная точка среды является малым абсолютно твердым телом, имеет, в отличие от классической теории упругости, линейный размер L и связана с другими частицами упруго (рис. 2б).
В случае континуума Коссера вектор перемещения центра масс и и вектор поворота ф являются непрерывными функциями, то есть каждой материальной точке приписываются свойства частицы, имеющей масштаб и ориентацию. Таким образом, в среде появляются дополнительные физические параметры, характеризующие линейный размер и момент инерции частиц, а также свойства связей относительно вращения. Положение каждого структурного элемента в этой среде определяет радиус-вектор в декартовой системе координат х1, х2, х3.
Уравнения движения в динамической модели среды Коссера принимают вид [4]:
Гри, =СТ^. + X,.
Ц,- =^к о. + . + у, ’
где иі - компоненты вектора перемещения; Ф, - компоненты вектора поворота; о. - тензор напряжений; ц. - тензор моментов; х, - компоненты вектора массовых сил; у, - компоненты вектора массовых моментов; р - плотность; О -
мера инерции при вращении; є,.к - антисимметричный тензор Леви-Чивиты.
Будем предполагать, что компоненты вектора массовых сил и массовых моментов равны
нулю.
Уравнение теплопроводности для несимметричной теории упругости идентично уравнению для симметричной термоупругости [4]:
0,, -1 0 = п
div и .
(2)
0
Здесь 0 - перепад температуры (0 = Т - Т0);
Т0 - температура естественного состояния; п0-
коэффициент вязкости | п0 = —0 к = — , где
I — ) С
к - коэффициент теплопроводности, с - коэффициент теплопроводности при постоянной деформации.
Уравнения (1) и (2) образуют полную систему семи уравнений несимметричной теории упругости. Эта система уравнений содержит семь неизвестных (три составляющие вектора перемещений и, три составляющие вектора поворота ф, температура 0):
ри 1 = °11Д + °21.2 + 031,3
ри2 = °12,1 + °22,2 + °32,3
ри3 = °13,1 + °23,2 + 033,3
Оф1 = °23 — °32 + Ц11,1 + Ц21,2 + Ц31,3
Оф2 = —013 + °31 + Ц12,1 + Ц22,2 + Ц32,3
Оф3 = °12 — °21 + М-13,1 + Ц23,2 + Ц33,3
(3)
1 I 0 1 д / \
0,11 + 0,22 + 0,33 —“К0=П0 | 1 + Т |"д7 ^1 + и2,2 + и3,3 )
0 Ї д
Нахождение решения системы уравнений (3), то есть функций и, ф, 9, позволяет определить деформации и напряжения.
Физические уравнения в среде Коссера для тензора напряжений Оу и моментного напряжения Цу имеют вид [4]:
|° ї = (Ц + а)У Ї + (Ц — + (^У кк — у0)5„-,
1 М., = (у + е)к л + (г — е)к„- + (Рк кк — Х0)8„-.
Здесь у, - несимметричный тензор деформации; к, - тензор изгиба-кручения; а, у, в, є -
физические постоянные материала в рамках среды Коссера, характеризующие изотермическое состояние; V, % - постоянные, зависящие как от механических, так и от тепловых
свойств; ц, X - постоянные Ламе: ц =
2(1 + о)
Ео
(1 — о)(1 — 2о)
, где Е - модуль Юнга; о - ко-
Значения констант для различных материалов в рамках среды Коссера вычислены экспериментально и приведены в [9].
Компоненты тензора изгиба-кручения к,,
имеющие одинаковые индексы, описывают крутильные деформации, а остальные компоненты - изгибные.
Г еометрические соотношения в среде Коссера для тензора деформации у и тензора изгиба-кручения к , определяются по формулам [4]:
Гт л= Щ. — є—,Фк, (5)
1к л = Ф,,л.
В отличие от классической теории упругости тензор деформации и тензор изгиба-кручения являются несимметричными.
Симметричная часть тензора деформаций идентична тензору деформации классической теории упругости: у ^ = иі, = е. Несим-
метричная часть характеризует отличие вектора поворота ф от вектора вихря перемещения: а 1
У Л = 2Г01 и— Єкл Фк .
Будем рассматривать далее одномерный случай. Для него система уравнений (3) примет вид:
ри1 = о11,1 ри 2 = °12,1 ри3 = 013,1
Оф1 = 0 23 — 0 32 + Ц11,1 Оф 2 = —013, + 0 31 + Ц12,1 Оф3 = °12 — 0 21 + Ц13,1
(6)
0,11-------0 = Лс
к
1 + -^-д(и„ )
Т„1дГ и'
(4)
В тензоре деформации и тензоре изгиба-кручения в отличие от (5) учтем не только линейные, но и нелинейные слагаемые в градиентах перемещения и поворота:
(7)
эффициент Пуассона.
І у .і = щ . + щ . • иі . — є. ф—,
|кл, =Ф,л +Ф,л -Ф,,л.
Компоненты тензора деформации примут вид:
2
Ун = Щл + и1д, у 21 =фз, У 31 =—ф2,
Ї12 = и2,1 + и2,1 — ф3, У 22 = 0, ^32 = ф1, (8)
Уі3 = и3д + и32д +ф2, У 23 =—ф^ У 33 = °.
Компоненты тензора изгиба-кручения запишутся в виде:
к
(9)
2 I 2 ,2
К11 = ф1д +Ф1-1, К21 = Ф1,2 + ф1,2, К31 = Ф1,3 + ф1,3,
222 К12 = Ф2,1 + Ф2,15 К22 = ф2,2 + Ф2,2 , К32 = Ф2,3 + Ф2,3 ,
222 К13 = Ф3,1 + Ф3,1, К23 = ф3,2 + ф3,2, К33 = ф3,3 + ф3,3'
Уравнения нелинейной среды Коссера с учетом (7) - (9) запишутся следующим образом:
pMj =—[(mj j + Mj2j](2ц + Х)-vg]
dx
d
PM2 = dx [(m2,J + m2-! ^ + a) - 2“Фз ]
pM3 =-dX [(m31 + m|j )ц+а) + 2аф2 ]
!ф1 = -4аф! +^^[(2У + Р)(Ф1д + Фц )-XGJ.
Jip2 =-[(ц + а)(м3 j + м321)+ 2аф2 ]+
+ (ц-а)(мзд + m32j )-2аф2 +-дХ [(У + е)(ф2д +Ф2д ! Jф3 = (ц + а)(м2 j + m|j)- 2аф3 -
- [(ц - а)(м2,1 + u2,1 )+ 2аф3 ]+
дх
(У + 8)
ф3,1 + ф3,1
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
Заметим, что система точек описывает распространение четырех групп плоских волн, а именно:
I группа - термоупругая продольная волна (дается уравнениями (10) и (16))
ри1 = м111(2ц + Х)[1 + 2ми ]-v91,
9 19= (л 9 2и
1 К П0 [ + Т0 \dxdt'
II группа - нелинейная волна сдвига и вращения, поляризованная в плоскости Оу (дается уравнениями (11) и (15))
Гри2 = и211 (ц + а)[1 + 2и21 ]-2аФ31,
[ Jф3 =Ф311 (у+ е)1 + 2ф31 ]+ 2аи21 + 2ам^1 - 4аФ3.
III группа - нелинейная волна сдвига и вращения, поляризованная в плоскости Оz (дается уравнениями (12) и (14))
[Ри3 = и3,11 + а)[1 + 2и31 ]+ 2аф2 и
|/ф2 =Ф211 (у + е)1 + 2ф21 ]-2аи31 - 2аи321 - 4аф2.
IV группа - термоупругая продольно-ротационная волна (дается уравнениями (10), (13) и (16))
pu1 = u111 (2ц + Х)[1 + 2u11 ]-v0j,
J% =Ф1,и (2у + Р)[1 + 2ф1Д ]-X0,i - 4аФ1, (14)
0 1 0 = fi 0 1 d2u
1 к =По[ + T0 j dxdt'
Таким образом, в рамках модели среды Коссера сформулированы постановки задач о распространении плоских термоупругих продольной и продольно-ротационной волн, плоских волн сдвига и вращения.
Работа выполнялась при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 09-08-00827).
Список литературы
1. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // ФТТ. 1960. Т. 2. С. 1399-1409.
2. Пальмов В.А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // ПММ. 1964. Т. 28, № 3. С. 401-408.
3. Койтер В.Т. Моментные напряжения в теории упругости // Механика: Сб. переводов. 1965. № 3. С. 89-112.
4. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.
5. Тупин Р.А. Теории упругости, учитывающие моментные напряжения // Механика: Сб. переводов. 1965. № 3. С. 113-140.
6. Эринген А.К. Теория микрополярной упругости // Разрушение. М.: Мир, 1975. Т. 2. С. 646-751.
7. Николаевский В.Н. Геомеханика и флюидо-динамика. М.: Недра, 1996.
8. Vardoulakis I., Sulem J. Bifurcation Analysis in Geomechanics. Blackie Academic and Professional, 1995.
9. Erofeyev V.I. Wave processes in solids with microstructure. World Scientific, 2003.
DERIVATION OF EQUATIONS OF NONLINEAR COSSERAT MEDIUM DYNAMICS
Yu. V. Vinogradova, V.I. Erofeev
The derivation of nonlinear Cosserat medium dynamics equations is presented. In the framework of the suggested model, the authors give the statements of the problems on the propagation of plane thermoelastic longitudinal and longitudinal rotation waves, plane shear and rotational waves.
Keywords: Cosserat model, asymmetric elasticity theory, heat conduction equation, material point, plane waves, longitudinal thermoelastic waves, longitudinal rotation waves, shear and rotational waves, deformation tensor, tensor of bending-torsion, strain tensor, inertia tensor, displacement vector, rotation vector.
