Выбор поставщика в условиях разнотипности данных с использованием методов теории нечетких множеств Текст научной статьи по специальности «Математика»

2008 Экономика №2(3)

УДК 681.518:658.711.4(047.31)

Б.С. Лещинский, Ю.А. Конкина ВЫБОР ПОСТАВЩИКА В УСЛОВИЯХ РАЗНОТИПНОСТИ ДАННЫХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДОВ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ

Представлен метод выбора поставщика в условиях разнотипности данных. Используется подход, основанный на теории нечетких множеств, позволяющий перейти к единой шкале измерения с сохранением смысла параметров. Принятие решения о выборе поставщика производится на основе значений функции принадлежности выпуклой комбинации нечетких множеств, соответствующих измеряемым параметрам. Применение метода рассмотрено на реальном примере.

С развитием рыночных отношений и возрастающим количеством предприятий перед многими организациями встает проблема выбора поставщика, удовлетворяющего определенным условиям. При принятии решения возникают некоторые трудности в связи с тем, что поставщики характеризуются различным набором часто противоречивых свойств: по одним параметрам предполагаемый поставщик может отличаться в лучшую сторону, а по другим - в худшую. Эта проблема обычно решается совместным учетом всех рассматриваемых параметров. Однако при этом возникают трудности, связанные с несовместимостью значений параметров, измеряемых в разнотипных шкалах (качественных и количественных), и неадекватности применения к ним одних и тех же операций [1. С. 171]. Например, очевидно, что нельзя применять арифметические операции к значениям параметра «Условия платежа», измеряемого в шкале наименований {Предоплата, Рассрочка, Оплата по факту}, в то время как данные параметра «Цена продукции», измеряемого в шкале отношений, допускают использование этих операций.

На практике для выбора поставщика используется обычно метод рейтинговых оценок или метод доминирующих характеристик. Однако оба метода обладают существенными недостатками. Например, в методе доминирующих характеристик не учитываются многие параметры отбора, а применение метода рейтинговых оценок может привести к неверному принятию решения, поскольку совместно используют несопоставимые по смыслу данные, и с баллами, имеющими смысл качественных оценок, производят арифметические действия.

Решение проблем традиционных методов выбора поставщика может состоять в переходе к единой шкале измерения с сохранением смысла параметров и цели их использования, в чем может помочь использование методов теории нечетких множеств.

1. Описание метода решения задачи

Пусть А = {а\, а2, ..., ап} - множество поставщиков, из которых нужно выбрать «наилучшего»; С = {е\, с2, ..., ст} - множество параметров, используемых для представления поставщиков из А. Задача состоит в расположении (упорядочении, ранжировании) элементов множества А в порядке предпочтения по значениям параметров множества С.

Как было указано ранее, часть данных о поставщиках измеряются в качественных, а часть - в количественных шкалах, поэтому для того, чтобы эти данные были сопоставимыми и количественными, произведем переход от значений разнотипных параметров к их нечетким оценкам, измеряемым в одной и той же количественной шкале [2. С. 116].

Определим шкалу измерения в виде интервала вещественных чисел [0,1] и для каждого поставщика аг е А (г = 1, п) по значению каждого параметра с (/ = 1, т) установим числовую оценку |(аг) е [0,1], которая характеризует, насколько этот поставщик соответствует понятию «наилучший по ^му параметру». В результате каждый поставщик аг теперь будет представлен не множеством значений параметров, а множеством {|1(аг), |2(аг), ..., |т(аг)} соответствующих им числовых оценок. При этом все они измеряются в одной и той же числовой шкале (интервал [0,1]) и, следовательно, могут быть использованы совместно в численных расчетах.

Таким образом, для каждого с/ е С имеется множество {|(а1), |^(а2), ..., М/(ап)}, каждый элемент которого характеризует соответствие поставщика аг понятию «наилучший» по этому параметру. Следовательно, это понятие можно представить нечетким множеством, заданным на универсальном множестве поставщиков А,

~ = [|/ (а1) I/ (а2) I/ (ап ) |

1 | а1 ’ а 2 ’...’ ап \

с функцией принадлежности |(а), характеризующей совместимость любого поставщика а е А с данным понятием.

Оценки параметров, в качестве которых выступают значения функции принадлежности, можно получать непосредственно от эксперта (прямой метод) или, если у него возникают трудности с заданием значений функций принадлежности, можно использовать какие-либо косвенные методы, например метод парных сравнений. Ранжирование вариантов происходит на основе значений функций принадлежности выпуклой комбинации С нечётких множеств, соответствующих измеряемым параметрам,

т

IС (аг )= ЕР / -I / (аг^

/=1

т

где Р1, р2, ..., рт - неотрицательные числа (ЕР/ = 1), характеризующие от-

/=1

носительную важность параметров с\, с2, ..., ст; |(аг) - значение функции

Б.С. Лещинский, Ю.А. Конкина

46 -----------------------------------------------------------------------------

принадлежности из [0,1] для каждого поставщика аг е А по значению каждого параметра с/ (/ = 1,т), которая характеризует, насколько этот поставщик соответствует понятию «наилучший по/-му параметру» по мнению эксперта. Таким образом, если В = [Рь р2,..., рт]т - матрица коэффициентов важно-

сти используемых параметров, М =

••• Р-т (аі)

матрица значении

>1(ап ) - Iт (ап )_

функций принадлежности, то матрица М~ элементов I ~ (а1), ., I~ (ап), определяющих предпочтения поставщиков, имеет вид

М~ = МБ. (1)

Наилучшим поставщиком считается вариант с максимальным значением функции принадлежности

/иС (а*) = тах цС (аг). (2)

С агеА С

Если эксперту удобнее оценивать важность параметров в числах, превышающих единицу, можно сначала использовать ту количественную шкалу, которая удобна (например, в интервале от 0 до 10), а затем вычислить долю каждого числа в общей сумме. Эти долевые значения и будут использованы в дальнейших расчетах. Другими словами, если первоначально важность оце— Ъ

нена в числах Ъ/ ( = 1, т) из интервала [0, а], то Р/ = —--.

ь,

к=1

Важный этап в решении задачи выбора поставщика - построение функции принадлежности. В данной работе значения функции принадлежности находятся прямым или косвенным методом на основании мнения эксперта.

Использование прямого метода подразумевает, что значения функций принадлежности получены непосредственно от эксперта в соответствии с предложенной шкалой. Нередко непосредственное задание таких значений вызывает затруднения, так как эксперт не всегда может оперировать всем множеством допустимых параметров. Существенную помощь в решении этой проблемы может оказать метод парных сравнений [3. С. 33]. В этом случае эксперту предоставляется возможность «работать» лишь с парами альтернатив, что существенно упрощает задачу и повышает надежность и объективность экспертной информации. С помощью этого метода формируются матрицы Щс) парных сравнений вариантов по каждому параметру (общее количество матриц совпадает с количеством параметров) с элементами ёк (/ = 1,т ; г = 1,п ; к = 1,п ), которые выражают преимущество одного поставщика аг перед другим ак по параметру с/. Элементы ёк оцениваются в соответствии со шкалой Саати [3. С. 35].

Если парные сравнения согласованы, то вычисление значений функции принадлежности существенно упрощается [3. С. 37], поскольку в этом случае

^ ^ 1 = 1,П ,/ = 1 т ). (3)

Отсюда следует, что для получения всех элементов Щ) достаточно знать одну ее строку. Значения функции принадлежности ц(аг) вычисляются по формуле

ц-Оа) = , * = 1 п, (4)

Е К

к=1

и используются в качестве элементов матрицы М в формуле (1). Если парные сравнения по какому-либо параметру с/ не согласованы, то вычисление элементов ц(аг-) производится методом поиска собственного вектора матрицы Дс,).

Значения коэффициентов важности Р1, р2, ..., рт могут также вычисляться методом парных сравнений.

2. Пример выбора поставщика прямым методом

Для примера рассмотрим задачу выбора наилучшего поставщика трубной продукции среди трех компаний аь а2 и а3, характеризующихся параметрами, приведенными в табл. 1.

Таблица 1

Параметры оценки поставщиков

Параметр Шкала измерения

Сроки доставки (с1) (0,<х), дн.

Стоимость доставки (с2) (0,<х), руб. за 1 т

Условия платежа (с3) {Предоплата, Рассрочка, Оплата по факту}

Качество продукции (с4) {Низкое, Среднее, Высокое}

Финансовое состояние (с5) {Неустойчиво, Устойчиво}

Сервис (с6) {Нет, Да}

Цена продукции (с7) (0,<х), руб. за 1 т

Удаленность от потребителя (с8) {Рядом, Недалеко, Далеко}

Заметим, что в этом случает необходимо совместно использовать данные, измеряемые в количественной шкале отношений («Сроки доставки», «Стоимость доставки», «Цена продукции»), и данные, измеряемые в качественных шкалах порядка («Качество продукции», «Финансовое состояние», «Удаленность от потребителя») и наименований («Условия платежа», «Сервис»). Если для первой шкалы допустимыми являются как логические, так и арифметические операции, то для остальных шкал использование арифметических операций недопустимо. Мало того, к данным шкалы наименований можно

Б.С. Лещинский, Ю.А. Конкина

48 -----------------------------------------------------------------------------

применять только одну логическую операцию - сравнение на эквивалентность.

Значения параметров для поставщиков приведены в табл. 2.

Таблица 2

Характеристики поставщиков

Параметр Поставщик

а1 а2 а3

С1 45 60 45

С2 2500 2400 2300

Сз Предоплата Рассрочка Рассрочка

С4 Высокое Высокое Высокое

С5 Устойчиво Неустойчиво Устойчиво

С6 Да Да Нет

С7 120000 119000 120000

С8 Недалеко Далеко Далеко

Для принятия решения необходимо, прежде всего, сделать так, чтобы данные, характеризующие разнотипные параметры, стали сопоставимыми и количественными. Для этого экспертом значение каждого параметра по каждому поставщику было оценено числом из интервала [0,1], которое характеризует, насколько его устраивает данное значение (соответствует понятию «наилучший»). Кроме этого, эксперт оценил важность каждого параметра в числовых значениях Ь1, ..., Ь„1 из интервала [0,10] (так ему было удобнее).

Ь I

По этим данным вычислены значения коэффициентов важности Р;- = ----------------,

±Ък

к=1

I = 1,т , удовлетворяющие условию 1 = 1. Полученные результаты пред-

1=1

ставлены в табл. 3.

Таблица 3

Экспертная оценка значений параметров

Параметр Экспертная оценка важности Коэффициент важности Поставщик

а1 а2 а3

С1 8 0,16 0,8 0,5 0,8

С2 5 0,1 0,9 0,8 0,7

Сз 5 0,1 0,5 0,65 0,65

С4 8 0,16 1 1 1

С5 6 0,11 0,85 0,6 0,85

С6 3 0,06 0,4 0,5 0,4

С7 10 0,2 0,75 0,85 0,75

С8 6 0,11 1 0,75 0,75

Следовательно, имеем

М =

0,8 0,9 0,5 1 0,85 0,4 0,75 1

0,5 0,8 0,65 1 0,6 0,5 0,85 0,75

0,8 0,7 0,65 1 0,85 0,4 0,75 0,75

В = [0,16, 0,1, 0,1, 0,16, 0,11, 0,06, 0,2, 0,11]т.

В соответствии с формулой (1) получаем матрицу элементов, определяющих предпочтения поставщиков:

0,806"

М~ =

0,734

0,773

Таким образом, применяя прямой метод, на основании формулы (2) получаем, что наилучшим поставщиком следует считать а\.

3. Пример выбора поставщика косвенным методом

Рассмотрим ту же задачу, но с получением значений коэффициентов важности параметров и значений функций принадлежности методом парных сравнений в предположении о выполнении требования их согласованности.

Элементы матрицы парных сравнений для вычисления коэффициентов важности параметров представлены в табл. 4.

Таблица 4

Парные сравнения для вычисления коэффициентов важности

Параметр С1 С2 С3 С4 С5 С6 С7 С8

С1 1 3/4 2 1/4 7/4 6/4 1/4 6/4

С2 4/3 1 8/3 1/3 7/3 6/3 1/3 6/3

С3 1/2 3/8 1 1/8 7/8 6/8 1/8 6/8

С4 4 3 8 1 7 6 1 6

С5 4/7 3/7 8/7 1/7 1 6/7 1/7 6/7

С6 4/6 3/6 8/6 1/6 7/6 1 1/6 1

С7 4 3 8 1 7 6 1 6

С8 4/6 3/6 8/6 1/6 7/6 1 1/6 1

В строке таблицы, посвященной параметру с4, указаны данные, полученные от эксперта, остальные данные вычислены с использованием свойства согласованности элементов матрицы парных сравнений.

Применяя формулы (3) и (4), находим значения коэффициентов важности:

В = [0,08, 0,1, 0,04, 0,314, 0,05, 0,052, 0,314, 0,05]т.

При сравнении поставщиков по каждому параметру получены экспертные суждения, приведенные в табл. 5.

Таблица 5

Экспертные парные сравнения для вычисления значений функций принадлежности

Параметр Парные сравнения Оценка

Отсутствует преимущество а1 перед а3 1

С1 Преимущество а1 перед а2 6

Преимущество а3 перед а2 3

С2 Преимущество а2 перед а1 3

Преимущество а3 перед а1 2

С3 Отсутствует преимущество а3 перед а2 1

С Отсутствует преимущество а1 перед а3 1

4 Отсутствует преимущество а3 перед а2 1

Отсутствует преимущество а1 перед а3 1

Преимущество а3 перед а2 9

С Преимущество а2 перед а3 3

6 Отсутствует преимущество а1 перед а2 1

Преимущество а2 перед а3 2

С7 Отсутствует преимущество а3 перед а1 1

С Преимущество а1 перед а2 7

8 Отсутствует преимущество а2 перед а3 1

Отсюда, используя (3), получаем матрицы парных сравнений 0(с;) (]' = 1, 8), например,

0(0) =

Далее по формуле (4) рассчитываются значения функций принадлежности для каждого поставщика по каждому параметру (табл. 6).

" 1 6 1 " "1 1 / 3 1 / 9" "1 1 / 2 1 / 2"

1 / 6 1 1 / 6 ; о(с2) = 3 1 1 / 3 ; 0(С3) = 2 1 1

1 6 1 9 3 1 2 1 1

Таблица 6

Оценки значений параметров методом парных сравнений

Параметр Коэффициент важности Поставщик

а1 а2 а3

С1 0,08 0,46 0,08 0,46

С2 0,1 0,08 0,23 0,69

С3 0,04 0,20 0,40 0,40

С4 0,314 0,33 0,33 0,33

С5 0,05 0,47 0,05 0,47

С6 0,052 0,43 0,43 0,14

С7 0,314 0,25 0,50 0,25

С8 0,05 0,78 0,11 0,11

В соответствии с формулой (1) получаем матрицу элементов, определяющих предпочтения поставщиков:

0,320"

М~ =

0,336

0,340

Таким образом, мы имеем перечень поставщиков в порядке предпочтения а3, а2, а1 со значениями функции принадлежности соответственно 0,340, 0,336 и 0,320. Следовательно, метод парных сравнений показал, что в соответствии с формулой (2) наилучшим следует считать поставщика а3.

Обращаем внимание на различия в результатах, полученных прямым методом и методом парных сравнений. Они показывают, насколько в разных условиях вынужден работать эксперт, оценивая поставщиков и характеризующие их свойства. Прямой метод требует от него давать оценки, оперируя всем множеством допустимых параметров, и сравнивать каждого поставщика с неким идеальным неизвестным объектом. Второй метод существенно упрощает задачу, требуя лишь сравнивать попарно реальных поставщиков.

Литература

1. Перегудов Ф. И., Тарасенко Ф.П. Основы системного анализа: Учебник. 2-е изд., доп. Томск: НТЛ, 1997. 396 с.

2. Лещинский Б. С. Нечеткий многокритериальный выбор объектов недвижимости // Вестник ТГУ. 2003. Вып. 269. С. 116-119.

3. Саати Т. Математические модели конфликтных ситуаций. М.: Советское радио, 1977. 302 с.