CC BY
28
ISSN 0321-2653 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН._ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2019. № 1
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2019. No 1
УДК 532.546 DOI: 10.17213/0321-2653-2019-1-31-37
ВЫБОР УСРЕДНЕННОЙ МОДЕЛИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О МИНИМУМЕ СРОКА РАЗРАБОТКИ ПОЛОСООБРАЗНОЙ НЕФТЯНОЙ ЗАЛЕЖИ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ РАЗМЕЩЕНИЯ РЯДОВ СКВАЖИН
© 2019 г. А.Я. Аль Джабри, Р.К. Ахмад, В.А. Богомолов, П.В. Малое, С.П. Плохотников
Казанский национальный исследовательский технологический университет, г. Казань, Россия
THE AVERAGED MODEL SELECTION FOR THE TASK OF TIME MINIMIZATION OF A STRIP-LIKE OIL FIELD DEVELOPMENT, DEPENDING ON THE PLACEMENT OF ROWS OF WELLS
A.Ya. Al-Gabri, R.K. Ahmad, V.A. Bogomolov, P.V. Malov, S.P. Plohotnikov
Kazan National Research Technological University, Kazan, Russia
Адель Яхья Аль-Джабри - аспирант, кафедра «Информатика и прикладная математика», Казанский национальный исследовательский технологический университет, г. Казань, Россия. E-mail: [email protected]
Рами Камал Ахмад - аспирант, кафедра «Информатика и прикладная математика», Казанский национальный исследовательский технологический университет, г. Казань, Россия. E-mail: [email protected]
Богомолов Владислав Афанасьевич - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Информатика и прикладная математика», Казанский национальный исследовательский технологический университет, г. Казань, Россия. E-mail: [email protected]
Малов Павел Владимирович - ассистент, кафедра «Информатика и прикладная математика», Казанский национальный исследовательский технологический университет, г. Казань, Россия. E-mail: [email protected]
Плохотников Сергей Павлович - д-р. техн. наук, профессор, кафедра «Информатика и прикладная математика», Казанский национальный исследовательский технологический университет, г. Казань, Россия. E-mail: [email protected]
Adel Yahya Al-Gabri - Postgraduate Student, Department «Information Science and Applied Mathematics», Kazan National Research Technological University, Kazan, Russia. E-mail: [email protected]
Rami Kamal Ahmad - Postgraduate Student, Department «Information Science and Applied Mathematics», Kazan National Research Technological University, Kazan, Russia. E-mail: [email protected]
Bogomolov Vladislav Afanasevich - Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor, Department «Information Science and Applied Mathematics», Kazan National Research Technological University, Kazan, Russia. E-mail: [email protected]
Malov Pavel Vladimirovich - Assistant, Department «Information Science and Applied Mathematics», Kazan National Research Technological University, Kazan, Russia. E-mail: [email protected]
Plohotnikov Sergey Pavlovich - Doctor of Technical Sciences, Professor, Department «Information Science and Applied Mathematics», Kazan National Research Technological University, Kazan, Russia. E-mail: [email protected]
Дана постановка задачи оптимального размещения рядов скважин в полосообразном нефтяном пласте. Даются расчетные формулы задачи. Предлагается решать поставленную задачу в случае слоистых пластов на основе двух известных усредненных моделей двухфазной фильтрации. Первая модель является обобщением модели струйного течения В.Я. Булыгина на общий нелинейный случай. Во второй модели используется средняя по толщине пласта абсолютная проницаемость и лабораторные относительные фазовые проницаемости. При использовании конкретной усреднённой модели необходимо предварительно для физических условий рассматриваемой задачи обосновать возможность ее применения -решить вопрос верификации. На основе вычислительных экспериментов и последующей оценки погрешностей проводится верификация двух моделей двухфазной фильтрации, усредненных по толщине слоистого пласта, относительно исходного трехмерного численного решения задачи. Получен положительный результат, подтверждающий возможность применения этих моделей для двухфазной фильтрации при решении оптимальной задачи.
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2019. No 1
Ключевые слова: фильтрация; неизотермическая фильтрация; фазовые проницаемости; вычислительный эксперимент; усредненная модель; оптимальная задача.
The statement of the problem of the rational placement of rows of wells in a strip-like oil field has done. The prediction models of the problem are given. It is proposed to solve the problem in the case of layered fields based on two known averaged models of two-phase filtration. The first model is the method of the stream or flow scheme by V. Ya. Bulygin generalized to the general nonlinear case. In second model we use the average thickness of the reservoir and modified phase permeability. When using a specific averaged model, it is necessary to substantiate in advance for the physical conditions of the problem under consideration the possibility of its application - to solve the verification problem. Verification of these two-dimensional models with respect to the initial three-dimensional numerical solution of the problem is carried out. A positive result is obtained, which confirms the possibility of using these models for two-phase filtration when solving the optimization problem.
Keywords: filtration; non-isothermal filtration; phase permeabilities; computer experiment; averaged model; optimal problem.
Введение
Использование усреднённых моделей, особенно для решения задач оптимизации разработки в слоистых по абсолютной проницаемости пластах, - это переход к моделям меньшей размерности, что является стандартным методом при исследовании вопросов многофазной фильтрации. Этот метод широко применяют в задачах механики сплошных сред. Однако при использовании конкретной усреднённой модели на практике необходимо предварительно для физических условий рассматриваемой задачи обосновать возможность применения именно этой модели, - решить вопрос верификации модели. Если нет возможности для проведения натурального физического эксперимента, то проведение вычислительного эксперимента (ВЭ) - реальная задача в эпоху бурного развития вычислительной техники. Но и таких работ в научной литературе недостаточно.
Актуальность, научная значимость, обзор литературы
Проблема усреднения параметров системы уравнений в рамках различных моделей многофазной фильтрации, в частности, и в математической модели Баклея - Леверетта [1, 2] двухфазной фильтрации - это усреднение абсолютной проницаемости, относительных фазовых прони-цаемостей (ОФП), других физических параметров среды. Задача является достаточно сложной и до сих пор остается областью научных исследований. Различные методы построения осред-ненных моделей предложены в известных монографиях [1, 3, 4]. При расчетах на осредненных моделях при неизотермической фильтрации учет потерь тепла в окружающие пласт породы удобно вычислять на основе приближенных формул, предложенных в монографии [5].
Исследуем вопрос верификации двух известных усредненных моделей фильтрации. Одна из них является обобщением модели струйного течения В.Я. Булыгина [1] на общий нелинейный случай функций ОФП. Она основана на поправочных коэффициентах, которые необходимы для вычисления модифицированных ОФП. Эти коэффициенты получены математически на основе схемы струй для слоисто-неоднородных пластов при линейных лабораторных ОФП. И успешно были применены для двухфазной [6] и трехфазной [7] фильтраций, двухфазной трех-компонентной фильтрации [8]. Они могут быть использованы в пластах с абсолютной проницаемостью, представленной непрерывным вероятностным законом с заданными параметрами. Назовём её моделью В.
Другая усреднённая модель, назовём её моделью С, использует среднюю по толщине пласта абсолютную проницаемость и лабораторные ОФП. В работе проводится верификация обеих моделей на основе ВЭ и последующей оценки погрешностей этих двух [6] усредненных по толщине слоистого пласта моделей двухфазной фильтрации относительно численного решения на исходной трехмерной модели.
Постановка задачи
Рассматриваем полосообразные пласты: либо неоднородные по простиранию - задана зональная неоднородность, либо неоднородные по толщине - задана слоистая неоднородность. Зональная неоднородность задана аналитически, слоистая - по равномерному вероятностному закону, по усеченному закону Максвелла, или по экспоненциальному закону.
Пласт разрабатываем 21 эксплуатационными рядами скважин. Они расположены симметрично и работают с каждой стороны от центрального нагнетающего воду в пласт ряда до
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
заданного процента обводненности продукта с*. Задан перепад давлений Дpi между нагнетающим воду центральным рядом, и эксплуатационными рядами прямо пропорциональный расстоянию между ними. Каждый ряд отключается при достижении заданного процента обводненности ее продукта. Рассматриваемый пласт обладает симметрией относительно центрального ряда как по расположению эксплуатационных рядов, так и по абсолютной проницаемости. Поэтому отсутствует течение через ось симметрии, проходящей через центральный ряд. Оптимальную задачу решаем для правой, относительно центрального ряда, части пласта. Ищем минимум T - суммарного времени разработки залежи при работе l = 3 рядов в зависимости от их положений at, где at - расстояния между l — 1 и l -м
рядами. Они задаются в пределах at < at < at, i = 1, l. Задачу решаем для случая работы трёх рядов с каждой стороны. Пусть ti - время работы i — го ряда, Ti = ti, T2 = t2 — ti - время работы 2-го ряда после отключения 1-го, T3 = ^3 —12 -время работы 3-го ряда после отключения 2-го. Положение центрального ряда и последнего, третьего, фиксировано. Расстояние между ними равно L. Тогда общее время разработки пласта определяется по формуле
3
T = XT . t=i
Очевидно, что эти функции можно представить в виде
t—1
T = Tt (at, X aj )• j=1
Каждую из них обозначим относительным временем работы i -го ряда.
Теоретическая часть
Данная задача в оптимизационной постановке математически сводится к следующему:
3 t—1
min T = min X T (at, X aj ),
¿=1 j=1
при условиях
Xat = L , at < at < at, i = 1, l. t=1
Это типичная задача динамического программирования [9]. Ее решение можно получить с помощью следующих рекуррентных функциональных уравнений:
Фг (H) = min[T (H — аг, аг) + Фг—1 (H — аг)], (1)
TECHNICAL SCIENCE. 2019. No 1 где
max[ H - Yjh a j, ai, ] < ai < min[ H - Yjk a j, ai ],
i = 27l, H = T!J=laj , L = jaj .
Решение (1) получено по принципу оптимальности Р. Беллмана [9]: оптимальное решение на i -м этапе базируется на оптимальном решении (i -1) -го этапа. Искомое решение задачи получают из уравнения (1) при i = 3. При i = 1 принимаем, что
Ф1 (H) = Tx (H) , H = a1, al < H < a1 . (2)
Каждый i -й эксплуатационный ряд работает до выполнения условия:
F < C
± 1 — 5
где Fi - доля воды в потоке эксплуатационной скважины при работе i -го ряда.
Перепад давлений между центральным, нагнетающим воду рядом, и каждым работающим i -м рядом задаем следующим образом:
i 1
APi = (Рз1 - Рз 2) X ai / X aj .
j=1 j=1
И он прямо пропорционален расстоянию между центральным и i -м рядами. Тогда за время tj при решении задачи в безразмерном виде берется количество временных слоев. При переходе же к размерному времени это число умножается на соответствующий множитель.
Вычисление времени ti и Tt - относительного времени работы i -го ряда при решении данной оптимальной задачи по формулам (1), (2) сводится к численному решению по конечно-разностным схемам алгоритма [8] системы дифференциальных уравнений двухфазной изотермической (неизотермической) фильтрации. Краевые условия берутся в известном стандартном виде. При решении задачи для случая слоистого по абсолютной проницаемости пласта используют модифицированные проницаемости фаз усреднённой модели, описанные в работах [6, 7], и решают задачу фильтрации в двумерной постановке. Кроме того, задачу можно решать и в трёхмерной постановке - модели Ai.
В случае зонально-неоднородных пластов, однородных по толщине, решаем эту же усреднённую систему, но вместо K* используем k(x), а вместо модифицированных относительных фазовых проницаемостей (ОФП) Квм (S), К^ (S) применяем лабораторные ОФП Кв (S), Кн (S).
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2019. No 1
Рассматриваем двухфазное изотермическое (неизотермическое) вытеснение нефти водой при площадном заводнении в слоистом пласте - полосообразном симметричном элементе заводнения.
При решении принимали стандартные физические допущения:
а) пласт, нефть и вода слабосжимаемые;
б) жидкости в пласте не смешиваются, не взаимодействуют между собой и с коллектором;
в) фильтрация изотермическая и подчиняется линейному закону Дарси;
г) капиллярными и гравитационными силами пренебрегали.
При таких допущениях для двухфазной фильтрации справедлива известная система уравнений Баклея - Леверетта [1, 2, 6, 7], которую используют при практических расчетах для крупномасштабного описания процесса разработки:
д_
dt
(mPн SH )=V
(
dt
(mP bsb ) = v
K ( z)kh (Sh )
p н v p
^h
K(z)Kb (Sb)
Л
P В
^В
S„+SR=1.
VP
(3)
(4)
(5)
= P * G n П
где Gn -
В уравнениях (3) - (5) известные обозначения: t - время; m - коэффициент пористости; P - пластовое давление; SK, SB - нефте- и водо-насыщенности; K{z) - коэффициент абсолютной проницаемости пласта; цн, цB- динамические вязкости нефти и воды; рн , рв - плотности фаз. Систему решали при стандартных краевых условиях.
Начальные условия распределения поля давления, нефте- и водонасыщенности:
P( x, y, z,0) = P0( x, y, z), SH(x,y,z,0) = S°(x,y,z), t = 0, SB (x, y, z,0) = SB( x, y, z).
Внешнюю границу задавали непроницаемой: U-нп |g о = 0, Ub„\GO = 0.
Здесь G0 - внешняя граница; UYm , UBn -нормальные составляющие скорости движения нефти и воды через границу G0 .
Граничные условия на скважинах задавали следующим образом. На нагнетательной скважине (индекс Е) задавали забойные давление P\Gt = Pf3, где G? - граница нагнетательной
скважины. На добывающих скважинах (индекс задавали забойные давления Р граница ^-й добывающей скважины.
Практическая значимость, предложения и результаты экспериментальных исследований
Рассматриваемый слоистый пласт для трехмерной (х, у, z) задачи задавали из десяти однородных по абсолютной проницаемости слоев, одинаковой толщины И^ = И/10, с абсолютной проницаемостью каждого слоя - К/. Рассматривали различные взаимные расположения слоев по толщине слоистого пласта - эталоны Лг. Эти слои задавали гидродинамически связанными - эталоны Л,, г = 1,7, а также изолированными
- эталон Лв. Для проведения ВЭ использовали эталоны Л,. Они показаны схематично на рис. 1 и отличаются друг от друга расположением пропласт-ков по вертикали; эти эталоны были заданы так:
1) Л1 - абсолютная проницаемость К^) возрастает по слоям от кровли и подошвы к центру примерно симметрично относительно середины = И/2 от Кт;п до Ктах;
2) Л2 - К ^) убывает от кровли и подошвы к центру от Ктах до Ктт ;
3) Л3 - К(z) изменяется по вертикали примерно равномерно от Ктах до Кт{п;
4) Л4 - К ^) изменяется и в верхней, и в нижней половинах пласта от Ктах до Кт{п;
5) Л5 - в верхней половине пласта К^) изменяется от Ктах до Кт{п примерно симметрично относительно линии z = 8/10 И , а в нижней половине пласта - убывает от Ктах до Кт{п;
6) Лб - в нижней половине пласта К^) изменяется от Ктах до Кт{п примерно симметрично относительно линии z = 210 И , а в верхней половине пласта - убывает от Ктах до Кт{п;
7) Л7 - слои сверху вниз расположены так: сначала расположен слой с максимальным значением абсолютной проницаемости из 10, за ним
- с минимальным значением из оставшихся 9, затем - лучший из оставшихся 8, затем - худший из оставшихся 7 и т.д;
8) Л8 - изолированные слои, их порядок размещения по высоте не влияет на решение задачи.
d
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2019. No 1
Рис. 1. Расположение пропластков в пласте для моделей А, / Fig. 1. The location of the layers in the reservoir for models А,
В данной работе решали задачу верификации для каждой из двух усредненных моделей. Саму же задачу оптимизации на основе различных математических моделей конкретно будем решать в дальнейшем в других работах. Конкретные расчеты были проведены для случая работы трех (l = 3) рядов слева и справа от центрального ряда при изотермической фильтрации. При вычислениях использовали известный численный алгоритм в сертифицированном гидро-симуляторе TEMPEST [10], где реализована полностью неявная разностная схема.
Рассматриваемый слоистый пласт разбивали схематично на расчетные блоки для каждой из моделей А,, где имеется центральная нагнетающая воду скважина, и по 3, слева и справа -эксплуатационные скважины. Для этого вырезали симметричный элемент рассматриваемого полосообразного пласта, в котором находится по одной скважине из каждого ряда, всего 7 скважин.
Вычислительный эксперимент
Численные расчеты для этого элемента проводили на основе четырех моделей.
Двумерные модели (осредненные)
1. C -модель. Задачу решали при линейных, квадратичных и кубических лабораторных ОФП Kb (S), Kh (S), средней проницаемостью
к = 0,5 дарси в двумерной постановке. Задавали 1 слой, высотой H = 10 м. В качестве лабораторных ОФП применяли лабораторные функции ОФП Kb (S) и KН (S) вида
Kb (S) = Kв0 •[Sn (s)]a;
<
^KH (S) = KНо •[l - Sn (s))]ß, где Sn (S) = S - S*/ S* - S*, a=ß = 1,2,3 .
Индексы «Н» и «В» соответствуют нефти и воде, индекс «П» - подвижная водонасыщен-
ность, «0» - максимальное значение ОФП, 5" и 5"* - максимальная и минимальная водонасы-щенность. При а = в = 1 эти ОФП линейные, при а = в = 2 - квадратичные.
2. В -модель. Задачу решали в двумерной постановке при модифицированных ОФП (12) и к = 0,5 дарси, где функция абсолютной проницаемости к(z) исходного пласта задана экспоненциальным вероятностным законом. Задавали один слой, высотой И = 10 м. Для этого закона модифицированные ОФП при линейных ОФП заданы формулой, приведенной ниже. Она определяет, что модифицированные ОФП получаем из лабораторных произведением последних на определенные поправочные коэффициенты (правые скобки). Аналогично получают модифицированные ОФП и для нелинейных случаев:
KH1 (S) = Kho •[! - Sn (S)]
1 +
Sn (S )• ln Sn (S)
(1 - Sn (S)) ^ (S ) = KBo • Sn (S )•(! - ln Sn (S)).
На рис. 2 представлены графики лабораторных и модифицированных ОФП для линейного случая.
К,Ы(Б)
0.7
О.б -
О ,5
О.З
о,г
v 4 \ N Khm(S)
\ Ч ч N Ч Kbm(S)
\ ** N Ч
% Ч /
/ / ' Ч Ч
/ Г ' ч ч
/I-''' V ч
S
0.4
0.5
0.6
0,8
Рис. 2. Экспоненциальный закон, графики линейных
ОФП и их модифицированные аналоги / Fig. 2. Exponential law, graphs of linear RPP and their modified analogues
Аналогичные по своему взаимному расположению графики были получены для квадратичного и кубического случаев функций ОФП. В табл. 1 даны значения абсолютной проницаемости по пропласткам.
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
Таблица 1 / Table 1
Проницаемость k(z) по слоям для модели A 7 c неизолированными слоями, экспоненциальный закон (мдарси) / Permeability k(z) by layers for a model A7 with non-insulated layers, exponential law (MD)
Kl K2 K3 K4 K5 K6 K7 Ks K9 K10
300 400 216 527 144 697 82 958 26 1651
Трехмерные модели (эталонные)
3. Модель А8 - численное трёхмерное решение для десятислойного пласта с изолированными слоями (отсутствуют вертикальные перетоки). Его дискретная абсолютная проницаемость подчиняется экспоненциальному закону. Пласт образован 10 слоями, высотой Hi = 1 м ,
I = 1,10. Они изолированы друг от друга непроницаемыми перемычками.
4. Модель А7 - та же, что и предыдущая, но с неизолированными слоями.
2018 2024 2030 2036 2042 2048 2054 а
80 Vp, kSM3
2018 2024 2030 2036 2042 2048 2054
б
Рис. 3. Расчетные графики суммарной добытой нефти для моделей А7, А8, С, В при линейных (а) и квадратичных (б) функциях ОФП / Fig. 3. Estimated graphs of the total produced oil for models А7, А8, С, В with linear (a) and square (б) functions of RPP
TECHNICAL SCIENCE. 2019. No 1
В работе были изучены 8 эталонов. Они отличаются только взаимным расположением 10 слоёв по толщине слоистого пласта, эти эталоны подчиняются экспоненциальному закону. На рис. 3 даны графики только двух предельных граничных значений модели A7 и A8.
Заключение
На рис. 3 показаны полученные расчетные графики суммарной добытой нефти для всех четырех указанных выше моделей - при линейных и квадратичных функциях ОФП для экспоненциального закона. Графики моделей C и B являются верхней и нижней границами для всех эталонов. Их графики находятся между графиками моделей A7 и A8. Поэтому в каждый момент времени известны границы изменения для всех 8 эталонов. И всегда можно найти их значение по среднему значению двух осредненных моделей. Эти величины совпадают с точностью до нескольких процентов. Аналогичные положительные результаты были получены для всех основных технических показателей разработки слоистого пласта - коэффициента нефтеотдачи, количества суммарной жидкости, воды, доли обводненности продукции в потоке на выходе и т.д. Были рассмотрены слоистые пласты и для равномерного закона задания слоистой неоднородности, а также для закона Максвелла и треугольного закона. Результаты верификации обеих моделей и для этих законов получились положительными. Поэтому можно рекомендовать для расчетов фильтрации обе осредненные модели в совокупности. Особенно при решении многовариантных задач рациональной разработки нефтяных месторождений в полосообразных слоистых пластах. Их можно применять и на стадии предпроектных расчетов, когда имеется недостаток геологической информации о слоистом пласте.
Литература
1. Булыгин Д.В., Булыгин В.Я. Геология и имитация разработки залежей нефти. М.: Недра, 1996. 382 с.
2. Методические указания по созданию постоянно действующих геолого-технологических моделей нефтяных и газонефтяных месторождений. Ч. 2. Фильтрационные модели / Д.Н. Болотник, О.Ю. Динариев, М.М. Максимов, Л.П. Рыбицкая. М.: ВНИИОЭНГ, 2003. 228 с.
3. Каневская Р.Д. Математическое моделирование процессов разработки месторождений углеводородов / Институт компьютерных исследований. М.; Ижевск, 2003. 206 с.
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
4. Плохотников С.П., Фатыхов Р.Х. Математическое моделирование фильтрации в слоистых пластах: монография. Казань, КГУ, 2006. 173 с.
5. Чекалюк Э.Б. Термодинамика нефтяного пласта. М.: Недра, 1965. 238 с.
6. Плохотников С.П., Елисеенков В.В. Гидродинамические расчеты в слоистых пластах на основе модифицированных относительных проницаемостей // Прикладная механика и техническая физика (ПМТФ). Новосибирск, РАН СО, 2001. Т. 42. № 5. С. 115 - 121.
7. Mathematical simulation of three-phase filtration in stratified beds with account for the scheme of jets / V.A. Bogomolov,
TECHNICAL SCIENCE. 2019. No 1
S.P. Plokhotnikov, O.R. Bulgakova, D.S. Plokhotnikov // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. -Springer, 2011. Vol. 84, No. 5. p. 975 - 979.
8. Плохотников С.П., Богомолов В.А., Булгакова О.Р. Осред-ненные модели двухфазной трехкомпонентной фильтрации при закачке в нефтяной пласт химических реагентов -полимеров, водных растворов ПАВ / Вестн. технологического ун-та / КГТУ. Казань, 2010. Т. 10. С. 350 - 356.
9. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, I960. 400 с.
10. Tempest-MORE. Руководство пользователя, версия 6.3, Roxar, 2006. 373 c.
References
1. Bulygin D.V., Bulygin V.Ya. Geologiya i imitatsiya razrabotki zalezhei nefti [Geology and simulation of the development of oil deposits]. Moscow.: Nedra, 1996, 382 p.
2. Bolotnik D.N., Dinariev O.Yu., Maksimov M.M., Rybitskaya L.P. Metodicheskie ukazaniya po sozdaniyu postoyanno de-istvuyushchikh geologo-tekhnologicheskikh modelei neftyanykh i gazoneftyanykh mestorozhdenii. Chast' 2. Fil'tratsionnye modeli [Methodical instructions for the creation of permanent geological and technological models. In two parts. Part 2. Filtration models]. Moscow: VNIIOENG, 2003, 228 p.
3. Kanevskaya R.D. Matematicheskoe modelirovanie protsessov razrabotki mestorozhdenii uglevodorodov [Mathematical simulation of hydrodynamic processes during the hydrocarbon development]. Moscow, Izhevsk, 2003, 206 p.
4. Plokhotnikov S.P. Matematicheskoe modelirovanie fil'tratsii v sloistykh plastakh [Mathematical simulation of filtration in a layer-inhomogeneous reservoir]. Kazan', 2006, 173 p.
5. Chekalyuk E.B. Termodinamika neftyanogoplasta [Oil reservoir thermodynamics]. Moscow: Nedra, 1965, 238 p.
6. Plokhotnikov S.P., Eliseenkov V.V. Gidrodinamicheskie raschety v sloistykh plastakh na osnove modifitsirovannykh otnosi-tel'nykh pronitsaemostei [Hydrodynamic calculations in a layer-inhomogeneous reservoir based on modified relative permeabilities]. Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskayafizika= Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2001, Vol. 42, no. 5, pp. 115 - 121. (In Russ.)
7. Bogomolov V.A. Mathematical simulation of three-phase filtration in stratified beds with account for the scheme of jets. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2011, Vol. 84, no. 5, pp. 975 - 979.
8. Plokhotnikov S.P. Osrednennye modeli dvukhfaznoi trekhkomponentnoi fil'tratsii pri zakachke v neftyanoi plast khimicheskikh reagentov - polimerov, vodnykh rastvorov PAV [Homogenized models of a diphasic three-componential filtration in layered layers on absolute permeability at an isothermal filtration, when injected into an oil layer of chemical reagents polymers, water solutions of surfactants]. Vestnik tekhnologicheskogo universiteta, 2010, Vol. 10, pp. 350 - 356. (In Russ.)
9. Bellman R. Dinamicheskoeprogrammirovanie [Dynamic programming]. Moscow: IL, I960, 400 p.
10. Tempest-MORE. Rukovodstvopol'zovatelya, versiya 6.3, Roxar [User's manual, version 6.3, Roxar]. 2006, 373 p.
Поступила в редакцию /Received 24 октября 2018 г. / October 24, 2018
