Научная статья на тему 'Возможности постоптимизационного анализа устойчивости управленческих решений на основе экономико-математических моделей и методов'

Возможности постоптимизационного анализа устойчивости управленческих решений на основе экономико-математических моделей и методов Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
289
26
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Кондрашова В. К.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Возможности постоптимизационного анализа устойчивости управленческих решений на основе экономико-математических моделей и методов»

Возможности постоптимизационного анализа устойчивости управленческих решений на основе экономико-математических моделей и методов

В.К. Кондрашова,

д.э.н., профессор кафедры менеджмента

Экономико-математические модели и методы в профессиональном образовании экономистов-менеджеров давно зарекомендовали себя как теоретическая фундаментальная база для принятия оптимальных управленческих решений. За последние годы появилось много изданий отечественных и зарубежных авторов, отражающих содержание и практическую значимость для менеджмента экономико-математических моделей и методов, а также сферы применимости результатов экономико-математического моделирования в практике управленческой деятельности предприятия.

Хозяйствующему субъекту в современных условия функционирования свойственно стремление к совершенству в экономике, в частности, составить не просто производственную программу, а наиболее совершенную, приобрести не только более производительную машину вместо эксплуатируемой, а более эффективную с экономической точки зрения и т. д. Без этого трудно предприятию выжить в конкурентной борьбе в любом виде деятельности, в том числе в принт-медиа-индустрии.

Экономику предприятия (организации) и многих объектов управления отличает ряд аспектов. В первую очередь, это множество взаимосвязанных элементов, их разнотипность, возможность управления каждым элементом, и самое главное, активная роль человека (экономиста-менеджера) в процессе планирования и реализации управляющих воздействий [2]. Экономическая деятельность очень сложна,

чтобы можно было получить математическими средствами ее абсолютно адекватный образ, с помощью которого можно было бы управлять. Поэтому участие в разработке и принятии управленческого (экономического) решения пока остается для человека обязательным.

Формализованные модели и методы используются для обоснования реальных экономических решений, для выявления непригодных альтернатив и принятия оптимальных управленческих решений. Экономико-математические модели и методы позволяют учитывать многие внутренние и внешние связи изучаемого объекта, оценивать как краткосрочные, так и долгосрочные последствия принимаемых управленческих решений, анализировать множество вариантов возможных решений.

Все проблемы, управленческие решения или задачи, которые интересуют экономистов-менеджеров или специалистов-управленцев можно подразделить на две большие группы. Это две группы вопросов, на которые призвана отвечать экономика предприятия (организации): что будет, если принять такое-то или иное решение, и какое решение нужно принять, чтобы получить желаемый результат каким-то или наилучшим способом. С математической точки зрения выбор наилучшего управленческого решения относят (называют) задачей, обратной относительно прогноза последствий принятого решения.

Математики считают, что найти значение функции по заданному аргументу проще, т. е. на первый вопрос ответить легче, чем определить оптимум (минимум или максимум) функции - отыскать решение для достижения желаемых результатов оптимальным образом. Это так еще и потому, что нахождение управленческого решения обязательно связано с решением задачи прогноза. Математики объясняют, что найденной из упрощенной модели управленческое решение требует проверки его устойчивости и рекомендуют использовать для этого имитационное моделирование с помощью компьютера.

Масштабы применения теории оптимизации широки, а сфера - разнообразна. Она используется для формализованного описания не только экономических, но и природных, и социальных процессов; в статистической обработке данных реального объекта. Другими словами, в реальной жизни человека есть много решений, которые хорошо описываются в теории оптимизации как результат решения задачи максимизации полезности или минимизации ущерба, хотя каждый человек, принимая решение на основе только здравого смысла, не осуществляет формализованного решения задач поиска максимума или минимума заданной целевой функции. Однако, на уровне подсознания, в любом случае, он считает принятое решение наилучшим, что в будущем иногда подтверждается, но чаще убеждается в его ошибочности.

Прикладная ориентация методов теории оптимизации, а также большинство решаемых с ее помощью задач фокусируются на проблеме принятия наилучших, эффективных с экономической точки зрения, управленческих решений, в том числе в условиях неопределенности.

Управление предприятием (экономическим объектом) не по функциям, а с точки зрения процессов, которые лежат в его основе, представляют собой сочетание планирования с изменением текущего состояния объекта и регулирования. В планировании определяются целевые установки, зафиксированные в плане. Реализация принятых происходит по плану, если не возникают изменения величин факторов, заложенных в план, или не появляются факторы (возмущения), неучтенные в плане. Возмущения, идущие, как правило, из внешней среды, обуславливают необходимость организации наблюдений (измерений) за текущим состоянием управляемого объекта и компенсирующих управляющих воздействий. Эти воздействия сводятся либо к пересчету плана (скользящее планирование), либо к оперативной реакции на текущую ситуацию в рамках принятого плана (оперативное управление).

Периодический пересчет плана развития экономического объекта должен по времени быть существенно меньше периода иного его измененного состояния. В этом процессе учитываются связи между элементами управления и долгосрочные цели развития объекта. Этот процесс трудоемок, но при больших отклонениях от плановой траектории, он неизбежен.

К числу наиболее значимых возмущений, вызывающих отклонение от плана, следует отнести:

- ошибки в прогнозах о внешней среде, в первую очередь, таких как спрос на производимую продукцию (выполняемые работы), нестабильность будущих цен;

- непрогнозируемые возмущения (аварийный ремонт, сбои поставок и др.);

- ошибки измерения текущего состояния производства и потребления;

- неадекватность моделей реальным объектам управления, погрешности вычислений.

Управление предприятием в условиях неточной, неполной и несвоевременной информации о будущих внешних воздействиях (изменениях) и внутренних характеристиках требуют от управленческого персонала скорее не рутинной деятельности, а искусства управления. Однако, как ни странно, современное математическое программирование преуспело более в разработке планов при неточной (априорной) информации о возмущениях с учетом последующей их компенсации по алгоритму оперативного управления, чем в синтезе алгоритмов регулирования [4]. Арсенал таких формализованных средств планирования

позволяет избежать ошибочных решений, принимаемых руководителями предприятий на основе только собственного опыта работы.

Таким образом, признано, что математическое описание экономики, отражающее с необходимой точностью реальность, достижимо. И это описание представляет собой математические соотношения, устанавливающие связи между экономическими переменными элементами экономики и ограничения на них.

Элементом экономики может быть любой реально хозяйствующий субъект, функционирующий самостоятельно, или в теоретических аспектах управления, в виртуальной реальности, в частности предприятие.

Достижение адекватности описания элемента экономики (предприятия) обеспечивается путем построения динамических моделей. Время в динамических моделях берется обычно дискретным. Как правило, это объясняется тем, что плановые задания и отчетная информация формируются и передаются не непрерывно, а дискретно. Большой шаг дискретности затрудняет управление (регулирование), ибо сетка дискретности определена до расчета. Тогда как модель с непрерывным временем допускает изменения по ходу расчета, то есть допускает регулирование самого временного шага. Это позволяет выдержать заданную точность расчета на каждом шаге.

Большее число задач управления, в том числе планирования, в различных видах экономической деятельности, в частности принт-медиа-индустрии, решаются методами математического программирования на основе построения экономико-математической модели [1].

Построение экономико-математической модели задачи, то есть запись ее с помощью математических символов, начинается с выявления и обозначения исходных величин (параметров), описывающих необходимую для решения задачи исходную информацию. В качестве параметров задачи могут выступать имеющиеся в распоряжении предприятия запасы ресурсов различного вида, фонды машинного времени производственного оборудования, нормы затрат ресурсов, производительность машин, показатели себестоимости изготовления продукции (выполнения работ), прогнозируемые объемы спроса и др.

Далее выбираются управляемые переменные, оказывающие решающее воздействие на экономический результат хозяйственной деятельности рассматриваемого субъекта. Оптимальные значения управляемых переменных должны быть определены в результате решения задачи. Управляемые переменные обозначаются как компоненты л-мер-ного вектора Х= Ц, х2,..., хл). Управляемыми переменными могут быть объемы выпуска продукции различного вида, показатели загрузки производственного оборудования, планируемые объемы поставок материальных ресурсов для реализации производственной программы и др.

Следующим этапом построения экономико-математической модели является выбор критерия оптимальности решения задачи (целевой функции), который обозначается FX). Им может быть прибыль, себестоимость, выручка от продаж и др.; при этом критерий определяет направление (к максимуму, к минимуму), в котором должно изменяться его значение.

Далее определяются условия, в соответствии с которыми должны соотноситься друг с другом управляемые переменные и параметры задачи. Эти условия записываются в виде неравенств или равенств, то есть ограничений, связывающих между собой допустимые значения управляемых переменных (затраченные ресурсы с запасом их на складе, количество выпускаемой продукции с рыночным спросом и мощностью предприятия и т. д.).

Среди методов математического программирования наиболее популярными для экономических приложений являются методы линейного программирования. Эти методы позволяют с большой точностью описать ряд задач коммерческой деятельности, например, такие задачи как планирование производственной программы и регулирование ее реализации и многие другие. В этих задачах критерии эффективности и функции в системе ограничений являются линейными относительно выбранных управляемых переменных.

Важным достоинством задач линейного программирования является возможность применения универсального симплексного метода для их решения. Симплексный метод представляет собой итерационный процесс перехода от текущего опорного плана (допустимого базисного решения системы ограничений задачи) к другому опорному плану, с лучшим значением целевой функции. Геометрически симплексный метод интерпретируется как переход от одной вершины (угловой точки) многогранника допустимых решений к соседней вершине, расположенной ближе к искомой точке максимума (минимума).

Процедура симплексного метода реализована во всех современных пакетах программ для математических вычислений. Среди них наиболее удобным для экономистов-менеджеров следует признать пакет «Поиск решения», который является надстройкой электронной таблицы MS Excel [1].

Особое внимание в практике использования экономико-математических методов заслуживает понятие двойственности. На основе теории двойственности разработаны методы проведения анализа линейных моделей на чувствительность к изменению параметров задачи.

Для каждой задачи линейного программирования можно построить двойственную задачу по следующим правилам:

- число неизвестных двойственной задачи равно числу основных ограничений исходной задачи и, наоборот;

- матрица основных ограничений двойственной задачи образуется путем транспонирования соответствующей матрицы исходной задачи;

- параметрами ограничений (правыми частями) двойственной задачи служат коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи и, наоборот;

- знаки неравенств основных ограничений двойственной задачи противоположны знакам неравенств основных ограничений исходной задачи;

если исходная задача - на максимум, то двойственная к ней - на минимум и, наоборот.

Если исходная задача линейного программирования представлена в виде:

п

найти мах F= 2 сх, при условиях

¡=1

п ^

2 ах: <Ь/, / = 1,т ¡=1

X: > о, ¡= 1,п

то двойственная к ней задача примет следующий вид:

т

найти m\nZ=2b/y/ при условиях

/=1

т ^

2 ау/ >с, ¡ = 1,п

/=1

у > 0, /= 1,т

В представленных моделях исходной и двойственной задач использованы обозначения: х,¡= 1, ..., п- неизвестные исходной задачи; F— целевая функция исходной задачи; у, /= 1, ..., т- неизвестные двойственной задачи; 7- целевая функция двойственной задачи; а¡, ¡=1, ..., т,¡= 1, ..., п; Ь,, /= 1..., т; с,¡= 1, ..., п- общие параметры обеих задач.

Обе задачи, и исходная и двойственная, являются самостоятельными задачами линейного программирования, т. е. могут быть решены независимо друг от друга. Зависимость между оптимальными решениями этих задач отражена в теоремах двойственности. Приведем эти зависимости для пары двойственных задач, первая из которых связана с определением оптимальных объемов выпуска продукции (х¡, ¡= 1, ..., п), а вторая - с определением оптимальных оценок имеющихся ресурсов для производства продукции (у, /= 1, ..., т). В этом

случае параметры рассматриваемой пары двойственных задач интерпретируются следующим образом: п — число видов продукции; т— число видов ресурсов; а;] — норма затрат ресурса /-го вида на производство единицы продукции /го вида; Ь — запас ресурса /-го вида; с — стоимость единицы продукции /-го вида.

В качестве примера рассмотрена пара двойственных задач по исходным данным, приведенным в табл. 1.

Таблица 1

Исходные данные для решения задачи планирования производства продукции и двойственной к ней задачи определения условных цен ресурсов

Ресурсы Затраты ресурсов по видам продукции Объем ресурсов

1 2 3 4

Материал 3 1 4 1 40

Затраты труда 4 6 4 2 60

Накладные расходы 8 10 12 8 200

Цена продукции 60 80 120 30

На рис. 1 и 2 показана компоновка листов MS Excel и результаты решения каждой из рассмотренных задач с помощью пакета «Поиск решения».

А в с D Е F G н !

1 х1 х2 хЗ х4

2 Значение 0 4 9 0

3 Целевая функция Р 6D 80 120 30 1400

4

5 Материал 3 1 4 1 40 <= 40

6 Затраты труда 4 6 4 2 60 <= 60

7 Накладные расходы 8 10 12 8 148 <- 200

Рис. 1. Компоновка листа MS Excel для решения задачи планирования производства продукции

\т А В С в Е F G

1 У1 у2 уЗ

2 Значение 20 10 0

3 ' Целевая функция Ъ 40 60 200 1400

4

5 Продукция 1 3 4 8 100 60

6 Продукция 2 1 6 10 80 >= 80

7 Продукция 3 4 4 12 120 >= 120

8 Продукция 4 1 2 8 40 >= 30

Рис. 2. Компоновка листа MS Excel для решения двойственной задачи (оптимизации условных цен ресурсов)

Первая теорема двойственности гласит, что если одна из двух двойственных задач имеет оптимальный план, то и другая имеет оптимальный план, причем экстремальные значения целевых функций равны, т. е. Fmax = Экономическая сущность первой теоремы двойственности состоит в том, что если задача определения оптимальных объемов выпуска продукции разрешима, то разрешима и задача определения оценок ресурсов, которые в данном случае помогают сбалансировать затраты и результаты производства.

Вторая теорема двойственности: для того, чтобы планы X*, У* пары двойственных задач были оптимальными, необходимо и достаточно выполнение двух условий [3].

Первое условие интерпретируется следующим образом: если в соответствии с оптимальным планом выпуска продукции /-й ресурс будет израсходован полностью (является дефицитным), то в оптимальной системе оценок он получает отличную от нуля оценку у* > 0; если какой-либо ресурс расходуется не полностью, т. е. избыточен, то его оценка равна нулю.

Второе условие: если ¡-й продукт входит в оптимальный план производства (х* > 0), то при оптимальной системе оценок двойственной задачи затраты ресурсов на его изготовление совпадают со стоимостью этого продукта; если затраты ресурсов на выпуск какого-либо продукта превышают его стоимость, то этот продукт не производится, т. е. х* = 0.

Согласно теоремам двойственности оптимальное решение задачи линейного программирования обладает свойством устойчивости: не меняется при относительно небольших изменениях некоторых параметров задачи. С другой стороны, оно оказывается чувствительным даже к малым изменениям других параметров. В этой связи постоптимизационный анализ устойчивости и чувствительности оптимального решения задачи линейного программирования при возможных изменениях параметров задачи представляет большой интерес для менеджеров-практиков, которых интересует не только теоретически оптимальное решение для заданных расчетных значений параметров, но и множество других вариантов решений, соответствующих несколько иным значениям параметров задачи. Другими словами, интерес управленцев состоит в получении ответов на ряд следующих вопросов:

- на сколько можно изменить коэффициенты целевой функции, чтобы при этом не произошло изменения оптимального решения;

- как следует изменить тот или иной коэффициент целевой функции, чтобы сделать дефицитный ресурс недефицитным или наобо рот;

- какие дефицитные ресурсы следует увеличивать в первую очередь для увеличения целевой функции и т. д. и т. п.

Ответы на подобные вопросы можно получить путем использования графического и аналитического параметрического анали-

за задачи линейного программирования, описанного в работах [2, 3], но наиболее удобно использовать для этой цели возможности пакета «Поиск решения» MS Excel.

Пакет «Поиск решения» предоставляет в распоряжение пользователя отчеты по результатам, по устойчивости и по пределам, в которых приводится информация для постоптимизационного анализа свойств полученного решения исходной и двойственной к ней задачи. На рис. 3 показаны отчеты, сформированные в результате решения пред-тавленной выше задачи планирования производства продукции.

Microsoft Excel 12.0 Отчет по результатам

Microsoft Excel 12.0 Отчет по устойчивости

Изменяемые ячейки

Результ. Нормир. Целевой Допустимое Допустимое

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Ячейка Имя значение стоимость Коэффициент Увеличение Уменьшение

ÏBÎ2 Значение х1 0 40 60 40 1Е+30

$С$2 Значение х2 4 0 80 100 50

$D$2 Значение хЗ 9 0 120 200 50

ÏEÏ2 Значение х4 0 -10 30 10 1Е+30

) граничения

Результ. Теневая Ограничение Допустимое Допустимое

Ячейка Имя значение Цена Правая часть Увеличение Уменьшение

ÏFÎ5 Материал 40 20 40 20 30

ÎFÏ6 Затраты труда GO 10 G0 37.14235714 20

$F$7 Накладные расходы 148 0 200 1Е+30 52

Microsoft Excel 12.0 Отчет по пределам

Ячейка

Целевое Имя

Значение

5F53 Целевая функция F

1400

Изменяемое Нижний Целевой Верхний Целевой

Ячейка Имя Значение предел результат предел результат

«2 Значение х1 0 0 1400 0 1400

$С$2 Значение х2 4 0 1080 4 1400

$D$2 Значение хЗ Э 0 320 Э 1400

ÎE$2 Значение х4 0 0 1400 0 1400

Рис. 3. Отчеты по результатам, по устойчивости и по пределам, формируемые пакетом «Поиск решения» MS Excel

В отчете по результатам приводятся оптимальные значения неизвестных исходной задачи (оптимальный план выпуска продукции) и соответствующая им величина целевой функции (выручки от продаж). Показан статус каждого ограничения: связанное, если при оптимальном плане выпуска продукции выполняется в виде равенства (соответствующий ресурс расходуется полностью - является дефицитным) или не связанное, если данный ресурс недоиспользуется - является недефицитным.

В отчете по пределам отражено, в каких пределах может изменяться выпуск продукции, вошедший в оптимальный план, при сохранении структуры оптимального решения; даны оптимальные значения целевой функции для нижних и верхних пределов изменения объемов выпуска продукции при неизменной структуре оптимального плана.

В отчете по устойчивости представлена информация, необходимая для постоптимизационного анализа устойчивости найденного оптимального решения при возможных изменениях коэффициентов при неизвестных в целевой функции (стоимости продукции) и правых частей ограничений (объемов ресурсов).

В верхней таблице отчета по устойчивости определены допустимое увеличение и допустимое уменьшение стоимости каждого вида продукции, в пределах которых остаются неизменными оптимальный план выпуска продукции и состав дефицитных ресурсов.

В нижней таблице отчета по устойчивости для каждого ресурса определена теневая цена - двойственная оценка (неизвестная двойственной задачи), показывающая, на какую величину изменится целевая функция при увеличении на 1 единицу правой части соответствующего ограничения и неизменных значениях правых частей остальных ограничений. Теневая цена - это максимальная цена, которую стоит платить за дополнительное количество дефицитного ресурса, чтобы его приобретение было выгодным в данных условиях. Здесь же приведены допустимое увеличение и допустимое уменьшение объема каждого ресурса, в пределах которых сохраняются неизменными теневые цены ресурсов и оптимальная номенклатура выпускаемой продукции.

Таким образом, постоптимизационный анализ устойчивости оптимального решения позволяет получить ответы на множество вопросов, в частности, наиболее распространенные из них следующие:

- считая, что продажа готовой продукции обеспечена в заданных пределах, определить, сколько следует изготовить каждого из видов производимой продукции, чтобы выручка (прибыль) от их продаж была максимальной;

- как изменится оптимальное решение, если объем ресурса того или иного вида увеличится (уменьшится) на заданную величину;

- изменится ли решение, если цена одного из видов продукции вырастет (снизится) на некоторую величину;

- как изменится решение, если фонд рабочего времени снизится (увеличится) на столько-то человеко-часов?

Подобные вопросы могут звучать относительно изготовления продукции нескольких видов на нескольких разнотипных единицах оборудования, если известно время изготовления продукции на каждой машине и время работы машин в течение одного производственного цикла, цена продукции каждого вида. Можно также определить: фонд рабочего времени какой машины является излишним и на какую величину его можно уменьшить.

В качестве производственных ресурсов могут выступать: оборудование, затраты труда, материалы, электроэнергия, накладные расходы (на единицу продукции) и др. Одним из важных факторов (ограничений), который особенно волнует аналитика (экономиста-менеджера) при оценке устойчивости оптимального плана выпуска продукции, является изменение спроса на тот или иной вид продукции.

Другими словами, используя описанные инструменты постоптимизационного анализа устойчивости оптимального решения, можно задавать расход ресурсов и (или) находить пределы их изменений и пределы изменения целевой функции при изменении величины или расхода каждого из ресурсов.

В заключение отметим, что построение экономико-математической модели объекта и процесса управления, включая разработку плана, анализ и регулирование его реализации - это наиболее трудоемкая часть профессиональной работы экономиста-менеджера. Принятию эффективных управленческих решений и их адекватной корректировке, обеспечивающей достижение оптимального результата трудно обучить на лекциях и практических занятиях. Умение приходит по мере накопления собственного опыта работы в этой области.

Библиографический список

1. Голинков Ю.П. Экономико-математическое моделирование производственных систем полиграфии : учеб. пособие / Ю.П. Голинков; Моск. гос. ун-т печати. - М. : МГУП, 2006.

2. Иванов Ю.Н. Математическое описание элементов экономики / Ю.Н. Иванов, В.В. Токарев, А.Н. Уздемир. - М. : Наука, 1994.

3. Ильченко А.Н. Практикум по экономико-математическим методам : учеб. пособие / А.Н. Ильченко, О.Л. Ксенофонтова, Г.В. Кана-кина. - М. : Финансы и статистика; ИНФРА-М, 2009.

4. Соколов А.В. Методы оптимальных решений : учеб. пособие для вузов : в 2 т. Общие положения. Математическое программирование / А.В. Соколов, В.В. Токарев. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2010.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.