Вычисление матриц Адамара — Мерсенна Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.614

ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦ АДАМАРА - МЕРСЕННА

Н. А. Балонин,

доктор техн. наук, профессор, старший научный сотрудник М. Б. Сергеев,

доктор техн. наук, профессор, директор

НИИ информационно-управляющих систем Санкт-Петербургского национального исследовательского университета информационных технологий, механики и оптики Л. А. Мироновский, доктор техн. наук, профессор

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

Приведено определение обобщенных матриц Адамара, порядок которых равен числам Мерсенна. Рассмотрены свойства матриц Адамара — Мерсенна, описан алгоритм их построения, приведены числовые примеры.

Ключевые слова — ортогональные матрицы, матрицы Адамара, матрицы Белевича, числа Мерсенна.

Введение

Матрицы Адамара нашли применение в практике построения помехоустойчивых и защитных кодов, в шифровании и маскировании. К сожалению, матрицы Адамара существуют не для всех порядков п, поэтому актуальной остается задача поиска ортогональных матриц, близких к ним по смыслу. Решению этой проблемы посвящены работы [1-5].

Элементы искомых матриц распадаются на некоторые группы (уровни) одинаковых по абсолютным величинам чисел [1, 2]. Наиболее экономно устроены матрицы Адамара, имеющие одноуровневую структуру — все их элементы равны {1, -1}.

Классический способ построения матриц Ада-мара порядков п = 2& основан на использовании итерационной формулы Сильвестра

®2п =

-в„

(1)

где в качестве начального значения принято число =1.

Помимо простоты построения, матрицы Адамара отличает экстремальное свойство: максимальный по абсолютной величине элемент такой матрицы (т-норма) имеет наименьшее значение на множестве ортонормированных матриц того же порядка. Расширительное толкование матриц Адамара возможно при опоре на отмеченное минимаксное свойство [1, 2] при одновременном ос-

лаблении жесткого ограничения на значения уровней, а именно, допуская для элементов М-матриц два значения ±а и ±Ъ. Далее без ограничения общности будем считать, что \а\ = 1, |Ъ| < 1.

Таким образом, задача сводится к отысканию матриц с минимальной т-нормой на множестве ортогональных двухуровневых матриц.

Модифицированная формула Сильвестра

Цель данной работы состоит в описании последовательности двухуровневых ортогональных М-матриц, аналогичных последовательности Сильвестра (1), но построенной для чисел Мерсенна п = = 2& — 1, где & — целое. Так как значения уровней элементов матриц изменились, модифицируем формулу удвоения порядка Сильвестра.

Положение 1. Рассмотрим модифицированную формулу Сильвестра

*2п =

м

м„

мп

м!

(2)

где матрица Мп образована перестановкой уровней а = 1 и -Ъ. Полученная по этой формуле матрица &2п симметрична, но ее порядок четен и на единицу меньше порядка следующей матрицы Мерсенна М2П+1. Для рекурсивного перехода от матрицы к матрице одного лишь удвоения порядка недостаточно, необходимо дополнительное окаймление матрицы &2п (добавление строки и столбца).

■ В наши дни Марен Мерсенн известен более всего как исследователь «чисел Мерсенна», играющих важную роль в теории чисел, криптографии и генераторах псевдослучайных чисел. Однако Мерсенн — один из первых, кто оценил скорость звука. Он описал схему зеркального телескопа, позднее реализованную Ньютоном. Основываясь на его исследованиях, французский математик Жозеф Со-вёр объяснил феномен обертонов. Мерсенн также издал перевод на французский язык «Механики» Галилея (1634), редактировал издания Евклида, Архимеда и других античных классиков

Алгоритм построения матриц Адамара — Мерсенна

Алгоритм основан на свойствах собственных чисел и собственных векторов блочных матриц.

2 п+1 2п

Положение 2. Сформируем матрицу М

путем следующего окаймления матрицы S вида (2):

М

2п+1

—X е

е 82«

где X, є — соответственно собственное число и собственный вектор матрицы 82«. Полученная таким образом матрица будет симметричной и ортогональной при старте итераций с начальной матрицы

М3 =

а —Ь а

—Ь а а

а а —Ь

Собственное значение матрицы удвоенного порядка будет равно X = -а. При этом половина компонент собственного вектора состоит из -Ь, остальная половина — из а. Происходит это при следующих значениях образующей пары: Ь = а/2

■ Уравнения и значения уровней М-матриц

к Мат- рица Уравнение Уровни

1 Жі Ь = а Ь = а

2 Из 2Ь + а = 0 2 « II Ь

3 м7 Ь2 - 4аЬ + 2а2 = 0 Ь = (2 ± 72)а

4 Мі5 3Ь2 - 8аЬ + 4а2 = 0 Ь = 2а/3 и Ь = 2а

5 м31 7Ь2 - 16аЬ + 8а2 = 0 Ь = (8 ± 2^2)а/7

6 М63 15Ь2 - 32аЬ + 16а2 = 0 Ь = 4а/5, Ь = 4а/3

7 М127 31Ь2 - 64аЬ + 32а2 = 0 Ь = (32 ± 4л/2)а/31

8 М255 63Ь2 - 128аЬ + 64а2 = 0 Ь = 8а/9 и Ь = 8а/7

р ±

при п = 3, в остальных случаях Ь =--- а, р =

р — 4

= п + 1. Справедливость положения следует из условия ортогональности.

Указанные значения элементов матриц являются корнями некоторых алгебраических уравнений, называемых далее характеристическими. Примеры характеристических уравнений для уровней, отвечающих условию ортогональности столбцов матрицы Адамара — Мерсенна, приведены в таблице.

В случае построения из матриц Якобсталя матриц Белевича [5] собственному значению X = 0 соответствует собственный вектор e, состоящий из 1. Строительный блок матрицы Адамара — Мерсенна отличается от них только тем, что X = -а, а собственный вектор содержит элементы -Ь и а. Единственная сложность состоит в том, что с ростом порядка эти параметры не остаются постоянными, но их модули сближаются. Иными словами, значения элементов матриц Адама-ра — Мерсенна стремятся к {1, -1}, т. е. в пределе они точно такие же, как и матрицы Адамара.

Пример 1. Одна итерация модифицированного алгоритма Сильвестра дает

а —Ь

М3 =

—Ь а

а

а

а

а

—Ь

а —Ь а а —Ь а

—Ь а а —Ь а а

а а —Ь а а —Ь

а —Ь а —Ь а —Ь

—Ь а а а —Ь —Ь

а а —Ь —Ь —Ь а

86 =

Уровни матрицы Адамара — Мерсенна M7: а = 1, Ь = Р_—''Р4Р @ 0.5858 при р = 8. Среди собствен-

р — 4

■ Примеры матриц Адамара — Мерсенна M15, M6з (белое поле — элемент матрицы со значением а = 1, черное поле — элемент со значением -Ь)

ных чисел {-1, -2.2426, -2.2426, 2.2426, 2.2426, 2.2426} выберем X = -1, отвечающее уровню а = 1 этой матрицы. Соответствующий собственный вектор є = (-Ь, -Ь, -Ь, а, а, а) = (-0.5858, -0.5858, -0.5858, 1, 1, 1). Добавляя кайму, получаем

М7 =

a -b -b -b a a a

-b a -b a a -b a

-b -b a a -b a a

-b a a -b a a -b

a a -b a -b a -b

a -b a a a -b -b

a a a -b -b -b a

Портреты матриц более высоких порядков представлены на рисунке.

Пример 2. Симметричная матрица Адамара восьмого порядка

A =

Среди собственных чисел {-1, -2.8284, -2.8284, -2.8284, 2.8284, 2.8284, 2.8284} матрицы седьмого порядка, полученной отбрасыванием первой строки и первого столбца, выберем X = -1, отвечающее уровню а = 1 этой матрицы. Соответствующий собственный вектор имеет вид e = (1, 1, 1, 1,

1, 1, 1).

Пример 3. Симметричная матрица Белевича [5] шестого порядка имеет вид

1 1 1 1 1

0 1 1 і 1 1 і

1 0 1 1 і 1 і

1 і 1 0 1 і 1

1 і 1 і 1 0 1

1 1 і 1 і 1 0

C =

Среди собственных чисел {0, -2.2361, -2.2361, 2.2361, 2.2361} матрицы пятого порядка, полученной отбрасыванием первой строки и первого столбца, выберем X = 0, отвечающее нулевому диагональному элементу этой матрицы. Соответствующий собственный вектор имеет вид e = (1, 1, 1, 1, 1).

Заключение

В процессе поиска матриц нечетных порядков, близких к матрицам Адамара, удалось выделить класс двухуровневых матриц, названных матрицами Адамара — Мерсенна. Размер этих матриц равен числам Мерсенна 24 ^ 1, а их элементы с ростом значений целочисленного аргумента й стремятся к значениям {1, -1}, как и у матриц Адамара. В области четных порядков пропуски среди матриц Белевича [5] также восполняются М-матрицами с большим количеством уровней [3]. Практическое применение М-матриц целесообразно в задачах повышения степени помехоустойчивости и защищенности при передаче информации.

Литература

1. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. М-матрицы // Ин-формационно-управляющие системы. 2011. № 1. С. 14-21.

2. Балонин Н. А., Мироновский Л. А. Матрицы Адамара нечетного порядка // Информационно-управ-ляющие системы. 2006. № 3. C. 46-50.

3. Балонин Ю. Н., Сергеев М. Б. М-матрица 22-го порядка // Информационно-управляющие системы. 2011. № 5. С. 87-90.

4. Шинтяков Д. В. Алгоритм поиска матриц Адамара нечетного порядка // Сб. докл. Девятой научной сессии ГУАП: Ч. II. Технич. науки / ГУАП. СПб., 2006. C. 207-211.

5. Belevitch V. Theorem of 2n-terminal networks with application to conference telephony // Electr. Commun. 1950. Vol. 26. P. 231-244.