CC BY
130
Математика
Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2013, № 1(3), с. 154-160
УДК 519.6
ВЫБОР ОСНОВНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ФИНАНСОВОГО РЫНКА ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ЦЕНОВОЙ ДИНАМИКИ
© 2013 г. Е.Н. Барышева1, В.Н. Никишов, Е.В. Круглов2
1 Самарский госуниверситет
2 Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
Поступили в редикцию 11.12.2012
Предложены критерии выбора показателей финансовых рынков на основе учета стилизованных фактов. Такой подход к анализу длительных статистических наблюдений за движением цен на финансовые инструменты фондовых рынков позволяет строить адекватные математические модели ценовой динамики. В качестве иллюстрации в статье рассмотрена динамика цен на примере индекса Российской Торговой Системы.
Ключевые слови: стилизованные факты, доходность, волатильность, индекс Российской Торговой Системы.
1. Гипотеза эффективного рынка
Большинство классических моделей финансового рынка существенно зависит от принятой гипотезы об эффективности рынка. При этом эффективность понимается как информационная эффективность, в отличие от распределительной эффективности рынка.
Гипотеза эффективного рынка играет доминирующую роль как в теории, так и в практике финансового анализа.
Основной концепцией, лежащей в основе эффективного рынка, является предположение о том, что цены мгновенно ассимилируют новую информацию и устанавливают таким образом, что арбитражные возможности исключаются.
Выделяют три формы эффективности рынка.
Слибия форми эффективности рынки. Текущие цены отражают всю информацию, заключенную в прошлых ценах.
Полустрогия форми эффективности рынки. Текущие цены отражают всю публичную информацию.
Строгия форми эффективности рынки. Текущие цены отражают всю информацию, в том числе частную и инсайдерскую.
При статистическом анализе под эффективным рынком понимают обычно вторую форму эффективности. Зачастую при этом делаются также следующие предположения:
- активы на финансовом рынке оцениваются в рамках какой-либо модели ценообразования CAPM или АРТ;
- цены на финансовые активы отвечают на появление новой информации мгновенно и точно;
- инвесторы одинаково интерпретируют имеющуюся у них информацию для прогноза доходностей активов. Поэтому ошибки в прогнозах, а значит возникновение экономической прибыли или убытка, непредсказуемы на основе информации, имеющейся на момент прогноза.
Отсюда же следует, что инвесторы не могут постоянно получать положительную экономическую прибыль.
В соответствии с гипотезой эффективного рынка лучшим прогнозом для цены финансового актива является его текущая цена 5. Значение текущей цены установилось так, что оно полностью учло всю доступную информацию, а ее изменение происходит только в результате обновления этой информации. Следовательно, если ^ с ^ £ ••• £ ^ - поток доступной всем участникам рынка информации, то цена финансового актива удовлетворяет соотношению Е(5(+п |<%) = 5; п = 1,2,....
Случайные последовательности 5, удовлетворяющие такому соотношению, принято называть мартингалами.
Исследовиние выполнено при поддержке Минестерстви обризовиния и ниуки Российской Федериции, соглишение 14.В37.21.2013. «Митемитические модели и методы нелинейной динимики в зидичихмеханики и экономики»
Проверка гипотезы эффективного рынка в краткосрочном или долгосрочном периоде традиционно сводится к тестированию: следуют ли цены финансовых активов случайному блужданию. Для этого используются линейные временные ряды. Если гипотеза нарушается, то исследуются возможные причины, лежащие в основе невыполнения гипотезы.
Традиционно к числу таких причин относят наличие значимой корреляции между ценами активов, которая указывает на то, что цены на финансовые активы частично прогнозируемы. В краткосрочном периоде наблюдаемая корреляция положительна, в долгосрочном - отрицательна. Предсказуемость цен на финансовом рынке противоречит гипотезе эффективного рынка.
Наличие положительной автокорреляции между ценами финансовых активов позволяет интерпретировать такое наблюдаемое явление, как наличие кластеров по группам с малыми или большими значениями. Для моделирования такого эффекта используются так называемые нелинейные временные ряды -ARCH, GARCH и др.
Г ипотеза эффективного рынка в настоящее время подвергается справедливой критике, поскольку из нее следует, что будущее значение цены не может быть прогнозируемо, исходя из прошлых значений.
Кроме того, если предположить, что всякая информация оказывает одно и то же воздействие на всех инвесторов, то на рынке не было бы ликвидности.
2. Гипотеза о фрактальном финансовом рынке
Альтернативой к гипотезе эффективного рынка является гипотеза фрактального (дробного) рынка, под которой понимается следующее:
- участники рынка неоднородно интерпретируют поступающую информацию в зависимости от присущего каждому участнику инвестиционного горизонта;
- цены в каждый момент времени отображают взаимодействие краткосрочных и долгосрочных инвесторов; высокочастотная составляющая в ценах определяется действиями инвесторов с краткосрочным временным горизонтом, низкочастотная, сглаживающая составляющая отражает активность долгосрочных инвесторов;
- финансовый рынок начинает терять ликвидность и устойчивость, когда на нем исче-
зают инвесторы с разными инвестиционными горизонтами, то есть, теряется его фракталь-ность.
Отметим, что фрактальный рынок допускает наличие арбитражных возможностей.
3. Доходность и волатильность -основные финансовые показатели
Важной особенностью развития фондовых рынков стало увеличение их волатильности (или нестабильности), а при глобализации и интернационализации деятельности хозяйствующих субъектов корреляция и взаимное влияние рынков друг на друга многократно возросли.
При рыночных отношений и самостоятельности хозяйствующих субъектов вопрос прогнозирования волатильности мировых фондовых рынков приобретает все большую актуальность. В большинстве случаев интересует доходность, а она неразрывно связана с риском. Получение более высокой доходности связано с более высоким риском. То есть возникает проблема измерения и прогнозирования рыночного риска или волатильности.
В рамках фондового рынка среди множества показателей, описывающих деятельность компаний, особого внимания заслуживают именно доходность и волатильность актива.
Оба показателя являются комплексными. Они являются исходной информацией для построения финансовых планов, прогнозов и принятия управленческих решений, и это одни из основных результирующих показателей финансовой инженерии. Достоверный прогноз доходности/риска позволит корректно решать вопросы формирования инвестиционного портфеля для фондов доверительного управления, ПИФов, пенсионных фондов, частных инвесторов и многих других заинтересованных лиц, а также позволит построить адекватную и эффективную политику биржевой торговли.
4. Фондовые индексы как основные экономические индикаторы
С инвестиционной теорией и теорией финансового менеджмента связана гипотеза об эффективности рынка. Колебания рыночных цен должны быть чисто случайными, никакой инвестор не в состоянии предсказывать будущие цены рынка.
Гипотеза эффективного рынка и связанная с ней модель «случайного блуждания» ры-
ночных цен активов стимулировали применение динамических теоретико -вероятностных моделей, основанных на теории случайных процессов.
В русле этих идей в 1973 г. Ф. Блеком и М. Шоулсом (нобелевским лауреатом 1997 г.) была предложена модель опционов, получившая название «модель Блека - Шоулса» [1]. С помощью модели можно было получить вероятностную оценку стоимости опциона.
Основные выводы, к которым пришла сегодня классическая портфельная теория, можно сформулировать следующим образом:
• Эффективное множество содержит те портфели, которые одновременно обеспечивают и максимальную ожидаемую доходность при фиксированном уровне риска, и минимальный риск при заданном уровне ожидаемой доходности.
• Предполагается, что инвестор выбирает оптимальный портфель из портфелей, составляющих эффективное множество.
• Оптимальный портфель инвестора идентифицируется с точкой касания кривых безразличия инвестора с эффективным множеством.
• Диверсификация обычно приводит к уменьшению риска, так как стандартное отклонение портфеля в общем случае будет меньше, чем средневзвешенные стандартные отклонения ценных бумаг, входящих в модель.
• Соотношение доходности ценной бумаги и доходности на индекс рынка известно как рыночная модель.
• Доходность на индекс рынка не отражает доходности ценной бумаги полностью. Необъясненные элементы включаются в случайную погрешность рыночной модели.
• В соответствии с рыночной моделью общий риск ценной бумаги состоит из рыночного риска и собственного риска.
• Диверсификация приводит к усреднению рыночного риска и может значительно снизить собственный риск.
Биржевой индекс (фондовый индекс) - это составной показатель, который используется для оценки поведения группы акций и последующей оценки на их фоне хода глобальных процессов, происходящих на рынке ценных бумаг. Как правило, абсолютное значение биржевого индекса интереса с точки зрения аналитики не представляет.
Будучи показателем изменения цен на группу ценных бумаг, товаров или производ-
ных финансовых инструментов, биржевой индекс особенно интересен для аналитиков в динамике: оценка направления движения
рынка осуществляется именно на основании изменения индекса с течением времени, причем цены акций в выделенной группе могут меняться абсолютно разнонаправленно. В зависимости от выбранных показателей биржевые индексы позволяют получить представление об изменениях в рамках отдельно взятого сектора или всего рынка в целом.
Приоритетное назначение рынка срочных контрактов - хеджирование (страхование) рисков, связанных с любыми активами или инвестициями. Особая популярность торговли фьючерсными (биржевыми) индексами обусловлена, в первую очередь, привязкой к фондовому рынку.
Значение биржевого индекса представляет собой расчетную величину, которая формируется на базе цен всех входящих в расчет этого индекса акций, которые торгуются на данной бирже - вот почему при создании диверсифицированного портфеля инвестиций в акции биржевой индекс рассматривается в качестве удачного решения. Объектом страховых или спекулятивных операций становится, естественно, не сам индекс, который невозможно приобрести как собственность, а изменения значения биржевого индекса (цена присваивается каждому пункту изменения значения индекса).
Число акций, входящих в расчет конкретного биржевого индекса, как правило, можно определить по цифре, стоящей в конце названия фондового индекса: Russell 2000, S&P 500, Nikkei 225, FTSE 100, NASDAQ 100, DJ Euro STOXX 50, CAC 40, DAX 30. Соответственно, изменение значения биржевого индекса - это отражение динамики цен десятков или сотен акций.
На сегодняшний день в обращении находятся более двух тысяч различных биржевых индексов, среди которых следует выделить несколько наиболее популярных - это фондовые индексы Dow Jones, DAX, Nikkei, NASDAQ, RTS, Standard & Poor's 500, FTSE.
Основной рыночный индекс в России -это индекс РТС.
RTS, или Российская Торговая Система (РТС) - фондовая биржа, основанная в 1995 году с целью создания централизованного рынка ценных бумаг России на базе функционировавших на тот момент ранее созданных
региональных фондовых рынков. В базу Индекса РТС входит 50 наиболее капитализированных и ликвидных акций.
Среди зарубежных индексов наиболее известными являются индекс SP&500 и индекс Доу-Джонса Dow.
S&P 500 - это так называемый сводный индекс. Он рассчитывается по 400 промышленным и 40 коммунальным предприятиям, 40 финансовым и 20 транспортным компаниям.
Биржевой индекс DJIA (Dow Jones Industrial Average) - один из наиболее известных в мире фондовых индексов.
Помимо основного, рассчитываются также биржевые индексы Доу-Джонса для конкретных секторов рынка.
5. Эмпирические стилизованные факты
Как показывает современная практика, существуют эмпирически подтвержденные феномены, которые не свойственны классическим линейным моделям. Например, замечено, что при малых волатильностях финансового актива цены стремятся к тому, чтобы их рост или падение длились как можно дольше, т.е. сохранялось направление движения. В то время как для активов с большой волатильностью характерно стремление цены повернуть движение в противоположном направлении, основанное на замедлении своего роста или падения. Все это говорит о том, что для финансовых временных рядов характерен эффект памяти, т.е. когда изменение цены зави-
сит от величины предшествующего значения. В этой связи с этим не случайно сегодня появился целый ряд работ, в той или иной степени затрагивающих эффект памяти.
М. Осборн представил функцию плотности прибылей фондового рынка как «приблизительно нормальную», хотя в ней присутствовала особенность, которая имела принципиальное отличие от нормального распределения. Указанной особенностью явились «толстые хвосты», то есть распределение прибылей фондового рынка не подчиняются нормальному закону.
К работам Мандельброта и Осборна добавилась новые факты и новые публикации. Так, в 1989 г. А. Стерж заметил, что очень большие (три и больше стандартных отклонения) изменения цен могут ожидаться в 2-3 раза чаще, чем предсказано нормальностью, а А. Тернер и Э. Вейгель в 1990 г. показали, что распределение дневной прибыли при сравнении с нормальным распределением имеет отрицательную асимметрию. При этом повышенная плотность этого распределения наблюдалась в относительно узкой окрестности среднего значения, а также на «концах хвостов», т.е. в области очень больших и очень малых прибылей.
На рис. 1., представлен график индекса РТС (RTCI), построенный по суточным ценам закрытия биржи РТС с 1 января 2000 года по 23 мая 2011 года, всего 2833 значений. Можно констатировать нестационарное поведение индекса во времени.
3x10* 2J7L<1(? 2143*10? т?тг 1..'14x10^ 1 12В&<1(? 357.143 423.571
■
/А J У.
. /И yv к \ А
№ \ {
г г \ ft г v
0 300 600 900 1.2х103 l.SxlO3 l.SxlO3 2.1х103 2.4х103 iJxlO3 Зх103 i ■ ■
Рис. 1. График суточного индекса РТС с 1 января 2000 года по 23 мая 2011 года - Sl
0.3 0.214 0129 0.043 0.043 - 0 129 -0.214 - 0.3
О 250 500 750 1х1031.25х10|.5хюЪ5х1032х1032.25х10^.5х10175х103Зх103
__________________________________________■_____________________________________________
Рис. 2. График суточной доходности индекса РТС с 1 января 2000 года по 23 мая 2011 года
4_
1,. [,| - Л 1 , . Ь |1и .. .1 .1
1 Т|ип™ | ГЧ-ГЧ' Р .1 чп ГСЩГГТ! 'И* ^ ' Ы .Л] 1ЬШ| ■ “! ■ |п ГТТЧ РЧ1РТ Ы. 41
'41 Р 1 1 1 | 1 1 1 I Г ' ч
□
Рис. 3. Гистограмма суточной доходности индекса РТС и кривая для гауссовского распределения вероятностей с аналогичными значениями среднего значения и дисперсии
О
1.2
1.029
0.357 . 0.636 0.514 0.343 0171
0
у* Л
:*=
03
0.229 - 0157 - 0.036 - 0.014
0.057
0129
0.2
Рис. 4. Выборочная и теоретическая интегральные функции распределения для суточной доходности индекса РТС
На рис. 2. приведен график суточной доходности индекса РТС рассчитываемый как Г = Ы^^^).
На рис. 3 и рис. 4 представлены гистограмма и оценка интегральной функции распределения для суточной доходности индекса РТС.
Можно заметить характерные острые вершины и медленно спадающие хвосты оценок плотности вероятности доходностей.
Оценки первых 4-х кумулянтов: среднего значения т = Е(г), стандартного отклонения
а = л]Е[(г - т)2], коэффициентов асимметрии
Е[(г - т) ] Е[(г - т) ]
Уа =---------------------------------------5- и эксцесса =- -3,
а а
а также минимальные и максимальные значения доходностей индексов приведены в таблице 1.
В многочисленных исследованиях было установлено, что финансовые временные ряды обладают рядом особенных характеристик
- эмпирических стилизованных фактов. В частности, поведение индексов и доходности на рис. 1 - 4 демонстрируют эти особенности.
1) Островершинное распределение плотности вероятности доходностей, тяжелые хвосты, негауссовость распределения.
Тяжелые хвосты безусловного вероятностного распределения дневных доходностей приводят к тому, что экстремальные значения доходности могут наблюдаться более часто, чем в случае нормального распределения.
Островершинность плотности вероятности приводит к тому, что коэффициент эксцесса (excess kurtosis) принимает положительные значения ys = 8.39036 для доходности индекса РТС.
2) Значения эмпирических автокорреляционных функций доходностей уже при небольших лагах не имеют значимого отличия от нуля.
Например, на рис. 5 приведен график автокорреляционной функции доходности индекса
РТС.
Видно, что в случае индекса РТС отличается от нуля автокорреляция с лагом, равным
1. При этом коэффициент корреляции р(1) = 0.088. При задержках, больших 1, значения доходности можно считать некоррелированными.
3) Временные ряды абсолютных значений или квадратов доходности характеризуются значимой автокорреляцией, причём автокорреляционная функция убывает медленно (так называемый эффект дальних корреляций или долгой памяти). Для иллюстрации на рис. 6 приведен график автокорреляционной функции квадратов доходности индекса РТС. Видно, что для индекса РТС автокорреляция зна-
Таблица 1
Значения доходностей индексов
РТС и,% С7,% ГЛ Тл ШЙК.% шш.%
0.03034 2.36231 -0.454:0 3;39036 2L199 20.204
0.1
0.1 -----------------------------------------------------------------------------------
0 20 40 № 30
к
_____________________________________■____________________________________________________
Рис. 5. Автокорреляционная функция доходности индекса РТС
04 0.3 г2к 0.2 0.1 0
■
0 20 40 <Ю 30 к ■ ■
Рис. 6. Автокорреляционная функция квадратов доходности индекса РТС
чительна для лагов больших 50 (если считать, что в году 250 торговых дней, то коррелированны значения квадратов суточной доходности для дней, отстоящих друг от друга на период более двух месяцев).
4) Кластеризация волатильности. Наблюдаются продолжительные периоды с относительно низкой волатильностью и периоды, в течение которых волатильность высока.
5) Волатильность доходности активов положительно коррелирована с объёмом торгов. Для объёмов торгов характерны те же свойства длинной памяти, что и для абсолютных значений доходности.
6) Асимметрия и левередж в динамической структуре волатильностей.
В 1976 году Ф. Блэк подметил в поведении финансовых индексов отрицательную корре-лированность величин hBl и ап, проявляющуюся в том, что эмпирическая ковариация cov(hn_j ,сти) < 0. Этот эффект, получивший название leverage effect (эффект рычага или подъемной силы), приводит к тому, что волатильность стремится к возрастанию после падения цен, то есть после убывания величин возврата. Называемый также эффектом асимметрии, этот феномен нельзя объяснить в рамках моделей ARCH, GARCH, так как в них волатильность агп, будучи зависимой от квадратов предшествующих величин, нечувствительна к знаку величин h . и, тем самым,
значения h . = А и h . = —Д приводятся в
GARCH к одному и тому же значению буду-
п
щей волатильности ип.
Положительные и отрицательные доходности одинаковой амплитуды, наблюдаемые в
предшествующий период, оказывают различное влияние на текущую волатильность (асимметрия). При этом текущая доходность и будущая волатильность отрицательно корре-лированы (левередж или подъемная сила).
Для описания поведения финансовых временных рядов необходимо применять методы и модели, позволяющие учитывать данные стилизованные факты.
Список литературы
1. Black А., Scholes V. Pricing of options and corporate liabilities // Journal of Political Economy. 1973. Vol. 81. No. 3. P. 637-654.
2. Андерсен Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976.
3. Канторович Г.Г. Анализ временных рядов. // Эк. журнал ВШЭ. 2002-№№1, 2, 3, 4; 2003.№1.
4. Мельников А.В., Попова Н.В., Скорня-кова В.С. Математические методы финансового анализа. М.: Анкил, 2006.
5. Петерс Э. Хаос и порядок на рынке капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. М.: Мир, 2000.
6. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1. Факты и модели. Т. 2. Теория. М.: ФАЗИС, 1998.
7. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1. Т. 2. М.: Мир, 1984.
8. Чураков Е.П. Прогнозирование эконометрических временных рядов. М.: Финансы и статистика. 2008.
9. Эдуардо Росси. Одномерные GARCH -модели: обзор. // «Квантиль». №8. 2010.
CHOICE OF THE MAIN INDICATORS OF THE FINANCIAL MARKET FOR FORECASTING OF
PRICE DYNAMICS
E.N. Barysheva, B.H. Nikishov, E. V. Kruglov
Criteria of a choice of indicators of the financial markets on the basis of the accounting of the stylized facts are offered. Such approach to the analysis of long statistical supervision over movement of the prices of financial instruments of stock markets allows to build adequate mathematical models of price dynamics. By way of illustration in article dynamics of the prices on the example of the RTS index is considered.
Keywords: stylized the facts, profitability, volatility, the RTS index.
