Выбор схемы и решение обратной задачи о положениях для системы позиционирования на базе плоского механизма параллельной структуры Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Наука и Образование

МГТУ им. Н.Э. Баумана

Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2017. № 07. С. 87-101.

1Э5М 1994-040В

Б01: 10.7463/0717.0001195

Представлена в редакцию: Исправлена:

© МГТУ им. Н.Э. Баумана

УДК 621.01

Выбор схемы и решение обратной задачи о положениях для системы позиционирования на базе плоского механизма параллельной структуры

Ларюшкин П.А.1*, Мукабенова Л.Г.1, Эрастова К.Г.1, Зайцева О.Ю.1

05.06.2017 19.06.2017

рау.ап<11аг@ атаЛ сот

:МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

Статья посвящена вопросу модификации системы позиционирования на основе плоского механизма параллельной структуры, применяемой в прототипе металлообрабатывающего станка «Тетра». Указано, что оригинальная конструкция имеет значимые недостатки, связанные с фундаментальными особенностями параллельных механизмов. Рассмотрены различные существующие варианты исполнения систем, обеспечивающих позиционирование в плоскости. Для дальнейшей проработки выбрана схема с дополнительным резервирующим линейным приводом. При этом промежуточные звенья попарно объединены в «лямбда»-подобные элементы. Для рассмотренной схемы решена обратная задача о положениях с учетом взаимного расположения приводов при работе, в результате чего из шестнадцати возможных решений задачи выбрано единственное. С использованием выбранного решения было проведено исследование рабочей зоны, которое показало, что ее необходимые размеры для диапазона изменения угла поворота выходного звена ±90 градусов могут быть сохранены при изменении размеров и положения суппортов.

Ключевые слова: параллельный механизм; обратная задача о положениях; плоский механизм; система позиционирования

Введение

В настоящее время значительная часть мировых научных публикаций в области исследований манипуляционных механизмов посвящена механизмам с параллельной кинематической структурой [1-4]. В промышленности для автоматизации и роботизации таких задач, как упаковка, сборка, механообработка и других существует потребность в роботах, способных оптимально использовать ограниченное рабочее пространство [5]. Возможности применения робототехнических решений, основанных на использовании механизмов параллельной структуры, ограничены недостатками механизмов данного типа. Так, рабочее пространство параллельного робота обычно меньше, чем у классического робота с последовательной кинематикой, имеющего аналогичные размеры, и зачастую сегментирова-

но зонами так называемых особых положений, в которых подвижность механизма отличается от желаемой и выходное звено (рабочий орган) устройства может потерять управляемость или подвижность [6]. Кроме того, при приближении к этим самым зонам наблюдаются ухудшение точности позиционирования, повышение нагрузки на приводы и другие негативные явления [7,8]. Другим недостатком механизмов с параллельной кинематикой является сложность управления, поскольку передаточное отношение, во-первых, непостоянно по рабочей зоне, во-вторых - ввиду наличия все тех же особых положений, обход или преодоление которых требует разработки специальных алгоритмов [9].

К достоинствам параллельных манипуляторов принято относить их высокую скорость и жесткость, а также относительную простоту конструкции отдельных подвижных частей. Указанные преимущества по большей части являются следствием того, что в таких механизмах приводы располагаются на неподвижном основании. Следует отметить, что, благодаря повышенной точности, механизмы параллельной структуры находят своё применение в медицинской технике, где данное качество особенно важно [10]. Отмеченные достоинства также создают потенциал для применения модульных решений при конструировании манипуляторов данного типа.

Одним из самых простых типов манипуляторов с параллельной кинематикой являются механизмы, реализующие движение выходного звена в плоскости, т.е. имеющие две или три степени свободы. Настоящая статья посвящена выбору схемы, решению обратной задачи о положениях механизма такого типа, а также использованию данного решения для итерационного анализа его рабочей зоны. Механизм предлагается использовать в качестве исполнительной части системы позиционирования инструмента и детали модернизированной версии прототипа многокоординатного станка «Tetra», разработанного в МИП «Модульная механика МГТУ им. Н.Э. Баумана».

1. Выбор кинематической схемы

Изначальный вариант прототипа станка (рис. 1) состоит из двух идентичных модулей с тремя степенями свободы, реализующих движение в плоскости. Каждый из модулей представляет собой линейную направляющую с размещенными на ней тремя суппортами, имеющими общий ходовой винт. Выходное звено модуля соединяется с суппортами при помощи шатунов.

В процессе исследования и тестирования эксплуатационных характеристик построенного прототипа было установлено, что в некоторых положениях выходной модуль имеет возможность перемещения даже при остановленных и зафиксированных приводах (суппортах). С точки зрения теории механизмов с параллельной кинематикой данная ситуация говорит о попадании механизма в так называемое особое положения 2-го типа [11]. При этом неизбежное наличие погрешностей при изготовлении и сборке модуля увеличивает зоны таких положений, существенно уменьшая общую рабочую зону механизма. Указанная проблема имеет фундаментальные причины, связанные с кинематической структурой механизма, поэтому была начата проработка различных вариантом её модифицирования.

Рис. 1. Трехмерная модель и прототип станка «Тетра»

Модуль многокоординатного станка «Tetra» представляет собой одну из вариаций 3-PRR механизма (здесь цифра 3 означает количество кинематических цепей, буквы R и P -вращательную и поступательную кинематическую пару соответственно). Следует отметить, что все представители данного подкласса реализуют полное движение в плоскости, т.е. обеспечивают три степени свободы выходного звена. Рассмотрим поподробнее данный подкласс параллельных механизмов.

Основой PRR механизма является приводная поступательная кинематическая пара, которая обычно представляет собой линейную направляющую с суппортом. Для каждой приводной пары может быть использована своя собственная направляющая, как, например, в механизме, представленном на рис. 2 [12].

Рис. 2. Плоский манипулятор на основе 3-PRR механизма

Благодаря наличию трех направляющих в данном механизме исключена необходимость просчитывать траекторию из соображений отсутствия интерференции входных пар. Существенным его недостатком является наличие особых положений, а также массивное основание, что делает его применение в многокоординатном станке «Tetra» нецелесообразным.

Рассмотрим PRR механизм, в основе которого - одна направляющая, на которой располагаются все приводные поступательные кинематические пары. Наиболее простым исполнением является данного варианта является механизм, использующийся в модуле

станка «Tetra». В работе [13] представлена модификация данного механизма (рис. 3). Благодаря дополнительной четвертой PRR кинематической цепи, данный механизм не имеет особых положений, а специальная конструкция звеньев исключает их интерференцию.

Endplaie wilh internal force sensor

Linear motor + linear encoder Рис. 3. Плоский манипулятор на основе 4-PRR механизма

Недостатком данного механизма для рассматриваемой задачи является непосредственная близость суппортов и выходного звена. Для решения этой проблемы в данной статье предлагается 4-РЯЯ механизм с измененной геометрией звеньев. Недостатком данной схемы является то, что из-за так называемой «лямбда»-подобной формы звеньев будет создаваться больший (относительно традиционной схемы) момент, однако этот недостаток не является принципиальным, т.к. данный момент воспринимает не привод механизма, а неподвижная линейная направляющая.

2. Кинематическая схема и обратная задача о положениях 4-РЯЯ

механизма

Рассмотрим кинематическую структуру механизма (рис. 4).

Рис. 4. Кинематическая схема предложенного 4-PRR механизма

Механизм имеет четыре линейных привода (Аг, /=1...4), расположенных на общем ходовом винте и жестко соединенных с вращательными кинематическими парами (ВЦ), которые в свою очередь соединены с выходным звеном механизма посредством промежуточных звеньев ВС, СгВ, (/=1,2) и вращательных пар С ¡В,. Положение выходного звена описывается координатами х, у точки Е и углом поворота ф.

При решении обратной задачи о положениях необходимо для заданных х, у и ф вычислить обобщенные координаты - положения приводов. Положение привода характеризуется координатой ХАг. Поскольку шарниры Вг жестко связаны с линейными приводами Аг, можно без потери общности считать, что хВг =ХАг. В таком случае для решения указанной задачи достаточно вычислить координаты хВг.

На первом этапе решения задачи рассмотрим выходное звено механизма (рис. 5)

Пусть геометрия выходного звена задается размерами ЕВ1, ЕВ2 и углами 71, у2. В некотором положении, называемым начальным, линия, от которой отсчитываются указанные углы, совпадает с осью х', параллельной оси х, а угол ф равен нулю. Тогда, если известны координаты точки Е и угол ф, координаты точек В1 и В2 могут быть вычислены следующим образом:

Далее рассмотрим геометрию промежуточных элементов кинематических цепей (рис. 6).

Каждый из представленных на рисунке «лямбда»-подобных элементов состоит из двух звеньев, одно из которых имеет конструктивное продолжение после общего шарнира, отклоняющееся на угол а,. Заданными считаются длины ВгС/, СгВ, и углы а,.

Рис. 5. Выходное звено механизма

хв = хЕ + В}Е ■ соб (уу + ф), Ув, = Уе + ВЕ ■(у } +ф) •

(1)

Рис. 6. Промежуточные элементы кинематических цепей

Координаты точек В1, В1 и В4, В2 попарно связаны межу собой зависимостями:

АД2 = (Хт1 - ХВ1 )2 + (Ут - УВ1 )2 > В4т22 = (ХВ2 - ХВ4 )2 +(Ут2 - УВ4 )2 >

или иначе

- ХВ1 = ±>/ВА2 -(Ут - УВ1 )2 >

=±>/Вт7чУт27УВ47,

(2)

хт ХВ 4

где уВ1, уВ4 равны Л\В\ и А4В4, соответственно, а координаты точек В^ определяются по формуле (1). В каждом из уравнений (2) в общем случае существует по два решения для хВ1 и хВ4. Также по два решения будет существовать при определении хВ2 и хВ3, что суммарно дает 16 возможных решений обратной задачи о положениях для рассматриваемого механизма. Однако представляется возможным использовать определенные ограничения для уменьшения данного числа.

Рассмотрим левый «лямбда»-подобный элемент. В общем случае при решении первого уравнения в (2) может сложиться две ситуации: хВ1>хВ1 и хВ1<хВ1. Второй случай, очевидно, является менее удачным для реализации при непосредственном конструировании механизма, т.к. привод А2 не может находиться левее привода Л1, если они находятся на одной направляющей, а размещение приводов на разных направляющих приведет к уменьшению жесткости конструкции. Похожая ситуация складывается и для правого элемента, с той разницей, что в данном случае рациональным является соотношение хВ2<хВ4. Иными словами, левая часть первого уравнения в (2) должна быть всегда положительна, а левая часть второго уравнения в (2) - всегда отрицательна. Тогда получаем:

хв1 = хт1 БА2 -(Ут - УВ1

+ >/В4В2 -(—02 " УВ4 )2 •

ХВ4 ХВ2

Для вычисления хВ2 и хв3 необходимо сначала вычислить координаты точек С1 и С2, которые могут быть определены с помощью углов Р- и ^--.Углы р1 и р2 не зависят от положения механизма вычисляются следующим образом:

= агСап

ст' ^п

вс + ст ■со8 а

1 У

Р2 = агСап

ст ■ ^п а2

у В4С2 + с2т2 ■ соэ а у

При этом удобно считать положительное направление угла а- против часовой стрелки относительно продолжения, соответствующего звена. В таком случае, согласно рис. 4 и рис. 6 угол а1 (а значит и р1) будет иметь отрицательное значение.

Углы ^ между изначальным направлением удлиненного звена и осью х", параллельной оси х, вычисляются из соотношений

У1 = а^п 2 (ут - Ув1, Хт - хв1) - Р1, У 2 = а^п 2 (Ут2 - Ув4 , хд2 - хв4 ) - 02 ,

где функция а1ап2 задается следующим образом:

агйап I —

а1ап2( х, у) =

при х > 0,

У

агйап 1 + к при х < 0 и у > 0, агйап I — 1 - к при х < 0 и у < 0,

к

+ —

2 к 2

не задано

при х = 0 и у > 0,

при х = 0 и у < 0, при х = 0 и у = 0.

Тогда

хС1 = хВ1 + вс СОБ У, Ус1 = Ув1 + в1с1 У^ хс2 = хв4 + в4с2 СОБ У 2 , Ус2 = Ув4 + в4с2^п У 2-

<

При хв2>хс1 и xB3<xc2 жёсткость конструкции выше, чем при xB2<xa и xb3>xc2, так как при втором случае момент в точке Di будет больше. По аналогии с (3), но теперь для наиболее выгодных условий, найдём координаты точек xB2 и xB3:

xb2 = XC1 +>/B2C12 "(" Ув2 ) > xb3 = xc2 >/B3C2 _ (yc 2 _ ув3 ) •

3. Анализ рабочей зоны механизма

Используя полученные выше зависимости, можно проанализировать размер рабочей зоны механизма. В данной работе используется итерационный подход, который основан на разбиении некоторой заведомо большей, чем рабочая, области на точки с определенным шагом и последующем решении обратной задачи о положениях в каждой из этих точек [6]. Точки, в которых обратная задача о положениях имеет решение в действительных числах, определяют рабочую зону механизма.

Для большей наглядности рабочие зоны приведены сразу для двух механизмов: механизма модуля оригинального прототипа станка «Tetra», кинематическая схема которого представлена на рис. 7, и механизма, предлагаемого в данной работе (рис. 4).

Рис. 7. Кинематическая схема механизма модуля прототипа станка «Tetra»

Определение размера рабочих зон производилось для следующих геометрических параметров манипуляторов (длины даны в мм):

механизм модуля прототипа станка «Tetra»: B1C1=B3C3=400; B2C2=250; СС2=С2Сз=90; C2D=0; AiBI=Á2B2=Á3B3=40.

рассматриваемый механизм: A1B1=A2B2=A3B3=40; B1C1=B2C2=B3C3=200; DiE=D2E=90; CiDi=C2D2=200. Углы: ai=-30°, a2=30 Размеры суппортов обоих механизмов: 200 мм.

Полученные результаты представлены на рис. 8 и рис. 9 для двух ориентаций выходного звена: ф=0° и ф=45°.

Рис. 8. Рабочие зоны механизмов и их габариты при ориентации выходного звена ф=0° (сверху: рассматриваемый механизм; снизу: механизм модуля прототипа станка «Tetra»)

Рис. 9. Рабочие зоны механизмов при ориентации выходного звена ф=45° (сверху: рассматриваемый механизм; снизу: механизм модуля прототипа станка «Tetra»)

Как видно из рис. 9, при ориентации выходного звена ф=45° площадь рабочая зона рассматриваемого механизма заметно меньше, чем у оригинального прототипа. В результате анализа рабочего пространства при различных параметрах было установлено, что основным ограничивающим фактором являются размеры второго и третьего суппортов.

Новая конструкция благодаря более равномерному распределению нагрузки по кинематическим цепям и наличию дополнительного привода позволяет уменьшить размер суппортов до 50 мм либо расположить их на соседних направляющих. На рис. 10 представлены рабочие зоны рассматриваемого механизма при различных ориентациях выходного звена.

Щ. -Ш W til' m 4tfí М' V Я I* <■' Ш

Рис. 10. Рабочие зоны рассматриваемого механизма при различных ориентациях выходного звена (механизм оригинального прототипа - желтая область; новый механизм с уменьшенными суппортами (50 мм) - область в красной рамке; новый механизм с суппортами, расположенными на соседних направляющих

- область в черной рамке)

Полученные результаты в численном виде представлены в таблице 1.

Таблица 1. Площадь рабочих зон механизмов (в м2)

Ориентация выходного звена Оригинальный механизм модуля прототипа станка «Tetra» Рассматриваемый механизм

С длиной суппорта 200мм С длиной суппорта 50мм С суппортами, расположенными на соседних направляющих

ф=0° 0,108 0,129 0,129 0,129

ф=45° 0,127 0,036 0,111 0,111

ф=90° 0,062 0 0,055 0,130

Как видно из рисунков и таблицы, изменение схемы механизма позволяет при тех же габаритах сохранить размер рабочего пространства при горизонтальной ориентации выходного звена. Также видно, что сокращение площади рабочей зоны при увеличении угла наклона выходного звена (более 70% уже при ф=45°) может быть компенсировано укорочением длины суппортов или их расположением на соседних направляющих. Можно также отметить, что уменьшение размера происходит только вдоль оси y, что позволяет дополнительно скомпенсировать данный недостаток за счет подвижности второго модуля прототипа станка.

Помимо указанных конструктивных изменений, площадь рабочего пространства будет зависеть от соотношения геометрических размеров промежуточных элементов кинематических цепей. Подбор оптимального соотношения размеров, а также исследование влияния особых положений должны быть проведены в рамках дальнейшего исследования механизма.

Заключение

В данной работе были рассмотрены различные варианты исполнения 3-PRR и 4-PRR механизмов для возможного применения в модулях многокоординатного станка «Tetra». Также была предложенная модификация 4-PRR механизма «лямбда»-подобными элементами, благодаря которым появилась возможность отодвинуть исполнительное звено механизма от его суппортов. Для механизма приведено решение обратной задачи о положениях. На основе анализа конструктивных особенностей схемы из шестнадцати теоретически возможных вариантов решения был выбран единственный, с использованием которого проведен общий анализ размера рабочего пространства механизма.

Исследование показало, что без модификаций суппортов размеры рабочей зоны рассмотренного механизма существенно сокращаются при увеличении угла поворота выходного звена. Данный недостаток может быть скомпенсирован уменьшением размера суппортов до 50 мм или расположением их на соседних направляющих. В первом случае приемлемый размер рабочего пространства сохраняется до угла поворота, примерно равного 60 градусам, а во втором - 90 градусам.

Таким образом, подтверждено, что изменение кинематической схемы системы ориентации станка «Tetra» на предлагаемую в данной работе не повлечет за собой уменьшения размера рабочего пространства при условии определенных конструктивных доработок суппортов.

Список литературы

1. Ганиев Р.Ф., Глазунов В.А. Манипуляционные механизмы параллельной структуры и их приложения в современной технике // Доклады Академии наук. 2014. Т. 459. № 4. С. 428-431. DOI: 10.7868/S086956521434009X

2. Глазунов В.А., Колискор А.Ш., Крайнев А.Ф. Пространственные механизмы параллельной структуры. М.: Наука, 1991. 94 с.

3. Глазунов В.А., Чунихин А.Ю. Развитие исследований механизмов параллельной структуры // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2014. № 3. С. 37-43.

4. Merlet J.-P. Parallel robots. 2nd ed. Dordrecht; Boston: Kluwer, 2006. 355 p.

5. Tlusty J., Ziegert J., Ridgeway S. Fundamental comparison of the use of serial and parallel kinematics for machines tools // Annals of CIRP. 1999. Vol. 48. No. 1. Pp. 351-356.

6. Хейло С.В., Ларюшкин П.А. Определение рабочей зоны манипуляторов параллельной структуры // Справочник. Инженерный журнал с приложением. 2013. № 2 (191). С. 27-31.

7. Глазунов В.А., Нгуен Нгок Хуэ, Нгуен Минь Тхань. К анализу особых положений механизмов параллельной структуры // Машиностроение и инженерное образование. 2009. № 4. С. 11-16.

8. Глазунов В.А., Аракелян В., Брио С., Рашоян Г.В. Скоростные и силовые критерии близости к сингулярностям манипуляторов параллельной структуры // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2012. № 3. С. 10-17.

9. Хейло С.В., Глазунов В.А. Решение задачи об управлении поступательно-направляющим механизмом параллельной структуры // Справочник. Инженерный журнал с приложением. 2013. № 10 (199). С. 17-24.

10. Ларюшкин П.А., Глазунов В.А., Эрастова К.Г., Соломенцев Ю.М. Манипулятор параллельной структуры с вращательными степенями свободы для возможного применения в медицинской робототехнике // Качество. Инновации. Образование. 2016. Т. 2. № 2. С. 110-116.

11. Ларюшкин П.А. Классификация и условия возникновения особых положений в механизмах параллельной структуры // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2017. № 1 (682). С. 16-23. DOI: 10.18698/0536-1044-2017-1-16-23

12. Jiasi Mo, Zhicheng Qiu, Junyang Wei, Xianmin Zhang. Experimental study on joint positioning control of an ultrasonic linear motor driven planar parallel platform // 7th Intern. conf. on intelligent robotics and applications: ICIRA 2014 (Guangzhou, China, December 17-20, 2014): Proc. Pt. II. Cham; Hdbl.; Dordrecht; N.Y., L.: Springer, 2014. Pp. 48-59. DOI: 10.1007/978-3-31913963-0 5

13. Takashi Harada, Podi Liu. Internal and external forces measurement of planar 3-DOF redundantly actuated parallel mechanism by axial force sensors // ISRN Robotics. 2013. Vol. 2013. Article ID 593606. 8 p. DOI: 10.5402/2013/593606

Science ¿Education

of the Bauman MSTU

El

tft

tronic journa

iSSH 1994-0408

/

Science and Education of the Bauman MSTU, 2017, no. 07, pp. 87-101.

DOI: 10.7463/0717.0001195

Received: 05.06.2017

Revised: 19.06.2017

© Bauman Moscow State Technical Unversity

Scheme Choice and Inverse Kinematics of a Positioning System Based on a Planar Parallel Mechanism

P.A. Laryushkin1'*, L.G. Mukabenova1, [email protected]

K.G. Erastova1, O.Yu. Zaytseva1

:Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia

Keywords: parallel mechanism; inverse kinematics; planar mechanism; positioning system

Recent development of the parallel mechanisms theory has resulted in an increase of the actual machines, which are built using the conceptual schemes of such mechanisms. The advantages of parallel kinematics over conventional open-chain design, such as increased stiffness or lower inertia of moving parts, allow, in theory, higher performance rates in pick-and-place or machining applications. However, the practical usage of parallel mechanisms may be problematic due to their drawbacks, such as restricted workspace area and presence of singularities.

The paper discusses a modification of the milling machine "Tetra" developed in "Modular Mechanics", ltd. (BMSTU), which consists of two identical modules based on planar parallel kinematics mechanism. The loss of module stiffness in certain positions of the end-effector was noticed after experiments on the prototype, thus indicating the presence of singularities. Since this problem is a manifestation of fundamental properties of the chosen kinematic scheme, it was decided to change it.

A scheme with three linear rails and three drives, as well as a scheme with a single rail and with four drives were considered as alternative options. The first option was discarded because it requires manufacturing a massive base plate. The second option was selected for future development. In this case, as compared to the previously known design, a configuration of the intermediate links was changed. The use of "lambda"-shaped elements makes it possible to distance the drive supports from the end-effector.

For a chosen scheme an inverse kinematics problem was solved. Using constraints associated with the placement of all four drive supports on a single rail and stiffness requirements as well, a one single solution was selected among sixteen possible solutions.

The further investigation will include a workspace and singularity analysis and an optimization of geometric parameters of the mechanism.

References

1. Ganiev R.F., Glazunov V.A. Handling mechanisms of parallel structure and their application in modern equipment. Doklady Physics, 2014, vol. 59, iss. 12, pp. 582-585.

DOI: 10.1134/S1028335814120015

2. Glazunov V.A., Koliskor A.Sh., Krajnev A.F. Prostranstvennye mekhanizmy parallel'noj struktury [Spatial parallel mechanisms]. Moscow: Nauka Publ., 1991. 94 p. (in Russian).

3. Glazunov V.A., Chunikhin A.Yu. Development of mechanisms of parallel structure. J. of Machinery Manufacture and Reliability, 2014, vol. 43, no 3, pp. 211-216.

DOI: 10.3103/S1052618814030030

4. Merlet J.-P. Parallel robots. 2nd ed. Dordrecht; Boston: Kluwer, 2006. 355 p.

5. Tlusty J., Ziegert J., Ridgeway S. Fundamental comparison of the use of serial and parallel kinematics for machines tools. Annals of CIRP, 1999, vol. 48, no. 1, pp. 351-356.

6. Khejlo S.V., Laryushkin P.A. Determination of robot range manipulators parallel structure. Spravochnik. Inzhenernyj zhurnal s prilozheniem [Handbook. An Engineering J. with appendix], 2013, no. 2 (191), pp. 27-31 (in Russian).

7. Glazunov V.A., Nguyen Ngoc Hue, Nguyen Minh Thanh. Singular configuration analysis of the parallel mechanisms. Mashinostroenie i inzhenernoe obrazovanie [Mechanical Engineering and Engineering Education], 2009, no. 4, pp. 11-16 (in Russian).

8. Glazunov V.A., Arakelyan V., Briot S., Rashoyan G.V. Speed and force criteria for the proximity to singularities of parallel structure manipulators. J. of Machinery Manufacture and Reliability, 2012, vol. 41, no 3, pp. 194-199. DOI: 10.3103/S1052618812030041

9. Khejlo S.V., Glazunov V.A. Control of translation parallel structure mechanism. Spravochnik. Inzhenernyj zhurnal s prilozheniem [Handbook. An Engineering J. with appendix], 2013, no. 10 (199), pp. 17-24 (in Russian).

10. Laryushkin P.A., Glazunov V.A., Erastova K.G., Solomentsev Ju.M. A 3-DOF rotational parallel manipulator for possible applications in medical robotics. Kachestvo. Innovatsii. Obrazovanie [Quality. Innovation. Education], 2016, vol. 2, no. 2, pp. 110-116 (in Russian).

11. Laryushkin P.A. Classification and occurrence conditions of singularities in parallel mechanisms. Izvestiia vysshikh uchebnykh zavedenij. Mashinostroenie [Proc. of Higher Educational Institutions. Machine Building], 2017, no. 1 (682), pp. 16-23. DOI: 10.18698/0536-10442017-1-16-23 (in Russian)

12. Jiasi Mo, Zhicheng Qiu, Junyang Wei, Xianmin Zhang. Experimental study on joint positioning control of an ultrasonic linear motor driven planar parallel platform. 7th Intern. conf. on intelligent robotics and applications: ICIRA 2014 (Guangzhou, China, December 17-20, 2014): Proc. Pt. II. Cham; Hdbl.; Dordrecht; N.Y., L.: Springer, 2014. Pp. 48-59. DOI: 10.1007/978-3-319-13963-0 5

13. Takashi Harada, Podi Liu. Internal and external forces measurement of planar 3-DOF redundantly actuated parallel mechanism by axial force sensors. ISRN Robotics, 2013, vol. 2013, article ID 593606. 8 p. DOI: 10.5402/2013/593606