Вычисление логарифмов с произвольным основанием Текст научной статьи по специальности «Математика»

Computation of logarithms with any base

1 2 3

Skachkov V. , Presnjakov N. , Glebov V. (Russian Federation) Вычисление логарифмов с произвольным основанием Скачков В. К. , Пресняков Н. А. , Глебов В. В. (Российская Федерация)

1Скачков Владимир Константинович /Skachkov Vladimir - студент;

2Пресняков Никита Андреевич /Presnjakov Nikita - студент,

специальность 23.02.06 Техническая эксплуатация подвижного состава железных дорог;

3Глебов Владимир Владимирович / Glebov Vladimir - преподаватель математики, Колледж железнодорожного транспорта,

Уральский государственный университет путей сообщения, г. Екатеринбург

Аннотация: в статье рассматривается способ нахождения логарифмов без применения вычислительной техники. Вычисление осуществляется в двоичной форме счисления. Abstract: the article considers the method for finding logarithms without the use of computer technology. The calculation is performed in binary notation.

Ключевые слова: логарифм, двоичная система счисления, десятичная система счисления, характеристика, мантисса.

Keywords: logarithm, binary system, decimal system, characteristic, mantissa.

Каждый старшеклассник может вычислить любой логарифм с помощью калькулятора, но даже не каждому преподавателю математики под силу найти значение произвольного логарифма на листе бумаги.

150 лет назад профессор Саррюс из Страсбурга предложил очень простой способ вычисления десятичных логарифмов. Используя формулу перехода к новому основанию, любой логарифм можно представить через десятичные логарифмы, а следовательно, этот метод подойдет для вычисления любых логарифмов [1].

Вычисления способом Саррюса производятся в двоичной системе счисления, поэтому сначала обратимся к привычной десятичной системе и посмотрим, как перейти к двоичной.

В общепринятой десятичной системе счисления каждое число рассматривается как сумма различных степеней числа 10, являющегося основанием десятичной системы. Например:

21,25 = 2 ■ 101 + 1 ■ 10° + 2 ■ КГ1 + 5 ■ 1(Г2

При такой записи числа выписываются только коэффициенты при различных степенях десятки. Поскольку все эти коэффициенты не превосходят десяти, то для их записи достаточно всего одной из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Место, занимаемое цифрой в записи числа, отмечается показателем степени десятки, коэффициентом при которой стоит рассматриваемая цифра. Отсчет порядковых мест в числе ведется с 0 и начинается от запятой. Первая цифра слева от запятой соответствует нулевой степени числа 10 (разряд единиц), вторая цифра перед запятой - первой степени числа 10 (разряд десятков), первая цифра после запятой соответствует минус первой степени числа 10 (разряд десятых) и т.д.

В двоичной системе счисления основанием служит число 2, и все числа в этой системе рассматриваются как суммы различных степеней двойки. Например, число запишется следующим образом:

21,25 = 1 ■ 24 + 0 ■ 23 + 1 ■ 22 + 0 ■ 21 + 1 ■ 2° + 0 ■ 2”1 + 1 ■ 2“2

Для того чтобы представить число в двоичной системе счисления, нужно последовательно записать коэффициенты при различных степенях числа 2, запятую нужно будет поставить после коэффициента, соответствующего двойке в нулевой степени. Значит, 21,25 в двоичной системе счисления: 10101,01. Коэффициенты при различных степенях двойки могут принимать всего два значения: 1 или 0. Поэтому для

17

записи числа в двоичной системе нужны только две эти цифры. Для того чтобы умножить число в двоичной системе счисления на 2, нужно передвинуть запятую на один знак вправо. Это действие лежит в основе метода Саррюса. [2]

Пусть 1 0х = А, тогда х = IgA, где 1 gA - десятичный логарифм числа A. Нужно найти х при заданном А. Характеристика логарифма (т.е. его целая часть) находятся легко. Пусть она равна р, тогда разделим обе части начального уравнения на 1 0р: 1 0х _р = А: 1 0р, теперь обозначим (х-р) за у, а А: 1 0р за В, тогда уравнение примет вид: 1 0у = В, при этом характеристика числа у равна 0. Теперь нужно найти мантиссу числа (дробной частью логарифма числа).

Предположим, что число у представлено в двоичной системе:

у = 0 , ЬД 2t 3t4 . . . , где t 4t 2 t 3t4 . . . - последовательные цифры одного числа (т.е. единицы и нули): 1 0 0Л lt2 t3 t4 ... = В,

Далее возводим получившееся уравнение в квадрат. Для этого в левой части уравнения нужно увеличить вдвое показатель степени (при возведении степени в степень показатели перемножаются), т.е. передвинуть запятую на одну цифру вправо. Имеем: 1 0tit2t3 t4 ... = в 2, t4 - характеристика логарифма числа В 2 равна 1, если В 2 > 0, и равна 0, если Теперь, найдя цифру , разделим последнее равенство на и получим:

1 0 0,t2 C3t4 ... = В2:10t 1 =В!■ По аналогии находим следующую цифру - t2. Таким нехитрым способом можно найти произвольное количество цифр логарифма, записанного в двоичной системе счисления.

Литература

1. Алимов ША. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10—11 классы. — М., Просвещение, 2013. 97 с.

2. Шапошникова С. В. Планета информатики. [Электронный ресурс]: Учебник по

информатике. Режим доступа: www.inf1.info/binarynotation (дата обращения:

18.01.2016).

New theory of relativity and superunification Gibadullin A. (Russian Federation)

Новая теория относительности и суперобъединение Г ибадуллин А. А. (Российская Федерация)

Гибадуллин Артур Амирзянович / Gibadullin Artur - студент, кафедра физико-математического образования, факультет информационных технологий и математики,

Нижневартовский государственный университет, г. Нижневартовск

Аннотация: в статье рассматривается «новая теория относительности» - новый подход к геометрии Вселенной, представляющий ее в виде временных пространств, объединяющих воедино пространство, время, материю и взаимодействия.

Abstract: the article considers «new theory of relativity» - a new approach to geometry of the Universe, representing it in the form of temporary spaces that bring together space, time, matter and interactions.

Ключевые слова: новая теория относительности, суперобъединение, квантовая гравитация, временное пространство.

Keywords: new theory of relativity, superunification, quantum gravity, temporal space.

Временные пространства, состоящие из времен, подходят для описания реального мира и физических процессов в нем [2] [3]. Они гораздо успешнее всех остальных

18