Вынужденные колебания балочных конструкций с учетом сил неупругого сопротивления Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 624.042.8

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ БАЛОЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ С УЧЕТОМ СИЛ НЕУПРУГОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ

А. С. Распопов, канд. техн. наук, доцент Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта

им. академика В. Лазаряна

Как правило, элементы строительных конструкций, имеющих значительные поперечные размеры и собственную массу, таких как мосты, промышленные здания и сооружения, необходимо рассматривать в виде континуальных систем на основе уточненной теории изгибных колебаний, в которой учтены поперечные сдвиги и инерция поворота сечений [1]. Кроме этого, влияние затухания, в том числе и касательного, на развитие амплитуд колебаний в области резонанса также может быть существенным [2]. В отдельных случаях нельзя пренебрегать и действием продольных сил.

Учет перечисленных факторов усложняет расчет вынужденных колебаний неразрезных балок и рам. Теория колебаний с различными видами демпфирования достаточно полно изложена в работах [2-4]. Применение конечных автоматов и ассоциированных матриц [5; 6] приводит к относительно простым результатам и выгодно отличается от некоторых других методов получения аналитического решения этой задачи. В данной статье такой же подход используется для моделирования установившихся вынужденных колебаний в диссипативных упругих системах на примере балочных конструкций.

k_1 2

Согласно [7], неизвестные начальные параметры отдельного стержня к , _ ' ' могут быть найдены по правилу Крамера в виде отношения определителей Dx, составленного из коэффициентов левой части системы неоднородных алгебраических уравнений и Dzк, получаемого из Dx путем замены к-го столбца коэффициентов а1к, a2h..., а

пк при неизвестном Хк столбцом свободных членов Ъь Ъ2, ..., Ъп

к ^ . 12

Предположим, требуется определить амплитуду установившихся вынужденных изгибных колебаний с учетом инерции вращения, деформации сдвига, продольных сил конца консольного стержня (рис. 1), к которому приложена

гармоническая сила Р ЯП ^ . На рисунке 1 изображена также соответствующая логическая схема в виде конечного автомата А.

Выбирая значения функций^ из таблицы 1 [6] в соответствии с кодами начальных (НП) и концевых (КП) граничных параметров стержня, приходим к выражениям определителей

1 - _ РУ13

Dz _Д Е1 °1к _д4ЁГАз

Д • 34

подставляя которые в (1) получим искомый параметр у () :

3 (ka+ fd)

(1 , , • 1 ^

ch dsina--sh dcosa

, k_f

EJz 2X4y + (k2a2 + f 2d2 )ch d cosa + kf[d2 - a2 )sh d siw 56

где Д, a, d, k, f - параметры, учитывающие инерцию вращения, деформации сдвига и продольные силы [6].

Pyl v

у ^т . 2 сО" + pdchd cosa + kf Id - a ]shd sina

Рис. 1. Консольная балка и ее логическая схема

Решение (3) существует для всех , кроме , где - собственные частоты изгибных колебаний (/=1, 2, ...,

), являющиеся корнями уравнения .

Анализируя уравнения форм колебаний с правой частью, можно отметить, что они имеют много общего при описании форм вынужденных и форм свободных колебаний стержня с сосредоточенными массами или промежуточными упругими опорами [8]. Оба случая можно рассматривать совместно, если учитывать силы инерции сосредоточенных масс как возмущающие сосредоточенные силы, которые изменяются по гармоническому закону с частотой главных форм колебаний.

Следуя общим правилам формирования ассоциированных матриц для участка балки с упругими опорами или сосредоточенными массами [9], можно получить аналогичные правила построения ассоциированных матриц, учитывающих действие сосредоточенных возмущающих сил или моментов. Для этого представим матрицу влияния

начальных параметров участка балки с гармоническим возмущением на левом конце в виде суммы матриц Мв

свободного участка [6] и Мд с учетом воздействия в принятой системе координат

м0 = мв + мв

78

где

мв =

Р13 Р13

у V -у-и рт рк

ю

г

мл и.

ш м I

ю

мХ„

м^2 —^

0 0

910

(-Р —Р

~ху и м'у в форме [9].

Располагая функции выходапосле раскрытия частотных определителей из миноров 2-го и 3-го порядков матрицы м 0, в соответствии с логическим следованием кодов начальных и концевых граничных параметров стержня, получим

м'

ассоциированные матрицы

Сопоставляя структуру определителей для свободных и загруженных участков балки, можно сделать вывод: определитель системы с произвольным силовым воздействием равен определителю той же системы без воздействия (значение силового параметра 0, кинематического - 1), умноженному на значение вычисляемого кинематического параметра, плюс определитель системы с произвольным силовым воздействием (значение силового параметра 1, кинематического - 0), умноженный на величину этого воздействия.

Следуя отмеченным закономерностям, можно получить общее правило для построения ассоциированной матрицы участка балки с периодической внешней силой на левом конце. В матричной форме для изгибных колебаний стержня в

плоскости ху, загруженного внешними сосредоточенной силой представить следующим образом:

мр = им + Р (м„(1)0, + м0(21,)

ху у ху у\ 0101 0011/.

?

мр =ф м + мг (м«0+м 050)п)

Ру та?

или моментом

м, та?

, это правило можно

1112

1314

В выражениях (6), (7) обозначены: мху - ассоциированная матрица обычного участка балки для изгибных колебаний в

м(1) м(2)

плоскости ху (табл. 1 [6]); 0101, 0011 и др. - матрицы, состоящие из первой и второй строк с функциями кодов 0101, 0011 и имеющие остальные нулевые строки.

Матрицы (6), (7) имеют тот же порядок, что и матрицы, описывающие свободные колебания стержня, и дают возможность формального определения неизвестных граничных параметров из уравнения:

хЛ - в(?)= 0

1516

К примеру, если на свободном конце консольного стержня действует внешний изгибающий момент мг 8т та? , то

—р

мху

амплитуду угла поворота концевого сечения можно вычислить из уравнения, соответствующего элементу матрицы ху (7) с кодом 1100-0011 (табл. 1 [6]):

Д4

тг- м I

фЛ -

ш,

Сз

= 0

1718

или

1

19 20

Из приведенных выше матриц легко получить все частные случаи возможных сочетаний граничных условий стержня, а также дополнительно учесть сосредоточенные упругозакрепленные массы при сосредоточенном гармоническом воздействии.

Пусть балка постоянного поперечного сечения, опертая по концам, находится под действием сосредоточенного

момента , приложенного на опоре (рис. 2).

Амплитуда угла поворота сечения на опоре в месте приложения периодического момента определяется из уравнения

. Значение соответствует элементу матрицы с кодами НП 0101 - КП 0101:

21 22

откуда

ф, (0) =

м I

г (

Ы

(ка + /й)

1

1

к ?Ь й / tg а

ай

. ка /й 2 + — + — /й ка

2324

Рис. 2. Логическая схема балки

Для получения

Ф, (I)

задаем вычисляемому параметру на правой опоре фиксированное значение 0, а возмущенному

параметру м,(0) на левой опоре - произвольное значение 1. В результате получаем коды НП 0111 - КП 0001 и соответствующее выражение / из таблицы 2. [6]. Логическая схема автомата для этого случая представлена на рисунке 2.

12 п м,13 _

В = — В2; п,к =-гтГГ1

2 Д4 2'

2526

Учитывая влияние на знак определителя

п„

получим:

1

соответствующей перестановки столбцов [7], после преобразований

1

Ф, (I) = -

м,/Д2 / йт а к ъЬ й

( ка /й ^

2 + — + —

/й ка

2728

Если не учитывать перечисленные выше факторы, то имеют место следующие соотношения: а=й=к=/=Ху. В этом случае решения (12), (14) преобразуются к виду

Ф2(0)=

м I

2 Ы X

2 у

1

1

Ь X tg X

Ф2 (I) =-

м I

у

2 Ы X

у

1

1

зт X ъЬ X

у у У

2930

которые в точности совпадают с приведенными в работе [10].

Использование гипотезы Фохта [4; 10] для учета неупругого сопротивления позволяет трансформировать зависимости, полученные в [6; 7], для случая затухающих колебаний, сохранив их структуру и состав ассоциированных матриц, учитывающих инерцию вращения, деформации сдвига и продольные силы. При этом элементы матрицы влияния будут включать комплексные выражения модулей нормальной упругости и сдвига:

Е = Е(1 + /х 1) . О = 0(1 + /х2)

где

X1 X 2 -

31 32

коэффициенты неупругого сопротивления, соответственно, по изгибу и сдвигу;

/ - мнимая единица.

Параметры системы X, ?, ъ, q [6] также можно представить в комплексной форме:

X = -

X

V1 + % • ? 1 + /X 2 • Л 1 + % •

q = q

1+/%1

1 + /X 2

3334

В свою очередь, для значений , можно записать:

; . 3536

При малой величине коэффициентов неупругого сопротивления [4, 11], выражения точностью до , а также с учетом произведения , после преобразований получим:

; , 3738

где

можно принять с

и

Параметры , представим в комплексной форме:

; , 3940

где

т = V2 _ v2 + Г (5 + х,5,) . X, = 2vv, + Г (5, - X,5)

?

Выделяя в (20) действительные и мнимые части, приходим к соотношениям:

а = + m2 _1 i42m, _ m2 d = ~V2g + ^2 _1 ¿V2g, _&2

2 2 ; 2 2 , 4142

где

m, =A/v(v + A,) + v,(v, + h2) + m . g, = ^/v(v_h,) + v,(v, _h2) + m . m2 = 2v + h, .

? ? ?

g2 = _2v + h, . h, = д/2(m + x) . h2 = 72(m _x) . m = x2 + x2

— 2 —4

Для A и A можно записать:

—2 —2 —2 — 4 I I-2-

A = a + J = h, + i'hi . A = 4^x + iym _X j 4344

Так как ассоциированные матрицы M, [6] содержат тригонометрические и гиперболические функции

комплексных аргументов a , d (21) в виде c1-/61 и c2-ib2, то формулы перехода удобно представить таким образом:

sina = sincj chbj - i cosc¡ shbx ; cosa = cosc¡ chbx- i sinq shbx

? ?

sha = shc¡ cosbj- ichcl sinbj ; cha = chcl cosbj- i shcl sinbj

?

Комплексные выражения параметров k , f запишем для каждого фактора в отдельности с учетом:

продольных сил (p=0; #=0):

- а — d k = / = -

1 - г • 1 - г ? ?

или, после подстановки (17), (21) в (23) получим:

к _ —--7 [с^2 + Ъ(1 - г) + /(с, (1 - г) - Ъ^2)] (1 - г)

7 _ 1)2 [с2^х2 + Ъ2 (1 - 0 + /(с2 (1 - г) - Ъ2гх2 )1 (1 - г)

- инерции вращения (г=0; 5=0; #=0):

к _ а ; 7 _ ^ ; ? ?

- деформации сдвига (р=0; г=0; 5=0):

к _ а(1 - 2^ #); 7 _ + 2а #)

4546

4748

4950

После подстановки выражений для а , d , q в (25) и ряда преобразований получим: к = c -2q(c22 -Ь)(c1 + b,(Xx -X2))-4^2^2^(^1(11 -X2)"b)+ feC -b2--X2)) + + 4c2^2q(bi(Xi -X2) + C)- b J

/ = C2 + 2q(c2 - Ь )(c2 +b2(Xi - X2)) + 4<?Дg(?2 (Xi - X2) - b2) + 'Mc2 - Ь ^(Xi - X2) - b2) -- 4cM(c2 + b2(Xi X2)) b2] 5i52

Таким образом, мы имеем все необходимые значения параметров в комплексной форме. Однако получение решения с учетом инерции вращения, деформации сдвига, продольных сил и сопротивлений является довольно сложным. Поэтому сначала следует найти аналитические зависимости для вынужденных колебаний с использованием алгоритмов [5-7] без сопротивления, а затем вместо параметров a, d, к, / Д, X подставить их комплексные выражения, учитывающие наличие сопротивлений. После этого во всех расчетных формулах необходимо выделить лишь действительную часть, которая и будет окончательным решением задачи. Последующее упрощение может быть получено при построении дискретных динамических моделей балочных элементов на основе конечных автоматов.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Вибрации в технике: Справочник: в 6 т. Т. I: Колебания линейных систем / Под ред. В. В. Болотина. - М.: Машиностроение, i978. - 352 с.

2. Филиппов А. П. Колебания деформируемых систем. - М.: Машиностроение, i970. - 736 с.

3. Kolousek V. Dynamics in Engineering Structures. Prague: Czech. Acad. Sci., i973. - 580 p.

4. Сорокин Е. С. Динамический расчет несущих конструкций зданий. - М.: Госстройиздат, 1956. - 340 с.

5. Распопов А. С. Конечно-автоматное моделирование пространственных колебаний стержневых и балочных конструкций / Вестник Днепр. нац. ун-та жел.-дор. тр-та. Выпуск 19. - Дн-вск: ДИИТ, 86-94, 2007.

6. Распопов А. С. Асоцшоваш матриц у розрахунках згинальних коливань континуальних балок // Мехашка i фiзика руйнування будiвельних конструкцш. Випуск 7. - Фiзико-механiчний шститут iм. Г. В. Карпенка НАН Украши, 2007. -C. 96-104.

7. Распопов А. С. Конечно-автоматное моделирование вынужденных колебаний недиссипативных стержневых систем // Отр матерiалiв та теорiя споруд: Наук.-техн. збiр. / Кшв. нац. ун-т буд. та арх. (КНУБА). Вип. 67. - К., 2007.

8. Бабаков И. М. Теория колебаний. - М.: Наука, 1968. - 560 с.

9. Распопов А. С. Колебания континуальных балок с промежуточными опорами / Вестник Днепр. нац. ун-та жел. дор. тр-та. Выпуск 9. - Дн-вск: ДИИТ, 2005. - C. 199-202.

10. Справочник по строительной механике корабля: В 3 т. - Т. 3: Динамика и устойчивость корпусных конструкций / Г. В. Бойцов, О. М. Палий, В. А. Постнов, В. С. Чувиковский. - Л.: Судостроение, 1982. - 320 с.

11. Давыдов В. В., Маттес Н. В. Динамические расчеты прочности судовых конструкций. - Л.: Судостроение, 1974. -336 с.

УДК 624.042.8

Вынужденные колебания балочных конструкций с учетом сил неупругого сопротивления /А. С. Распопов //Вкник

ПридншровськоТ державноТ академп будiвництва та арх^ектури. — Дншропетровськ: ПДАБА, 2008. — № 1-2. — С.

43-48. - рис. 2. - Бiблiогр.: (11 назв.).

Рассматриваются вынужденные изгибные колебания континуальных балок с учетом поперечных сдвигов, инерции

поворота сечений, а также влияния начальных осевых усилий и сил неупругого сопротивления. Для алгоритмизации

динамических расчетов используются элементы теории конечных автоматов.