CC BY
54
Раздел IV. Математическое моделирование физических
процессов
УДК 534.22
О.А. Савицкий
ВЫРОЖДЕННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В КВАДРАТИЧНО-НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЕ С ОГРАНИЧЕННЫМ ЧИСЛОМ ВОЗМОЖНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ*
Расширено представление о трехволновых нелинейных взаимодействиях в средах без физической дисперсии как о двух равноправных взаимозависимых процессах - энергообмене и особой, нелинейной дисперсии. На примере вырожденного параметрического взаимодействия в квадратично-нелинейной среде с ограниченным числом возможных взаимодействий рассматриваются основные закономерности нелинейной дисперсии и ее связь с энергообменом.
Волна; нелинейные взаимодействия; квадратично-нелинейная среда; вырожденное взаимодействие; энергообмен; нелинейная дисперсия.
O.A. Savitsky
A DEGENERATE INTERACTION IN QUADRATIC NONLINEAR MEDIUM WITH A LIMITED NUMBER OF POSSIBLE INTERACTIONS
The view about three-wave nonlinear interactions in a dispersionless media as two equal and interdependent processes - energy exchange and special, non-linear dispersion is expanded. For example, a degenerate parametric interaction in quadratic nonlinear medium with a limited number of possible interactions are considered the basic laws of nonlinear dispersion and its relation to energy exchange.
The wave nonlinear interactions; quadratic nonlinear medium; degenerate of networking; energy transfer; nonlinear dispersion.
Введение. Для одномерных волн в квадратично-нелинейных бездисперсион-ных средах характерно участие в энергообмене наряду с первичными волнами, задаваемыми граничным условием, большого числа каскадно-генерирующихся высших гармоник и комбинационных волн [1,2]. Это обстоятельство усложняет физическую картину взаимодействия исходных волн.
Для частного случая вырожденного взаимодействия многие закономерности развития нелинейного процесса можно определить, рассматривая его при искусственном ограничении количества взаимодействующих компонент. В простейшем случае достаточно рассмотреть изменения компонент спектра, заданных на входе в . , для бездисперсионных сред, как образование и движение разрывов, нелинейное поглощение исходных волн и т.д. Вместе с тем он позволяет правильно спрогнозиро-
* Работа выполнена в рамках проекта РНПВШ 2.1.1/6584 и госконтракта П458 федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 -2013 годы».
вать тенденцию развития нелинейных процессов в доразрывной области. В рамках этого подхода можно охватить единым описанием всю совокупность возможных граничных условий, т.е. начальных амплитуд и фаз взаимодействующих волн.
Физической моделью рассмотренной ситуации является взаимодействие волн в гипотетической нелинейной среде с сильной физической дисперсией, которая отсутствует только в частотном диапазоне [ Ю, 2ю ], где нелинейные взаимодействия эффективны. И, наоборот, вне этой частотной области сильная дисперсия препятствует развитию каскадных процессов. Близкие к описанным условия реализуются в нелинейной оптике [3, 4, 5]. Другая возможность практической реализации ограничения числа эффективных взаимодействий в акустике обсуждалась в работах [6, 7] и связана с созданием искусственных нелинейных сред с селективным поглощением на специально подобранных частотах.
Задача о вырожденном взаимодействии рассматривалась в нелинейной оптике [3, 4, 5], как пример простейшего из трехволновых нелинейных процессов. В работах Р.В. Хохлова и С.А. Ахманова был разработан математический аппарат ,
избранного числа волн. В монографии [3] дан общий анализ ВПВ методом фазовых диаграмм при произвольных расстройках волновых векторов, обусловленных физической дисперсией. В работе [4] показано, что эта задача имеет точное анали-, .
Ранее в задаче ВПВ интерес исследователей ограничивался, как правило, случаем эффективного энергообмена волн основной и удвоенной частоты, что связано с вопросами создания параметрических усилителей и умножителей частоты
[8]. , -робный физический анализ ВПВ проводился только для строго определенных фазовых соотношений в исходных волнах. Вне рассмотрения остались такие вопросы, как влияние исходных фазовых соотношений на характер взаимодействия, закономерности поведения фазовых соотношений и значений фаз взаимодействующих волн в пространстве, их влияние на энергообмен.
В связи с этим, а также для соблюдения общности рассмотрения вырожденного взаимодействия представляется целесообразным привести ниже известные результаты по ВПВ с ограниченным числом взаимодействий [3, 4, 5], дополнив их анализом фазовых зависимостей. Рассмотрим ситуацию, когда физическая дисперсия между компонентами частот Ю и 2ю отсутствует, что соответствует случаю, являющемуся в определенном смысле промежуточным между нелинейной оптикой и акустикой.
Теоретическая модель ВПВ с ограниченным числом взаимодействий.
Систему укороченных уравнений для акустических волн получим из уравнения [2]
дУ д 2У дУ
------Г-----= У —, (1)
дг д02 д0
считая, что в среде могут взаимодействовать только волны частот Ю и 2ю :
V(0, г) = У1(г) 8ш(0 + ф*) + У2(г) 8т(20 + ф2) =
= Vl(г) 8ш[0 + ф1о +ф1(г)] + ]г(г) 8ш[20 + ф2о + Ф2(г)] =
= V(0, г) = ^(г) 8т(0+ф*) + V2(г) 81и(20 + ф*) = = Vl(г) 81и[0 + фш +ф1(г)] + ]г(г) sin[20 + ф2о + ф2(г)] =
(2)
= Vl(г) sin[0 + фl(г)] + V2(г) sin[20 + ф2(г) + во)] = = V1(г) sin(0) + V2(г) sin[20 + дP(г) + в0] = = V1(г) sin(0) + V2(г) sin[20 + P(г)].
Здесь используются обозначения:
V! = У0 ; ^ = У2/ У0 ; г = £ЮУ0Х/С0 ; Уо = ‘^^0+^20 ’ 0 = Ю(^ — ^С0 ) ,
где У10 и У20 - начальные (г = 0) амплитуды колебательной скорости;
ф* = [ф10 +ф1(г)] ф2 = [ф20 +ф2 (г)] - ,
учитывающие начальные значения (ф10 , ф20) и дополнительные набеги (ф1, ф2), возникающие в процессе нелинейного взаимодействия волн; в0 = (ф20 — 2ф10) -начальное значение фазового инварианта; др - -
варианта; в(г) = в0 + Дв(г) .
, (2),
V(0, г = 0) = У10 sin(0 + ф10) + V20 sin(20 + ф20) = = У10 sin(0) + V20 sin(20 + в0).
, -
нии с нелинейными процессами (Г << 1). В этом случае нелинейные эффекты успевают проявиться в полной мере, не ограничиваясь диссипацией, тогда как вторым слагаемым в уравнении (1) из-за малости параметра Г можно пренебречь.
(2) (1).
удается перейти от уравнения в частных производных к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений:
йУ1 ,лт йф1 1 _
1 + V —1 = — V1V2 ехр(гР);
йг йг 2
й- + V й- 2 ^2ехр(->Р), °
I йг йг 2
где в = (ф2 - 2ф*) - [9]. -
(3) :
йУ,
йг
йУ,,
йг
йф1
= - 2 VlV2Р;
= 1 V12 cos Р;
йг
йф2
йг
2
(4)
1V, sin Р; 22
sin р.
(4) ,
.
соответственно на V1 и V2. Вычитая их друг из друга, приходим к выражению
й V + V2) йг
0,
отражающему процесс обмена энергией между волнами У1 и V2 при сохранении неизменным ее общего запаса. После интегрирования закон сохранения энергии запишется в виде
^2 + V2 = 1.
Воспользуемся выражением для фазового инварианта бигармонической волны Р = (ф2 - 2ф—) (4)
волн ф1 ф2
уравнений относительно трех переменных Уí, У2 И р [4]:
й ^,1 ^2)
1
йг cosР йр
2К
(2V22 + V12) cosр ;
1
(5)
sin Р йг 2V2
(2V22 — V12) cosР
(5) -
жение
й 1п
йг
= 2У2 cos Р,
(4) [4]
т2\
йР = йг cosР
sinР й 1n(У2 Уl2)
йг
Интегрирование полученного уравнения упрощается, если его переписать в виде
-dln(sinp) = dln(V2 Vx2). dz dz
В результате приходим ко второму интегралу системы
Ф = V2 V,2 sin в, где ф - константа, определяемая граничными условиями [4]
Ф — V20 Vio sin Ро .
Определим диапазон возможных значений параметра Ф в зависимости от входных параметров волн в граничном условии. Для этого в последнем выражении откажемся от нормировки, переписав его в виде
2
^ V20 V10 . 0 X . „
ф = -----— sin Ро = ----------2 I 2 sin Ро ,
V0 (1 + X )л/1 + X
где X — V20/V10 . Функция Ф(X)/sin в имеет два экстремума относительно переменной X:
Ф/ sin Р0 — 0 при X = 0;
Ф/sinР0 — 2/з1ь при x2 = 0,5.
, Ф
[4]
0 < Ф2 < 4/27 .
,
, .
является вопрос о пространственных закономерностях развития процесса ВПВ, то
в качестве координат на фазовой плоскости выберем пары переменных (Vn V1) И (V2, V/2).
Воспользуемся первым интегралом и перепишем второй интеграл в виде
= ± /T-V7 V12 sin в.
ф
Используя полученное выражение второго интеграла, избавимся в первых двух уравнениях (4) от переменной в. В результате получаем аналитические решения для двух семейств фазовых кривых (У1, VI) и (У2, У2 ) :
dV1 dz ' 2V1
= + V V,4(1 - V12)-Ф2 ; (6)
^ = ± ^(1 - V2)2-Ф2 . (7)
йг 2V2 у
Соответствие между знаками перед правыми частями выражений (6) и (7), с одной стороны, и значениями фазового инварианта Р, с другой - несложно установить, воспользовавшись уравнениями для У1 и У2 в (4). Верхние знаки относятся к диапазону значений фазового инварианта - П2 < Р < п/2, тогда как нижние П2 < Р ^ 3п/2 . Взаимное соответствие между парой точек на фазовых плоскостях (У1, V]) и (У2, У2) можно получить, используя закон сохранения
У12 + У22 = 1.
Картина ВПВ будет неполной без рассмотрения динамики фазового инварианта Р, характеризующего изменение фазовых соотношений между волнами У1 и
У2 в процессе взаимодействия. Фазовый портрет ВПВ в координатах (Р, Р) можно получить, если задать функцию Р (Р) параметрически, используя в качестве параметра, например V2:
sinр =
ф
У2(1 - У22) (8)
йР = 3У22 - 1 ф
йг 2У22(1 - У22)
Самостоятельный интерес представляет характер поведения нелинейных набегов фаз взаимодействующих волн фх( г) и ф2( г) . Информацию об изменени-
3- 4- (4), -
ных в виде
йф12 ф
йг 2У1
2
(9)
Соотношения (9) связывают между собой пространственные изменения амплитуд и фаз каждой из взаимодействующих волн, обусловленные процессами нелинейного поглощения и нелинейной дисперсии. Далее будет показано, что пространственные изменения величин йф/йг и V могут быть представлены аналогичными зависимостями фазовой скорости и коэффициента поглощения соответ-. , которые следуют из соотношений Крамерса-Кронига в линейных диссипативнодисперсионных средах [2]. Поскольку в выражение (9) входит параметр Ф, то ,
отдельно взятой волны при ВПВ определяется амплитудно-ф^овыми соотношениями в исходном спектре бигармонического возмущения.
(9) ,
волн связаны не только между собой, но и с аналогичными изменениями другой :
т,2 ¿ф _ т ,2 й?ф2 _ Ф
У, ---- _ У2 ----- _-----.
¿1 2
Как видно, обобщенной характеристикой, отражающей совокупный вклад нелинейного поглощения и нелинейной дисперсии, является произведение квадрата амплитуды и производной ¿ф/ ¿1, значение которой определяется граничными
ф .
Фазовые диаграммы V, (У,) и У2 (У2) для амплитуд, участвующих в ВПВ волн, рассчитанные при различных значениях Ф2, согласно (6) и (7), представлены на рис. 1. Семейство кривых в (в), рассчитанных с использованием (8), пока. 2.
Из приведенных фазовых диаграмм видно, что характер ВПВ полностью определяется значением параметра Ф , т.е. амплитудно-ф^овыми соотношениями в спектре исходного возмущения. Рассмотрим режимы ВПВ, качественно различающиеся между собой.
При условии Ф2 _ 0 фазовые траектории на диаграммах У, (У,) и У2 (У2 ) представляют собой сепаратрисы, проходящие через седловые точки. На диаграмме У, (У,) присутствует одна седловая точка (0; 0), тогда как на графике У2 (У2 )
имеется две такие особые точки (± 1 ;0). Это означает, что процесс ВПВ является апериодическим в пространстве, а его результатом при условии £ ^ ~ является
полная перекачка энергии из волны основной частоты У, в волну удвоенной час-
У2 ,
равенства Ф2 _ 0.
Рис. 1. Фазовые диаграммы исходных волн УДУ,) и У2(У2)
Решение (4) при Ф2 _ 0 не является устойчивым в том смысле, что бесконечно малое изменение Ф2 приводит к качественному изменению характера ВПВ. Как следует из структуры Ф , это изменение может быть связано только с
расфазировкой волн У, и У2.
На фазовой плоскости в (в) при Ф2 = 0 изображающая точка может находиться в одной из седловых точек (0; 0) и (+ П ; 0), рис.2. Следовательно, при Ф2 = 0 фазовый инвариант может принимать лишь значения: 0 или ± П. Здесь
возможен скачкообразный переход из состояния, соответствующего в =± П , -
стояние с фазовым инвариантом в = 0
Подобным образом ведут себя нелинейные набеги фаз ф1 и ф2 . Согласно (9), при Ф2 = 0 они не изменяют своих значений за исключением единственно возможного скачкообразного изменения ф2 на П, которое происходит при проходе зависимости У2( г) через нулевое значение.
- 71 - Тг/2 0 тт/2 71
Рис. 2. Фазовая диаграмма в (в)
Ф 2 = 0 -
:
1. У1(г = 0) Ф 0 и У2(£ = 0) = 0. Здесь, согласно рис. 1, с увеличением
г происходит монотонное уменьшение VI и увеличение У2. Имеет место необратимая перекачка энергии в волну удвоенной частоты, известная как эффект удвоения частоты [2].
2. У1(0) = 0 И У2(0) Ф 0. При таком сочетании начальных амплитуд точки на фазовых диаграммах будут находиться в состоянии равновесия,
т.е. У1(г) = 0 И У2(г) = 1.
3. в(0) = в0 = 0, У1(0) Ф 0 и У2(0) Ф 0. Здесь происходит перекачка
энергии из волны с частотой Ю в волну удвоенной частоты 2ю. Если
У1(0) << Уг(0) , -
ком, тогда как при У1(0) >> У2(0) этот процесс называют генерацией второй гармоники или удвоением частоты.
4. в(0) = во =П, У1(0) Ф 0 и У2(0) Ф 0. В этом случае процесс энергообмена между волнами является пространственно немонотонным.
г 0 У2
У1 , .
, У2 .
(г > г0) наступает этап генерации второй гармоники волной У1, который заканчивается уменьшением ее энергии до нуля на расстоянии £ ^ . В точке г0 фаза ф2 скачком изменяет свое значение на П.
В случае Ф2 = 0 можно получить простые аналитические выражения для пространственных распределений амплитуд У1(г) и У2(г) . Для этого в уравнениях (6) и (7) проведем разделение переменных:
2У1
>М4(1 - V!2)
йУ1 = + йг
2У
^22(1 - У/)2
После интегрирования [10] получаем
1п
Уі2
-1
йУ2 = ± йг.
± г + С1
1п
1 + У
1 - У
= ± г - С2.
Несложные преобразования позволяют получить зависимости У1(г) и
У2 (г) в явном виде
У1( г) = 8есИ У2(г)= Л
± г + С1 2
± г - С2
2
Постоянные интегрирования С1 и С2 найдем, используя то обстоятельство, что на входе среды (г = 0 ) амплитуды этих волн известны и равны соответственно У,(0) = У10 и У2(0) = У20. В результате получаем окончательные выражения [4]
У1( г) =
1
сИ
± — + агссИ 2
У1(0)
1
1
У2(г)= Л
± г + агс&У (0)]
где верхний и нижний знаки соответствуют значениям в(0) =в0 = 0 И в(0) = в0 =П.
При значениях 0 < Ф2 < 4/27 фазовые траектории УХ(УХ) , У2(У2) и в (в) замкнуты и устойчивы, что соответствует периодическим решениям (4). По-
У1 У2 ,
энергия при взаимодействии поочередно перекачивается из одной волны в другую. Циклический характер носит и пространственное поведение фазового инварианта в (рис. 2). Для объяснения указанной особенности ВПВ в рассматриваемом случае воспользуемся методом возмущений.
При условии сильного проявления нелинейности (Г ^ 0) нелинейную поправку АУ к полю исходных волн У(0,0) на малом расстоянии от излучателя
(г = Аг << 1) представим, используя уравнение (1), в виде суммы поправок первого АУ', второго АУ" и более высоких порядков:
Лтг 1 Лт г2
АУ(0,Аг) - У—Аг =-— Аг = АУ'(0,Аг) + АУ"(0,Аг) +....
Э0 2 Э0
Для нахождения поправки первого порядка достаточно в правую часть записанного выражения в качестве У подставить граничное условие. В результате добавку А У к исходным волнам на частотах Ю и 2ю получим в виде
АУ'(0, г) = АУ/(0, г) + АУ2'(0, г)
= - “У10У20 ^п(0 + ф10 + в0) + “У10 ^п(20 + ф20 - в0).
(10)
Из выражения (10) видно, что для ВПВ продукты взаимодействия уже во втором приближении совпадают по частоте с исходными волнами. При этом эф, АУ ,
только значениями амплитуд взаимодействующих волн У1 У2 , но и фазовыми
соотношениями между НИМИ ( в0 ).
Существенным здесь является то обстоятельство, что в процессе ВПВ, наряду с изменениями амплитуд, происходит изменение фаз и фазового инварианта
. -
ф1 ф2 . . 3
изменения в исходном возмущении, произошедшие на малом отрезке г = Аг :
У (0, г) = У1(0, г) + Уг(0, г) =
= У (0, г = 0) + АУ (0, г) - У (0,0) + АУ'(0, г) =
= У (г) 8ш[0 + фш + ф1 (г)] + ]( г) 8ш[20 + ф 20 + ф2 (г)] =
= У (г) 8ш(0) + У2 (г) 8ш[20 + в 0 + Ав( г)] =
= У1 (г) вш(0) + У2( г) вш[20 + в(г)].
:
У1 (0, г) = У1 (0,0) + АУ1 (0, г) - У1 (0,0) + АУ/(0, г) =
У1081п(0 + ф10) - ^У10У2081п(0 + ф10 + в0) = У1(г) й1п[0 + фш + ф1( г)]; У2 (0, г) = У2 (0,0) + АУ2 (0, г) - У2 (0,0) + АУ2'(0, г) =
: У20 8Ш(0 + ф20 ) + ^ У10 8ІП(20 + Ф20 - в0) = У2(^ 8ІП[0 + ф20 + Ф2 (г)] ;
У1(г) = 1У10 V4 + г2У220 - 4—У20 С°®(в0 ) ;
У,( г) = -2 ^/4У;0 + г У + 4гВД5со5ф||);
tg Ф1( г) =
гУ20 8ІП Рс
■; tg ф 2(г) = ■
—У20 ГОв^0 - 2 2У20 + гУЮ с08в0
Ар( г) = Ф2 (г) - 2ф1(г).
б
Рис. 3. Векторные диаграммы взаимодействующих волн при ВПВ С увеличением расстояния общий характер изменений в поведении волн со, -ствий. Теперь нелинейная добавка (10), образующаяся на произвольном расстоя-г Аг << 1 ,
порядка в виде
АУ (0, г + Аг) = -уУ, (г)У2 (г) 81п[0 + ф^ (г) + в( г)]+у^2 (г) 81п[20 + ф2( г) - в( г)].
,
амплитуд У1(г), У2(г) и фазового инварианта в(г), сопровождаясь дальнейшими изменениями фаз.
Таким образом, ВПВ сопровождается двумя взаимовлияющими процессами, среди которых фазозависимое перераспределение энергии, а также пространственные изменения фаз (фх, ф2) и фазового инварианта взаимодействующих волн. Зависимость фаз ф1 и ф2 от расстояния, как следует из (9), имеет монотонный характер, здесь sign^ 2) = const. Знак и скорость изменения фх(z) и ф2(z) определяются знаком и величиной интеграла Ф . Пространственная зависимость в( z) является циклической, причем диапазон изменения в зависит от величины Ф , . 2.
Изменение фазовых соотношений в волнах У1 и V2 приводит к периодическому обращению направления энергообмена, что объясняет осциллирующий ха. , , с фазовой скоростью волны. Поэтому возникновение дополнительных фазовых
набегов фх(z) и ф2(z) при нелинейном взаимодействии волн У1 и У2 позволяет говорить о нелинейном изменении их фазовых скоростей, а пространственную расфазировку в(z) взаимодействующих волн можно интерпретировать как нелинейную дисперсию скорости звука.
Дисперсионные проявления ВПВ с ограниченным числом разрешенных взаимодействий. В теории волн принято считать [2], что нелинейная дисперсия может проявляться в средах с кубической нелинейностью, где она связана с само-воздействием нелинейной волны на кубической нелинейности. В квадратичнонелинейных средах такое явление, как видно из приведенных рассуждений, может быть результатом взаимодействия двух волн, или, другими словами, самовоздей-ствия двухкомпонентной волны.
Поскольку раннее вопрос о нелинейной дисперсии при взаимодействии акустических волн в квадратично-нелинейных бездисперсионных средах не обсуж-
,
в рамках принятой модели. Рассмотрим ВПВ при граничных условиях, когда фазовые траектории Ух (У,) , У2 (У2 ) и в( в ) близки к одному из центров. Это условие позволяет получить хотя и приближенные, но простые для анализа уравнения, не ограничивая общности получаемых результатов, поскольку характер ВПВ при этом качественно не изменяется.
Рассмотрим функцию Ф = У2Ц2 sin( в) , которая благодаря закону сохранения энергии может быть сведена к функции двух переменных
Ф(У2,в) = У2(1 - У/) Sin( в ).
Покажем, что точки (l/V3 ; ± п/2) являются стационарными точками этой
функции и соответствуют центрам фазовых диаграмм У, (У,) , У2 (У2), в( в ) . Действительно
ЭФ
ЭУ2 ЭФ д в
= (1 - 3У22) sin(в) = 0:
= (^3У;2'
(1/V3; ±п/2)
= У2(1 - У22) cos(в) = 0,
(1/V3; ±П2)
а второй дифференциал
d 2Ф
д 2Ф 2 д 2Ф „ д 2Ф
1Г =—- d 2У2 + 2------------------------dV2d(3 +—- d 2р =
a/V5; ±П2) дУ22 2 dV2dв 2 др2
д 2Ф . д 2Ф , 2о d У + ^гт-d р
дУ2
д 2
есть знакоопределенная квадратичная форма [11]. Разлагая функцию Ф(У2, в) в ряд Тейлора в окрестности точек ( 1/73; ±П 2 ),
,
1 ^ 2л%
Ф(У2,Р) *Ф(VV3; ±П2) + -■
2 дУ
(У - VV3)2
+
1 д 2Ф + —
2 др2
(1/V3; ±П2)
(р + П 2)2.
(1/л/3; ±я/2)
ИЛИ
9(У2 - 1/V3)2 + (р + П2)2 = (2 + 3л/3Ф)
Из второго уравнения системы (8) с точностью до квадратичных членов получим
(в)2 - 9(У2 - 1Д/3)2.
Из двух последних выражений и из закона сохранения несложно получить систему упрощенных дифференциальных уравнений для неизвестных функций
У(г), У2(г) И в(г)
. 1 . 2:
(У2)2 + (V2 - VV3)2 = 9(2 + 3л/3Ф); (У/-)2 + (У- - V^3)2 = ¿(2 + 3л/3Ф); 18 (р )2 + (р+П 2)2 = 2+3а/3ф.
Решение системы (11) имеет вид
y(z) = ^| + ^^2 + Зл/зф cos iz + ¥1);
(11)
У2(z) = -U + 1\/2 + 3л/3Ф СОS (z + v2) ; v3 3
рЫ = ±я/2 + \]2 + 3л/3ф COS (z + у) -
где константы ^ , ^2 и ^ определяются из граничных условий
Vi
arccos
V2 = arccos
3V2(7i(0) -У23) л/2т3/3Ф 3(V2(0) - VV3) л/2тЗ/Зф
ß(0) + n 2)
л/2гЗ/Зф
Выражения (12) дают представление об энергообмене при условии
ф-± 2/3л/3 . , У1 У2
полным, причиной чему является нелинейная дисперсия, нарушающая синхронную перекачку энергии из одной волны в другую.
Выражения для нелинейных набегов фаз ф1( г) и ф2( г) можно получить из
(9). (9)
Ф1( z)
-3Фг- —Ф V2 + Зл/Зф sin(z + V1)
4 4 т1 /
Ф2(z) = -3Фг + л/Зф V2 + Зл/ЗФ sin(z + V2)
(13)
Анализ выражений ф1(г) и ф2(г) показывает, что нелинейная дисперсия проявляется в виде двух составляющих. Одна из ее компонент связана с первыми слагаемыми в (13), линейно зависящими от расстояния г , и сопровождается постоянной добавкой к фазовой скорости в невозмущенной среде. Она не приводит к смене фазовых соотношений у взаимодействующих волн, т.е. не влияет на поведение в( г) . Эту компоненту дисперсии условно можно назвать абсолютной.
Другая компонента нелинейной дисперсии связана со вторыми слагаемыми в (13) и является осциллирующей в пространстве. Она обусловливает изменение фазовых соотношений в( г) при ВПВ, характеризуя взаимные изменения фазовых У1 У2 .
. У1
У2 , .
При малых |ф| вклад абсолютной компоненты в нелинейный набег фаз ф1(г) и ф2(г) в (13) мал, преобладает относительная компонента. Поэтому здесь
У1 У2 -
, У1 У2
( . 1).
С увеличением Ф вклад абсолютной компоненты в нелинейный набег фазы растет, тогда как доля относительной компоненты уменьшается. В результате эффективность энергообмена между волнами У1 и У2 снижается.
Отметим предельный случай Ф = ± 2/3л/3, соответствующий центрам фазовых диаграмм У (У) , У2 (У2 ) и в (в) . Здесь нелинейные набеги фаз соответственно равны
Ф1(г) = ± г/2л/3 и ф2(г) = ± г/л/3 , (14)
тогда как энергообмен полностью отсутствует, что видно из фазовых диаграмм на рис. 1. Взаимодействие проявляется лишь в амплитудно-зависимой добавке к невозмущенной скорости звука. Такой характер ВПВ объясняется тем, что нелинейные добавки Ду 2 в (10) и исходные волны У1 2 находятся в квадратуре, приводя
лишь к изменению текущих фаз взаимодействующих волн. Такая ситуация возможна только при строго определенных амплитудно-ф^овых соотношениях в граничных условиях:
У(0) = 72/3; у(0) = л/^; в(0) = ±П 2.
На рис. 4 приведены векторные диаграммы, поясняющие процесс ВПВ в слу-
,
центре. Энергообмен отсутствует, взаимодействие волн приводит лишь к изменению их фазовых скоростей. Вектора У1 и У2 совершают вращательное движение вдоль дуги окружности.
В рассматриваемом случае постоянная нелинейная добавка к фазовой скорости в каждой из волн принимает свое максимальное значение
с = Со (1 ±еу0/2л/3с0).
(15)
Так, если в качестве параметров с0 и 8 взять справочные данные для воды,
то при избыточном давлении р0 = 106 Па нелинейная добавка к скорости звука будет порядка 0,05 %.
Г,(0) = ^2/3 (3(0) = ± п/2
У2( 0) = /Ш (3(0) = ± п/2
Рис. 4. Векторные диаграммы взаимодействующих волн при расположении изображающей точки в устойчивом центре фазовых диаграмм
Несмотря на малое различие скорости звука это может приводить к существенным фазовым набегам. Подобно эффектам самовоздействия на кубической не-
- -быть причиной разнообразных физических явлений, например, нелинейной рефракции и взаимофокусировки волн У1 и У2.
Рис. 5. Фазовая поверхность нелинейного осциллятора согласно (6)
Уравнения (6) и (7) для амплитуд взаимодействующих волн, а также уравнение (8) для фазового инварианта могут быть интерпретированы как уравнения финитных движений нелинейных осцилляторов, где роль времени выполняет пространственная координата г. Всевозможные состояния такого осциллятора
в координатах (У12, У12, Ф) или (в, в, Ф) образуют фазовые поверхности.
На рис. 5 и рис. 6 представлены нижние части фазовых поверхностей, рассчи-
(6) (7), -
стью Ф = 0 .
Рис. 6. Фазовая поверхность нелинейного осциллятора согласно (7)
Фазовая поверхность дает наглядную картину движения. Видно, что движение по сепаратрисе на рис. 1 соответствует нулевому значению параметра Ф и
У1
У2 (сечения на уровне Ф = 0 имеют наибольшую площадь). Вместе с тем два центра
. 5,
рис. 6 с минимальным значением параметра Ф = - 2/3л/3 и характеризуются отсутствием энергообмена и фазовых соотношений между взаимодействующими
,
абсолютная компонента нелинейной дисперсии изменяющая фазовые скорости У1 У2 .
Выводы:
1.
средах без физической дисперсии как о двух равноправных взаимозависимых процессах - энергообмене и особой, нелинейной дисперсии.
2.
простейшего из трехволновых взаимодействий - вырожденного.
3. -
модействия в квадратично-нелинейной среде без физической дисперсии дополнены анализом поведения абсолютных фаз и фазовых соотношений во взаимодействующих волнах.
4.
,
принципа причинности. Показано, что нелинейная дисперсия проявляется в виде двух составляющих: постоянной добавки к фазовой скорости в невозмущенной среде, и осциллирующей в пространстве компоненты, обусловливающей изменение фазовых соотношений при ВПВ. Именно эта
У1 У2 ,
периодически изменяется в пространстве.
5. -
,
амплитуд источников звука.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Руденко О.В., Солуян С.Н. Теоретические основы нелинейной акустики. - М.: Наука, 1975. - 287 с.
2. Виноградова МБ., Руденко О.В., Сухорукое АЛ. Теория волн. - М.: Наука, 1990. - 432 с.
3. Ахманов С.А., Хохлов Р.В. Проблемы нелинейной оптики. - М.: Изд-во АН СССР, 1964.
- 264 .
4. Бломберген Н. Нелинейная оптика. - М.: Мир, 1966. - 424 с.
5. Дмитриев ВТ., Тарасов ЛЯ. Прикладная нел инейная оптика. - М.: Физматлит, 2004. - 512 с.
6. . . -лем // Акуст. журн. - 1983. - Т. 29. - № 3. - С. 398-402.
7. . ., . . -
ного удвоения частоты интенсивной акустической волны в нелинейных селективно-поглощающих средах // Прикладная акустика. - Таганрог, 1983. Вып. 9. - С. 3-7.
8. ., . . . .. .
- М.: Мир, 1976.
9. . . . ,
1975. - Вып. 4. - С. 791794.
10. . , . . , , . - .: Наука, 1963. - 1100 с.
11. Карлов Н.В., Кириченко НА. Колебания, волны, структуры. - М.: Физматлит, 2003. - 496 с.
Савицкий Олег Анатольевич
Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.
E-mail: [email protected].
347932 г. Таганрог, ул. Ломоносова, 57/1, кв. 57.
Тел.: 88634315638; +79034354049.
Savitsky Oleg Anatoljevich
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: [email protected].
57/1, Lomonosov street, sq. 57, Taganrog, 347932, Russia.
Phone: +78634315638; +79034354049.
ДК 551.466
И.Б. Аббасов
МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕФРАКЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ПОВЕРХНОСТНЫХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН НА БЕРЕГОВЫХ СКЛОНАХ РАЗНОЙ
КРУТИЗНЫ
Рассматриваются вопросы моделирования рефракции нелинейных поверхностных гравитационных волн на береговых склонах разной крутизны в условиях залива. При подходе к берегу происходит постепенное уменьшение длины волны и заострение гребней. Пред-
-
гравитационной волны на береговых образованиях.
Нелинейные поверхностные гравитационные волны; мелководье; рефракция; берего-.
I.B. Abbasov
MODELLING OF REFRACTION OF NONLINEAR SURFACE GRAVITY WAVES ON COASTAL SLOPES OF THE DIFFERENT STEEPNESS
In article problems modeling of refraction nonlinear surface gravity waves on coastal slopes of a different steepness in the conditions gulf are considered. At the approach to coast there is a gradual reduction length of wave and point of crests. Spatially-three-dimensional models of refraction nonlinear surface gravity wave on coastal formations are presented.
Nonlinear surface gravity waves; shallow-water; refraction; coastal formations.
Вопросы изменения береговых линий из-за воздействия на них поверхностных волн остается достаточно актуальным. Этот вопрос связан также с явлением рефракции поверхностных волн. В работе [1] была исследована рефракция морских волн на материковой отмели. Работа [2] посвящена исследованию рефракции поверхностных волн на острове круглой, треугольной формы и на мысе. В работе
[3] были рассмотрены вопросы трехмерного моделирования рефракции поверхностных волн на береговых образованиях различной конфигураций. Однако линейные модели описывают эти явления не в полном объеме, а определяют основные тенденции данных явлений. Поэтому для достоверного исследования волновых процессов необходим учет нелинейных эффектов.
Данная работа посвящена моделированию рефракции нелинейных поверхностных гравитационных волн на береговых склонах разной крутизны в условиях .
