Возникновение сложных пространственно-временных оптических структур в поперечном сечении широкоапертурного лазера Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 535.374:621.375.8

ВОЗНИКНОВЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫХ ОПТИЧЕСКИХ СТРУКТУР В ПОПЕРЕЧНОМ СЕЧЕНИИ ШИРОКОАПЕРТУРНОГО ЛАЗЕРА

© 2011 А.А. Кренц1'2, Д.А. Анчиков2, Н.Е. Молевич1'2

1 Самарский филиал Физического института им. П.Н. Лебедева РАН 2 Самарский государственный аэрокосмический университет

Поступила в редакцию 10.03.2011

C помощью полной распределённой системы уравнений Максвелла-Блоха исследована пространственно-временная динамика поперечного профиля оптического поля и сценарий перехода к хаосу в лазере с одной продольной модой. Ключевые слова: хаос, лазер, бифуркация

ВВЕДЕНИЕ

Уравнения Максвелла-Блоха широко используются в лазерной физике для моделирования динамики широкоапертурных лазерных систем, работающих на одной продольной моде [1-3]. В [4] рассмотрена автомодельная форма уравнений Максвелла- Блоха с адиабатически исключённой поляризацией и показано, что в ней реализуется режим устойчивых двухчастотных колебаний. Найдены также условия перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода тора. В [5] установлено, что рождение устойчивого двумерного эргодического тора происходит из замкнутой особой кривой, а не из предельного цикла. В [6] найдена аналитическая аппроксимация, удовлетворительно описывающая динамику системы вблизи точки рождения тора. В [7] показано, что описанные автомодельные структуры и сценарий перехода к хаосу реализуются также при решении распределенных уравнений Максвелла-Блоха с адиабатически исключённой поляризацией.

В настоящей работе показана возможность возникновения сложной поперечной структуры оптического поля и переход к хаосу в лазере моделируемом полной распределённой системой уравнений Максвелла-Блоха, учитывающей конечность времён релаксации не только разности населенностей двухуровневой среды (как в [4-7]), но и её поляризации.

Кренц Антон Анатольевич, инженер СФ ФИАН, аспирант кафедры физики СГАУ. E-mail: [email protected]. Анчиков Дмитрий Александрович, студент. E-mail: [email protected].

Молевич Нонна Евгеньевна, доктор физико-математических наук, профессор, заведующая теоретическим сектором СФ ФИАН, профессор кафедры физики СГАУ. E-mail: [email protected].

1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕГУЩИХ ПОПЕРЁК АПЕРТУРЫ ВОЛН

Рассмотрим систему уравнений Максвелла-Блоха:

dE .д 2 E

■ - г

V

= — (- Е + iP ) + iv A cE ;

dt дх 2 2

dN = Nn - N + i (EP ' - E 'P ) ; (1)

д t

2

dP

v 1 / 2

Г-+ (1 + i Д ) P = - iEN .

д t a

Предполагается, что активная среда двухуровневая и что лазер генерирует на одной продольной моде резонатора Фабри - Перо. Безразмерные время t и поперечная координата х связаны с размерными величинами td и xd следующим образом:

t = td /Ti, х = Xd (2k/TiC)1 где Tt - время релаксации населенности уровней активной среды; E и р - медленно меняющиеся амплитуды электрического поля и поляризации, обезразмеренные на величины насыщения амплитуд электрического поля Es и поляризации Ps соответственно; N = g / gt, где g, gt -коэффициенты усиления активной среды на центральной частоте лазерного перехода и потери, усредненные по длине резонатора; Г = 1 / yTi, где Y - скорость релаксации поляризации; v = cTigt; Д c = (а - ас)/ cgt - отстройка частоты генерации от моды пустого резонатора, нормированная на ширину линии резонатора; Д а = (аа -а)/у - отстройка от центра линии усиления активной среды, нормированная на скорость релаксации поляризации;

Nun = gun / gt , где gun - ненасыщенный коэффициент усиления.

Стационарное однородное нетривиальное решение системы уравнений (1), соответствует режиму генерации с постоянной интенсивностью:

М, = 1 + А„2; I, = Мип - (1 + Д„2);

I, =1 Е, |2; Р, = -¡Е ,(1 -/Ао); Ас = Ао /2 . (2)

Будем искать решение системы уравнений (1) в виде волн бегущих поперек апертуры, для этого используем замену переменных £ = , - в х, где и = 1 / в - скорость волны. В этой модели конечность лазерной апертуры не учитывается. Выполнив такую замену переменных, перейдем от системы уравнений в частных производных (1) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений при этом, полагая Е = Е' + ¡Е" и Р = Р' + /Р". В работе [8] аналитически определена критическая величина всг при которой возникает неустойчивость в предельном случае Г = 0 . Если Г > 0 , то явный вид всг не представляется возможным определить, поэтому далее приводится величина / = (в/всг)2, взятая как бифуркационный параметр. Исследуем динамику лазера в зависимости от л . Были сделаны численные расчеты динамики излучения для условий, которые можно считать типичными для лазеров класса в : Г = 0.01, V = 2, Ыип = 4, А а = -1, и при различных величинах параметра /л . При малых величинах л поперечный профиль оптического поля устойчив к малым возмущениям, и остается постоянным во времени. Начиная с величины /и = 0.9, малые возмущения интенсивности начинают усиливаться, динамика системы носит автоколебательный характер. Амплитуда и форма автоколебаний зависят от значения параметра и . Бифуркационная диаграмма режимов системы в зависимости от параметра / представлена на рис. 1, при построении диаграммы на оси абсцисс откладывались значения параметра, а на оси ординат возможные значения максимумов интенсивности. В работе [4] по тому же принципу строилась фазопараметрическая диаграмма в предельном случае Г = 0. Важным отличием ди-

аграммы полученной в [4] от диаграммы, полученной в данной работе, является наличие каскада бифуркаций удвоения периода, приводящих к хаотическому режиму колебаний. На фазопара-метрической диаграмме приведенной на рис. 1 наблюдается переход к хаосу после одного удвоения. Такой необычный сценарий перехода к хаосу заслуживает внимания и отдельного изучения сам по себе, в отрыве от физической интерпретации полученных результатов, однако, в данной работе мы не будем заострять на этом внимание.

В работе [5] показано, что в предельном случае при Г = 0 в системе существует особая окружность. Фазовые траектории системы движутся как вдоль, так и вокруг особой окружности, что и является причиной двухчастотных квазипериодических колебаний амплитуды поля. В системе уравнений (1) стационарное однородное нетривиальное решение (2) также представляет собой замкнутую особую кривую в фазовом пространстве, поэтому следует ожидать квазипериодической динамики амплитуды поля и существование аттрактора в виде устойчивого двумерного тора. Численные решения системы ОДУ полученной с помощью автомодельной замены переменных подтвердили квазипериодический характер динамики амплитуды поля. При Л > 0.9 малые отклонения от положения равновесия (2) притягиваются к аттрактору в виде двумерного эргодического тора. При увеличении параметра наблюдается единственное удвоение тора, и его разрушение, свидетельствующее о переходе системы в режим динамического хаоса.

Численно рассчитанная зависимость показателей Ляпунова от управляющего параметра и представлена на рис. 2, на рисунке показаны пять старших характеристических показателей из семи. Два младших показателя, не показанных на рисунке, меньше нуля и имеют большие по модулю значения при любом значении / , поэтому качественного влияния на динамику системы они не оказывают, и приводить их на графике нецелесообразно. На рис. 2 видно, что при / < 0.9 су-

1.5 -

III-,-,-,-,-

0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4

Рис. 1. Бифуркационная диаграмма режимов системы в зависимости от параметра и

ществует особая окружность, т.к. один показатель оказывается равным нулю. В точке А наблюдается рождение тора из замкнутой особой кривой, аналогично [5]. При увеличении управляющего параметра нулю оказываются равными два старших показателя, что свидетельствует о существовании в системе аттрактора в виде устойчивого двумерного тора. В точке в сразу три старших показателя оказываются равными нулю, что соответствует бифуркации удвоения периода тора. В дальнейшем, при увеличении параметра Л , старший показатель становится положительным (точкаС ), что свидетельствует о переходе системы в режим динамического хаоса.

2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ СИСТЕМЫ

Важным недостатком поиска решения уравнений (1) в виде волны, бегущей с постоянной скоростью является предположение о бесконечно широкой лазерной апертуре. Известно, что подобные решения не всегда устойчивы при конечных размерах пространственной области, т.е. в данном случае при конечной ширине лазерной апертуры. Кроме того, в автомодельной системе в качестве управляющего параметра выступает скорость волн, которую сложно привязать к параметрам реальной лазерной системы. Также нет возможности менять данный параметр в эксперименте с целью управления свойствами лазерного излучения. Таким образом, автомодельная система может лишь помочь предсказать возможные режимы лазерной генерации.

В настоящей работе решается задача проверки устойчивости полученных ранее автомо-

дельных решений на конечной апертуре с заданием периодических граничных условий Е(-Ь / 2,0 = Е(Ь / 2,0 , Щ(-Ь / 2, Г) = Щ(Ь / 2, Г), где Ь - длина расчетной области. Область изменения переменной х бралась Ь = 5а, где а - ширина лазерного резонатора. Это позволяет практически исключить влияние граничных условий, и физически соответствует открытому резонатору [9]. Уровень накачки брался однородным по всей ширине резонатора. Для численного решения уравнений (1) использовалась простая неявная разностная схема с четырехточечным шаблоном на равномерной сетке, нелинейные слагаемые брались с предыдущего временного слоя. Значения безразмерных лазерных параметров брались а = 10 , А0 = -2 , Ыип = 15 , Г = 0.01. Параметр V использовался в качестве управляющего параметра так же, как и в [7] для предельного случая Г = 0 .

Численные расчеты показали, что при больших значениях управляющего параметра V любое начальное пространственное распределение поля Е(х, t = 0) с течением времени эволюционирует в стационарную пространственную структуру, показанную на рис. 3. Полученное численно стационарное неоднородное решение, приведенное на рисунке, близко к простому га-уссовому распределению интенсивности в поперечном сечении оптического поля, т.е. является фундаментальной модой резонатора ТЕМ00, незначительно искаженной активной средой.

При уменьшении управляющего параметра наблюдается рождение семейства автоволн (рис. 4). При этом, если построить временную зависимость Е(х = 0, t) и N(х = 0, t) в центре апер-

Рис. 3. Пространственно-временная динамика при у = 75

туры, то мы получаем режимы генерации, качественно эквивалентные режимам автомодельной системы. В фазовом пространстве Е'(X = 0,1), Е'(х = 0,1), N(х = 0,1) существует аттрактор в виде устойчивого двумерного тора, предсказанный в автомодельной системе.

Существование аттрактора в виде двумерного тора, соответствует двухчастотной квазипериодической динамике комплексной амплитуды поля. На рис. 5 представлен спектральный состав зависимости амплитуды поля в центре апертуры от времени, на котором хорошо видны две независимые частоты.

При дальнейшем уменьшении управляющего параметра в фазовом пространстве Е'(х = 0, t), Е'( х = 0, t), N (х = 0, t) наблюдается бифуркация удвоения периода двумерного тора и соответствующее усложнение пространственно-временных структур. При у « 15 система переходит в

1п(С/С^) 11

Рис. 4. Пространственно-временная динамика при у = 25

режим динамического хаоса (рис. 6).

О переходе системы в режим динамического хаоса свидетельствует спектральный состав зависимости интенсивности поля в центре апертуры от времени (рис. 7). Дальнейшее уменьшение параметра н приводит опять к появлению регулярных поперечных оптических структур. Таким образом, существуют ограниченные области значений управляющих параметров, где реализуются условия возникновения пространственно-временного хаоса. Геометрия этих областей в зависимости от типа управляющих параметров представляет практический интерес и будет исследована отдельно.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе показано, что в полной системе уравнений Максвелла-Блоха, учитыва-

«ьЯ

Рис. 5. Спектр колебаний Е'(х = 0, t) при у = 25 . С - мощность спектра, Стах - максимальное значение мощности

Рис. 6. Пространственно-временная динамика при v = 15

ющей динамику поляризации, наблюдается рождение семейства бегущих поперек лазерной апертуры автоволн, как в автомодельной, так и в распределенной системе. Найдены примеры значения параметров, при которых в системе происходит скачкообразное качественное изменение пространственно-временной динамики (бифуркации), а также параметры, при которых наблюдается пространственно-временной хаос. Для дальнейших исследований практический интерес представляет построение многопараметрических диаграмм режимов генерации.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009 - 2013 годы, ГК №14.740.11.0703, Аналитической целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы" (2009 - 2010 гг.), проект2.1.1/309.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Spatiotemporal Dynamics of Lasers with a Large Fresnel Numbeç/G. Huyet, M.C. Martinoni, J.R. Tredicce, S. Rica//

ln(C/C )

M

Рис. 7. Спектр колебаний J(x = 0, t) при v = 15 .

C - мощность спектра, Cmax - максимальное значение мощности

Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 75, № 22. P. 4027-4030.

2. Space-time dynamics of wide-gain-section lasers/P.K. Jakobsen, J.V. Moloney, A.C. Newell, R. Indik//Phys. Rev. A. 1992. Vol. 45, №11. P. 8129-8137.

3. Time Resolved Pattern Evolution in a Large Aperture Laser/F. Encinas-Sanz, I. Leyva, J.M. Guerra//Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 84, № 5. P. 883-886.

4. Кренц A.A., Молевич Н.Е. Каскад бифуркаций удвоения тора в лазере с отстройкой частоты//Квантовая электроника. 2009. Т. 39, №8. С. 751-756.

5. Кренц A.A., Молевич Н.Е. Исследование сценария перехода к хаосу в динамической системе с особой окружностью на фазовой плоскости//Известия Самарского научного центра РАН. 2010. Т.12. №4. С. 108-112.

6. Кренц A.A., Молевич Н.Е. Рождение устойчивого тора из замкнутой особой кривой и его бифуркации в лазерной системе с отстройкой частоты //Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2010. №5. С. 68-79

7. Кренц A.A., Молевич Н.Е. Пространственно-временная динамика поперечного профиля оптического поля в лазере с отстройкой частоты/А.А. Кренц, Н.Е. Молевич// Компьютерная оптика. 2010. Т. 34, №4. С. 527-532.

8. Периодические автоволновые структуры в широкоапер-турном лазере с отстройкой частоты. 1. Бифуркационный анализ/A.n. Заикин, АА. Кургузкин, Н.Е. Молевич// Квантовая электроника. 1999. Т. 27, №3. С. 246 -248.

9. Елкин H.H. Нестационарные режимы лазерной генерации/Математическое моделирование. 1998. Т. 10, №4. С. 91-103.

FORMATION OF COMPLEX SPATIOTEMPORAL OPTICAL STRUCTURES IN THE TRANSVERSE SECTION OF A WIDE-APERTURE LASER

© 2011 A.A. Krents1,2, D.A. Anchikov2, N.E. Molevich1,2

1 Samara State Aerospace University 2 Samara Branch of P.N. Lebedev Physical Institute of the Russian Academy of Sciences

Using the full distributed Maxwell - Bloch equations, we investigate spatiotemporal dynamics of transverse optical profile and the scenario of the passage to chaos in a single longitudinal mode laser. Key words: chaos, laser, bifurcation Anton Krents, Engineer Graduate Student at the Physics Department. E-mail: [email protected]. Dmitry Anchikov, Student. E-mail: [email protected]. Nonna Molevich, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Head of the Theoretical Sector of Samara Branch LPIRAS, Professor at the Physics Department, SSA U. E-mail: [email protected].