CC BY
42
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м VI 197 5
№ 2
УДК 629.735.45.015.3.035.62
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНДУКТИВНОЙ СКОРОСТИ в плоскости МАЛОНАГРУЖЕННОГО НЕСУЩЕГО ВИНТА
Э. Д. Сафронов
Предлагается метод вычисления индуктивной скорости в точках плоскости несущего винта, при котором основная часть скорости, соответствующая половине ее величины в бесконечно удаленном сечении, определяется в конечном виде, а другая часть, вызываемая небольшими участками прилегающей к винту вихревой пелены, представлена рядом Фурье. Формулы гармоник ряда сведены к полным эллиптическим интегралам I и II рода непосредственно, без использования теории специальных функций. По сравнению с известными в данном методе вдвое меньше гармоник, так как половина ряда Фурье, представлявшаяся ранее степенными полиномами, просуммирована. Рассмотрены случаи постоянной и переменной по азимуту циркуляции.
Индукция малонагруженного несущего винта с бесконечным числом лопастей и переменной по азимуту циркуляцией наиболее полно рассматривалась в работе [1]. Внеся заметный вклад в математическую сторону вопросов, эта работа, однако, не получила до настоящего времени практического применения по причине сложности анализа и трудностей доведения результатов до инженерных формул. В более поздних работах [2, 3] индуктивная скорость вычисляется посредством разложения исходного выражения в ряд Фурье с привлечением гипергеометрических, бесселевых и других специальных функций. Формулы для определения гармоник доведены до практических приложений лишь в случае постоянной по азимуту циркуляции. Отметим, что для практических задач достаточно ограничиться учетом первых двух-трех членов разложения циркуляции в тригонометрический ряд [2]. В [4] при рассмотрении винта с постоянной по диску циркуляцией была обнаружена возможность построения более рационального способа определения индуктивной скорости. Часть интеграла, соответствующая половине ее величины в бесконечно удаленном сечении, вычисляется в конечном виде. Другая же часть — от прилегающих к винту небольших участков вихревой пелены в принципе допускает сведение к эллиптическим интегралам третьего рода.
В данной работе этот способ доведен до инженерных приложений для случая винта с постоянной по азимуту циркуляцией. Случай переменной по азимуту циркуляции рассмотрен на примере распределения Г = Г0 — вш 0, практически достаточно точно описывающем изменение по азимуту циркуляции жесткого винта при работе его в косом потоке [2]. Скорость, индуцируемая пеленой прилегающих к винту вихрей, вычисляется путем разложения в ряд Фурье. Формулы для определения гармоник оказалось возможным получить без использования специальных функций. Кроме того, данный способ по»сравне-нию с известными требует рассмотрения вдвое меньшего числа гармоник, так как половина их просуммирована в конечном виде.
Основная задача теории несущего винта состоит в определении поля скоростей, вызываемых сходящими с лопастей винта свободными вихрями. При малой нагру-женности винта влиянием индук^ тивных скоростей на форму свободных вихрей пренебрегается. Предполагается, что свободные вихри перемещаются со скоростью невозмущенного потока. Поэтому при постоянной угловой скорости вращения винта за каждой лопастью образуется вихревая пелена, имеющая форму винтовой поверхности. В случае переменной по азимуту циркуляции эта поверхность покрыта как продольными, так и поперечными вихрями. При постоянной по азимуту циркуляции поперечные вихри отсутствуют. По из-
Фиг. 1
вестной форме вихрей нетрудно записать интегральные выражения составляющих скорости, вызываемой этими вихрями в произвольной точке пространства.
Перспективные винты вертолетов являются многолопастными. Поэтому целесообразно рассматривать схему винта с бесконечным числом лопастей, т. е. интересоваться средней по времени индуктивной скоростью, что и делается ниже. При этом интеграл по радиусу для краткости записи опущен и исследуется индуктивная скорость отдельной вихревой колонны.
Рассмотрим винт правого вращения в правой системе осей координат
О хуг (фиг. 1), связанной с винтом. Исходя из выражений для мгновенной индуктивной скорости винта с конечным числом лопастей и осредняя возмущенное течение в фиксированной точке по времени, получим для составляющих скорости, индуцируемой скошенным вихревым цилиндром в произвольной точке ] с координатами
= гу 8т фу
Xj — — rj COS фу,
следующие выражения (Г = const):
Ур
V
= '1
Г COS a COS 0 (yj COS а — D sin a) — КС sin a <42 —B2
+
r sin a cos 0 A? — В (yj r cos 0 — КС sin a) ' A (A2 — B2) '
d0;
(1)
fr rjCOS (0 —Фу) — V С cos a—r D cos2 a cos 0 — r2 — r yj sin a cos a
= ty "= : ■
' Vv
где
2к
vz = t
Л2-В2
rcosacosO^2 — В [r r;-cos (0—Ф/) — r2—VC cos a] .
4--------------------:--------------:-------------------I at):
^ А (Л2 — B2) '
■ +
(2)
Г yj sin2 a sin 0 + Г D sin a COS a sin 0 + yy ( V COS a — Г sin 0) — V D sin a
A2 — B2
r sin a sin 0 A2 + В [yj (V cos a — r sin 0) — VD sin a] ~ А (Л2 — B'i)
rf0;
(3)
kV
8тс2 V
> A = Vr2 + r? -f- y? — 2 r rj cos (0—фу), В = yj sin a + D cos a,
С = Гу sin фу — r sin 0, D — rj COS Фу — r cos f
Перейдя в первых слагаемых (обозначим их через Л^выражений (1—3) к поточной системе осей координат с помощью соотношений xj sin а -|- yj cos а —
= хи Zj = Zi и сравнивая их с интегральными выражениями составляющих индуктивной скорости в бесконечно удаленном сечении [4], обнаружим, что слагаемые
і х, у, г
составляют половину соответствующих проекций скорости, индуцируемой
скошенным вихревым цилиндром в бесконечно удаленном сечении. Следовательно, для произвольной точки У(лГу, у^г]) имеем \
внутри вихревого цилиндра
Xcosot
у
= — ъ А г = °;
' 1хх =
1 -
вне вихревого цилиндра
h х = - X tg а - Jl€™? * (Iі! 1^ + 7-H*lJ YF^).
FV2\Z\ s fV 2
, XZ V cos а -- ,
hy=-X- ' „,/5-, YF + g +
h,
FV2 \ z\
x*v
fV2 |*i|
YF-g-
F 1^2 cos а
jyf{\*\VF+g + \xi\VF-g), (2')
Yf^J vfjj
\г\
X*i z
1*1 I
где
X = ---‘ї- . F = Yqt +Axj ~z\ q — z2-4tz V
■ x\ — r2 cos2 a, xt = Xj sin a + yj cos a.
Слагаемые Ilx v z соответствуют заштрихованной на фиг. 2 вихревой поверхности. Вторые слагаемые (обозначим их через /2) в выражениях (1—3) соответствуют участкам вихревой системы, дополняющим заштрихованную систему до исходной. Вычисление составляющих /2 проведем для точек диска с помощью гармонического анализа. Покажем это на примере нормальной к диску несущего винта составляющей
; ' 2ц _ _
р V CD cos2a — Cr r і cos a sin (0 — ф.-)
/,, = < -J—,-^-----l!LM. (4)
о Ao (A2o-B20)
где Л0 = Y~r* + rj — 2 r rj cos (0 — ф;), B0 — D cos a.
Перейдя в интеграле (4) к переменной f = 0 — фу, представим этот интеграл
рядом Фурье по азймутальному углу ф точки на диске винта
оо
h у = + 2 (^2 с cos nif + hs sin n^)>
tl—\
при этом
4ot 2Я hc~
—7C
1 "
= — j hy СОБПфЙф,
—7C
I
h s = “ j /s Уsin "
— 1C
Полагая далее ф = Х — f), где = arcsin(rsin7/S), получим
^ 2тс
/го = 2re j jG dX d'1’
0 0
2те 2tc
2 C“
о 0
2jc 2tc
^25= “J J G sin л (X — P) dX ^7,
[о о
при этом
п___ V S cos2 a sin X cos X -f г Гу cos a sin X sin f
S3 (1 — cos3 a cos3 X) ’
S3 = г2 -f- r? — 2 r rj cos f.
Нетрудно видеть, что свободный член /и, ряда равен нулю. Вычисление необходимых интегралов по переменной X дает следующее:
2к
sin X cos A sin п\
л sin л cos Л J 1 — cos2 а
О
2тг
COS3 X dX ~ \ х0
2л (1 —sin а)”
-при четных я,
г.-
при нечетных п;
sin X sin и X „ /°, при четных л,
cos2 а cos3 X d^~ \ 2" (1 — sin а)"
\------:—гтт--------при нечетных п.
cosn+l а
Интегралы по переменной 7 сводятся к полным эллиптическим интегралам первого и второго рода с модулем к = 2\Ґ г г,-/(г-1-гу). В результате преобразований получаем
/ =,/ -2 с \ТСГ/0—sin о)"
при четных п,
2 5 =
/
Рп при нечетных л;
7 V (1 — sin а)” п
^дQn при четных п, я cos” а
при нечетных п,
где
Рі= Ш-ЩК-2Е),
Л 4
Qi — -2
(г + г;)£-
=Х^/С1' r+П J
[(r; + r3 /? - 8г1) K + (r + Гу)3 (8г3 - rjf) £],
3 г) (г + гу)
= -Щ-£+ 7j) И (' + ?;)2 (г] — 2 г«) £ — (г/ + 4 г2 Гу — 8 j*) /С],
/>5 = 5Р3-юл-f с, вв-^ + го/^-иРз —2с;
64 г3
04 =
15 г® (г + Гу) £6
[(256-384 **-1-158 £‘-15 **) /<• _ (256-256 46 Л4) £].
Величины Рп и Q„ связаны соотношением
(6)
Qn — Qn — 2
2^n_i =
2n(rj-2 г3)
-----[(И + 1) Qn+2 + (п — 1) Qn—2І‘
На фиг. 3 и 4 приведены графики Рп и С)п в функции радиуса точки Гу для первых десяти гармоник ряда Фурье.
Как уже говорилось, задача получения разложения в ряд Фурье индуктивной скорости в плоскости диска винта с постоянной циркуляцией решалась в [3]. Изложенное выше решение отличается от решения, данного в [3], тем, что нечетные синусные и четные косинусные гармоники просуммированы в виде (2').
Оставшиеся гармоники совпадают с полученными в [1] после приведения эллиптических интегралов к одинаковому модулю [5].
Предлагаемое представление (6) одно и то же для любой точки плоскости диска, в то время как известные [3] формулы различны для областей Гу<> и
Вычисления, проведенные обоими методами при а = 45° в случае Г = const, с удержанием шести гармоник, дали практически одинаковые результаты. При малых углах а целесообразнее пользоваться представлением (2') вместо соответствующих гармоник, так как соответствующие ряды медленно сходятся.
Рассмотрим случай переменной по азимуту циркуляции Г = Г0—Tj sin имеющий место при работе в косом потоке жесткого винта. Для сокращения? записи будем рассматривать, как и выше, отдельную вихревую колонну, опуская всюду интеграл по радиусу. Вычисляем только нормальную составляющую Vy от переменной части циркуляции.
Скорость упр, вызываемая присоединенными вихрями,
sin 0 sin (0 — фу)
d6= к V(r + rj) cos
/-2 7;
[(2-Л*) К-2 £]„
где <1 = _AZl
8^2 v '
Фиг. 3
Фиг. 4
Скорости от продольных и поперечных свободных вихрей основной части вихре** вой системы
2ic — — ■ _
С (Гу Sin фу — V cos a) sin в + Гу D COS фу sin2 а sin Г
ft Пр :
А2 —В2 л0 — л0
. м,
2? Гу COS fl sin (9 — фу) — Во sin 0 COS 0 COS а Л поп= — : Го Го df).
■ад
Разлагая интегралы в этих выражениях на более простые [4] и применяя теорию вычетов, получим
внутри вихревого цилиндра
Xit'Fcosa —г)
М ПР — “ /1 , , ч > '1 ПОП — Ту, I • \ »
у Г (1+sin a) r2(l-f-sma)
вне вихревого цилиндра
Ъ г
h пр = 7Г \ v cos a - г + Уу~
YF + g \ г\ \ z — У cos a — -= j +
V COS a)
Л nnn —
7t ^
/2
■1 +
fY 2
-2|
где Xi =
Д4
4к V
. Для произвольной точки x^ — xj sin а -(- yj cos a.
Рассмотрим составляющую скорости, индуцируемую продольными свободными вихрями прилегающих к винту участков вихревой пелены
2ч
V CD cos2 о sin 0 — г rj С cos a sin 0 sin (9 — ф) Л [Al-Bl)
d0.
Представляя интеграл рядом Фурье и применяя преобразования, аналогичные случаю Г = const, получим выражения (5), в которых
KS cos2 a sin X cos А + г Гу cos a sin X sin 7 G-----------------------52 (1 — COS2 a cos2 7)-Sin (Y + X — p).
В результате вычислений найдем, что свободный член\ /2опр ряда равен, как
и в случае Г = const, нулю. Интегралы по переменной X в слагаемом /2пр
/О при четных п,
2я
/sin A cos2 Asin tik /
1 — cos2 a cos3 A ^ ^ ” \
/
\
2я (1 — sin a) it COS4 a cos2 a
2tl (1 — sin a)™
при n= 1,
при n = 3, 5, 7..
2it
It
cosXsin2XcosnX /
dh — a = 4
■ cos2 a cos2 X
^/0 при четных n
2я(1 —sin a) я
\
cos4 a COS2 a
■ 2n sin a (1 — sin a)n COSn+3 a
при П — 1, при л=3, 5, 7...
следовательно,
^0 при четных tl,
he пр — ч _
^fiVcos8a I —b -LL Рп-\- dLn при нечетных п,
где Рп определяются формулами случая Г = const.
Формулы Ln и другие интегралы по переменной f приводим здесь лишь до я = 3 включительно ввиду их громоздкости при больших п
где
и = (Г3 + г®) аг — г rj (a2 + a3);
L3 = — 4r3 rj a4 + (4r4 + 12 r2 r2) a5 — (127y r3 + 12 г r®) ae +
+ (4ry + 12r2 r2) a7 — 4rVy a8 — 3Z,X;
4 Г 2 — £3 1 4
- (F + y.fk, [E ft'* - 2K \ ’ “*-(? + TJf ft'2 E'
4 Г 1 /2 — ft3 2 \1
аз = (p + ^)8 [£ A'* ~ 4 ( ft* K~ ft*- £)j :
4 Г 4ft8-2fti° —8ft4ft'*-8ft4ft'4+128ft*ft'4-256ft'*
№(? + 7jf[E +
, „ 64ft* ft's — ft« - 256 ftaft'2 + 256 ft'2 ]
+ ft4ft'2 J’
4 Г 2ft*-2fteft'2—4ft'2—56ft'i—4ft'6
я* = b■ ~\5 I ^ (ft9—2ft4—32 ft2 ft'2+64ft'2)+£
3fte ft'2 (r + 7jf [*^ « -rv* -It^ ft'2
2ft4 — ft« — 2ft'2 - 2ft'4
4 Г 2ft4 — ft« — 2A
! a6°3ft4ft^(r+'^r(8^~fe4) + 2£ -УГ
[K(fe>-2); ^=3^(-4+-)5[2£-^--^].
Интегралы по переменной X в /2snp
2p sin X cos X sin nX /—-——~ ПРИ четных n>
л j r=^i^5indX=e = \n cos a
о N0 при нечетных щ
r“ Sin2 X cos «X , , 2д 8Шап(|2~8Ш°)Я ПР« четных п,
J l-C0S«aC0tf1dX°/==C C0S “
б N0 при нечетных п.
Следовательно,
ti г rj cos о (еМ„—fNn) при четных п,
■^25 пр = \
. N0 при нечетных и,
где
М2 = - г) ав + 2/5 7] а10, N2 = 2г (г2 + гу) en — 2г2 гу а12 — 2г2 Гу д13;
16 16/1 4- ft'2 \ й9= ft4(7+^.)3 [^(2 -^)-2£] , = з^4 (-+-)5 (£ ft'2 -2^);
а“> = Ш rl —\5 [£ (8*2 — 16) 4- /С (3*4 - 16*2 + 16)];
3*8 (r + Tjf
16 Г 1 + 14*'2 + *'П
a" = 3k^r+Tjf [K -16) + £ -------J 5
16 Г *4-f*'2*‘-32*2*'2 + 64*'2 _
an ~ 3*8 (7 +- 7jf [ : : *'2 - 2K (7*4 - 32*2 + 32)
Рассмотрим, наконец, составляющую скорости, вызываемую поперечными свободными вихрями близлежащих к винту участков вихревой пелены
2~ Лл sin в cos 0 cos a — rj BQ cos 0 sin (0 — ф,')
'-J---------------Ч4^г)-------------------A
Разлагая /2Поп в ряд Фурье и проделав сопутствующие преобразования, получим выражения (5), в которых
Ssin(Y-j-^ — Р) cos а + rs cos a cos X sin у
поп = --------------pTTi-----з -------------------C0S " + Х ~ "•
S2 (1 — cos2 а cos2 X)
Произведя предварительный анализ, обнаружим, что 1№ ПОп = he поп = О-Вычисления интегралов по переменной X в составляющей /25поп дают следующее:
inii ^—2я(1 4-sin2 а) (1—sin а)”
(* (sin2 X — cos2 X) cos nh у---------------------------- ПрИ четных и,
J 1 _ cos2 а cos2 X ак~ g — \ sin а cos “г а
о N0 при нечетных п;
2С cos2 X cos пХ _ _ ^2,(1-sirta)« при четных
J 1 — COS2 a COS2 X ак - п - \ sin “ cOSn+ а
о 0 при нечетных п.
Кроме того, в интеграл/25П0П входит интеграл е, встречавшийся ранее в /25прод. Таким образом,
hs поп= — *i cos a isTn — еНп — rj (hNn -j- eMn)],
где
Т2 = 2г2 яи — 2 ~г7] «15 -4 г3 гj а1в -f 4r2 rj а10 — 2 г* а13 + 4г3 г}а^~ 2 л2 л? <г12; -
#3 = a17 — 2r2 a9 — 2r2 а2 + 4л4 «12 + 4r rj at — 8/-3 Гу alt — 2г2 а3 + 4r2 /■* а]3,
16
а14 = -^з (64 — 96*2 + 42*4 - 5*6) + Е (64*2 _ 64 — 14**)],
-)3 [К(16*'2 + ъщ - 8Е(1 + *'2)],
64 f 16 Г , 24*2 _ 8*4 — 16 , „ *4— 16*2+ 16 1 , 2 — *2 2}
Л16— (r + Fy)6 3*2 5*8 +£ 5*8 А0 ~Е »)'
Формулы М2 и N2 приведены выше.
Полную скорость, вызываемую винтом в случае переменной по азимуту циркуляции, получим, суммируя скорости от постоянной части циркуляции Г0 и от переменной по азимуту части циркуляции I\ sin 0.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лепилкин А. М. Вихревая теория несущего винта и взаимного влияния винтов. Изв. АН СССР, „Механика и машиностроение”, 1963, № 5.
2. Теория несущего винта. Под общей редакцией проф. А. К. Мартынова. М., „Машиностроение”, 1973.
3. Вождаев Е. С. К теории индукции несущего винта с произвольным углом атаки. „Ученые записки £ЦАГИ“, т. 111, № 2, 1972.
4. Сафронов Э. Д. Скорость, индуцируемая несущим винтом
в его плоскости и в следе при произвольном угле атаки. Труды ЦАГИ, вып. 1652, 1975. '
5. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., „Наука”, 1971.
Рукопись поступила 6/VIII 1974
