CC BY
43
Kryltcov Sergei Borisovich, postgraduate, kryltcov@outlook. com, Russia, St Petersburg, Saint-Petersburg Mining University
УДК 62-523
ВЫБОР КРИТЕРИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ЭЛЕКТРОПРИВОДА ДВУХМАССОВОЙ СИСТЕМЫ «ГЕНЕРАТОР-ДВИГАТЕЛЬ»
П.Э. Подборский, Э.Н. Подборский
Анализируются системы управления электромеханическими системами на примере электропривода постоянного тока двухмассовой системы генератор-двигатель. Разработан критерий оптимальности и получена аналитическая формула регулятора, позволяющего учесть ограничения на координаты и входной сигнал. Учтено ограничение на скорость нарастания тока и исключены резкие переключения напряжения управления.
Ключевые слова: электропривод постоянного тока, оптимальное управление, критерий оптимальности, аналитическое конструирование регулятора.
При построении систем оптимального управления важнейшим этапом проектирования является выбор критерия оптимальности. При этом сформулированные требования к качеству регулирования довольно трудно перенести на конкретную математическую формулировку. Зачастую выбирают интегральную оценку качества переходных процессов и используют популярные функционалы. Однако данные критерии оптимальности лишь удобны математически:
- критерий оптимального быстродействия максимально упрощает подынтегральную функцию и при отсутствии ограничений на координаты и комплексных корней позволяет сразу знать вид оптимального управления. Неэффективность его использования показана в [1];
- критерий с линейной по фазовым координатам подынтегральной функцией позволяет для задачи со свободным правым концом при отсутствии ограничений на координаты вариационными методами определить оптимальное управление всего после решения двух задач Коши. Нецелесообразность использования данного критерия показывается в [2];
- квадратичный критерий приводит к линейному по фазовым координатам закону оптимального управления и т.д. Теория аналитического конструирования на основе данного функционала развита для электропривода в [3] и [4].
По оптимальному управлению, включающему вариационные методы, принцип максимума и аналитическое конструирование, было опубликовано огромное число материалов, основные результаты развития данной теории можно найти в работах Брайсона [5], Атанса и Фалба [6], Калмана [7], Квакернаака [8], Цитрона [9] и др.
Для реальных практических задач классические критерии часто не подходят, однако они часто принимаются за искомые без каких-либо серьезных обоснований и исследований. Более того, даже логически на первый взгляд правильно сформулированный критерий оптимальности на практике приводит к закону оптимального управления, не приемлемому для реализации. Далее исследуем подробно данные вопросы.
Постановка задачи. Разработать метод, позволяющий для двух-массовой системы генератор-двигатель электропривода постоянного тока вывести аналитическую формулу закона оптимального управления с прямым или косвенным учетом ограничений типа неравенств, как на управление (с исключением часто переключающейся его формы), так и на все координаты (включая скорость нарастания тока якоря).
Математическое описание объекта управления. Рассмотрим электропривод постоянного тока независимого возбуждения с неизменным потоком возбуждения. Питание двигателя осуществляется по цепи якоря от генератора постоянного тока с возбуждением от, например, тиристорно-го возбудителя. Математическая модель данной двухмассовой системы может быть представлена в следующем виде:
К в • и у = ^в ■ 'в + ^в ^'в / К г + С • 0>1,
J1dw11 Ж = М -Му,
Му = еХ2 (ф1 - ф2 ) + Р12 Ц - ®2 ),
J 2 1 Жг = М у,
где 1в, 1а, о>1, Ю2 - ток возбуждения, ток якоря и угловые скорости первой и второй массы; и у - напряжение управления; К в, К г - коэффициенты
передачи возбудителя и генератора; Яв, Яа, Ьв, Ьа - активные сопротивления и индуктивности обмоток возбудителя и якоря; Jl, J2 - приведенные моменты инерции первой и второй массы; с - конструктивная постоянная; М = С • ¡а, Му - электромагнитный момент и упругий момент
двухмассовой системы; С12, Р12, Ф1, Ф2 - жесткость, вязкое трение и углы поворота первой и второй массы.
Если за ток возбуждения базовый /вб принять номинальный ток возбуждения, за ток якоря базовый / аб - максимальный (стопорный) ток якоря двигателя, за момент базовый Мб = /аб • С - максимально допусти-
521
мый электромагнитный момент, за напряжение управление базовое и б - номинальное напряжение управления и за угловую скорость базовую Юб - номинальную угловую скорость двигателя, то, введя следующие координаты в относительных единицах
Х0 =
I
вб
1а _ Ю>1
Х1 ■ х2 — ; Х3
1 аб Юб
Му ■ х — Ю2. и — иУ
— , л 4 — , и, —
М б Юб и б
получим электромеханическую систему в формализованном виде:
Хо — -®00 Хо + Ьи, .Х1 — о Хо — ацХ1 — ^12 Х2, х 2 — а21 Х1 — а23 х3, Х3 — а31Х1 — а32 х2 — а33 х3 — а34 х4,
4 — а43 хз,
(1)
где
ь
К в •и б .
ь
аоо
я
в
в 1вб а21 — а23
ьв
М
а1о
Кг • I
вб
б
а33
31 •Шб
— Р12
31 • 3 2
а31
Ьа •1 аб
_Р12.
а11
я
а
ь
а12
С Юб
а
Ьа • I
аб
а32
31
(31 + 3 2 ); а43
а34 —
Мб
с12 •Юб
М б
32 •Юб
В дальнейшем нам понадобится еще одна дополнительная координата Х5 — Х&1, представляющая собой производную по току якоря. В итоге получим еще одно дополнительное уравнение
Х5 — —аа5о Хо — а51.1 + а53 Х3 — а55 Х5 + Ь^и к системе (1), в котором
а5о — а1оа00, а51 — а12а21, а53 — a12a23, а55 — a11, Ь5 — Ьоа1о .
Предварительный выбор критерия оптимальности. Поставим задачу произвести пуск двигателя до номинальной скорости (задача реверса или торможения решается аналогично). Чем быстрее двигатель наберет нужную скорость, тем выше его производительность, поэтому для наискорейшего по времени процесса пуска можно поставить задачу минимизации следующего функционала:
г
3 — I(^2 — Х2, 0
где 22 - желаемое установившееся значение выходной координаты.
Знак модуля необходим для того, чтобы подынтегральная функция была всегда положительна, и минимум достигался при равенстве ее нулю, то есть при наискорейшем достижении равенства скорости двигателя желаемому номинальному значению. Иначе минимум будет при бесконечном отрицательном значении функционала, что будет достигаться при скорости
522
в
выше номинальной, что неприемлемо. Очевидно, чем выше входной сигнал, тем быстрее двигатель разгонится, и при управлении равном бесконечности он разгонится за время равное нулю, то есть мгновенно. Поэтому основное ограничение в системе должно быть на напряжение управления Щ £ 1. Предусмотрим максимально возможную физически десятикратную
форсировку возбудителя. Понятно, что при этих условиях оптимальным управлением будет подача на вход максимально возможного сигнала, что приведет к многократному превышению током якоря допустимого максимального значения, недопустимому перерегулированию по току возбуждения и даже небольшому перерегулированию по скорости. То есть необходимо ограничить и все координаты системы |хг| £ 1. Кроме того, во избежание возникновения коллекторного огня накладывается ограничение и на скорость нарастания тока якоря, в данном случае это 10 номиналов в секунду. Что касается ограничения на энергию управления, то на первый взгляд, очевидно, такие ограничения не нужны, т.к. это приведет к медленному росту скорости, причем до величины меньше номинальной, что неприемлемо. Такие ограничения нужны при управлении летательными аппаратами, где стоимость энергии (топлива) очень высока.
На рис. 1 показаны переходные процессы в полученной оптимальной системе управления. Видно, что максимально допустимый положительный входной сигнал подается всего на время 0.025 с. на время выхода скорости нарастания тока на максимально допустимое значение, и такое же время подается максимально допустимое отрицательное значение входа, когда эта скорость падает до нуля. То есть все возможности десятикратного форсирования действуют пренебрежимо незначительное время. Остальное же время движения на максимально допустимой скорости тока (примерно 0,125 с.) подается управление примерно в 4 раза меньшее допустимого. Далее управление начинает быстро знакопеременно переключаться между соответствующими максимальными значениями в течение всего оставшегося времени переходного процесса вплоть до установления скорости в номинальной величине (на рисунке из-за погрешностей вычисления и конечной величины дискретизации в 0,001 с. управление до максимальных значений при этих переключениях не доходит). Время переходного процесса (время вхождения скорости в 5 %-ную зону от установившегося значения) равно 5,48 с, время достижения током максимально допустимого значения равно 0,16 с, энергия управления теоретически будет бесконечной, а на практике при конечной частоте переключений будет составлять недопустимо большое значение. В целом получается, что подробно сформулированный выше и логически обоснованный критерий оптимальности приводит к неприемлемому для реализации оптимальному управлению.
иу,1ъ,1а,щ,Му,Щ \ о.е.
а
в
-0.4
-0.2
о.е
о.е
0.4
0.2
п
-0.6
-0.0
-1
3
5
г, с.
Рис. 1. Переходные процессы системы с ограничением всех сигналов без ограничения энергии управления
Анализ выбранного критерия оптимальности. Проанализируем подробнее оптимальные процессы в данной системе. На первом этапе подается максимальное положительное и затем максимально отрицательное управление, под действием которого происходит увеличение и затем некоторое уменьшение тока возбуждения. Под таким действием тока возбуждения скорость нарастания тока якоря возрастает до максимального значения, далее держится на максимуме и затем падает до нуля, обеспечивая тем самым наискорейшее достижение током якоря максимального значения. Далее на основном участке регулирования происходит разгон двигателя на максимальном токе. Ток якоря постоянен, а значит скорость (звено интегратора по сути) нарастает по линейному закону. Это, в свою очередь, определяет линейный закон нарастания отрицательной обратной связи про-тивоЭДС, которая подается на апериодическое звено, отвечающее за ток якоря. В результате чтобы сохранить постоянство тока якоря, входной сигнал напряжения двигателя (то есть выходной сигнал ЭДС генератора) должен также линейно нарастать. А значит, ток возбуждения также нарастает линейно в течение всего времени, пока ток якоря постоянен. Но за ток возбуждения отвечает апериодическое звено, выход которого не может быть линейно возрастающим. Поэтому оптимальным управлением электропривода на таком участке будет переключающийся с бесконечной частотой входной сигнал напряжения с положительного максимально допустимого значения на отрицательное, причем отрицательное значение будет увеличиваться с каждым переключением по линейному закону. Кроме того, из-за колебаний упругого момента скорости движущихся масс и ток якоря также склонны к колебаниям. Поэтому для поддержания постоянного максимального значения тока якоря нужно менять соответственно входной сигнал. То есть часто переключающееся управление будет также иметь волнообразную огибающую с частотой колебаний упругого момен-
та, но в противофазе к нему. В конце переходного процесса управление становится равным номинальному при достижении током возбуждения номинального значения. Одновременно скорости достигают требуемого номинального значения при номинальном управлении и токе возбуждения.
Способы корректировки критерия оптимальности. Графики показывают, что нужно получить приемлемую для реализации форму входного сигнала, иначе говоря, избавиться от частопереключающейся его формы. Предлагаем три способа улучшения качества регулирования. В [1] уже упоминалось об обязательном введении в критерий оптимальности элемента, отвечающего за расход энергии управления, но с малым коэффициентом.
Поэтому первый способ заключается во введении в нашу систему такого элемента для подавления частых переключений. А для ограничения скорости тока введем такую максимальную форсировку, при которой эта скорость не превысит максимального значения. На рис. 2 показаны полученные переходные процессы при подобранных весовом коэффициенте при энергии управления 0.0001 и коэффициенте форсирования 3,15. Время переходного процесса 5,53 с, время достижения током максимального значения 0,25 с. Видно, что чуть более чем трехкратного форсирования вполне достаточно для обеспечения требуемого ограничения скорости тока, сигнал управления при этом во время нарастания тока до максимума равен сначала максимально положительной, а затем максимально отрицательной величине.
иу,1в,1а,о\МуЛо2; o.e.
И : ! ! *\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\У \/\Ä\/\/\/\/\/\J\
1 ...........Му.....
1 .............
L ./......
-- щ.....:....... -------
...
i s
Рис. 2. Переходные процессы системы с замкнутой областью управления и всеми ограничениями
Второй способ заключается во введении минимизации энергии управления с таким коэффициентом, который обеспечивает как ограничение управления на уровне не выше максимального, так и ограничивает
скорость нарастания тока максимально допустимым значением, при этом еще и исключает часто переключающиеся формы этого сигнала. На рис. 3 показаны соответствующие результаты моделирования процесса пуска при подобранном весовом коэффициенте при энергии управления 0,009. Время переходного процесса составляет 5,49 с, время достижения током максимально допустимой величины также равно 0,2 с. Видно, что в течение времени достижения током максимума скорость его нарастания не превышает допустимого значения, а управление представляет сигнал с примерно 9.7-кратным форсированием.
иу,1в,1а,о\МуЛо2; o.e.
1 ! i 1 а h
(/Vvv\A 'VWVW ............и........ ^ь \
'V' у
.............
_.! ..................П
"S /N. уч /Л . У - Л,
EL............
У
Рис. 3. Переходные процессы системы с открытой областью управления и всеми ограничениями
Третий способ заключается во введении минимизации квадрата скорости тока якоря с весовым коэффициентом, который обеспечил бы как ограничение этой координаты максимальной величиной, так и исключил бы частопереключающую форму управления. На рис. 4 показаны соответствующие переходные процессы при весовом коэффициенте при квадрате скорости тока 0,0165. Время переходного процесса 5,51 с, время достижения током максимального значения 0,3 с. Скорость тока не превышает допустимого значения, при этом в начале переходного процесса управление подается с максимальной 10-кратной форсиров-кой.
Время достижения током максимального значения у всех способов примерно на треть больше, чем на рис. 2. Но такая разница оказывается незначительной, т.к. все способы дают примерно одинаковое время переходного процесса, причем это время незначительно больше минимального, показанного на рис. 2. Все способы надежно ограничивают скорость тока якоря и исключают частные переключения входного сигнала.
Заметим, что исследованная выше оптимальная система может быть получена только как система программного управления численным способом. На практике же для построения систем с обратной связью оптимального или предиктивного оптимального управления [10] желательно иметь аналитическую формулу регулятора, при этом учитывающую прямо или косвенно все ограничения. Для построения такого закона управления воспользуемся результатами [3] и [4].
Окончательный выбор критерия оптимальности. В качестве примера примем в классическом квадратичном функционале весовые коэффициенты при токе возбуждения, токе якоря, скоростях и энергии управления равными нулю, то есть будем минимизировать квадрат отклонения упругого момента от максимально допустимого значения и квадрат отклонения скорости тока от нулевого значения. В результате критерий оптимальности для нашего электропривода:
3 = ! (Я - х1 )2 = ! (#3 (23 - х3 )2 + Я 5 х5 ^ . (2)
0 0
где 2г- - желаемые установившиеся значения координат; я - весовые коэффициенты.
После составления и преобразования уравнений Эйлера-Лагранжа получаем следующую систему неоднородных уравнений:
Г и и \
Хо — -а00х0 + Ь
2.
и
+ -^0 + ТТ-15
а10 х0 = а21х1 а31 х1
а11 х1 -" а23 х3 ■ а32х2
2г а12 х2
2г
а33х3 - а34x4,
(3)
х&1 : х2 х3
х&4 — а43х3,
х5 — -а50х0 - а51х1 + а53х3 - а55х5 + Ь5и
10 — 2#0х0 + а0010 - а1011 + а5015 - 2#020,
11 — 2#1х1 + а1111 - а2112 - а3113 + а5115 - 2#121,
12 — 2#2х2 + а12^1 - а32^3 - 2#222,
13 — 2Я3х3 + а2312 + а33^3 - а43^4 - а53^5 - 2#323,
14 — 2#4х4 + а34^3 - 2#4 24,
15 — 2Я5х5 + а5515 - 2Я525.
Решая систему (3) при соответствующих 21, я и граничных условиях для задачи со свободным правым концом, получаем оптимальные траектории и управление, минимизирующие (2). Это соответствует реше-
527
нию для замкнутой области управляющего сигнала [4] и третьему представленному выше способу улучшения качества регулирования. Если пользоваться показанным выше первым или вторым способом улучшения качества регулирования, то решение для соответствующих замкнутой и открытой области управления строится, как показано в [4] и [3] соответственно. На рис. 5 показаны переходные процессы в данной системе.
иу,1в,1а,щ,Му,(й21 о.е.
! / ! ! ! / 'а : ! 'к Г" Л А /\ Л ЛАЛ Л А /\ Л /\ Л" Л Л Л /\ /\ А. Л Л А У\ /\jiWV7W
Му
.............~
..................П
гЧ /Ч У 1
\ ¡7
'' у...............
0.3
0 4
-0.4
-о.е -0 8
I 1 2 3 4 5 .
/, С.
Рис. 4. Переходные процессы системы с минимизацией квадрата производной тока и всеми ограничениями
иу, ?в, 1а, с»!, Му, со2; о.е.
'а I
X 'в
Му
\
М у ...............
И у.................
гч......
0 8
0.4
0.2
-0,2
Рис. 5. Переходные процессы системы с аналитически сконструированным регулятором
Анализ полученных результатов. Вместо минимизации квадрата одной из скоростей (как это делается обычно) минимизация квадрата отклонения упругого момента от максимально допустимого значения 23 на первом участке даст наиболее быстрое достижение упругим моментом максимальной величины в начале переходного процесса при перерегулировании менее 2 %. Быстрее достичь максимального значения можно толь-
528
ко, увеличивая перерегулирование, в нашем случае считаем кратковременное превышение максимального значения на 2 % приемлемым. В тех случаях, когда превышать максимальный уровень нельзя, можно ввести дополнительную аварийную отсечку, что будет также незначительным отходом от оптимальности. Если вместо упругого момента минимизировать квадрат отклонения тока якоря, то это может привести к опасным колебаниям упругого момента, поэтому это приемлемо только в одномассовой системе [3, 4]. Второй участок движения на максимальном токе и моменте можно считать оптимальным. На третьем участке данный критерий оптимальности держал бы ток и момент на максимальном значении и после достижения скоростями номинальных значений, что обеспечивает дальнейший разгон системы. Для обеспечения оптимальности этого участка, при достижении током возбуждения номинального значения переключаем входное напряжение на желаемое установившееся номинальное значение, что ограничит, как сам ток возбуждения, так и скорость движущихся масс номинальными значениями.
Вывод. Таким образом, разработан адекватный критерий оптимальности, соответствующий физическим требованиям к качеству функционирования системы на практике, математическая формулировка которого позволяет построить реализуемый на практике оптимальный управляющий сигнал. Имеем также точную аналитическую формулу, определяющую оптимальное управление электроприводом при прямом или косвенном учете ограничений на все координаты и входной сигнал. Учтены ограничения на скорость изменения тока якоря для исключения опасности возникновения коллекторного огня, а также исключены релейные частые переключения входного сигнала, что значительно повышает энергетические показатели системы управления.
Список литературы
1. Подборский П.Э., Подборский Э.Н. Критический анализ оптимальных систем максимального быстродействия // Электромеханика. 2012. №. 5. С. 55 - 60.
2. Подборский П.Э., Подборский Э.Н. О нецелесообразности использования линейной по фазовым переменным задачи оптимального управления // Вестник ДГУ. 2014. №. 1. С. 89 - 96.
3. Подборский П.Э., Подборский Э.Н. Аналитическое конструирование регуляторов электропривода одномассовой системы генератор-двигатель // Вестник ВГУ. 2013. №.2. С. 42 - 47.
4. Подборский П.Э., Подборский Э.Н. Аналитическое конструирование регуляторов электропривода одномассовой системы Г-Д. Учет ограничений типа неравенств // Вестник ДГУ. 2014. №. 1. С. 81 - 88.
529
5. Bryson A.E. Jr., Ho Y.C. Applied Optimal Control. Washington: Hemisphere Publishing, 1975.
6. Athans M., Falb P.L. Optimal Control: An Introduction to the Theory and Its Applications. New York: Dover, 1966.
7. Kalman R.E. The theory of optimal control and the calculus of variations. Berkeley: University of California Press, 1963.
8. Kwakernaak H., Sivan R. Linear optimal control systems. New York: John Wiley & Sons, Ltd, 1972.
9. Citron S.J. Elements of Optimal Control. New York: Holt, Rinehart and Winston, 1969.
10. Rodriguez J., Cortes P. Predictive Control of Power Converters and Electrical Drives. Chichester: John Wiley & Sons, Ltd, 2012.
Подборский Павел Эдуардович, канд. техн. наук, доц., panpodpeamail.ru, Россия, Республика Хакасия, Саяногорск, Саяно-Шушенский филиал Сибирского федерального университета,
Подборский Эдуард Николаевич, канд. техн. наук, доц., panpodenamail.ru, Россия, Республика Хакасия, Абакан, Хакасский технический институт - филиал Сибирского федерального университета
CHOICE OF AN OPTIMALITY CRITERION
FOR ELECTRIC DRIVE OF TWO-MASS ENGINE-GENERATOR SYSTEM
P.E. Podborski, E.N. Podborski
Control of electromechanical systems with square-law cost function is analyzed on an example of the DC-drive for two-mass engine-generator system. The new optimum criterion is developed and the analytical formula of a regulator is received, this allows taking into account state coordinates and input signal constraints. Additionally restriction on increase of a current speed took into consideration and sharp switchings of control signal are excluded.
Key words: DC-drive, electromechanical system, one-mass system, control system, two points boundary problem, optimal control, cost function, linear quadratic regulator, LQR, quadratic functional.
Podborski Pavel Eduardovich, candidate of technical sciences, docent, panpodpeamail. ru, Russia, Republic of Khakassia, Sayanogorsk, Sayano-Shushensky branch of Siberian Federal University,
Podborski Eduard Nikolaevich, candidate of technical sciences, docent, [email protected], Russia, Republic of Khakassia, Abakan, Khakass Technical Institute - branch of Siberian Federal University
