CC BY
11
иркутским государственный университет путей сообщения
ройств на ПЛМ // Кибернетика и системный анализ. - 2003. - № 2. - С. 63-89.
15. Уилмсхерст Т. Разработка встроенных систем с помощью микроконтроллеров PIC. - М. : МК-Пресс, 2008. - 543 с.
16. Шалыто А. А. Логическое управление. Методы аппаратной и программной реализации алгоритмов. - СПб. : Наука, 2000. - 284 с.
УДК 681.332
Елисеев Сергей Викторович,
д.т.н., профессор, директор НИИ Современных технологий, системного анализа и моделирования ИрГУПС, заслуженный деятель науки РФ, тел. (3952) 59-84-28
Ермошенко Юлия Владимировна, к.т.н., докторант НИИ Современных технологий, системного анализа
и моделирования ИрГУПС, тел. 8-924-604-29-28 Фомина Инна Владимировна, аспирант НИИ Современных технологий, системного анализа и моделирования ИрГУПС, тел. 8-914-882-41-11
ВОЗМОЖНОСТИ СОЧЛЕНЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ В ЦЕПНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
S. V. Eliseev, Yu. V. Ermoshenko, I. V. Fomina
OPPORTUNITIES OF COUPLING OF RIGID BODIES IN CHAIN MECHANICAL SYSTEMS
Аннотация. Рассматриваются изменения динамического состояния механических колебательных систем цепного типа. Предлагается методика построения математических моделей при наложении дополнительных связей в виде сочленений твердых тел, входящих в состав системы. Рассмотрены примеры построения виброзащитных систем с сочленениями.
Ключевые слова: сочленения твердых тел, математические модели виброзащитных систем, передаточные функции, структурные схемы.
Abstract. Changes of dynamical movement of chain mechanical systems are considered. Methodology of building mathematical models of systems with additional ties based on coupling of rigid bodies is suggested. Examples of mathematical models of vi-broprotection systems are considered.
Keywords: coupling of rigid bodies, mathematical models of vibroprotection systems, transfer functions, structure schemes.
В исследованиях динамических свойств виброзащитных систем, расчетная схема которых представляет собой цепную механическую систему, отмечались возможности изменения динамического состояния путем «включения» и «выключения» связей [1, 2]. Последнее инициировало ряд исследований по использованию методов теории систем с переменной структурой [3] и нашло от-
ражение в работах [4, 5]. Вместе с тем многие вопросы физической реализации процессов управления структурой систем еще не получили должной детализации представлений, что требует предварительной оценки спектра возможных изменений.
I. Рассмотрим особенности влияния сочленений в механической системе, расчетная схема которой показана на рис. 1. Выражения для кинетической энергии и потенциальной имеют вид
1 2 1 2 1 2 Т = -чпхух +-т2у2 +-т3у3, (1)
П = 1 к1(У1 - 2\)2 +1 к2(У2 - Уа)1 +1 к3(Уз - У 2)2 + +1 К(Уз -г2)2 +1 к5 (Уз -У1 )2 + 1(У2 -21)2,
2
2
2
где k1, k3, k6 - соответствующие коэффи-
циенты жесткости пружин, соединяющих массы т\ ^ т3 , каждая из которых может представлять собой объект защиты. В системе (рис. 1) рассматриваются кинематические возмущения ^ и z2. При заданной схеме расположения упругих элементов система не может быть отнесена к непла-нарным системам [6].
Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы
ш
У ✓ ✓ ,
> т3
У2
У!
'5>
>кх
7—7—7—? У—7—7
Рис. 1. Расчетная схема виброзащитной системы с тремя степенями свободы
Используя формализм Лагранжа, получим систему дифференциальных уравнений движения в системе координат у1, у2, уз . В этом случае выражения (1) и (2) движения системы (рис. 1) примут вид
ЩУ\ + У\ (к1 +к2+къ)~ к2У2 ~ к3 Уз = к121,
т2У2 + У 2 (к2 +к3+кб)~ к2 У1 ~ кзУз =к622-\ (3)
ШЗУЗ + Уз (к3 + к4 + к5 ) ~ кзУ2 ~ кзУ\ = к4*2 ■
В табл. 1 представлены коэффициенты уравнения (3), приведенные к унифицированному виду [6].
Обозначим правые части уравнений (3) соответственно
Ь1 = к121 , Ь2 = к6 22 , Ь3 = к422 . (4)
Полагая, что свойства сочленения масс т1 и т2 будут связаны с другой системой координат,
введем
Уо = У2- У1' (5)
перейдем к системе у0, у1, у3. В этом случае выражения (1) и (2) преобразуются к виду
1 2 ^ о 1 2
Т = -ЩУ1+-т2(Уо+У1) + ~ЩУз, (6)
1 2 1 2
П = -К(У1 -г1) + ~k2(Уо + У1- У1) +
+1 кз(Уз - У о-У1)2 +1 к4(Уз -г2)2 + 1 к5 (Уз- У1 )2 + 1 к6( Уо + У1 -^2)2 •
(7)
(8)
Используя выражения (4) и (5), можно аналогичным образом записать соответствующую систему уравнений движения в координатах у0 , у ,
Уз-
СЩ +т2)ух +ух(кх + к3+к5 + к6) + т2у0 + (к3 + к6)у 0+ +у3(-к3 -к5) = к}г} + к6г2;
т2У2+У\(кз+кб) + т2Уо+Уо(к2+кз+кб) + +у3(-к3)=к6г2;
т3у3 + у3 (к3 +к^+к5) + у1 (~к3 -к5) + у0(~к3)=к4г2.
В табл. 2 приведены коэффициенты уравнения (8) в унифицированной форме.
Для соответствующей системы координат у0 , у!, у3 обобщенные силы имеют вид
Ь1 = к121 + к6г2 ' Ь2 = к6^2 ' Ь3 = к4^2 . (9)
При переходе от одной системы координат к другой обобщенные силы обычно определяются
Таблица 1
Значения коэффициентов уравнений для системы координат у1, У2 , Уз
2
4
2
т
а11 а12 а13
т1 р2 + к1 + к 2+к 3 -к 2 к з
а21 а22 а2з
-к 2 т2 р2 + к2 + к 3 +к 6 -к з
а31 а32 азз
-к з -к з щр2 + к + к4+к5
Таблица 2
Значения коэффициентов уравнения (8) в системе координат Уо , у1, Уз
а11 а12 а1з
(т1 + т2) р2 + к1 + к з +к 5 +к6 т2 р2 + к з +к6 -к з к5
а21 а22 а2з
щр2 + к3 +к6 щр2 + ^ + к3 +к6 -к з
аз1 аз2 азз
-к з к5 -к з щр2 + к + к 4 +к5
иркутским государственный университет путей сообщения
через соответствующее равенство работ на виртуальных перемещениях в двух сопоставимых системах координат [7]. В данном случае, когда возмущение носит кинематический характер, обобщенные силы параллельно получаются в процессе вывода уравнений. Их проверка по правилу, упомянутому выше, дает такие же результаты.
II. Рассмотрим систему координат вида у1,
У 2 > У00: при этом
У00 = Уз " У 2 • (10)
Запишем выражения для кинетической и потенциальной энергий системы, преобразуя соответствующим образом (1) и (2):
1 2 1 2 1 2 Т=-т1У1+-т2У2+-тз(У00+У2) , (П)
1 2 1 2
П = -- 21) +-^2 - Л) +
1 2 1 2
+ -к3(У 00) +-к4(У00 + У 2 - 22) + (12)
+1 к5 (У00 + У2 - У1)2 + 1 к6 (У2 - 22 )2 ,
откуда могут быть получены уравнения движения системы (рис. 1) в системе координат у , у2 , у00 . Соответствующие значения коэффициентов унифицированной системы уравнений приведены в табл. 3.
шшт
Обобщенные силы системы с координатами У1, У2 , У00 имеют вид
Ь^ = к^2\ , = к+ , Ь^ = . (13)
III. Для рассмотрения случая сочленения трех тел введем в рассмотрение систему обобщенных координат у, у2 , у000 , где
У000 = Уз - У1 • (14)
В этом случае выражения для кинетической и потенциальной энергий (1) и (2) преобразуются к виду
г = ^т1У1+^т2У2 +^тз(У1 + У ооо )2' (15)
1 2 1 2
П = -У1 - 21) +-^2 - У1) +
1 2 1
+ -кз(У1 + У 000 -У 2) +-к4(У1 + (16)
1
1
+У000 - 22)2 + 1 к5 (У000)2 + 1 к6 (У2 - 22 ) •
Представим в табл. 4 значения коэффициентов унифицированной системы уравнений, которые могут быть получены способом, аналогичным вышеприведенным.
Обобщенные силы для системы с координатами у1, у2 , у000 имеют вид
Ь = к^1 + к422 , Ь^ = к622 , Ьз = к422 • (17)
Таблица 3
Значения коэффициентов системы уравнений в системе координат у^, У2, У00
ап а12 а13
т1 р2 + к1 + к 2+к 5 к 2 + к5 -к5
а21 а22 а23
к 2 + к5 (т2 + т) Р2 + к2 + к 4 +к5 + к 6 к 4+к5 + т р2
а31 а32 а33
-к5 т3 р2 + к4 + к 5 т Р2 + к + к 4 +к 5
Таблица 4
Значения коэффициентов уравнения движения в координатах у1, у2, у000
а11 а12 а13
2 (т1 + т3) р + к1 + к 2+к 3 +к4 -к 2 -к3 да? р2 + к3 + к 4
а21 а22 а23
-к 2 -к3 т2 р2 + к2 + к 3 +к 6 к 3
а31 а32 а33
т3 р2 + к3 + к4 -к3 т р2 + к3 + к 4 +к 5
Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы
а)
*
б)
г^ , -- ^ < --
уз к
к.
К
-к.
к
к2 = от
т + т
У У У У У У\ г
I
г^У У У У У У
к
ы /К
К
т + т
в)
Уоо0
^ ✓ ✓ У У У
>кб >к4
Уоо
' >
к
к
\Уо
т,
_|уо уооо^-
<К
т + т^
/к 1 А
у у у у у у\ г1
к1
у у у ? у у\ г1
4
Рис. 2. Расчетные схемы для ВЗС с сочленениями:
а) Уг - У1 = 0 (Уо = 0);
б) Уг - Уз = 0 (Уоо = 0);
в) Ух - Уз = 0 (У000 = 0)
Введение относительных координат у , у2 , У000 позволяет получить соответствующие частные виды расчетных схем по отношению к исходной системе, приведенной на рис. 1.
На рис. 2 (а, б, в) приведены соответствующие расчетные схемы. При этом при «обнулении» у0 , у00, у000 соответствующим образом «обнуляются» соответствующие столбцы и строки матрицы коэффициентов, что упрощает построение.
а)
й-
1 к2 * 1 к. 1
тр2 + К + К +кз т2р2 + К + кг + К \ т 3Р 2 + к3 + к4 +
_ У* \ _
к
1
в)
1
тР + К + К + кг
к1
к к 1
Г 2 5 Т (т +ЩР2 +К, +к +К
У* \ п
\- к„
Структурные схемы эквивалентных в динамическом отношении САУ приведены на рис. 3 (а, б, в). Исходные данные для построения соответствующих структурных схем могут быть взяты из табл. 2-4.
Сочленение изменяет структуру системы; при этом каждое сочленение устраняет одну степень свободы. Остающиеся динамические связи определяются матрицей коэффициентов после исключения соответствующих строки и столбца.
б)
1
(т + т2) р2 + к + К + К+К
г)
1 к2 + к, 1
(т +т )рР +К +К +к +к4 щр1 + кг + К + к4
У?
Рис. 3. Структурные схемы ВЗС для различных случаев сочленения в системах координат:
а) Ух, Уг. Уз (сочленений нет); б) У0 , у, Уз (У0 = Уг - Ух = 0); в) Ух, у2, У00 (У00 = Уг - Уз = 0);
г) Ух. Уг. У000 (У000 = Ух - Уз = 0)
т, + т
т
3
т
2
К + к
3 ' "5
г.
г
к
г
к
2
к2 + к
к2 + к5
к
2
2
г
г
2
иркутским государственный университет путей сообщения
Рассматривая «обнуление» движения
(у .= 0(; = 1,3)) как сочленение, можно упростить расчетные схемы, представленные на рис. 3 (а, б, в, г), до системы с одной степенью свободы.
Если развивать способ упрощения (или синтеза) систем, представляет интерес рассмотрение движения в системе координат у1, у0 , у00
(У0 = У2 " У1, У00 = У2 - Уз). в этом случае выражения для кинетической и потенциальной энергий (1) и (2) преобразуется к виду
2
2
1 2 1 2
П = --ч) +-к2(у2 -У1) +
+1 кз(Уз -У2)2 +1МУз -22)2 + 1 к5 (Уз - У1 )2 + 1(У2 - 22)2-
(19)
Делая ряд преобразований, аналогичных вышеприведенным, получим систему дифференциальных уравнений движения
+
0«, +1»2 + "Ъ + Л (к1 +к4+к6) +{т2 +т3)у0+{-к4)у
о "КУЛ +
+У()0 (К + к4 ) = к\2\ + к422 +к6г2> {т2 + тъ)у0 + у0 (к2 +к5) + т3у00 +
+Уоо(к4+к5)+ \ (20)
+Л (/»2 + Щ ) + Л (~к4 ) = к4г2;
ЩУоо + Уоо (кз +к4+к5+к6) + +Уо(тз) + Уо(к4+к5) + +Щ л + (к4 + К )У\ = к4г2 + Обозначения коэффициентов уравнения (20), приведенного к унифицированной форме, представлены в табл. 5.
Обобщенные силы системы с координатами У1, У0 , У00 имеют вид
— к21 + к4^2 + к622 , Ь — к422 , Ьз — к422 + к622 . (21)
Если полагать, что У0 = 0 и У00 = 0, то есть У\ = У2 = Уз , то система примет вид, как показано на рис. 4 (а, б).
Т аблица 5
Значения коэффициентов уравнения движения в координатах У1, У0 , У00
«11 «12 «1з
(т1 + т2 + шз) р2 + к1 + к 4+к 6 -(т2 + тз)р2 - к 4 тз р2 + к6 + к 4
«21 «22 «2з
(т2 + тз) р2 - к 4+к6 (т2 + тз) р2 + к2 + к 5 т з р2 + к 4 +к5 + к6
«з1 «з2 «зз
тзр2 - к4 + к6 тз р2 + к4 + к5 + к6 тз р2 + кз + к 4 +к 5 +к6
а)
б)
Рис. 4. Расчетная схема исходной системы (рис. 1) для случая сочленения трех тел (а), структурная схема , соответствующая схеме с тремя сочленениями (б)
Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы
ш
Рис. 5. Структурная схема эквивалентной САУ в системе координат у1, у0 , у00
Для оценки возможностей использования сочленений, как способа изменения структуры и ее последующего упрощения, рассмотрим структурную схему эквивалентной в динамическом отношении САУ (рис. 5) в системе координат ух, у0 , у00, что соответствует математической модели в виде системы уравнений (20).
Для сравнения на рис. 6 (а, б, в) приведены структурные схемы эквивалентных САУ для виброзащитных систем в координатах ух, у0, уз (рис. 6а), координатах ух, уг, у00 (рис.бб), координатах ух, уг , У000 (рис. 6в).
Таким образом, сочленения в механических колебательных системах могут выступать как корректоры структуры и динамических связей в ис-
ходной системе. В этом плане заслуживают внимания два подхода. Первый заключается в том, что бы «обнулить» разность координат, видя в этом перспективы упрощения схем. Вторая особенность связана с тем, что сочленения можно рассматривать как упругую связь, жесткость которой стремится к бесконечности. Отметим, что сочленения можно рассматривать как «потерянную» степень или несколько степеней свободы, что зависит от конфигурации механической системы и выбора системы координат. Приведенное выше представляет собой посуществу доказательство возможности формирования сочленения путем соответствующего выбора системы координат. Последующие процедуры проводятся в формализованном порядке и обеспечивают получение со-
Рис. 6а. Структурная схема для ВЗС (рис. 1) в системе координат: у, у0 , у3 ( у0 Ф 0 )
Рис. 6б. Структурная схема для ВЗС (рис. 1) в системе координат: у, у2 , у00 ( у00 Ф 0 )
Рис. 6в. Структурная схема для ВЗС (рис. 1) в системе координат: у, у2 , у000 ( Ушо Ф 0 )
ответствующей модели. Доказательная основа подхода связана с переходом системы с большим числом степеней свободы к системе с меньшим числом степеней, что не затрагивает условия разрешимости уравнений. Получение математических моделей систем с сочленениями возможно, и физически это объяснимо, если параметры элементов, соединяющих определенные точки системы (упругие элементы и любые другие из расширенного набора типовых звеньев ВЗС), будут принимать предельные значения (или очень большие по сравнению с другими).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Елисеев С.В. Структурная теория виброзащитных систем. - Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1978. - 224 с.
2. Лукьянов А.В. Методы и средства управления по состоянию технических систем переменной структуры : дис. докт. техн. наук. - Иркутск : ИрГУПС, 2002. -391 с.
3. Емельянов С.В. Теория систем с переменной структурой. - М. : Наука, 1970. - 592 с.
4. Хоменко А.П. Динамика и управление в задачах виброзащиты и виброизоляции подвижных объектов. - Иркутск : Изд-во ИГУ, 2000. - 293 с.
5. Лыткина Е.М., Лукьянов А.В. Управление колебаниями в механической системе при релейном подключении дополнительной массы // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. -2005. - № 4 (8). - С. 32-38.
6. Дружинский И.А. Механические цепи. - Л. : Машиностроение, 1977. - 238 с.
7. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. - М. : Наука, 1968. - Т. 2 : Динамика. -690 с.
