CC BY
31УДК 515.17
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ НЕКОТОРЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР С ПОМОЩЬЮ ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ CALCULATION OF AREAS OF SOME GEOMETRIC FIGURES WITH VECTOR WORK
Сюнюшев А. П., студент Барабанова Е. Н., студент Байгонакова Г. А.,канд. физ.-мат. наук, доцент arutayka@yandex. ru
Аннотация: В статье изучается вопрос использования векторного произведения для вычисления площадей некоторых геометрических фигур.
Ключевые слова: вектор, площадь, произведение, многоугольники.
Abstract. In the paper the question of using a vector product to calculate the areas of some geometric figures is studied.
Key words: vector, area, product, polygons.
В связи с широким распространением трехмерных пространственных технологий, изучение свойств некоторых геометрических фигур с использованием векторного произведения представляется актуальным.
Отметим, что результатом векторного произведения векторов в трёхмерном Евклидовом пространстве является не число, а результирующий вектор со своими координатами, направлением и длиной. Направление результирующего вектора обычно определяется по правилу правой руки.
Цель данной статьи - использование векторного произведения для вычисления площади некоторых геометрических фигур.
Дадим определение вектора. Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец [1].
B
А
В данном случае началом отрезка является точка А, концом отрезка - точка В. Сам вектор обозначается через АВ или а.
Чтобы найти координаты вектора АВ, зная координаты его начальной точек А и конечной точки В, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки:
АВ = {ВХ - Ах;Ву - Ау;Вг - Аг }
Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора АВ.
Длина вектора |АВ| в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.
а+ь = к + ьх; ау + Ьу }
Векторным произведением двух векторов а и Ь , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор С, что он
является 1) нулевым, если векторы a и b коллинеарны; 2) перпендикулярен
вектору a и вектору
/V л \ / л л л ж
a, с W У
b, с v у
2
; 3) его длина равна произведению длин
f л ^
(
векторов a и О на синус угла между ними
•sin
a, b
v У У
; 4) тройка векторов
а, Ь, С ориентирована так же, как и заданная система координат [1].
Векторное произведение векторов а и Ь обозначается как а х Ь Векторное произведение может быть использовано в нахождении площади треугольника или параллелограмма по заданным координатам вершин. Рассмотрим данный случай на следующем примере.
Пример. Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах а (1; -2;
5) и Ь (0; -2; 1).
Решение. Модуль векторного произведения двух векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
По формуле находим:
i j к
a ■ b =
1 - 2 5 0 - 2 1
- 2 5 _ 15 _ 1 -2
i - j +
- 2 1 0 1 0 - 2
k = 8i + j - 2k
Так как
a ■ b
д/82 + (-1)2 + (-2)2 = V69 , то искомая площадь S = л/б9 .
Одним из примеров использования произведения векторов является момент силы, который равен произведению радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы.
Отметим, что векторы широко используются также в физике, где такие показатели как скорость, импульс и сила могут быть представлены в виде векторных величин и вычисляются геометрически. Многое из того, что вычисляется в физике по правилу правой руки является векторным произведением.
Библиографический список:
3. Темербекова, А. А. Аналитическая геометрия: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений [Текст] / А. А. Темербекова - Горно-Алтайск : БИЦ ГАГУ, 2017. - 25 с.
4. Байгонакова, Г. А. Решение задач повышенной сложности (стереометрия) : учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений [Текст] / Г. А. Байгонакова, А. А. Темербекова. - Горно-Алтайск : БИЦ ГАГУ, 2017. - 108 с.
и
УДК 378.147227
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ THE EQUATION OF A STRAIGHT LINE IN PLACE
Барабанова Е. Н., студент Научный руководитель: Темербекова А. А., д-р пед. наук, профессор Горно-Алтайский государственный университет Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск [email protected]
Аннотация. В статье рассматриваются уравнения прямой в пространстве, которые являются основными базовыми знаниями для решения многих геометрических и стереометрических задач.
