CC BY
11
ВМУ. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 2009. № 4
3
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Возникновение керровской черной дыры из двух струнообразных объектов Неймана-Унти-Тамбурино
B.C. Манько1а, Е.Д. Родченко2, Э. Руиз3, М. Б. Садовникова26
1 Центр передовых исследований и обучения при Национальном политехническом институте Мексики,
кафедра физики.
2 Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, физический факультет, кафедра
квантовой статистики и теории поля. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2. 3 Саламанкский университет, Институт фундаментальной физики и математики. E-mail: 11 [email protected], ь[email protected]
Статья поступила 25.12.2008, подписана в печать 19.01.2009.
Показано, что изолированная черная дыра Керра может интерпретироваться как результат нелинейной суперпозиции двух одинаковых источников НУТ, обладающих противоположными моментами вращения и расположеными на оси симметрии на определенном критическом расстоянии друг от друга.
Ключевые слова: уравнения Эйнштейна, метрика Керра, формализм Эрнста, решение Неймана-Унти-Тамбурино.
УДК: 530.12:531.51. PACS: 04.20.Jb, 04.70.Bw, 97.60.Lf.
Как было показано недавно [1], хорошо известное решение Неймана-Унти-Тамбурино (НУТ) [2] представляет собой струнообразный объект с двумя полубесконечными особенностями ненулевой массы и противоположными угловыми моментами, которые примыкают к полюсам центрального невращающегося тела. Это решение является простейшим среди экваториально-антисимметричных четырехмерных пространств ОТО, точное определение которым было дано в работе [3]. Хотя обычный «нутовский» объект обладает некоторыми нефизическими свойствами, такими, как наличие областей с отрицательной массой и замкнутыми времениподобными линиями, в настоящей работе нами будет показано, что конфигурации, состоящие из нескольких нутовских компонент, могут порождать физически значимые модели, лишенные патологий обычного пространства НУТ. Конкретно мы рассмотрим простой, но очень убедительный пример: возникновение керровской черной дыры из двух взаимодействующих объектов НУТ. Рассмотрение будет проведено в рамках точного решения, описывающего возможную нелинейную суперпозицию двух нутовских источников.
Напомним, что решение стационарной аксиально-симметричной вакуумной задачи в ОТО сводится к нахождению комплексной функции £, удовлетворяющей уравнению Эрнста [4]
(£ + т.р.р + Р~% + е.г.г) = 2(£2р + £%), (1)
где р и г — цилиндрические координаты Вейля-Папа-петру, запятая обозначает частное дифференцирование по следующей за ней координате, а черта над символом означает комплексное сопряжение. Используя интегральный метод Сибгатуллина [5], потенциал £, удовлетворяющий (1), может быть построен по его виду на верхней части оси симметрии. На участке г > Vт2 + ь>2 оси г комплексный потенциал Эрнста отдельно взятого решения НУТ имеет вид [1]
„ ч г — т — ш е(г) = £(р = 0,2) = ———, (2)
г + т + ш
где т — полная масса объекта НУТ, а V — усредненный угловой момент на единицу длины полубесконечной особенности. Нелинейная суперпозиция двух простых решений НУТ, имеющих одинаковые массы и противоположные угловые моменты, может быть формально представлена следующими данными на оси:
г—к—т—ш г+к—т+ш е(г) =-;-:---;-—. (3)
г —к+ т + и> г+к+т—ш
где параметр к задает смещение нутовских компонент по оси симметрии относительно начала координат. Следует отметить, что если данные (2) определяют экваториально-антисимметричное решение, поскольку для них верно характеристическое соотношение е(г)е(—г) =1 [3], то данные (3) удовлетворяют соотношению е(г)ё(—г) = 1 и, следовательно, уже определяют экваториально-симметричное пространство-время [6, 7].
Ниже мы приводим окончательный вид потенциала Эрнста £, построенного по данным (3) с помощью метода Сибгатуллина, а также выражения для соответствующих функций /, 7 и ш, входящих в стационарную аксиально-симметричную метрику Папапетру
А52 = Г1[е2ЦАр2 + Аг2)+рЧ^] -ЦЦ-ш(Ир)2, (4)
опуская все промежуточные выкладки (многие важные подробности получения решений данного типа заинтересованный читатель может найти в работе [8]):
АА^ВВ ~ А + В' ' ~ (.А + В)(А + В)' _ АА- ВВ _ 41т + В)]
64 с14а+2а^2Я+Я^г+г^' /1/1 — В В
А = [(т2 + р2)(к2 - т2)(к2 - т2 - V2) - 2т2к2у2] х
х | — К_) (г) — г_) ~Ь
+ 2а+а^(т2 + V2)(т2 - к2)(М.М^ + ) -- а+а_ [2т4 + (т2 + р2)(к2 - т2)](Я+ + + г_) -
2 ВМУ. Физика. Астрономия. № 4
ВМУ. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 2009. № 4
— 2 imkvd[(a+ — a-)(R+r+ — R_r-)—
— (а+ + a_)(A!+r_ — R_ г.)].
В = 4d{ma+a^ [(т2 — d)(R+ + AL) — (т2 + d)(r+ + r_)] + + í7zi/[a_(m2 — d)(R+ — AL) — a+(m2 + d)(r+ — r_)]},
G = d[d2 + m2(m2 + 2ikv)\ [(a+ — a_)(ALr_ — R. r.) + + (a+ + a_)(A!+r_ - ALr+)] —
— 2m2d2 [(a+ + — R+r+) +
+ (g¡~|™ — Q¡_ ) (/^ ) f— ~ R— — — m+q- (d2 + m4) (R+ + AL) (r+ + r_) + + m[kd2(k + 4w) - (2k2 - m2){m2 + v2f + k2v4] x x R_)f_)
- 2ma+a^(k2 - m2)(m2 + v2)(R+R^ + r+r_) -
— 2dz{a^(m2 — d) [ma+(R+ + AL) + ikv(R+ — AL)] —
— a+(m2 + d) [ma^(r+ + r_) + ikv(r+ — r_)] }+ + 2da+a^ (2m2 + ikv) [m2(R+ + AL — r+ — r_) —
— d(A!+ I AL + r+ + r^)] + +2md\d2—m4—ikv(2m2+ikv)\ [a_(AL—A!+)+a+(r+—r_)] — - 2md2(m2 - k2 + v2 - 2ikv) [a_(AL - R.) + a+(r_ - r+)],
(5)
где
^Jp2 + (z± a+)2, r± = ^Jp2 + (z± ol— )2,
(6)
Q±
\¡2m2 — v2 ± 2m2, d ■■
m
(8)
а формулы для Л, 5 и G принимают вид
Л = [(q+ — iv)R+ + (а+ + ÍV)AL]F, 5 = 4 ma+F,
G = т[(а+ —2т — iv)R+ + (а+ + 2т + iv)R_ + (9) + 2а+(2т + iv — z)]F,
F = —2т [(а- + iv)r+ + (а_ — íV)r_],
где Р является общим множителем. Сокращая Р в выражениях для потенциала Эрнста и метрических функций и вводя эллипсоидальные координаты по формулам
—— (AL I R—).
2а+
У
-L (R
2d
•я-), (п)
получаем
а+х — ivy ■
о21-
а+х ■
2 2 а+ jc -
шг/-
2 2
2т
4т2
а.
2 „2
JT +
2 2
• 4т2
а+2(х2 - у2)
LO :
(а+х + 2т)2 + v2y2 ' Amv(a+x + 2т) (1 —у2) а+2х2 + v2y2 — Am2
(12)
Вводя теперь параметры
а+
q=2,
1,
(13)
мы переписываем (12) в виде рх - iqy - 1
рх — iqy + 1'
э27 p2x2 + q2y2
1
р2(х2-у2)
Í-
LO :
р2х2 + q2y2 — 1 (px+l)2 + q2y2'
2a+q(px + 1)(1 — у2)
ГГ
р(р2х2 -
■фу2
(14)
а± = -\/т2 + к2 — V2 ± 2й, й = т2к2 + у2(к2 — т2).
(7)
Полученная метрика является асимптотически плоской и описывает вращающееся тело, имеющее массу 2т, угловой момент 2кь> и массовый квадрупольный момент 2т(к2 — т2 — ь>2). Поскольку хорошо известное решение Керра для вращающейся черной дыры [9] характеризуется двумя параметрами т и а (соответственно полной массой и угловым моментом на единицу массы, причем массовый квадрупольный момент керровского источника равен —та2), то естественным образом возникает предположение о том, что метрика (5) в частном случае к = т переходит в решение Керра с полной массой 2т и полным угловым моментом на единицу массы V. Чтобы убедиться в правильности данной гипотезы, положим к = т в (5) и (7). Тогда получаем
т. е. мы пришли к одному из стандартных представлении решения Керра [4, 10].
Таким образом, нами показано, что нелинейная суперпозиция двух решений НУТ может порождать керров-ское пространство. Мы надеемся, что дальнейшие исследования позволят выяснить, насколько фундаментальным является полученный результат для физики черных дыр.
Работа выполнена при финансовой поддержке фондов ССЖАСуТ (Мексика) (грант 45946-Р) и МСуТ (Испания) (грант Р152006-05319).
9 10
Список литературы
Manko V.S., Ruiz Е. Ц Class. Quantum Grav. 2001. 18. P. LI 1.
Newman E., Tamburino L., Unti T. // J. Math. Phys. 1963. 4. P. 915.
Ernst F.J., Manko F.S., Ruiz E. // Class. Quantum Grav. 2006. 23. P. 4945.
Ernst F J. 11 Phys. Rev. 1968. 167. P. 1175. Сибгатуллин H.P. Колебания и волны в сильных гравитационных и электромагнитных полях. М., 1984. Kordas Р. И Class. Quantum Grav. 1995. 12. P. 2037. Meinel R., Neugebauer G. // Class. Quantum Grav. 1995. 12. P. 2045.
Manko V.S., Ruiz E. Ц Class. Quantum Grav. 1998. 15. P. 2007.
Kerr RP. Ц Phys. Rev. Lett. 1963. 11. P. 237.
Kramer D., Stephani H., MacCallum M.A.H., Herlt E. Exact
Solutions of Einstein's Field Equations. Cambridge, 1980.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА 5
Formation of a Kerr black hole from two stringy Newman-Unti-Tamburino objects V.S. Manko1', E.D. Rodchenko2, E. Ruiz3, M.B. Sadovnikova2é
1 Departamento de Física, Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN, A.P. 14-740, 07000 Mexico D.F., Mexico.
2 Department of Quantum Statistics and Field Theory, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.
3Instituto Universitario de Física Fundamental y Matematicas, Universidad de Salamanca, 37008 Salamanca, Spain. E-mail: 11 [email protected], [email protected].
It is shown that an isolated Kerr black hole can be interpreted as arising from a pair of identical counter-rotating NUT objects placed on the symmetry axis at an appropriate distance from each other.
Keywords: Einstein equations, Kerr metric, Ernst formalism, NUT solution. PACS: 04.20.Jb, 04.70.Bw, 97.60.Lf. Received 25 December 2008.
English version: Moscow University Physics Bulletin 4(2009).
Сведения об авторах
1. Манько Владимир Семенович — канд. физ.-мат. наук, доцент РУДН им. П. Лумумбы; e-mail: [email protected].
2. Родченко Е.Д. — аспирант.
3. Руиз Э. — аспирант.
4. Садовникова Марианна Борисовна — канд. физ.-мат. наук, мл. науч. сотр.; e-mail: [email protected].
3 ВМУ. Физика. Астрономия. М 4
