CC BY
36
Выделение базовых мод разрушения при развитии усталостной трещины по смешанному типу
В.В. Кибиткин, Н.А. Лебедева, B.C. Плешанов
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
На основе уравнений линейной механики разрушения построены векторные поля упругих смещений перед вершиной трещины моды I, II и смешанной моды (I + II). Предложен алгоритм выделения базовых мод I и II при смешанном характере развития усталостной трещины как для упругих, так и для необратимых смещений. Применение такого подхода рассмотрено на мезоуровне на примере векторного поля неупругих смещений, экспериментально измеренных оптико-телевизионным методом в условиях циклического растяжения поликристаллов.
1. Введение
Усталость металла связана с зарождением и развитием усталостных трещин. На первой стадии их формирования повреждения стохастически рассеяны в приповерхностном слое циклически нагруженного материала. С момента своего возникновения усталостные трещины сначала развиваются квазихрупко — во фрак-тографическом изломе преобладают фасетки квазиско-ла. В дальнейшем увеличивается доля чашечных фасеток, что свидетельствует о росте пластической деформации и локальном разрушении вблизи вершины усталостной трещины [1, 2]. Образование свободной поверхности связано с предварительным формированием фрагментированной структуры в пределах возникающей при нагружении зоны пластической деформации.
Механическое состояние при усталости определяется коэффициентом интенсивности напряжений. Данная силовая характеристика трещиностойкости позволяет связать процесс разрушения в локальной области материала с его макроскопическими внешними параметрами — нагрузкой и геометрией. Поэтому свойства пластической зоны в окрестности вершины усталостной трещины играют решающую роль в ее распространении. Текущие значения коэффициентов интенсивности на-
пряжений связаны с другими параметрами трещино-стойкости — /-интегралом и раскрытием вершины трещины. Измеряя последний, деформационный параметр трещиностойкости и зная условия напряженного состояния, можно определить текущие значения коэффициента интенсивности напряжений и оценить общее механическое состояние нагруженной конструкции с трещинами [3, 4].
Обычно эти параметры в условиях циклического растяжения относят к трещине нормального отрыва (мода I). Однако реально вследствие сложного напряженного состояния развитие разрушения характеризуется кроме моды I наличием также моды II (трещины поперечного сдвига). При этом в полях векторов смещений регистрируется пластическая деформация, соответствующая смешанному типу трещины (I + II) [5, 6]. В этом случае выделение базовых мод I и II позволит более точно оценивать деформационный параметр тре-щиностойкости и выявить влияние каждой моды на скорость роста трещины, развивающейся по смешанному типу, и деформационную структуру материала вблизи ее вершины.
Ранее было показано, что на мезомасштабном уровне усталость металла имеет пять типичных стадий раз-
© Кибиткин В.В., Лебедева Н.А., Плешанов B.C., 2004
Рис. 1. Поле векторов упругих смещений перед вершиной трещины моды I (теория)
вития [5, 7, 8]. Первая стадия связана с образованием на поверхности материала стохастически распределенных зон пластических сдвигов, обусловливающих деформационное упрочнение и формирование усталостных микротрещин. На второй стадии регистрируется квазихрупкий рост доминирующей трещины, сменяющийся на третьей стадии ее хрупко-пластическим ростом. Четвертая стадия — стадия развития магистральной трещины — характеризует критическое состояние материала. Заключительная пятая стадия связана с образованием зоны пластической вытяжки и доломом образца (конструкции). Третья стадия, как правило, наиболее продолжительна, включает в себя состояние предраз-рушения и поэтому является ключевой в процессе усталостного разрушения материала.
Для оценки степени накопления усталостных повреждений в работе применялся оптико-телевизионный комплекс TOMSC, позволяющий измерять поля векторов необратимых смещений элементарных участков поверхности нагруженного материала и рассчитывать значения компонент тензора пластической дистор-сии [9, 10]. Комплекс имеет высокую разрешающую способность (плотность векторов смещений 1.5 • 103 -- 3 • 105 мм-2), позволяет измерять амплитуды смещений в широком диапазоне (0.1-15 мкм) без специальной подготовки поверхности материала. Значения этих характеристик определяются параметрами оптической системы.
2. Поля упругих смещений для трещин моды I, II, I + II
Ранее было показано [11], что векторные поля необратимых смещений перед вершиной трещины в условиях небольших пластических деформаций наследуют вид полей упругих смещений. Поэтому, действуя подобным образом, рассмотрим сначала, как можно разделить некоторое исходное поле упругих смещений трещины смешанного типа (I + II) на базовые моды I и II.
Векторное поле перед вершиной трещины нормального отрыва (мода I) хорошо известно в механике разрушения [3] и описывается формулами:
ul = Klyfl ((2а -1) cos( 0/ 2) - cos(30/ 2))/ (4GV2n), u0 = KY4l ((sin(30/ 2) - (2а +1) sin(0 2))/ (4G ),
где КI — коэффициент интенсивности напряжений для трещины моды I; г, 0 — полярные координаты, причем начало координат связано с вершиной трещины, а угол
0 отсчитывается от оси, совпадающей с линией трещины; G — модуль сдвига; иг — радиальное смещение; и 0 — тангенциальное смещение. Для плоского напряженного состояния а = (3 -V)/(1 + V), где V — коэффициент Пуассона. Для стали V = 0.28, поэтому а = = 2.125.
Чтобы построить векторное поле, предсказываемое теорией, зададим пространственные координаты дискретными (2) и введем обозначение (3):
r = ne x + me y,
4 = K I/(4G/2n),
(2)
(3)
где ж, п — целые числа, ж > 0, -^ < п < ^; Л1 играет роль масштабного множителя. Тогда
• = I r I = Vm2 + n2 , 0 = arctg(n/m).
(4)
На основе уравнений (2)-(4) можно представить (1) в виде, удобном для построения векторного поля:
= A^m2 + n2 ((2а -1) cos(0/2) - cos(30/2)), = aJ m 2 + n 2 ((sin(30/ 2) - (2а +1) sin(0/ 2)).
(5)
Векторное поле упругих смещений, построенное на основании формул (1)-(4) для трещины моды I, приведено на рис. 1.
Видно, что точки поверхности смещаются под некоторым углом к оси растягивающей внешней силы. Этот угол максимален вдоль линии трещины и стремится к нулю при удалении от нее, где влияние трещины уменьшается. Также можно отметить, что амплитуда смещений возрастает при удалении от вершины трещины про-
Рис. 2. Поле векторов упругих смещений перед вершиной трещины моды II (теория)
Рис. 3. Векторное поле упругих смещений перед вершиной трещины моды I + II. Кп/КI = 2 (теория)
порционально Гг, что связано с накоплением упругих суммарных смещений.
Для трещины поперечного сдвига (мода II) уравнения линейной механики разрушения имеют вид [3]:
иI1 = Кп4г ((3Бт(30/2) - (2а -1)эт(0/2))/^л/2п),
(6)
и 0 = К114Т ((3 со8(30/ 2) - (2а +1) соз( 0/ 2))/(4^л/2п),
где К п — коэффициент интенсивности напряжений для трещины моды II.
Выполнив для (6) аналогичные (2)-(5) преобразования, можно построить теоретическое векторное поле упругих смещений для трещины моды II (рис. 2). Видно, что под действием сдвига, поперечного фронту трещины, поле упругих смещений перед ее вершиной имеет характер незамкнутого вихря, что отражает аккомодационный поворот материала.
Каждое отдельное смещение на рис. 1 и 2 является вектором. Поэтому при совместном действии растягивающей внешней силы и поперечного сдвига смещение каждой точки материала будет представлять собой сумму двух смещений, соответствующих нормальному отрыву (рис. 1) и аккомодационному повороту (рис. 2). В этом случае суммарное векторное поле упругих смещений может быть описано уравнениями:
иГ = А-Тг (((2а -1) соб( 0/ 2) - соб(30/ 2)) +
+к((3 Бт(30/ 2) - (2а -1) sin( 0/ 2))),
(7)
и1= Л14Т (((8Ш(30/ 2) - (2а +1) 8Ш(0/ 2)) +
+к((3 сов(30/ 2) - (2а +1) ^( 0/ 2))),
где к = К П/ К ^
На рис. 3 изображено векторное поле упругих смещений для случая к = 2. Это поле характеризует суперпозицию двух типов разрушения — нормального отры-
ва (моды I) и поперечного сдвига (моды II). Преобладание той или иной моды зависит от соотношения значений коэффициентов интенсивности напряжений для этих мод, т.е. от значений к.
3. Выделение базовых мод I и II для трещины смешанного типа (I + II)
Чтобы выделить базовые моды I и II, воспользуемся характером угловой зависимости смещений и(0). Представим уравнения (1) векторного поля для трещины нормального отрыва в декартовой системе координат. Вектор смещения u и его проекции в полярной (ur, u0) и декартовой (ux, uy) системах координат показаны на рис. 4. Видно, что эти пары проекций связаны между собой преобразованиями поворота:
иУ = ur cos 0 + u0 sin 0,
(8)
ux = u0 cos 0 - ur sin 0.
Подставляя (1) в (8) и учитывая (3), получим уравнения векторного поля для трещины моды I:
ulx = A14r [sin(0/ 2) - 2а sin(30/ 2) + sin(50/ 2) ],
(9)
и У = A14r [2а cos(30/ 2) - cos( 0/ 2) - cos(50/ 2)].
Учитывая свойства четности (нечетности) тригонометрических функций, можно сделать следующие выводы:
«x( r,0) = -«x( r, -0),
(10)
и У (r, 0) = и У (r, -0).
Выполнив аналогичные преобразования для (6), можно показать также, что для трещин моды II
Рис. 4. Вектор смещения и и его проекции в полярной и декартовой системах координат
. „^N,4,4. ^N,4,
_ ____________________
. ■, -------------------.
I 144^ - ^^Ч^^ , , ?
■\^^^\\\м
' \ \^\\\\\\^ ■^^^\\\\\\: ' ^\\\\\\\\\\
- -
і"””',' ^\^\\\\\\\ \Ч \\Г \\М
і- ■ '"'''чл''\Л'\\\\\\\\\\
,. \I1!I'М\\\^\\\\\\\\\\\\\^\\\
І \ І I 1 ! І I \ \ \ \ \ \ \ ^\\\\\М \\'Л ^ \\\ ’І! IМ\\\\\\\VVV\V\\\\\\\Ч\
і---------' ” '// \
///-'■///////
!'
.1.у.>.у.у
" "/ ^уУ/ууууууу ггггг „и .ф/мф/ф
У т~У/~ ? / // ?; / г ? у' " / т її; !■ !■' ? " // / і /у у у у у у у у у
<Ґ \Х~ ?' Н ' 11 Н ?? >? ? ? ? //■'• 7// ;/// ??уу у у у у у у
Г7 7 ГГ? ] 1 1 1 1 ~ / }у/г у у у у у у у у у у
‘^м;1Т г У У УУУ У ! У У У
^ - I 7 І I 1 І I 7 , I 1 І І I 7 7 7 7 7 7 7///7//у77777 7/77
Т--^-ТТТТТуТ|ТТТТТТТТТ/?????? ?/г/г/г/г/г/г ггг^ г ?/?/г/г
"Чі \'111 т м
Рис. 5. Поле смещений перед вершиной усталостной трещины, N = 58.5 • 103, ДN = 2 • 103
м“(Г, 0) = м“(г, -0), «“(г, 0) = -и1у(г, -0).
(11)
Условие 0 < 0 соответствует левой полуплоскости, 0 > 0 — правой полуплоскости; х > 0, -^ < у < «>. Выполнение условий (10), (11) можно увидеть также из рис. 1 и 2. Очевидно, что относительно линии трещины (ось ОУ) проекции смещений их, иу равны по модулю, но в зависимости от типа трещины меняют свой знак.
Для любой точки, лежащей слева (справа) от линии трещины, всегда найдется соответствующая ей точка справа (слева), расположенная на том же расстоянии от оси ОУ. Можно записать очевидные тождества:
иI = [(«!)I + (м“)I ] ех + [(«У )I + («У )I] еу>
и г = [(«!) г + («Х^ г ] е х + [(« У ) г + (и 1у) г ] е у.
Здесь введены следующие обозначения:
(«Х)і = «Х(г>-0)> («Х) г = «Х(г> 0)>
(м“)I = И°(г, -0), («Xі)г = И°(г, 0),
(«У ) I = Ы1у (г,-0), (и1у ) г = и\ (г, 0),
(Ы1у)і = «“(г, -0), (и”)г = «УГ(г, 0).
В эксперименте измеряется совокупность векторов необратимых смещений и 1 (х, у), иг (х, у) слева или справа от линии трещины, развивающейся по смешанному типу (I + II). Предположим, что условия (10) и
(11) выполняются и для векторного поля необратимых
(13)
смещений. Тогда, складывая и вычитая между собой уравнения (12) и учитывая (13), легко получить соотношения для вычисления проекций смещений для мод
I и II:
(«Х)г =-(«Х)і = «I = [(иг)х -(иі)х V2, («У )і = («У ) г = «У = [(и г ) у + (и і ) у ]/2,
(14)
(«ХГ) і = («х) г = «X = [(и г ) х + (и і) х V2,
(«У1) г =-(«У1)і = «У1 = [(и г ) у - (и і) у ]/2.
Это позволяет разделить измеренное в эксперименте векторное поле на два поля, соответствующие базовым модам:
(15)
Типичное поле необратимых смещений перед вершиной трещины смешанного типа (I + II), развивающейся в сварном соединении конструкционной стали 10Г2С в условиях циклического растяжения (многоцикловая усталость), приведено на рис. 5, а. Видно, что это векторное поле подобно полю упругих смещений (рис. 3), за исключением того, что в данном случае отсутствует сомножитель л/г. Это означает, что угловые зависимости (функции 0) для полей упругих и неупругих смещений приблизительно совпадают.
(12) и г = и г - и11 =| [(«х ) г - -«Xі ] е х + [(«у ) г .-«у1 ] е у
и ! = = и і - и11 = [ («х)і - «Xі] Iе х + [ («у ) і +«у1] Iе у.
и г1 = и г - и1 = [ >х ) г - ■«X] |е х + [ ,(«у ) г -«у] Iе у.
и!! = и і - и1 = [ («х)і + «X] е х + [ («у )і ■ -«у] е У •
В результате обработки экспериментального векторного поля (рис. 5, а) по приведенному выше алгоритму получены два производных векторных поля. Одно из них (рис. 5, б) рассчитывалось для моды I и по виду подобно полю векторов упругих смещений трещины нормального отрыва (рис. 1). Другое поле (рис. 5, в) рассчитывалось для моды II и соответствует полю векторов упругих смещений трещины поперечного сдвига (рис. 2).
Видно, что для моды I векторное поле (рис. 5, б) квазисимметрично относительно линии трещины (ось ОУ), а смещения перед ее вершиной ориентированы в направлении внешней силы. Векторное поле на рис. 5, в отражает развитие пластического течения перед вершиной трещины по моде II и имеет характер незамкнутого вихревого потока.
4. Заключение
На основе уравнений линейной механики разрушения построено векторное поле упругих смещений для трещины смешанного типа (I + II). На основе угловой зависимости упругих смещений перед вершиной трещины моды I (моды II) показан симметричный (асимметричный) характер продольных (поперечных) смещений для соответствующих элементарных участков поверхности. Основываясь на допущении, что в условиях малых пластических деформаций поле необратимых смещений наследует вид поля упругих смещений, предложен алгоритм расчета базовых мод I и II при развитии усталостной трещины по смешанному типу (I + II). Действие алгоритма рассмотрено на примере экспериментального векторного поля неупругих смещений, полученного на мезоуровне с помощью оптико-телевизионного комплекса TOMSC.
Такой подход дает возможность более детально анализировать пластическую деформацию, сопровождающую развитие усталостной трещины на мезоуровне. Учет мод I и II позволит более точно оценить текущее
состояние нагруженной конструкции и установить влияние каждой из мод на развитие разрушения на макроуровне.
Литература
1. Иванова В.С., Шанявский А.А. Количественная фрактография. Усталостное разрушение. - Челябинск: Металлургия, 1988. -400 с.
2. Шанявский А.А. Ротационная неустойчивость деформации и разрушения металлов при распространении усталостных трещин на мезоскопическом масштабном уровне. I. Процессы пластической деформации в вершине трещины. II. Механизмы разрушения // Физ. мезомех. - 2001. - Т. 4. - № 1. - С. 73-95.
3. Хеллан К. Введение в механику разрушения. - М.: Мир, 1988. -364 с.
4. Механика разрушения и прочность материалов: Справ. пособие / Под ред. В.В. Панасюка. - Киев: Наукова думка, 1990. - Т. 4. -680 с.
5. ПлешановВ.С., Панин В.Е., Кибиткин В.В., Лебедева Н.А. Эволю-
ция мезоструктуры и кинетика накопления усталостных повреждений в сварных соединениях конструкционной стали в условиях, близких к плоскому напряженному состоянию // Физ. мезомех. -2001. - Т. 4. - № 6. - С. 105-117.
6. Плешанов В.С., Панин В.Е., Кибиткин В.В., Лебедева Н.А. Мезо-масштабные критерии диагностики механического состояния и предразрушения циклически нагруженных сварных соединений // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2003. -№2.- С. 117-124.
7. Pleshanov V.S., Kibitkin V.V., Panin VE. Mesomechanics of fatigue fracture for polycrystals with macroconcentrators // Theor. Appl. Fract. Mech. - 1998. - V. 30. - P. 13-18.
8. Pleshanov VS., Kibitkin VV, Maslovsky A.S., Lavrov O.N., Panin VE. Mesoscale fatigue failure of welded joints of low-alloy steel // Theor. Appl. Fract. Mech. - 2000. - V. 33. - P. 17-21.
9. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2 т. / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995.- Т. 1. - 298 с.
10. Панин В.Е., Плешанов В.С., Кибиткин В.В., Сапожников С.В. Анализ полей векторов смещений и диагностика усталостного разрушения алюминиевого сплава на мезоуровне // Дефектоскопия. -1998. - № 2. - С. 80-87.
11. Плешанов В.С., Кибиткин В.В., Панин В.Е. Экспериментальная оценка типа разрушения и характеристик трещиностойкости поликристаллов оптико-телевизионным методом на мезоуровне при циклическом нагружении // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 2. - № 4. -С. 87-90.
The revealing of basic fracture modes at propagation of a mixed-mode fatigue crack
V.V Kibitkin, N.A. Lebedeva, and V.S. Pleshanov
Institute of Strength Physics and Materials Science, Tomsk, 634021, Russia
Based on the equations of linear fracture mechanics the elastic displacement vector fields ahead the mode I, II and mixed-mode (I + II) crack tips are constructed. We propose an algorithm for revealing basic modes I and II at propagation of a mixed-mode fatigue crack both for elastic and non-reversible displacements. The application of this approach is considered for the mesolevel by the example of the inelastic displacement vector field. The displacements are measured by the TV-optical method in cyclic tension of polycrystals.
