Вычисление квантовых факториалов и к ним обратных Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Челябинский физико-математический журнал. 2016. Т. 1, вып. 1. С. 6-15. УДК 511.6

ВЫЧИСЛЕНИЕ КВАНТОВЫХ ФАКТОРИАЛОВ И К НИМ ОБРАТНЫХ

Р. Ж. Алеев1'2'", И. Р. Мухамадеева16

1 Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия 2Южно-Уральский государственный университет (национальный иселедовательский университет), Челябинск, Россия "[email protected]; ь[email protected]

В работе представлен метод вычисления квантовых факториалов, лежащих в основе инвариантов Тураева — Виро. В качестве следствия получается алгебраическая целостность этих инвариантов для простых чисел.

Ключевые слова: инварианты Тураева — Виро, квантовые факториалы, целые алгебраические числа.

Введение

Согласно [1], в основе инвариантов Тураева — Виро лежат так называемые квантовые факториалы, которые строятся с помощью комплексных корней из 1. Задачи, связанные с корнями из 1, несмотря на кажущуюся простоту, привлекали внимание многих математиков, укажем, к примеру, Милнора [2] и Басса [3]. Поэтому изучение квантовых факториалов само по себе имеет определённый интерес. Также вполне возможно, что оно сможет помочь в задачах, связанных с вычислением инвариантов Тураева — Виро.

В книге Тураева [4, р. уп] отмечается, что доказана целостность инвариантов (инварианты — целые алгебраические числа). Здесь мы получаем целостность квантовых инвариантов и обратных к ним для простых чисел. Это, конечно, более слабый результат. Однако стоит отметить, что наши рассуждения вполне элементарны, и получены формулы, удобные для вычислений. Поэтому результаты данной работы, несомненно, имеют определённое значение.

Авторы выражают благодарность С. В. Матвееву и В. Г. Тураеву за интерес, проявленный к этой работе.

1. Предварительные сведения

Для симметрических многочленов от х и у положим а = а1 = х + у, т = а2 = ху. Также для любого натурального п пусть вп = хп + уп.

Предложение 1. Пусть р — целая часть к/2 (наибольшее целое число, не превосходящее к/2). Тогда

р

_к | \ л ( л\т (| <т— 1 Л к—2т_т 8к = а + [Ск-ш + Ск-т-1) а Т .

т= 1

Более точно, имеем для чётного к = 2] и нечётного к = 2] + 1 соответственно: ^ = о27 + Е(—1)7-п (С+П + С?--1) о2пт7-п,

п=0

«27+1 = о27-1 Е(—1)7-п (С^-П+п + С^-П-1) о2п-1т7-п

п=0

Доказательство. По формуле Варинга [5, с. 18] имеем

К ^ (—1)т(к - т - 1)!_к_

= V (-1)т ' ак-2тТ

к ^ т!(к — 2т)!

т=0 4 '

Перепишем формулу Варинга следующим образом. Умножим обе её части на к, затем дроби в сумме умножим и разделим на к — т и получим

«к = ^ + к V (—1)т(к — т — 1)! О^т = + к V (—1)т(к — т)! ак-2тгт =

т!(к — 2т)! ' (к — т)т!(к — 2т)!

т=1 4 ' т=1 4 ' 4 '

Р ( _1)т

„-к I 7„ \ Л ( 1) к-2ш^ш

= О + О Т .

к-т

т=1

Здесь т! (к-тг^г)! = Сш-т — биномиальный коэффициент. Далее

к т (к — т) + т (к — т)! / т \ (к — т)! ■ = ; ■ т ;; гг = 1 +

к — т к т к — т т!(к — 2т)! \ к — ^ т!(к — 2т)!

(к — т)! + (к — т — 1)! = + 1 т!(к — 2т)! + (т — 1)!(к — 2т)! к-т + к-т-г

Для чётного к = 2^'

„.27 | \ Л { л\ш I| 1 А _27 —2т,^т

«27 = О" 7 + 2^(— 1) 1С27-т + С27-тО 7 Т

ш=1

Положим п = ^ — т и получим

«27 = О27 + Е(—1)7-п (С7- + С+п--:1) о2пт7-п.

п=0

Для нечётного к = 2^' + 1 доказательство проводится аналогично. □

Положим для натурального к

к к ¿2к+1 = «2к+1 +-----+ «з + О = Е «27+1, ¿2к = «2к +-----+ «2 + 1 = Е «2г + 1.

7=0 г=1

Лемма 1. 1) Для любого нечётного 2к + 1 ^ 1

к к-1 к-п

¿2к+1 = Е О27-1 + Е О2п-1 Е(—1)1 (С1+1+2п + Сйп) Т1.

7=0 п=0 г=1

2) Для любого чётного 2к ^ 2

к к-1 к-п

Ьк = £ а22 + £ а2п £(-1) (С+2п + С-и) т1.

2=0 п=0 1=1

Доказательство. Рассмотрим нечётное 2к + 1 ^ 1. По предложению 1, для любого натурального ]

822+1 = а22+ + £(-1)2-п (С2-п+п + С2—1) а2п+1т2-п.

п=0

Поэтому

^2к+1 = £ 822+1 = £(а22+1 + £(-1)2-п (СС+п+п + С2--1) а2п+1т2-п) = 2=0 2=0 п=0

= £ а22-1 + £ £(-1)2-п 2+п + С--1) а2п+1т2-п.

=0 =1 п=0

Далее

£ £(-1)2-п 2+п + С—1) а2п+1т2~п =

2 = 1 п=0

= £ а2п+1 £ (-1)2-п 2+п + С—1) т2-п =

п=0 =п+1

к-1 к-п

= £ а2п+1 £(-1)1 (С+1+2п + С+1) т1.

п=0 1=1

Чётный случай 2к ^ 2 рассматривается аналогично. □

Теперь вместо степенных сумм из Z[x, у] будем рассматривать их образы в кольце многочленов Лорана Z[x,x-1] над Z (замена у на х-1). В данном случае т =1.

Предложение 2. 1) Для любого нечётного 2к + 1 ^ 1

t2k+l = £ 822+1 = а2к+1 + £(-1)к-пС^п+п1+1а2п+1. 2=0 п=0

2) Для любого чётного 2к ^ 2

к к-1 12к = £ 82г + 1 = а2к + £(-1)к-пСЦпа2п.

г=1 п=0

Доказательство. Докажем только второе утверждение, первое доказывается аналогично. Так как в нашем случае т = 1, то для любого чётного 2к ^ 2 по лемме 1

к к-1 к-п

Ьк = £ а22 + £ а2п £(-1) (С<+2п + С1--1+2п) .

2=0 п=0 1=1

Обозначим

кп

Е(—1)1 (С1+2п + С1-1+2п)

1=1

Для п = 0 имеем

к ( ) к ( 1) к+1 + 1 «0 = Е(—1)1 (С + С-1) = 2 Е(—1)1 = 2( 1)_2+1 = —(—1)к-1 — 1 = (—1)к — 1,

=1 =1 -2

что и требуется. Далее считаем, что п > 0. Пусть к - п чётно. В этом случае

к — п

к-п _2

_ (С . + С-1 ) = \"(С2Р + с2р-1 . - с2р-1 . -

(С + С1-1 ^ = + С2р-1 _ С2р-1 _ С1 -1 )

/ у( 1) 1+2п + -1+2п^ = ^__,(С2р+2п + С2р-1+2п С2р-1+2п С2р-2+2п) 1=1 р=1

к —п 2

_ ^ 2р-2 у2р+2п С2р-2+2п

Р=1

V4 (С 2р _ С2

/ у \С2р+2п С2

Получается знакочередующаяся сумма, все средние члены сократятся, и останутся только крайние. Поэтому

гк—

У2к—п +2п С2п Ск-п+2п 1 Ск+п

г\ к — п

_ гу2 2 _ /"<0 _ п _ 1 _ ,^2п _ 1

Пусть к — п нечётно. Теперь

к-п к-1-п

«п = Е(—1)1 (С1+2п + Сг-1+2п) = — С_+пп — С_-1+п" + Е (—1)1 (С+2п + С1-1+2п) . =1 =1

Так как к — 1 — п чётно, то, продолжая знак равенства, получим

_С к-п _ с к-1-п + с 2п _ 1 _ _С 2п _ С 2п + С 2п _ 1 _ _С 2п _ 1

Ск+п Ск-1+п + Ск-1+п 1 = Ск+п Ск-1+п + Ск-1+п 1 = Ск+п 1.

Таким образом,

к к-1 к-1 ¿2к = Е О27 + Е(( — 1)к-п(Ск2+п+1 — 1)о2п = О2к + Е(( — 1)к-п(Ск2+п — 1 + 1)

7=0 п=0 п=0

к-1

2к к п 2п 2п

= О + — 1) Ск+пО ,

п=0

что и требовалось доказать. □

2. Квантовые факториалы

Пусть г и п — натуральные числа, д — корень из 1 степени 2г с условием, что

д2 — первообразный корень степени г. Тогда квантовый факториал

г = _ д2 — д-2 дп — д-п

[п]! = 1 ■ ... .

д — д 1 д — д 1

а

п

Теорема 1. Любой квантовый факториал является значением на д + д-1 подходящего многочлена с целыми коэффициентами и потому является целым алгебраическим числом.

Доказательство. Произвольный множитель квантового факториала

д' — д

д-д

1

дП-1 + дП-3 +

+ д

-(п-1)

является симметрическим многочленом от {д,д-1}. Поэтому [п]! = f (д,д-1) для подходящего симметрического многочлена f Е Z[x,y]. По основной теореме о симметрических многочленах существует такой многочлен д с целыми коэффициентами, что f = д(д + д-1, дд-1) = д(д + д-1,1). Поэтому получаем многочлен с целыми коэффициентами от д + д-1. □

В дальнейшем, без особых замечаний, будем считать г простым нечётным числом. Более точно, если хотим указать зависимость от д, то пишем [п]! = [п(д)]!.

Лемма 2. Пусть г — простое число, д — корень из 1 степени 2г и д2 — примитивный корень из 1 степени г. Тогда выполняется одно из следующих двух утверждений:

1) д — примитивный корень степени 2г;

2) д — непримитивный корень степени 2г, —д является примитивным корнем степени 2г.

Доказательство. Очевидно, что VI = (—1) х {д2). Так как г — простое нечётное число, то все числа д2,... ,д2(г-1 будут примитивными корнями степени г, а все корни из 1 степени 2г будут иметь вид ±1, ±д2,... , ±д2(г-1\ Отсюда следует, что числа —д2,..., —д2(г-1 являются примитивными корнями из 1 степени 2г.

Поэтому либо д Е {д2,... , д2(г-1)}, и тогда д — непримитивный корень степени 2г, а — д есть примитивный корень степени 2г, либо д Е {—д2,... , —д2(г-1">} и д — примитивный корень степени 2г. □

Укажем связь квантовых факториалов для д и —д.

Лемма 3. Имеет место равенство [п(—д)]! = (—1)р[п(д)]!, где р п/2.

целая часть

Доказательство. Для любого п

(—д)п — (—д)-п_ (—1)п(дп — д-п) (—д) — (—д)-1 = (—1)(д — д-1)

(—1)

п1

дп — д-

д—д

1

пп-п-п

- д_д-1 при чётном п; при нечётном п.

Поэтому

[(2п +1)(—,)]!=!. (—1) ...(_!)д2п

д2п д2п+1 _ д-2п-1

д—д

д—д

д—д

1

д—д

1

= (—1)п[(2п + 1)(д)]!. Аналогично [(2п)(—д)]! = (—1)п[(2п)(д)]!.

□

Поэтому для определённости можем всегда считать, что д — непримитивный корень степени 2г, в частности дг = 1. Таким образом, будем придерживаться следующих соглашений:

1) г — простое нечётное число.

2) д =1 — корень из единицы степени г.

Рассмотрим степенные суммы а = = д + д-1, 32 = д2 + д-2,... Лемма 4. 1) Для любого к ^ 2 справедливо равенство

дк д к дк 2 дд к +2

-- = +--:-.

д — д-1 д — д-1

2) Для любого чётного 2к ^ 2 имеем

д2к д 2к

-— = 32к-1 +-----+ 33 + а = ¿2к-1.

д — д-1

3) Для любого нечётного 2к + 1 ^ 3

д2к+1 — д-2к-1

-;- = +-----+ 32 + 1 = .

д — д-1

Доказательство. Первое утверждение проверяется непосредственно, а остальные следуют из него по индукции. □

Предложение 3. Пусть f (х,у) € 2[х,у] — произвольный симметрический многочлен с целыми коэффициентами от х и у. Тогда существует такой многочлен

г3

д € с целыми коэффициентами степени не выше —-—, что f (д,д-1) = д(а).

Доказательство. По основной теореме о симметрических многочленах существует такой многочлен к с целыми коэффициентами, что f (х,у) = к(х + у,ху). Отсюда

-1\ _ 7/ , -1____-1

f(д,д ) = к(д + д = а,дд = 1) = д(а)

и всё доказано, кроме утверждения о степени. Заметим, что

г—1 г —1

2 2 Г-1

1д

^Е * = 1^(дг + д-г) = Е дг = т-д = о.

г=1 г=1 г=0 У

г—1

Поэтому з г—1 выражается через 1, 31 , . . . ,3 г— з. А теперь по предложению 1 а 2 вы-

2 1 г-з 2 ..

ражается через 1, а,... , а 2 , и доказательство завершается стандартным приёмом понижения степени. □

Приведём некоторые полезные сведения из [6]. Пусть Z[q] = ^(д) | f € 2[х]} — множество значений на д всех многочленов с целыми коэффициентами. Одной из основных конструкций на Z[д] является норма N, которая может быть определена как

г-1

г

N а (д)) = П f (дг).

г=1

Если / (д) € Ъ[д], то N(/(д)) € Ъ. Хорошо известно, что норма сохраняет операцию умножения (мультипликативность нормы) и элемент из Ъ[д] имеет обратный в Ъ[д] тогда и только тогда, когда его норма равна ±1.

Лемма 5. Для любого п € {1,..., г — 1} выполняется равенство N(дп — д-п) = г. Доказательство. В силу мультипликативности нормы

N(дп — д-п) = N ((- 1)(д-п)(1 — д2га)) = N(—1) ■ N(д-п) ■ N(1 — д2п).

Найдём нормы каждого из сомножителей.

1) Ясно, что N(—1) = (—1)г-1 = 1, так как г нечётно.

2) Так как —п и г взаимно просты, то {—п, 2(—п),... , (г—1)(—п)} — приведённая система вычетов по модулю г согласно [7]. Поэтому

г-1

г (г— 1)

Пг ( г— 1) г— 1

дг = д-V2 = (дг) — = 1.

г=1

3) Так как —2п и г взаимно просты, то {—2п, 2(—2п),..., (г — 1)(—2п)} — также приведённая система вычетов по модулю г и

г-1

N (1 — д2га) = П(1 — дг).

г=1

В силу [6] <^(ж) = жг 1 + жг 2 + ••• + ж + 1 = ПГ-(х — дг). Отсюда

г-1

N(1 — д2п) = Д(1 — дг) = р(1) = г.

г=1

□

Лемма 6. Имеют место равенства

г-2

(д — д-1)-1 = — £(г — 1 —

г=0

2 /г-2 4 2

((д — д-1)2)-1 = (а2 — 4)-1 = ^ £(г — 1 — ^

\г=0

Доказательство. Пусть а € {д,..., дг 1}. Тогда по теореме Безу х — а делит жг 1 + ■ ■ ■ + ж + 1. По схеме Горнера частное равно

жг-2 + (1 + а)жг-3 + ■■■ + (1 + а + ■■■ + аг)жг-2-г+

----+(1 + а +-----+ аг-3)ж + (1 + а +-----+ аг-2).

При х = 1 получаем

г-2 г-2 г г-2

г = (1 — а) ^(1 + ■ ■ ■ + аг) = (1 — а) ^ Е а' = — 1 — г)а'.

г=0 г=0 '=0 г=0

Для а = д2 имеем

г-2 г-2

г = (1 — д2) Е(г — 1 — г)д2г = (—д-1)(1 — д2)(—д) — 1 — г)д2г

г=0 г=0

г-2

(д — д-1)(—д)$> — 1 — г)д2г.

Отсюда

г=о

г-2

(д — д-1)-1 = — — 1 — г)д2г

г г=о

д2 (г-2

((д — д-1)2)-1 = (а2 — 4)-1 = % £(г — 1 — Од'

,г=о

□

Теорема 2. Для любого п е {1, . . . , г — 1} квантовый факториал [п]! является значением на а = д + д-1 подходящего многочлена с целыми коэффициентами г_з

степени не выше —-— и [п]! = Пп=2^г-1, где

2

к к-1

для г = 2к + 2 12к+1 = £ 82з+1 = а2к+1 + £(—^СЦ+^а2

]=0 п=0

к-1

к-п^12п а2п к+па

г=1 п=0

для г = 2к + 1 12к = £ 32г + 1 = а2к + £(— 1)к-пС^а2п.

Доказательство. Утверждение следует из теоремы 1, предложения 3 и леммы 1.

□

Теорема 3. 1) Для любого п ^ г [п]! = 0.

2) Для любого п е{1,...,г — 1} квантовый факториал [п]! — обратимое целое алгебраическое число. Поэтому обратное к квантовому факториалу будет целым алгебраическим числом и, более того, является значением на а = д + д-1 подходя-

г_з

щего многочлена с целыми коэффициентами степени не выше —-—.

г

3) [г — 1]! =-—"-т.

(а2 — 4) V

г

4) Для любого п е {1,... ,г — 1} (—1)п[п]![(г — 1) — п]! =-г-т.

(а2 — 4) "2"

1 (а2 — 4)

5) Для любого п е{1,...,г — 1} ([п]!)-1 = (-)--(—1)п[(г — 1) — п]!.

г

Доказательство. 1. При п ^ г квантовый факториал содержит множитель

дг — д-г = 1 — 1 =0

1 1 о.

д — д 1 д — д 1

2. По лемме 5 норма каждого сомножителя квантового факториала равна

N 'д^—д-Л = N(дг — д-г) = г = 1 д — д-1) N (д — д-1) г '

В силу мультипликативности нормы квантовый факториал [п]! — обратимое целое алгебраическое число. Поэтому обратное к квантовому факториалу будет целым алгебраическим числом и, более того, благодаря предложению 3 является значением на а = д + д-1 подходящего многочлена с целыми коэффициентами степени не

г — 3

выше ---.

3. В самом деле, по лемме 5

q* - q-i ¿1 У ' N(q - q-1)

r-1 qi _ q-i П (q* - q-i)

[r - 1]! = ^ q q i=1

= q - q-1 (q - q-1)r-1 (q - q-1)r-1 (a2 - 4) 2

r— 1

так как (д — д-1)2 = д2 + д-2 — 2 = (д + д-1)2 — 4 = а2 — 4.

4. Так как для любого натурального г (дг — д-г) + (дг-г — д-г+г) = 0, то для любого п € {1,...,г — 1}

=[r -1]!="п" 7-Я • Пqi- q-i

(a2- 4)—1 q - q-1 . q - q

v / г=1 г=г-"

r-1

= [(r - 1) - n]! П (-1)

r 1 r-i _ q-

q - q-1

Положим j = r - i и, продолжая равенство, получим

[(r - 1) - n]! П(-1)j-= (-1)"[n]![(r - 1) - n]!. j=1

5. Сразу следует из утверждения 4 данной теоремы. □

r_1

Замечание. По лемме 6 можно найти значение выражения r(a2 - 4)-Список литературы

1. Матвеев, С. В. Алгоритмическая топология и классификация трёхмерных многообразий / С. В. Матвеев. - М. : МЦНМО, 2007. - 456 с.

2. Milnor, J. Whitehead torsion / J. Milnor // Bull. Amer. Math. Soc. — 1966. — Vol. 72. — P. 358-426.

3. Bass, H. The Dirichlet unit theorem, induced characters and Whitehead groups of finite groups / H. Bass // Topology. — 1998. — Vol. 4, no. 4. — P. 391-410.

4. Turaev, V. G. Quantum invariants of knots and 3-manifolds / V. G. Turaev. — 2nd revised ed. — Berlin : Walter de Gruyter, 2010. — 591 p.

5. Болтянский, В. Г. Симметрия в алгебре / В. Г. Болтянский, Н. Я. Виленкин. — М. : Наука, 1967. — 284 c.

6. Айерлэнд, К. Классическое введение в современную теорию чисел / К. Айерлэнд, М. Роузен. — М. : Мир, 1987. — 418 c.

7. Виноградов, И. М. Основы теории чисел / И. М. Виноградов. — М.-Л.. : Гостехиздат, 1952. — 180 c.

r

r

i=r — "

Поступила в редакцию 11.10.2014 После переработки 01.02.2016

Сведения об авторах

Алеев Рифхат Ж^алялович, доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры компьютерной топологии и алгебры, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; профессор кафедры системного программирования, ЮжноУральский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected]. Мухамадеева Ирина Равилевна, студентка математического факультета, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2016. Vol. 1, iss. 1. P. 6-15.

COMPUTATION OF QUANTUM FACTORIALS AND THEIR INVERSES R. Zh. Aleev1'2'", I. R. Mukhamadeeva1b

1 Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia

2South Ural State University (National Research University), Chelyabinsk, Russia "[email protected]; [email protected]

In this paper we present a method for the computation of quantum factorials those are the base of Turaev — Viro invariants. As a corollary, we obtain the integrality of the invariants for the primes.

Keywords: Turaev — Viro invariants, quantum factorials, algebraic integers.

References

1. Matveev S.V. Algoritmicheskaya topologiya i klassifikatsiya tryokhmernykh mnogoobraziy [Algorithmic topology and classification of three-dimensional manyfolds]. Moscow, MTNMO Publ., 2007. 456 p. (In Russ.).

2. Milnor J. Whitehead torsion. Bulletin of American Mathematical Society, 1966, vol. 72, pp. 358-426.

3. Bass H. The Dirichlet unit theorem, induced characters and Whitehead groups of finite groups. Topology, 1998, vol. 4, no. 4, pp. 391-410.

4. Turaev V.G. Quantum invariants of knots and 3-manifolds. 2nd revised ed. Berlin, Walter de Gruyter, 2010. 591 p.

5. Boltyanskiy V.G., Vilenkin N.Ya. Simmetriya v algebre [Symmetry in algebra]. Moscow, Nauka Publ., 1967. 284 p. (In Russ.).

6. Ireland K., Rosen M. A Classical Introduction to Modern Number Theory. New York, Springer Science+Business Media, 1982. 389 p.

7. Vinogradov I.M. Osnovy teorii chisel [Fundamentals of the number theory]. Moscow — Leningrad, Gostekhizdat Publ., 1952. 180 p. (In Russ.).

Article received 11.10.2014 Corrections received 01.02.2016