Вычисление коэффициентов линейного наилучшего метода восстановления ограниченных аналитических функций в круге Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.547.3

М.П. Овчинцев, Е.М. Гусакова

ФГБОУ ВПО «МГСУ»

ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЛИНЕЙНОГО НАИЛУЧШЕГО МЕТОДА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ОГРАНИЧЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ

Рассмотрена задача оптимального восстановления ограниченных аналитических функций, заданных в единичном круге. А именно, найдены значения этих функций в точке по информации об их значениях в конечном числе заданных точек. Напоминаются основные понятия и определения, а также некоторые теоремы из работы К.Ю. Осипенко. Разобран частный случай, когда заданные точки совпадают с вершинами правильного п-угольника, а сама точка — с его центром. Выписаны коэффициенты линейного наилучшего метода. В заключении выражение для вычисления этих коэффициентов существенно упрощается.

Ключевые слова: оптимальное восстановление, погрешность наилучшего метода, линейный наилучший метод, экстремальная функция, аналитическая функция.

Обозначим через К = {х: < 1} единичный круг, а В1(К) =

= {I (2) : |I (2)| < 1,2 е к} — множество аналитических в К функций. Пусть

г0,21,..., 2п — различные заданные точки, лежащие в К. Рассмотрим следующую задачу оптимального восстановления функций из множества В1 (К).

Пусть Ь(I) = I(),11 (/) = /(21 ),..., 1П (/) = /(2п)(/(2) е В1 (К)) — линейные функционалы, а £(11,...,tn) — любая комплексная функция. Погрешностью приближения методом £ называется

Г (£) = вир | I (Го )-£ (I (21),...,/(2Я )|.

I (2 )еВ*( К)

Согласно работе К.Ю. Осипенко [1—15], существует линейный наилучший метод приближения

п

£о =TfkI ( 2к )

к=1

(ск — комплексные числа, к = 1, ..., п), такой, что

Гп ( £ о )= Ш/ Гп ( £ ) , причем

Г (^ Г1,., 2п) = Гп (£0 )= вир |у (го (1)

I (2 )евЧ К)

а линейный наилучший метод — единственный. В этой работе мы получим простые формулы для нахождения коэффициентов линейного наилучшего ме-

Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве УЕБТЫНС

_мвви

тода приближения в частном случае, когда г0 = 0, а точки ,г2, ..., гп совпадают с вершинами правильного «-угольника, с центром в точке г0. Обозначим

в (-- )=П f

k=1 1

(2)

- zkz

конечное произведение Бляшке,

A = {f (z) : f (z)eB> (K), f (Zf) = ... = f (zn) = 0}.

Нетрудно убедиться в том, что если f (z) G A, то

f ( z ) = B ( z ) g ( z ),

где g(z) g B1 (K) . Отсюда (см. (1))

r(zo.zi> •••> zn) = B(zo)| suP |g(zo)| = \B(zo)|. (3)

g (z )GBf( K)'

Лемма. Пусть z0, zf, •.., zn — различные точки, лежащие в K, и функция ю = F (z) отображает конформно единичный круг K на единичный круг D :

D = {ю :|ю| < 1},

и пусть

Юо = F(z0), ю = F), ..., ю„ = F(z„).

Тогда r (z0,zi, ..., Zn) = r (ю^ ..., юn). (4)

Кроме того, если

n

Yfkf (zk)

k=1

является линейным наилучшим методом приближения в круге K, то

fck ф ((dt )(ф (ш )e b1 (D))

k=1

является линейным наилучшим методом приближения в круге D.

Доказательство. Пусть /* (г) — экстремальная функция задачи (1) и ф (ю) — экстремальная функция задачи

•(„.Ш!, ...,Ю п )= 8ир |ф(т0)|

ф((0! )=.. "ф( «>„)=0

ф(т)еВ1(0 )

(согласно [1] эти функции существуют).

Рассмотрим функцию g(ю) = /*(ф(ю)).Тогда g(ш) еБ1 (Б) и 8(ю1) = ...

••• = 8 (ю» ) = 0. Так как I«" (юс )|=|/* (20 )) то г (ю^ ®п)

>г(0,21, •.., 1п). Аналогично доказывается, что г(ю0,ю1, ..., юп) < г (0, г1, ..., 1п). Отсюда и получается равенство (4).

п

Пусть теперь ^ckI (2к ) — линейный наилучший метод приближения в

к=1

круге К. Тогда

п

I ( 2о )-TfkI ( 2к )

к=1

Если ф(ю) е В1 (Б), то ф((г))е Б1 (К), и для нее

< Г (2о, 2„ ..., 2п )(у/ (2) е В1 (К)).

Ф К Ф К )

к=1

< Г (Юо,Ю1, ..., ю„).

Отсюда и вытекает, что ^ск ф (юк ) — линейный наилучший метод приближе-

к=1

ния в единичном круге В. Лемма доказана.

Пусть теперь 2о = о и точки 2Х, 22, ..., 2п совпадают с вершинами правильного «-угольника с центром в точке 2о. Применяя поворот ю = в1вг (0 е Я) и пользуясь конформной инвариантностью задачи оптимального восстановления, мы можем считать, что

. 2п , ,2л.

= 0, = Я, 22 = Я^, . . ., = Яв" ^ ^ , (5)

где Я — заданное число; о < Я < 1.

Заметим сначала, что коэффициенты ск линейного наилучшего метода приближения в этом случае — одинаковые. Действительно, рассмотрим кон-

2п г—

формное отображение ю = е "г . Точка 2о = о переходит в ю0 = 0, а точки 21,22, ..., 2п повернутся и отобразятся сами на себя. Из леммы вытекает, что с1 = с2 = .. .= сп . Вычислим теперь коэффициенты ск. С этой целью рассмотрим следующий интеграл

где В (2) — конечное произведение Бляшке [10]. Оценим этот интеграл по модулю сверху:

¿1, щ;' (0 'I 1,1 ^ (2...... '.

Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве VESTNIK

_MGSU

После этого подсчитаем этот интеграл (применяя теорему о вычетах). Обозначим

ш (z f (z).

V ' B(z)z V '

Особыми точками будут z0 = 0, Zj, ..., zn — простые полюсы. Так как

res®( z) = lim z-Bj(0) f( z) = f (0), z=0 v z^0 B(z)z W

то

k=1

где ск — некоторое комплексное число (напомним, что они одинаковые; ск — -В ( 0 )

вычеты функции ——— в полюсах г1, ..., 2п). Получаем

В ( г ) г

f ( 0)-Tfkf ( z, )

k=1

<г(z0,Zi, ..., z„)(Vf (z)eB (K)).

Отсюда и вытекает, что метод ^ск/ (гк ) является линейным наилучшим

k=1

методом приближения. Вычислим коэффициенты ck:

Ck = resÄ lim(Z-Zk)-B<0^ ^^O

z=zk B(z)z B(z)Z y^n zk - Zj ( z )

j * k1 - zJzk

Так как коэффициенты ck одинаковы, то выпишем коэффициент C1:

В (0)(-я2)

я - г

П" (-я)

=21 - г Я '

Теорема. В случае, когда

= 0, Г! = Я, Z2 = Я^, ..., г„ = Яе« П~ 1 (0 < Я < 1), коэффициенты линейного наилучшего метода восстановления одинаковы и находятся по формуле

с^ =1 (1 - Я2п )(к = 1, 2, ..., п).

п4 7

Доказательство . Так как комплексные числа я я ..., zn являются корнями уравнения гп - Яп = 0, то гп - Яп =( г - г1)(г - г2)...(г - гп). Отсюда (-1)п г1 г2...гп = -Яп. Из (2) вытекает, что

В (0) = (- 1)^... гп =-Яп. (7)

4/2014

Обозначим

а = 1, а2 = в" , ..., ап = в

("-1)

Эти числа являются корнями уравнения гп -1 = 0. Значит гп -1 = = ( 2 -1)( г - а2)...( г - ап). Следовательно +... + г + 1 = ( г - а2)...

... (г - ап ) . Положим г = 1. Получим

(1 - а2 )(1 - аз ).(1 - ап )= П.

Поэтому (см. (6))

П(Я - г,) = Яп-1 П(1 -аз ) = Яп-1п. 1=2 1=2 Комплексные числа

Ъ1 = Я \ Ъ2 = Я2 е

2п

--i

/ 1 \2п .

0 - (п-1)—i

Ъп = Я е ) п

являются решениями уравнения

гп - я2п = 0.

Отсюда

гп - Я2п =( г - ¿1)( г - Ь2)...( г - Ьп),

гп - Я2п

г - Я2 Положим г = 1 . Имеем

= ( г - ¿2)...( г - Ьп).

1 - Я

2п

г

1 - Я2 е

2п \ Г

--г

1 - Я 2 Поэтому (см. (6))

v

2 -(п-1)—г 1 - Я е п

v ;

2п / ■ IV

--( }-1)г

П(1-^я)=П 1- я

1=2 1=2 v

И, наконец, получаем (см. (6—9))

(- Я"))- Я2)

1 - я2' 1 - я2

с = ,

1 Я"-1п(-Я)

- Я2"л

V ^ У Теорема доказана.

"

(1 - Я2").

(8)

(9)

Библиографический список

1. Осипенко К.Ю. Наилучшее приближение аналитических функций по информации об их значениях в конечном числе точек // Математические заметки. 1976. Т. 19. № 1. С. 29—40.

2. Осипенко К.Ю. Оптимальная интерполяция аналитических функций // Математические заметки. 1972. Т. 12. Вып. 4. С. 465—476.

3. Осипенко К.Ю. Наилучшие методы приближения аналитических функций, заданных с погрешностью // Математический сборник. 1982. Т. 118 (160). С. 350—370.

2 п

Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве УЕБТЫНС

_мвви

4. Осипенко К.Ю. Задача Хейнса и оптимальная экстраполяция аналитических функций, заданных с ошибкой // Математический сборник. 1985. Т. 126 (168). № 4. С. 566—575.

5. Осипенко К.Ю. О наилучших и оптимальных квадратурных формулах на классах ограниченных аналитических функций // Изв. АН СССР, сер. Матем. 1988. Т. 52. № 1. С. 79—99.

6. Бахвалов Н.С. Об оптимальности линейных методов приближения операторов на выпуклых классах функций // Вычислительная математика и математическая физика. 1971. № 4 (11). С. 1014—1018.

7. Тихомиров В.М., Иоффе А.Д. Теория экстремальных задач. М. : Наука, 1974. 479 с.

8. Тихомиров В.М., Алексеев В.Н., Фомин С.В. Оптимальное управление. М. : Наука, 1979. 429 с.

9. Micchelli C., Rivlin T. A survey of optimal recovery, Optimal estimation in approximation theory. N.Y. : Plenum press., 1977, рр. 1—54.

10. Micchelli C., Rivlin T. Lectures on optimal recovery // Lect. Notes. 1982. Vol. 9. Pp. 21—93.

11. Bojanob B.D. Best quadrature formula for a certain class of analytic functions // Zastos, Mat, VXIV, 1974, pр. 441—447.

12. Fisher S., Micchelli C. The n-width of analytic functions // Duke Math J. 1980. Vol. 47. 1980. Рр. 789—801.

13. Rogosinski W., Shapiro H. On certain extremum problems for analytic functions // Acta Math. 1953. Vol. 90. Рр. 287—318.

14. Singer Y. Best approximation in normed linear spaces by elements of linear subspaces. Berlin, Springer - Verlag, 1970, 462 p.

15. Осипенко К.Ю. О произведениях Бляшке, наименее уклоняющихся от нуля // Математические заметки. 1990. Т. 47. Вып. 5. С. 71—80.

Поступила в редакцию в январе 2014 г.

Об авторах: Овчинцев Михаил Петрович — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected];

Гусакова Екатерина Михайловна — инженер 2-й категории кафедры высшей математики, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected].

Для цитирования: Овчинцев М.П., Гусакова Е.М. Вычисление коэффициентов линейного наилучшего метода восстановления ограниченных аналитических функций в круге // Вестник МГСУ. 2014. № 4. С. 44—51.

M.P. Ovchintsev, E.M. Gusakova

COEFFICIENTS CALCULATION OF THE BEST LINEAR METHOD FOR RECOVERY OF BOUNDED ANALYTIC FUNCTIONS IN A CIRCLE

This paper considers the problem of optimal recovery of bounded analytic functions. Namely, the values of these functions are determined at the point from their values at n given points lying in the unit circle. At first, we recall the necessary basic concepts: error of approximation by some method (which is a complex function of n complex variables), the best approximation method. Some theorems from the works of K.U. Osipenko are discussed: on the existence of a best linear approximation method

and on calculating the error of best recovery method. After that we write out the formula for finding the error of best approximation method of bounded analytic functions in a unit circle. The lemma of conformal invariance of optimal recovery problem of these functions follows. We prove that under conformal mapping of the unit circle onto itself the error of the best approximation method before mapping coincides with the error of the best approximation method after mapping. It is also proved that a linear best method after conformal mapping coincides with the linear best restore method before this mapping (wherein the problem of optimal recovery after mapping is considered on the images of n given points lying in the original unit circle). Finally, we consider the problem of optimal recovery of bounded analytic functions in a circle in special case when the given points coincide with the vertices of a regular n-gon, and the point itself coincides with its center (which coincides with the origin). We prove that all the coefficients of the best linear method in this case are identical (wherein we apply the lemma of conformal invariance of optimal recovery problem of bounded analytic functions). The formulas for calculating these coefficients are given (for this purpose we write out an integral). The result is the smart, simple formulas for calculating the coefficients of the best linear approximation method for this particular case.

Key words: optimal recovery, error of the best method, best linear method, extremal function, analytical function.

References

1. Osipenko K.Yu. Nailuchshee priblizhenie analiticheskikh funktsiy po informatsii ob ikh znacheniyakh v konechnom chisle tochek [The Best Approximation of Analytical Functions According to the Information on their Values in Finite Number of Points]. Matematicheskie zametki [Mathematical Notes]. 1976, vol. 19, no. 1, pp. 29—40.

2. Osipenko K.Yu. Optimal'naya interpolyatsiya analiticheskikh funktsiy [Optimal Interpolation of Analytical Functions]. Matematicheskie zametki [Mathematical Notes]. 1972, vol.12, no. 4, pp. 465—476.

3. Osipenko K.Yu. Nailuchshie metody priblizheniya analiticheskikh funktsiy, zadan-nykh s pogreshnost'yu [The Best Approximation Methods for Analytical Functions Given with a Precision]. Matematicheskiy sbornik [Mathematical Collection]. 1982, vol. 118 (160), pp. 350—370.

4. Osipenko K.Yu. Zadacha Kheynsa i optimal'naya ekstrapolyatsiya analiticheskikh funktsiy, zadannykh s oshibkoy [Heinz Problem and Optimal Extrapolation for Analytical Functions, Given with an Error]. Matematicheskiy sbornik [Mathematical Collection]. 1985, vol. 126 (168), no.4, pp. 566—575.

5. Osipenko K.Yu. O nailuchshikh i optimal'nykh kvadraturnykh formulakh na kl-assakh ogranichennykh analiticheskikh funktsiy [On the Best and Optimal Quadrature Formulas on the Classes of Finite Analytical Functions]. Izvestiya ANSSSR, ser. Matematika [News of the Academy of Sciences of the USSR. Mathematics Series]. 1988, vol. 52, no. 1, pp. 79—99.

6. Bakhvalov N.S. Ob optimal'nosti lineynykh metodov priblizheniya operatorov na vy-puklykh klassakh funktsiy [On the Optimality of the Linear Approximation Methods on the Classes of Convex Functions]. Vychislitel'naya matematika i matematicheskaya fizika [Numerical Mathematics and Mathematical Physics]. 1971, no. 4 (11), pp. 1014—1018.

7. Tikhomirov V.M., Ioffe A.D. Teoriya ekstremal'nykh zadach [Theory of Extremum Problems]. Moscow, Nauka Publ., 1974, 479 p.

8. Tikhomirov V.M., Alekseev V.N., Fomin S.V. Optimal'noe upravlenie [Optimal Management]. Moscow, Nauka Publ., 1979, 429 p.

9. Micchelli C., Rivlin T. A Survey of Optimal Recovery, Optimal Estimation in Approximation Theory. N.Y., Plenum press., 1977, pp. 1—54.

10. Micchelli C., Rivlin T. Lectures on Optimal Recovery. Lect. Notes. 1982, vol. 9, pp. 21—93.

11. Bojanob B.D. Best Quadrature Formula for a Certain Class of Analytic Functions. Zastos, Mat, VXIV. 1974, pp. 441—447.

12. Fisher S., Micchelli C. The N-width of Analytic Functions. Duke Math J. 1980, vol. 47, pp. 789—801.

Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве УЕБТЫНС

_мвви

13. Rogosinski W., Shapiro H. On Certain Extremum Problems for Analytic Functions. Acta Math. 1953, vol. 90, pp. 287—318. DOI: 10.1007/BF02392438.

14. Singer Y. Best Approximation in Normed Linear Spaces by Elements of Linear Subspaces. Berlin, Springer - Verlag, 1970, 462 p.

15. Osipenko K.Yu. O proizvedeniyakh Blyashke, naimenee uklonyayushchikhsya ot nulya [On the Blaschke Products, Minimally Deviating from Zero]. Matematicheskie zametki [Mathematical Notes]. 1990, vol. 47, no. 5, pp. 71—80.

About the authors: Ovchintsev Mikhail Petrovich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Higher Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected];

Gusakova Ekaterina Mikhaylovna — Engineer of the second category, Department of Higher Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected].

For citation: Ovchintsev M.P., Gusakova E.M. Vychislenie koeffitsientov lineynogo nailuchshego metoda vosstanovleniya ogranichennykh analiticheskikh funktsiy v kruge [Coefficients Calculation of the Best Linear Method for Recovery of Bounded Analytic Functions in a Circle.]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 4, pp. 44—51.