CC BY
30
УДК 517.938
Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 2(60). 2015. Вып. 1
ВОЗМУЩЕНИЯ СЛАБО ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ИНВАРИАНТНЫХ МНОЖЕСТВ ДВУМЕРНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ*
4=
Н. А. Бегун
Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9
Вопрос структурной устойчивости является одной из основных областей современной теории дифференциальных уравнений. В настоящей статье мы изучаем малые ^-возмущения систем дифференциальных уравнений. Мы вводим понятия слабо гиперболического инвариантного множества К и листа Т системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Лип-шицево условие не предполагается. Мы показываем, что если возмущение достаточно мало, то существует непрерывное отображение к : К —у Ку, где Ку — слабо гиперболическое инвариантное множество возмущенной системы. Более того, мы показываем, что к(Т) является листом возмущенной системы. Библиогр. 7 назв.
Ключевые слова: устойчивость, инвариантное множество, малые возмущения, гиперболические структуры, слабо гиперболическое множество, структурная устойчивость.
Введение. В настоящей работе изучаются малые ^-возмущения систем дифференциальных уравнений, обладающих слабо гиперболическим инвариантным множеством. Задача была поставлена В. А. Плиссом и Дж. Селлом в статьях [1] и [2], посвященных исследованию устойчивости слабо гиперболических инвариантных множеств. В этих статьях предполагалось, что нейтральное и устойчивое подпространства соответствующих линеаризованных систем удовлетворяют условию Липшица. В работах [4], [5], [7] изучалась проблема устойчивости слабо гиперболических инвариантных множеств в нелипшицевом случае. В работе [4] было введено понятие листа слабо гиперболического инвариантного множества двумерной периодической системы и построено непрерывное на каждом листе отображение Н : К ^ К¥, где К, К¥ — это слабо гиперболические инвариантные множества невозмущенной и возмущенной систем соответственно. В работе [5] было показано, что множество К ^ является замкнутым. Таким образом, в работах [4] и [5] было доказано, что слабо гиперболическое инвариантное множество двумерной периодической системы является устойчивым даже при отсутствии условия Липшица. Далее, в [7] результат работ [4] и [5] был обобщен на случай слабо гиперболического инвариантного множества трехмерной периодической системы. До сих пор оставался открытым вопрос, можно ли построить вышеупомянутое отображение Н непрерывным не только по каждому листу в отдельности, но и по всему множеству К. В данной статье впервые изложен метод построения такого отображения для случая слабо гиперболического инвариантного множества двумерной периодической системы. В первой части работы даны основные определения. Во второй части сформулирован результат и изложены главные идеи доказательства.
1. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №13-01-00624) и СПбГУ (тема 6.0.112.2010).
х = X(Ь, х),
(1.1)
где £ £ М, х £ М2, а X — это Сх-функция, действующая из М3 в М2. Предполагается, что существует число ш > 0 такое, что
X + ш,х) = X (¿,х).
Обозначим через х(£, ¿о,хо) максимально продолженное решение системы (1.1), удовлетворяющее условию х(£0 ,£0,х0) = х0.
Заметим, что в силу периодичности системы (1.1) мы можем провести факторизацию
г - г + кад, £ £ М, к £ Z,
и в дальнейшем рассматривать систему в пространстве 2 = Б х М2 (так называемое цилиндрическое пространство), где Б — это окружность длины ш.
Обозначим через Ф^, ¿о,хо) фундаментальную матрицу линейной системы
дх(г,х(г,г0,х0)) ,л
х=-^-х, (1.2)
удовлетворяющую условию Ф^о^о, х0) = I, где I — тождественный оператор на М2.
Будем говорить, что система (1.2) слабо гиперболична на интервале 7 С М с константами а, Лх и Л2, если Л2 < Л1, Л1 > 0, а > 1 и существуют дополняющие друг друга линейные подпространства ип(г,г0,х0) и ия(г,г0,х0), ип(г,г0,х0) = 1, ия(г,г0,х0) = 1, такие, что
Ф(г,£0,х0)ия(г0 ,£0,х0) = ия(г,£0,х0), Ф(г,г0,х0)и "(¿0,40 ,х0) = и "(¿,¿0 ,х0)
для любого г £ 7, и если х £ ия(т, ¿о ,х0), то
|Ф(г,г0,х0^^(т^^)х| < а|х|е-Л1(4-т} (1.3)
для г > т, т £ 7, и если х £ и"(т, ¿0, х0), то
|Ф(г,г0,x0^^(т^^)х| < а|х|е-Лз(4-т} (1.4)
для г < т, т £ 7.
Линейное подпространство и^¿о^о) = и^¿о^о^о) называется устойчивым линейным подпространством, линейное подпространство и"(¿о,хо) = и"(¿о^о^о) — нейтральным линейным подпространством.
Предположим, что существует К С 2 — компактное инвариантное множество системы (1.1). Положим К4о = {х £ М2 : (¿0,х) £ К}.
Множество К будем называть слабо гиперболическим, если выполнены следующие два условия:
(1) линейная система (1.2) слабо гиперболична на М с константами а, Лх и Л2 для любой точки (¿о, хо) £ К;
(2) существует г > 0 такое, что для любой точки (¿о,хо) £ К существует 1-мерный диск I(¿0,х0) С К4о радиуса г, такой, что
(1) х0 — центральная точка -I(¿о, хо);
(ii) если x G D(to,xo), то в точке (to,x) линейное подпространство Un(to,x) касается диска D (to, xo);
(iii) множество
D(to, xo) = {(t, x) : |t — to| < r, x G D(t, x(t, to, xo))}
является локально инвариантным.
В этой работе мы не предполагаем липшицеву зависимость Un(to, xo) и Us(to, xo) от xo, теряя, очевидно, при этом свойство единственности дисков. Вместо липшице-вости мы потребуем выполнения следующего условия:
(iv) если Di(to, xo) и D2(to, xo) — это два диска в точке (to, xo) со свойствами (i)-(iii), то Di(to,xo) = D2(to,xo).
Известно, что если множество K является слабо гиперболическим, то существует a> 0 такое, что Z(Us(to, xo),Un(to,xo)) > a, (to, xo) G K. Не умаляя общности, будем считать, что a < 0.1.
Для (to,xo) G K определим множества T1(to,xo), T2(to,xo),..., Y(to,xo) следующим образом:
Yi(to,xo)= У D(t, x), Yi+i(to,xo)= У D(t, x) для i > 1,
(t,x)€D(ta,xo) (t,x)eTi(to,xo)
Y(to,xo) = У Yi(to,xo).
i=i
Множество Y(to,xo) будем называть листом, проходящим через (to,xo). В том случае, когда нам не важна точка (to, xo), мы будем обозначать лист просто Y.
2. Наряду с системой (1.1) рассмотрим ее возмущение
y = X (t,y) + Y (t,y), (2.1)
где Y — это C1-функция, действующая из R3 в R2.
Функция Y тоже предполагается w-периодичной, т. е.
Y(t + w,y) = Y(t,y), y G R2, t G R.
Обозначим через y(t, to,xo) максимально продолженное решение системы (2.1), удовлетворяющее условию y(to,to,xo) = xo. Сформулируем основную теорему.
Теорема. Пусть K — компактное слабо гиперболическое инвариантное множество системы (1.1). Предположим, что выполнено свойство единственности дисков. Тогда для любого е > 0 существует такое S > 0, что если У Y||Ci < S, то существует непрерывное отображение h : K —>• S, удовлетворяющее условиям
(0) если h(to, xo) = (t1, yi), то t1 = to;
(1) |h(t,x) — (t,x)| < е;
(2) K( = h(K) — это инвариантное множество системы (2.1);
(3) линейная система
dy d(X(t,y(t,to,yo)) + Y(t,y(t,to,yo)))
л =-^-у (2'2)
слабо гиперболична для любой точки (to,yo) G K(;
(4) нейтральное подпространство Uy(to, yo) системы (2.2) касается множества h(to, D(to, xo)) в точке (to,yo), где (to,yo) = h(to,xo);
(5) для каждого листа Y С K множество YY = h(Y) будет являться листом слабо гиперболического инвариантного множества K Y системы (2.1).
Доказательство. Зафиксируем число а > 0 такое, что 11а = min(Ai, Ai — А2). Зафиксируем T > 0, для которого выполнены следующие три условия:
e-(Ai-
sin2 (а/4) sin2 (а/5)
e-(Ai-A2)T ^ sin2 (а/4) ^ - 1000а2 ' - 500а2 ' ~ 1000а2 ' 1 ' J
Зафиксируем с, 0 < c < 1/10, такое, что для любого вектора Z, удовлетворяющего неравенству
Z(Un(to, xo), Z) < са, (to, xo) G K, (2.4)
выполнены неравенства
а
Z(Un(t, t0, x0), $(í, ío,x0)C) < j, 0<t-t0<2T,
са
Z([/n(t,to,xo),$(t,to,xo)C) < T<t-t0<2T.
256
Пусть N(to, xo) С {t = to} x R2, (to, xo) G K — 1-мерное подпространство, перпендикулярное Un(to,xo) в точке (to,xo).
По выбранному с зафиксируем r > 0 такое, что для любых (to,xo), (to,xi) G K таких, что |xo — xi | < r и xi G D(to, xo) выполнено
Z(Un(to,xo),xo — xi) < са, (2.5)
sinZ(Un(to,xo),xo — xi) < 1/10, (2.6)
са
Z(C/n(ío,xo),C/n(ío,xi))<—, (2.7)
sin(Z(U"(to,xo),U"(to,xi))) < 1/20. (2.8)
Из теоремы Перрона об устойчивом многообразии следует, что для любой точки (to, xo) G K существует 1-мерный диск Dp(to,xo) (так называемый диск Перрона) такой, что если xi G Dp(to,xo), то
|x(t,to,xi) — x(t,to,xo)| < 2a |xi — xo| e-(Al-ct)(í-ío) (2.9)
при t > to.
Известно также, что радиус b диска Dp(to,xo) не зависит от (to,xo) и диск Dp(to,xo) сколь угодно мало (при должном выборе b) отличается от Us(to,xo). Зафиксируем такое х, что диски Dp(t,x), (t, x) G D(to,xo) образуют расслоение в Х-окрестности диска D(to,xo) для любой точки (to, xo) G K. Существование такого х было доказано в [6].
Будем также считать, что в х-окрестности диска D(to,xo)
Z(Dp(t,x),Un(t,x)) > 0.99а.
В работе [4] был описан способ построения липшицевых координат в окрестности листа Y С K. Обозначим через Mi(t, x) прямые, с помощью которых были введены эти координаты.
Положим ¡3 = тт(|,г) и определим для каждой точки (¿о,хо) €= К множество Г1(^о, хо, в) = {х + у : х € О(¿о, хо), у € М^о, х), |у| < в} .
Рассмотрим отображение
¥>1 = ^1(4с,хо) : г1(^о, хо,в) —> (^о, хо), (2.10)
удовлетворяющее условию
^(х + у) = х, х € -О(¿о,хо), у € М^о,х). (2.11)
Вообще говоря, отображение ^1(40,Х0) зависит от (¿о, хо), но для упрощения записи мы будем обозначать его просто у>1. Предполагается, что расположение точки (¿о, хо) следует из контекста.
Липшицевость отображения у>1 была доказана в работе [4]. Обозначим константу липшицевости Ь. Заметим также, что угол между М^, х1) и .М.(£, Ж2) меняется липшицево с константой С > 0.
Введем еще одну систему координат. Будем говорить, что у € .2(4, х), (¿, ж) € К в том случае, если у € х).
Определим для каждой точки (¿о,хо) € К множество
^(¿о, хо, в) = {х + у : х € О(¿о, хо), у € М2^о, х), |у| < в} .
Рассмотрим отображение
^2 = ^2(4о,жо) : Г2(4о,хо,в) —» -О(¿о, хо), удовлетворяющее условию
^2 (х + у) = х, х € О (¿о, хо), у € М2(4о ,х).
Введем систему координат (и, V), и € Т, V € М2(и) в окрестности каждого листа Т. Заметим, что эти координаты являются непрерывными на множестве К. Заметим также, что, в отличие от отображения у>1, отображение ^>2 не обязательно будет липшицевым.
Рассмотрим точки ¿о, х1 и уо такие, что (¿о,х^ € К и |уо — х11 < в. При достаточно малом в существует хо € О(¿о,х1) такое, что уо € !р(£о,хо). Уменьшая, если это необходимо, в, мы получим
81п(а/3)
Аналогично, при достаточно малом в, из того, что уо € М^о,х1), следует, что
|уо — х11< 2 |хо — уо|. (2.13)
Вернемся к нелинейной системе (1.1). Зафиксируем с, 0 < с < для которого выполнены следующие три условия. Во-первых, для любой точки (¿о,хо) € К и уо : |уо — хо| < св выполнено
х(Ь,Ъ,уо) 6Г, ^,ж(Мо,хо),0 , 0<*-*0<2Т, г = 1,2.
Заметим, что при достаточно малом с, для любой точки (¿о,уо) такой, что |уо — хо| < св, линейная система (1.2) слабо гиперболична на интервале 0 < ¿ —¿о < 2Т с константами 2а, Лх — а и Л2 + ст. Это, в частности, означает, что отображения (¿, х) —> и'(¿,х), (¿,х) £ К, г = п, в, имеют непрерывные продолжения на св-окрестность К. Второе условие на с — это выполнение неравенства
/(^хо^^Уо))^^ (2.14)
при (¿о, хо) £ К, |хо — уо| < св, г = п, в.
В-третьих, для любой точки (¿о,хо) £ К и любых хх,2, |хо — х^| < св, г = 1, 2, таких, что /(и"(¿о,хо),хх — х2) < са, должны выполняться неравенства
а
/([/"(¿,ж(^о,хо)),ж(Мо,Х1) -х(г,г0,х2)) <о < ^ — ¿0 <2т,
са
/([/"(¿^(Мо^о)),^,^,^) - х(Мо,Я2)) < —, Т < t - *0 < 2Т.
128
Рассмотрим (¿о,хх) £ К и уо : |уо — хх| < св. Рассмотрим также хо £ -I(¿о,хх) такую, что уо £ ^(¿о^о). Заметим, что
^(¿,¿0^0) — ^(х^^уо)) < 2 |x(г,го,yо) — x(г,го,xо)| при 0 < г — ¿0 < 2Т. Теперь, учитывая (2.9) и (2.12), получаем, что
|х(Мо,Уо) ~ у1ИМо,Уо))| < 4а|У°0 < ^ - ¿о < 2 Т. (2.15)
вш(а/3)
Из (2.3) и (2.15) следует, что
4а|у0 — хх| вт2(а/4) |х(Мо,уо) -^ИМо,уо))| < Да/3)' <
<8т(а/4)|у0-х1| _
200 ' у ;
£ <
Мы выбрали Т, с, г, ¡3 и с. Положим 0 < е < Щ-. Будем считать также, что 0 <
sin
— 2С •
Рассмотрим линейную систему
л =-Щ-(217)
Зафиксируем 6 > 0, при котором выполнены следующие пять условий.
(1) Если (¿о, хо) £ К и |уо — х0| < е, то
|у(Мо,Уо) -х(Мо,Уо)| < 0 <¿-^<2Т. (2.18)
(2) Если (¿0,х0) £ К и |уо — х0| < е, то
0 <¿-^<2Т, г =1,2. (2.19)
(3) Пусть to,yo) —фундаментальная матрица линейной системы (2.17), удовлетворяющая условию ^(to,to,yo) = I. Заметим, что если (to,xo) G K, то для любой точки (to,yo) такой, что |xo — yo| < св, при достаточно малом 5 линейная система (2.17) слабо гиперболична на интервале 0 < t — to < 2T с константами 3а, Ai — 2а, Л 2 + 2а. Эти константы не зависят от to, xo и yo.
Обозначим через Uy(to,yo) и US(to,yo) нейтральное и устойчивое подпространства системы (2.17) на промежутке 0 < t — to < 2T. Выберем 5 таким, что
Z([/^(t0,yo),t/i(ío,yo))<I^ (2.20)
при (to, xo) G K и |yo — xo | < св, i = n, s.
Уменьшая, если это необходимо, 5, мы можем добиться, чтобы для любого вектора п, такого, что Z(Uy(to,yo),n) < са, было выполнено
2а
Z(UZ(t,y(t,to,yo))^(t,to,yo)v)<^r, 0 < t — to < 2Т, (2.21)
5
са
Z(£/£(í, y(t, to, yo)), to, yo)??) < —, T<t-to<2T.
64
(4) Рассмотрим x¿ и y¿, i = 0,1 такие, что (to,xo) G K, xi G D(to,xo), y¿ G Mi(to,xj), i = 0,1, |xi — xo | < e, |yo — xo | < e, |yi — xi | < e. При достаточно малом 5 и Z(Uy(to, yo),yi — yo) < са выполнено
а
Z([/^(í,y(í,ío,yo)),y(í,ío,yi)-y(í,ío,yo)) <-, 0 < t — to < 2T, (2.22)
са
Z([/"(í,y(í,ío,yo)),y(Mo,yi) -y(t,t0,yo)) < —, T<t-t0<2T. (2.23)
50
(5) В силу того, что, как уже было замечено ранее, для любой точки (to,yo) такой, что |xo — yo | < св, (to,xo) G K, линейная система (2.17) слабо гиперболична на интервале 0 < t—to < 2T с константами 3а, Ai —2а, Л2 + 2а, мы можем, уменьшая 5, добиться того, чтобы для любой точки (to,yo) такой, что |xo — yo| < св, (to, xo) G K, существовал 1-мерный диск Перрона Dp(to,yo) такой, что если y1 G Dp(to,yo), то
|y(t, to, yi) — y(t, to, yo)| < 4а |yi — yo| e"^-3^-^, 0 < t — to < 2T. Теперь рассмотрим (to,xo) G K и yo такие, что |xo — yo| < е. Из (2.19) следует,
что
y(í,ío,yo) er¿ (t,x(t,to,xo),^j , 0 < t — to < 2T, г =1,2. Из (2.16) и (2.18), в свою очередь, следует, что
|y(t,to,yo) — ^i(y(t,to,yo))| <
< |y(t, to, yo) — x(t, to, yo) | + |x(t,to, yo) — ^i(x(t,to, yo)) | +
+ |^i(x(t,to,yo)) — ^i(y(t,to,yo))| <
e sin(a/4) e sin(a/4) -e sin(a/4) 203 . . . m m
< ' ' +-+L ^ ' ' =-es na/4 < e, T<t-t0<2T.
~ 3(L + 1) 200 3(L + 1) 600 У ' '
В итоге,
|у(Мо,уо) — (y(г,го,yо))| < е, Т < г — ¿0 < 2Т. (2.24)
Кроме того, из вышеприведенных рассуждений, (2.12) и (2.13) следует, что
|у(Мо,уо) — ЫуСМо,уо))| < е, Т < г — ¿о < 2Т.
Рассмотрим множество Q, состоящее из непрерывных функций / : К ^ М2, удовлетворяющих следующим условиям:
(1) /(¿,х) £ M2(г,x) для всех (¿,х) £ К;
(2) |/(¿, х)| < е для всех (¿, х) £ К;
(3) |х + /(¿, х) — + /(¿, х))| < е для всех (¿, х) £ К;
(4) для любого листа Т С К отображение (¿,х) —>• (¿, ^(х + /(¿,х))), (¿,х) £ Т, действующее из Т в Т, является взаимооднозначным;
(Другими словами, поверхность (¿, х + /(¿, х)), (¿, х) £ Т можно задать с помощью функции /х^х) таким образом, что /х(¿, х) £ М^, х) для всех (¿, х) £ Т.)
(5) Л^х) локально липшицева по второй переменной на любом листе Т С К с константой I, удовлетворяющей неравенству I < tg((3/4)cа) < 1.
(Из этого следует, что для любой точки (¿0, х0) £ Т существует ех = е^о, х0, /х) < е такое, что |/х(¿0, х0) — /^¿о, хх))| < I |х0 — хх | при |х0 — хх | < ех, хх £ -I(¿0, х0).)
Введем метрику на ^ следующим образом:
</х,/2) = вир (|/ 1(г,x) — /2(г,x)|).
Очевидно, что ^ является замкнутым подмножеством С0(К, М2)р| ЬТО(К, М2). Отсюда, в свою очередь, следует полнота
Рассмотрим / £ (¿0,х0) £ К и у0 = х0 + /(¿о,х0). Для каждого т : 0 < т < 2Т определим /т = Ат/ следующим образом:
/т(¿о + т, ^(у^о + т, ¿о, уо))) = у^о + т, ¿о, уо) — <£>2 (у (¿о + т, ¿о, уо)).
Докажем, что /т определена корректно. Для этого надо показать, во-первых, что для любой точки (¿о + т, х) £ Т, 0 < т < 2Т, найдется такая точка (¿о,х) £ Т, что х = <¿>2 (у (¿о + т^у)), где у = х + /(¿о,х); во-вторых, что для любых двух точек (¿о,хх), (¿о,х2) £ Т таких, что хх = х2, выполнено ^(у^о + т,го,yl)) = ^2(y(го + т, ¿о, у2)), 0 < т < 2Т, где у» = х» + /(¿о, х»), г = 1, 2.
Начнем со второго утверждения. Не умаляя общности, можем считать, что |хх — х21 < е1(г0, хх, /х). Из того, что / £ следует, что /^"(¿о,хх),у2 — ух) < ■^р (мы воспользовались липшицевостью /1). Используя (2.14) и (2.20), получаем /(и"(¿0,у^,у2 — у0 < са. Теперь из (2.22) следует, что
а
¿(и№о + т,у(Ьо+т,Ъ,У1)),у(Ьо+т,Ъ,У2)-у(Ьо + т,Ъ,У1)) < -, где 0 < т < 2Т. Вновь используя (2.14) и (2.20), получаем
/(и"(¿о + т, ^(¿0 + т, ¿0, ух))), у^о + т, ¿0, у2) — у^0 + т, ¿о, ух)) < 0.98а. Из этого следует, что ^2(у(¿о + т, ¿о, у1)) = ^2(у(¿о + т, ¿о,у2)), 0 < т < 2Т. 30
Теперь перейдем к доказательству первого утверждения. Предположим, что найдется такая точка (¿о + т, X) € Т, для которой не существует точки (¿о, X) € Т такой, что X = (у(¿о + т, ¿о, У)), где у = Х + /(¿о,Х).
Докажем, что множество таких точек (обозначим его П) открыто. Другими словами, докажем, что существует диск I(¿о + т, X) радиуса г, все точки которого удовлетворяют вышеуказанному свойству. Действительно, если бы такого диска не существовало, то мы смогли бы найти последовательность Х^ —> X, г ^ то, такую, что для каждой точки XI существовала бы точка XI такая, что XI = ^(у^о + т, ¿о,у»)), где у^ = XI + /(¿о, XI). Тогда мы могли бы рассмотреть X такую, что XI —> X, г ^ то, и, воспользовавшись непрерывностью отображения X —> ^2(у(^о + т, ¿о^ + /(¿о, X))), получили, что X = ^2(у(¿о + т, ¿о, У)), где у = X + /(¿о, X).
Но, с другой стороны, дополнение множества П тоже открыто. Это следует из непрерывности и (доказанной ранее) инъективности отображения
X —> ^2(у(¿о + т, ¿о, X + /(¿о, X))).
В результате приходим к противоречию. Итак, функция /т определена корректно.
Покажем, что /т € ф при Т < т < 2Т. Непрерывность /т следует из непрерывности / и непрерывности отображения уо —>■ <£>2 (у (¿о+т,£о,уо)). Свойство (1) следует из определения отображения Ат. Свойства (2) и (3) следуют из (2.24) и из рассуждений, сопутствующих (2.24). Свойство (4) доказывается тем же способом, что и корректность определения функции /т. Свойство (5) доказывается методами, изложенными в [1]. Это означает, что Ат ф с ф, Т < т < 2Т.
Теперь докажем, что оператор Ат является сжимающим при Т < т < 2Т.
Рассмотрим /1,/2 € ф, (¿о,xо) € Т с К, у! = /^¿о,xо), у2 = /^¿о^о). Рассмотрим также поверхность у = X + /^¿о^), (¿о^) € Т. Очевидно, что с помощью М^о^), (¿о^) € Т, г = 1,2, мы можем ввести две системы координат в в/2-окрестности этой поверхности. Заметим, что диски Перрона 1р(¿о, у), где у = X + /!^о, X), (¿о, X) € Т, образуют расслоение в этой окрестности. Таким образом, по аналогии с отображениями г = 1, 2, мы можем рассмотреть отображения
^ч :Г; 1^о,уьв/2) / 1(¿о, II(¿о^о)), г = 1, 2.
Теперь рассмотрим поверхность у = у^о + т, ¿о, X + /!^о, X)), (¿о, X) € Т.
На ней мы ровно таким же образом можем ввести координаты и рассмотреть отображения
^ ч : ^(¿о + т, у^о + т, ¿о, у1), в/2) /т1(¿о + т, II(¿о + т, X!)),
где X! = ^2(у(¿о + т,¿о,у1)).
Повторим еще раз все рассуждения, предваряющие неравенство (2.16). В результате, используя второе из неравенств (2.3), получаем
| у (¿о + т, ¿о, у2) - 12(у^о + т, ¿о, у2)) | <
< \ Ы-У2\ = \ 1/^0,хо) - 12(1о,хо)\ < \dU\f).
В итогеф4т/\,4т/2) < ±</\/2), /\/2ед, Т<т<2Т.
Итак, оператор Ат является сжимающим при т € [Т, 2Т]. Из этого следует существование неподвижной точки дт, для которой выполнено Ат дт = дт. Пусть д = дт.
Для каждого рационального числа р = ^ (Е [0,1] мы имеем А^+рТ = Таким
образом, д = дт+Рт для всех рациональных р £ [0,1]. Из непрерывности получим д = дт для Т < т < 2Т. Для 0 < т < Т имеем Атд = АтАтд = Атд = д. В итоге Атд = д для всех т > 0. Положим
Н^, х) = (¿, х + g(г, х)).
Очевидно, что множество К^ = Н(К) является инвариантным множеством системы (2.1). Очевидно также, что для любого листа Т С К множество Т^ = Н(Т) является инвариантным множеством системы (2.1). Из определения множества ^ следует, что |Н^,х) — (¿,х)| < е.
Итак, мы построили непрерывное отображение Н и доказали утверждения (1) и (2) основной теоремы. Утверждения, аналогичные (3), (4) и (5), уже были доказаны ранее в работах работах [1], [2], [4].
Литература
1. Pliss V.A., Sell G.R. Perturbations of attractors of differential equations // J. of Differential Equations, 1991. Vol.92. P. 100-124.
2. Pliss V.A., Sell G.R. Approximation Dynamics and the Stability of Invariant Sets // J. of Differential Equations, 1997. Vol. 149. P. 1-51.
3. Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1977.
4. Бегун Н.А. Об устойчивости листовых инвариантных множеств двумерных периодических систем // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2012. Вып. 4. С. 3-12.
5. Бегун Н. А. О замкнутости листового инвариантного множества возмущенной системы // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2013. №1. С. 80-88.
6. Монаков В. Н. Расположение интегральных поверхностей у слабо нелинейных систем дифференциальных уравнений // Вестник Ленинградского университета. Сер. 1. 1973. Вып. 1. С. 68-74.
7. Бегун Н. А. Об устойчивости листовых инвариантных множеств трехмерных периодических систем // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2014. Вып. 3. С. 12-19.
Статья поступила в редакцию 23 октября 2014 г.
Сведения об авторе
Бегун Никита Андреевич — кандидат физико-математических наук; [email protected]
PERTURBATIONS OF WEAKLY HYPERBOLIC INVARIANT SETS OF TWO-DIMENSION PERIODIC SYSTEMS
Nikita A. Begun
St.Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7-9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation; [email protected]
The question of structural stability is one of the most important areas in a present-day theory of differential equations. In this paper we study small C1-perturbations of a systems of a differential equations. We introduce the concepts of a weakly hyperbolic invariant set K and leaf Y for a system of ordinary differential equations. Lipschitz condition is not suppose. We show, that if the perturbation is small enough, then there is a continuous mapping h : K —s- KY, where KY is a weakly hyperbolic set of perturbed equation. Moreover we show, that h(Y) is a leaf of perturbed system. Refs 7.
Keywords: stability, invariant set, small perturbations, hyperbolic structures, weakly hyperbolic set, structural stability.
References
1. Pliss V. A., Sell G.R., "Perturbations of attractors of differential equations", J. of Differential Equations 92, 100-124 (1991).
2. Pliss V. A., Sell G. R. "Approximation Dynamics and the Stability of Invariant Sets", J. of Differential Equations 149, 1-51 (1997).
3. Pliss V.A., "Integralnie mnozhestva periodicheskih system differentsialnyh uravnenii" (Nauka, Moscow, 1977) [In Russian].
4. Begun N. A., "On the stability of sheet invariant sets of two-dimensional periodic systems", Vestnik St.Petersburg Univ. Math. 45(4), 145-152 (2012).
5. Begun N. A., "On closure of a leaf invariant set of a perturbed system", Differentsialnye uravnenija i protsessy upravleniya 1, 80-88 (2013) [In Russian].
6. Monakov V. N., "Arrangement of integral surfaces in the weakly nonlinear systems of differential equations", Vestnik Leningradskogo universiteta Ser. 1, Issue 1, 68-74 (1973) [In Russian].
7. Begun N. A., "On the stability of invariant sets of leaves of three-dimensional periodic systems", Vestnik St.Petersburg Univ. Math. 47(3), 95-101 (2014).
