CC BY
30
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. С. М. КИРОВА
Том 295
ДУ/С?
ВОЗМОЖНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА В КАЧЕСТВЕ КРИТЕРИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Р. И. БОРИСОВ, Н. Е. ЧЕРНЫЙ
(Представлена научным семинаром кафедры электрических систем и сетей)
Исследования динамической устойчивости сложных электроэнергетических систем (ЭЭС) связаны с проведением массовых расчетов при различных начальных условиях и видах возмущений. Это обстоятельство должно учитываться при выборе метода анализа, а также при разработке алгоритмов и эксплуатационных программ.
Один из возможных подходов к решению этой задачи основан на применении прямого метода Ляпунова. При исследованиях электрических систем (ЭС) для построения функции Ляпунова широко используется энергетический подход, при котором функция определяется как сумма кинетической (К) и потенциальной (П) энергий системы в ее возмущенном движении [1].
При таком подходе, позволяя оценивать устойчивость ЭС при воздействии на нее различных возмущений, метод функций Ляпунова может быть использован для решения других вопросов, связанных с исследованием режимов работы ЭС и управления ими.
Рассмотрим ЭС, система дифференциальных уравнений возмущенного движения для которой в позиционной идеализации имеет вид [2]
где — скольжение ротора синхронного генератора;
— постоянная инерции синхронного генератора; 6 — вектор-столбец фазовых координат 6ь 62, . ■ ^(б) —вектор-функция.
Для таких систем известна функция Ляпунова [2], которая записывается для случая, когда отсутствуют шины бесконечной мощности, в следующем виде:
(1)
Уц cos ay[cos Ки( l-cosA8y)-sin \и(АЪи-в1пАЪи)]. (2)
Факт устойчивости ЭС в ее динамическом переходе устанавливается по критерию Ляпунова
Vo<Vkp, (3)
где V0 — начальное возмущение послеаварийного режима;
Vkp — критериальное значение функции Ляпунова в установившемся, послеаварийном режиме.
Начальное возмущение послеаварийного режима определяется численным интегрированием дифференциальных уравнений движения роторов генераторов и нахождением значения функции Ляпунова по полученным независимым переменным — бь 62, - •бл.
На каждом шаге численного интегрирования решением системы алгебраических уравнений рассчитывается стационарный режим, для которого должно выполняться условие
S(X)=0, (4)
где X — вектор параметров режима ЭС — хи лг2, ..хт .
Поскольку сетевые мощности в системе, подтекающие к каждому узлу, зависят от напряжений этих узлов и электрических углов между ними, то уравнения состояний по узлам совместно с уравнениями баланса активной и реактивной мощностей и будут определять параметры режима [3]:
1ф)
¿^(li/,1,1 Uj\,bu)=0-,
1ф)
(5)
где \Ui\y \Uj\ — модули напряжений выделенного и смежных узлов; б ¿у — электрический угол между ними.
В [4] предлагается систему дифференциальных уравнений вида (1) приводить к нормальной форме для каждой в отдельности эквивалентной станции и связанного с ней участка сети до точки примыкания к системе. В результате получаем новую систему дифференциальных уравнений возмущенного движения вида:
(6)
dt
где и i—напряжение в узле примыкания эквивалентного генератора к сети;
= 8/ — — электрический угол между векторами э. д. с. и па-пряжения.
Делается допущение, что на протяжении каждого малого, расчетного интервала времени вектор напряжения в точке ветвей станций чк остальной сети остается неизменным и не зависящим от изменения режима электростанций.
Определим значение вектора напряжения в начале К-го интервала для ¿-го узла примыкания:
Ёри+\|
0М=-^ 1*> , (7)
Ки ¡'1
У—1 ьф)
где Уи — собственная проводимость генераторной ветви;
У(-у— взаимная проводимость между узлом примыкания и э. д. с. остальных генераторов.
В силу неизменности расчетных э. д. с. в принятой математической модели ЭС значение вектора напряжения можно записать как функцию фазовых координат 6 для любого момента времени:
6ь Й2, . . б£ , . . бл )- (8)
Таким образом, в правой части системы (6) записаны вектор-функции, соответствующие вектор-функциям в правой части системы
Р (6)^,(6). (9)
На основании сделанных рассуждений на каждом расчетном интервале времени переходного процесса схема замещения сложной ЭС может быть условно приведена к «п» простейшим схемам — «генератор — шины неизменного напряжения» с параметрами конца предшествующего интервала. Для каждой из выделенных схем можно построить функцию Ляпунова по [5]:
2 х1
+СО8в^0(1-СО8Дв/)], (10)
где 0*д) —электрический угол между векторами э.д.с. и напряжения на выводах /-го генератора в установившемся, послеаварийном режиме;
Дб^б^Э^о —отклонение угла 6 к концу расчетного интервала.
Функцию Ляпунова для всей системы можно записать' как сумму функций отдельных генераторов:
= (11)
¿=1
В случае, когда в ЭС отсутствуют шины бесконечной мощности, из выражения (11) необходимо вычесть член, учитывающий кинетическую энергию средневзвешенного движения:
(12)
Предложенный алгоритм расчета начальных возмущений реализован в виде автономного блока, который состыкован с программой расчета динамической устойчивости на ЭВМ М-220 СЭИ СО АН СССР. Результаты расчета контрольного примера для ЭС, включающей 5 синхронных генераторов, приведены на рис. 1; кривые изменения относи-
тельных углов приведены на рис. 2. Время счета контрольного примера составляет 1,5 мин. С увеличением количества активных узлов возрастает расчетное время задачи на ЭВМ и, что не менее важно, трудозатраты при анализе результатов. Так, например, время расчета электромеханического процесса в ЭС, состоящей из 44 генераторов, составляет 40-^-50 мин. на 1 сек. процесса. Кроме того,- зачастую иссле-
Рис. 2. Кривые изменения относительных углов роторов характерных генераторов во времени.
дователя интересует не характер переходного процесса во всех элементах, а факт устойчивости или неустойчивости ЭС при воздействии конкретного возмущения. Естественны в связи с этим попытки, направленные на упрощение математических моделей сложных ЭС.
В [6, 7] рассматриваются некоторые возможности применения функции Ляпунова при моделировании ЭС. Показано, что форма гиперповерхности, представляющей функцию Ляпунова, определяет характеристики соответствующей системы.
Покажем возможности применения функции (12) для эквивален-тирования отдельных подсистем. Для этого рассмотрим частный слу-
, чай, когда эквивалентируемая подсистема имеет один узел присоединения к непреобразумой подсистеме, рис. 3. В практике проектирования и эксплуатации подобная задача имеет место как в случаях подключения новых ЭЭС, так и в случаях работы удаленной электростанции на приемную систему.
ческой системы: 1 — непреобразуемая подсистема, 2 — преобразуемая подсистема.
Аналогичная задача решалась в [8], где в качестве обобщенного критерия эквивалентирования принималась инвариантность кинетической энергии движения роторО^ в исходной и эквивалентной системах. Функция (12) позволяет учитывать инвариантность полной энергии всей системы. При этом критерий эквивалентирования может быть сформулирован следующим образом:
У{к)^У{к1У (13)
Помимо (13), должно соблюдаться условие
= (14)
где У{к) — значение функции для исходной подсистемы;
У{1э — значение функции для эквивалентной подсистемы.
В этом случае значения начальных возмущений послеаварийного режима остаются одинаковыми для исходной и эквивалентной моделей ЭС.
В дополнение к (14) должно выполняться условие инвариантности активной мощности:
%Рг=Р з. (15)
¿=1
Непосредственно процесс; эквивалентирования выбранной подсистемы разбивается на 3 основных этапа:
1. Рассчитывается стационарный режим полной ЭС. Известными методами эквивалентирования определяются величины Кгэ, /¿э (преобразование схемы, правило моментов, суммирование).
2. Производится расчет переходного процесса в эквивалентной ЭС и оценивается погрешность эквивалентирования — ДУ.^-
3. По величине ДУ,-^ на расчетном интервале корректируются значения (по величине потенциальной энергии) и (по величине ки-
6 Заказ 12785
81
нетической энергии), скорректированные значения принимаются в качестве расчетных на следующем интервале.
Предлагаемая методика эквивалентирования может легко реализоваться на ЭВМ, но требует знания значений функции V¡^{1) для искомой модели ЭС. Ее конкретная реализация возможна в сочетании с методом контрольных возмущений [9]. Использование этого метода заключается в задании вида возмущения в узле присоединения, затем производится расчет переходного процесса в выделенной для эквивалентирования подсистеме. Представляется допустимым принимать в качестве контрольного возмущения область возможных значенией напряжения в узле присоединения:
О <и^и1тлх (16)
При различных значениях контрольного возмущения в сочетании с вероятными перетоками по ветви присоединения активной мощности строятся характеристики функции (14) во времени, на основании которых может быть организован архив эталонных характеристик в памяти ЭВМ. В ходе расчета динамической устойчивости ЭС по второму этапу эквивалентирования производится выборка соответствующих характеристик.
Распространение приводимой методики эквивалентирования на общий случай, когда упрощаемая подсистема имеет несколько узлов присоединения, затруднено в силу вероятностной зависимости параметров режима по каждому из узлов. Для выявления этих зависимостей следовало бы организовать сбор и формирование большого количества статистического материала, который в настоящее время отсутствует.
Выводы
1. Использование уравнений сетевых мощностей в сочетании с особенностями методов численного интегрирования дифференциальных уравнений позволяет определять значение функции Ляпунова для ЭС, как суммы функций отдельных синхронных генераторов.
2. Предлагаемая форма записи функции Ляпунова (12) позволяет использовать ее в качестве критерия эквивалентности математических моделей ЭС.
3. Рассмотренная методика упрощения моделей ЭС легко реализуется для частного случая, имеющего место в сложных ЭС. Реализация ее для общего случая затруднена отсутствием статистического материала.
ЛИТЕРАТУРА
1. А. Т. Путило'ва, М. А. Таги ров. Итоги науки и техники. Электрические станции, сети и системы. Критерии устойчивости электроэнергетических систем. М., 1971.
2. А. Т. Путилова. Анализ устойчивости сложных электроэнергетических систем по критериям Ляпунова. Труды второго семинара-симпозиума по применению метода функций Ляпунова в энергетике. Новосибирск, «Наука», 1970.
3. Управление режимами нормальной работы и выбор основных параметров устройств дальних электропередач переменного тока с промежуточными энергосистемами. Отчет по научно-исследовательской работе, Томск, 1971.
4. Л. В. Цукерник. Приведение к нормальной форме уравнении возмущенного движения сложных энергосистем при расчетах устойчивости и электромеханичес-
ких переходных процессов. Вопросы применения вычислительной техники в энергетических системах. Изд-во АН СССР, 1962.
5. Т. Б. Заславская, М. А. Таги ров. Устойчивость простых переходов. Совместная работа дальних электропередач с промежуточными системами. Труды СибНИИЭ, вып. 4, Новосибирск, 1966.
6. А. К. De S а г k а г, N. D harm a Rao. Dynamic-system simplification and on application to power-system stability studies. Proc. Instn. Electr. Engrs., 1972» 119, № 7.
7. D. M. N о с d h a 1, J. L. M e 1 s a. Modelling with Liapunov functions. JACC preprints, 1967.
8. Л. А. Жуков. Статические регулируемые источники реактивной мощности и эффективность их применения в электрических системах. Автореферат докторской диссертации. М, МЭИ, 1971.
9. Н. Н. Щедрин. Упрощение электрических систем при моделировании. М., «Энергия», 1966.
в 10. Н. И. В о р о п а й, Г. Я. Леманович. Программа расчета синхронной динамической устойчивости многомашинной электроэнергетической системы (для ЭЦВМ БЭСМ-4). Сб. типовых программ для ЭЦВМ БЭСМ-2 и БЭСМ-4. Иркутск, 1968.
