Возможности расчета нагнетателя комбинорованных начинок с использованием рыбных фаршей Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532(075.8)

Возможности расчета нагнетателя комбинированных начинок с использованием рыбных фаршей

Полученные авторами данные по исследованию структурно-механических характеристик комбинированных рыбо-крупяных и рыбо-овощных масс, которые могут использоваться в качестве начинок, позволяют рекомендовать следующую методику расчета шнекового нагнетателя для соответствующих дозаторов.

Представлено подробное стандартное аналитическое решение дифференциального уравнения математической физики в частных производных с использованием тригонометрических рядов применительно к шнековым прессам-дозаторам. Решение этой задачи имеет в первую очередь учебно-методическое значение и показывает, почему при некоторых изменениях краевых условий требуется использование численных методов.

Упрощенная теория червячных нагнетателей использует модель движения пищевой среды между параллельными пластинам. Предполагается, что среда обладает линейной вязкостью, несжимаема, процесс перемещения среды изотермический и ламинарный. Канал шнекового питателя в этом случае представляют в виде горизонтального цилиндра прямоугольного в сечении с одной подвижной стенкой, при этом используется принцип обращенного относительного движения шнека и шнекового канала в соответствии с приведенной на рисунке схемой.

В.А.Арет, Е.И.Верболоз

г

ь» ж

V

Ь)

Рис. Расчетная схема шнекового нагнетателя

Полагаем также, что внешний диаметр шнека и внутренний диаметр шнекового цилиндра совпадают, т.е. отсутствует зазор, в котором может быть обратный поток материала. Поток в этом зазоре можно учесть отдельно.

Тогда скорость верхней пластины в прямоугольном канале

pDn

cos j,

V =

60

где Vz n

D j

проекция скорости точек шнека при у=И на ось 2; угловая скорость шнека в оборотах в минуту; внешний диаметр шнека; угол подъема винтовой линии шнека.

Уравнение движения в проекциях на ось z имеет вид:

Р

V

Эv dv dv dv —- + v —- + v —- + v

dt - ~

Эх y Эу

Эz

ЭР

Эz

+

+

Эт Эт Эт

xz I yz I z

+

Эх Эу Эz

(1)

+pgz

J

Реологические уравнения ньютоновской жидкости в прямоугольных координатах для этого случая (учитывая, что С - коэффициент объемной вязкости равен 0 ) имеют вид:

гЪу Эу Л

(2)

т = m

xz *

т = m

yz i

т =m

+

v Эх Эz j

л.. Л

Эу Эv

+

V

Эz Эу

3vL _ 2 dz 3

Эх Эу Э

(3)

(4)

где Тхг,Туг,Тгг - компоненты тензора касательных напряжений (девиатора

тензора напряжений).

Подставим выражения (2)-(4) в уравнение (1) и учтем следующие упрощения:

Эу л = 0

- в силу стационарности потока Ъ ;

V = у = 0

- в плоскопараллельной модели канала х у ;

Эу- = 0

Эz

геометрия канала по оси z не меняется, откуда

С = 0; р = const..

жидкость несжимаема, откуда канал горизонтальный, откуда

gz = 0

С учетом названных упрощений дифференциальное уравнение движения для теории червячных нагнетателей будет иметь вид

Э2 V Э2 V 1 ( ЭР Л

_^ +__^ __ _

Эх2 Эу2 т V Эz

(5)

Пусть для неглубоких и широких каналов скорость течения мало зависит от координаты х. Тогда уравнение (5) еще больше упростится и приведет к краевой задаче вида:

а2у 1 (эр Л /ач _ /7ч

; уг (0) _ 0; V (И) _ У (6)

ау2

1 т

V

Эz

у

При решении этой краевой задачи получим выражение для распределения скоростей течения среды в винтовом канале, как функцию координаты у:

'У Л уИ- V2 (ЭРЛ

V (У) _ У

И

V п У

2т

V Э^ у

(7)

Интегрированием получим формулу для построения расходно-напорной характеристики червячного нагнетателя:

И УЬИ ЬИ3 (ЭРЛ

е _ ь | V (у )ау _

2 12т

V Э^ у

(8)

Разумеется, при выводе формул (7) и (8) были сделаны существенные упрощения, но основные закономерности червячных нагнетателей в пищевой промышленности эти зависимости вполне удовлетворительно описывают, особенно, если вместо коэффициента динамической вязкости модели ньютоновской жидкости использовать коэффициент эффективной вязкости для неньютоновской пищевой среды при определенной эффективной скорости сдвига.

Для уточненной теории шнековых нагнетателей с глубокими каналами следует учесть тормозящее действие боковых стенок шнекового канала и в краевой задаче вместо дифференциального уравнения (6) использовать уравнение (5). Тогда математически задача решения краевой задачи с дифференциальным уравнением в частных производных сводится к известной задаче Буссинеска.

Для построения уточненной теории червячных нагнетателей нужно ставить следующую краевую задачу, подобную рассмотренной в линейной теории:

Э:

у Ъ2у

Эх2 Эу2 у2 (х, И) _ У.

т

V

ЭР

э7

; уг (0, у) _ 0; V (х,0) _ 0; уг (Ь, у) _ 0;

(9)

2

0

Задачу (6) тогда преобразуем следующим образом: V (X, у) = X, у) + V2(X, у);

Э2 V, д2у Э V Э2 V . 1 (ЭРЛ

Эх Э2 V

г1

Эх2

V .

Эу2

Э22 V

_£

+

г 2

+

г 2

Эх2 Эу2

1 ( ЭрЛ Эг

1 м

Эг

Э2

+

Э2

V

. = 0 Эх2 Эу2

V, (0, у) = г, (х,0) = (Ь, у) = г, (х, К) = 0

V 2 (0, у) = V 2 (х,0) = 2 (Ь, у) = 0; 2 (х, К) = К

(10) (11)

(12)

(13)

(14)

(15)

Физический смысл расщепления основной задачи на две задачи заключается в том, что первая задача определяет скорости частиц жидкости в канале с неподвижными стенками, вызванная перепадом давления Р, а вторая - скорости вызванная движением верхней стенки канала при отсутствии перепада давления. Рассмотрим решение второй задачи, поскольку первая уже решалась, при изучении течения жидкости в цилиндрическом канале прямоугольного сечения. Пуеть V 2(х,у) = X(х)• 7(у),

Тогда из уравнения (14) получим

^ 2 X (х) у, 2У (у) _

7 (у)-— + X (х)-— = 0

dх2

йу2

(16)

Поскольку (16) должно быть удовлетворено при любых х и у, то можно записать следующее тождество:

" л2 X (х)" лУ(у)]

_ лх2 _

7 (у)

= -к

(17)

X (х)

где к - некоторая константа, к > 0.

Из выражения (17) получим два однородных дифференциальных уравнения в обычных производных:

л2 X (х)

линейных

йх1

л У (у)

йу2

+ К (х) = 0 - КУ (у) = 0

(18) (19)

Для уравнения (19) из краевых условий (15) получим краевые условия:

V 2 (0, у) _ 0, X(0) _ 0; V 2 (Ь, у) _ 0, X(Ь) _ 0. (20)

Отбросив тривиальное решение уравнения (20):

а2 х (х)

dx2

= X (x) = 0,

найдем решение уравнения (18) в виде экспоненциальной функции

d2 X (x)

X (x) = e

dx2

02 lx

= le .

(21)

(22)

Далее находим характеристическое уравнение, имеющее комплексные корни и с помощью уравнений Эйлера перейдем к обычным тригонометрическим функциям:

Хе* + квЛс _ 0;е1 ф 0;1 + к_ 0;1,2 _±4к-I;I ^ V—1; (23)

A B A B

X = + Ce~rKix; C = - + —; C1 =---;

2 2i 2 2i

где Сi , С2 , А , В - константы интегрирования.

X = A

f Jkix - -4kix С i С

2

+ B

f Jkix -Jkix \ С С

J

V

2i

(24)

(25)

По уравнения Эйлера получим

X = A cos -4kx + B sin -4kx (26)

Теперь с помощью краевых условий (20) можно найти тривиальное

решениеА=0, В=0 и нетривиальное решениеА=0; Bsin Vkb = 0.

В нетривиальном решении последнее выражение можно удовлетворить следующим образом:

sin л/kb = 0; Vkb = np; n = 1,2,3...

Тогда kn =

í v

b

; X (x) = B sin — x.

■ n\ / 7

b

(27)

(28)

Дифференциальное уравнение (19) превращается в систему дифференциальных уравнений вида:

а X(у) _кГ( у) _ 0

п п /

или

dy2

d Y (y)

dy2

í v

b

Y (У) = 0

(29)

(30)

минус решение по формулам Эйлера представляется в гиперболических синусах и косинусах:

Y( y) = Dchnpy + Eshnpy

nn

b

b

С учетом ранее записанных выражений получим

v 2„ = X (x)Yn (y) = sin

npx

b

Dchnpy + Eshnpy

v

b

b

(32)

J

Согласно теории линейных дифференциальных уравнений, общее решение будет суммой частных решений:

V 2 (x, y) = Z sin

npx

n=l,2,3

b

D ch^P- + E shnpy

V

b

b

(33)

Будем находить константы интегрирования по краевым условиям:

v 2(x,0) = 0; y = 0; ch

npy

b

npy

= l;Sh

y=0 b

=0

(34)

y=0

Запишем формулу (33) с учетом условия (34):

Л - . nnx 0 = Z sin

n=1,2,3

b

(35)

Используем далее теорию рядов Фурье:

2Ь плх Вп = — Г 2( х,0)Бт-лх

п Ь 0 г Ь

Поскольку

vz 2( x,0) = 0 , то Dn = 0.

(36)

(37)

Краевое условие для скоростей на верхней стенке канала, предполагая, что, как и ранее, условие прилипаемости среды к материалу корпуса, имеет вид

V 2(x, h) =

Тогда выражение (34) можно записать так

- nph . npx

V = Z E sh-sin-

z ^^ ni y

n=1,2,3 b b

(38)

(39)

Пользуясь разложением в ряд Фурье, запишем т-г 1 пРК

а = Е бк

и

b

„ , nph 2 bT_ . npx ,

E sh-= — I V sin-dx

n b b 0 z b

(40)

Проведя интегрирование в правой части уравнения (39), выразим

n

n

E =

2V 1 - cos np

np

sh

nph

Поскольку четные значения n=2,4,6... дают тривиальное решение En = 0, то будем учитывать только нечетные слагаемые n=1,3,5..., при

которых числитель в правой части формулы (42) равен 2. Теперь распределение скоростей течения в канале определяется формулой вида:

r2V Л 1 - cos np

V2(y) = £ sin

n=1,3,5

npx

V np J

sh

nph

sh

npy

(43)

b

или

Vz 2 (x, y) =

4V

p

- 1 . npx £ - sin —

^=1,3,5 n b

sh

npy

sh

nph

(44)

обусловленный

Ь

Двойным интегрирование получим расход среды, движением верхней стенки канала червячного нагнетателя.

Заметим, что сомножитель перед скобками в выражении (43) совпадает с первым слагаемым в формуле расхода среды в упрощенной линейной теории червячных нагнетателей:

_ УЬк Ьк3 ( дР Л

dz

V ш J

2 12т

Следовательно, выражение в квадратных скобках в последнем выражении формулы (43) можно рассматривать как поправочный коэффициент, зависящий от отношения ширины канала Ь к ее глубине И и учитывающий тормозящее действие боковых неподвижных стенок глубоких червячных каналов. По этому поправочному коэффициенту можно расчетным путем оценить погрешность первого слагаемого в формуле расхода упрощенной линейной теории червячных нагнетателей и определить применимость упрощенной теории в расчетах.

z

n

„ 4У} } - 1 . прх

Ог _ — 1 1 Е "81П —

р 0 0 п_1,3,5 п Ь

зк

пру

зк

прк

dxdy _

Ь пру

4У Ь ~ 1 . прх , к Ь 1 \ 1

—г-\ Е - БШ- ( 1 -^гdy Ш _

Р 0 п_1,3,5 п Ь 0 , прк

зк

Ь

4У Е 1(

р п_1,3,5 п

Ь прх

-СОБ

4У

Е

V пр 2Ь2 1

Ь

Ь

прзк

прк

ск

прк

Ь

V

Ь

3 2 р п=1,3,5 п р

зк

прк

^ , прк ск--1

V

Ь

У

КЬк

2

16Ь - 1 _(пякл

Е -т • к

р 3к п=1,3,5 п3

Ь

\ и у.

(45)

Проведенные выкладки свидетельствуют о возможности расчета дозаторов комбинированных начинок из рыбного фарша с использованием упрощенной теории червячных нагнетателей при дополнительной оценке вносимых погрешностей.

Ь

к

0