CC BY
26
г і : і ;. і • і :: 5 і і ; і !
І -ї-і! І І 1. І.... ?* " ї\ І ! 1 ! ♦ ! Е і НІгІІ+г ■ І"-; г : І '
. ї й Р*-?! 1111 1 ' і і
її -1—І— з .1 і ї ІІ!.4-?! .Т. МІЙ і і Д- чШЙ+ЙН
О,? їй,,5 &? I г; ;? « 5,ІЇ >ЇІ5 !?:,н од-.ит ] 1 #
Рис. 2
пературы перегретого пара в логарифмической анаморфозе (рис. 2), от отчетливо видны два участка. На первомучастке в диапазоне изменения II 11,0-1,8 кг/кг изменение усадки 8 весьма значительно - от 0,3 до 0,87. На втором участке в диапазоне изменения и = 1,8—0,1 кг/кг изменение усадки 5 незначительно- от
0,87 до 0,93.
Очевидно, это объясняется замедлением процесса нарушения капилляров продукта, что существенно уменьшает скорость сушки и развитие объемно-напряженного состояния. Грибы, высушенные перегретым паром, по сравнению с заводскими образцами имели меньшую усадку, более развитую микропористую структуру, за счет чего время развариваемости уменьшилось на 15-25% [3].
При математической обработке экспериментальных данных были получены уравнения, выражающие зависимость величины усадки 8 от текущего влагосо-держания продукта для различных значений температуры перегретого пара ?:
130°С, 8=0,991е -0,0971 II. > (3)
( = 140°С, 8 = 1,007 е -0,0732 V. (4)
150°С, Х-Л ОТІ „ О — V/, у о -0,0881 и .
/ = 160°С, 5 = 0,902 е -0,0657 и ? (6)
где и - текущее влагосодержание грибов, кг/кг.
Средние квадратичные отклонения соответственно равны, %: с>]зо — 2,30%; С140= 5,51%; Ст150 = 2,25%;
гг — и 'ЗОО/.
^160 — /О.
Было получено обобщенное регрессионное уравнение, выражающее зависимость величины усадки 5 от текущего влагосодержания грибов /У и температуры перегретого пара 4:
8 = 0,964 е45-0793 " е-°>000147 . (7)
Среднее квадратичное отклонение усадки, полученной по уравнению (7), составляло с = 5,12%.
Таким образом, уравнения (3 - 7) с достаточной для инженерных расчетов точностью описывают характер изменения усадки грибов Вешенка при сушке перегретым паром.
выводы
1. Установлено, что при сушке перегретым паром атмосферного давления грибы Вешенка имели существенную усадку, которая зависела от температуры перегретого пара. Анализ полученных данных позволил выбрать рациональный температурный режим для проведения процесса сушки грибов.
2. Установлен характер изменения высоты слоя грибов в процессе сушки с учетом их усадки.
3. Получено обобщенное регрессионное уравнение, выражающее зависимость величины усадки от текущего влагосодержания грибов и температуры перегретого пара.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гинзбург А.С. Основы теории и техники сушки пищевых продуктов. -М.: Пищевая пром-сь, 1973. - 528 с.
2. Лыков А.В. Теория сушки. - М.: Энергия, 1968. - 470 с.
3. Справочник технолога пищеконцентратного и овощесушильного производства / В.Н. Гуляев, Н.В. Дремина. З.А. Кац и др.; Под ред. В.Н. Гуляева. - М.: Легкая и пищевая пром-сть, 1984.-- 488 с.
Кафедра процессов и аппаратов химических и пищевых производств
Поступила 24 10.2003 г
531.1.002.612
ВОЗБУЖДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ СТОЯЧЕЙ ВОЛНЫ НА ГЛАВНОМ РЕЗОНАНСЕ В СОСУДЕ
В.В. ТРЕПАЧЕВ
Ростовская государственная академия сельскохозяйственного машиностроения
Технологические процессы наиболее важных отраслей пищевой промышленности - консервной, молочной, маслобойной, сахарной и др. - могут сопровождаться стоячими колебаниями поверхности жидкости.
Вопросы гидравлического сортирования рассмотрены в [1]. Нелинейные волновые эффекты на поверхности жидкости анализировались в [2-4]. В данной ра-
боте предложен более простой способ оценки крутизны вынужденных нелинейных волн, находящихся под воздействием колебания давления на поверхности жидкости. Результаты могут быть использованы при оценке затрат энергии на активацию процессов очистки и переработки пищевых продуктов под воздействием колебаний давления воздушного потока на поверхность жидкости.
Рассматривается плоская нелинейная задача о стоячих периодических волнах, вызванных давлением Рг, (х, /) на поверхности идеальной несжимаемой жидкости
ф + /' - 0, —h < V <Ti(X, t):
т ж j уу J *■ t Ч > / >
Ф, +т| /р, = ф „;; у = г) (х, 0;
(1)
(2)
9, + 0,5(ф' + ф*)+g-n + цф + — = f(t),у - ч (х, t);(3)
Р
<ру = 0, у = -Ь, h> 0. (4)
Потенциал скорости плоского движения
Ф (х, у, ^удовлетворяет уравнению Лапласа (1) и краевым условиям (2), (3) и (4), которые имеют смысл кинематического условия, динамического условия и условия непротекания на неподвижном дне. Функция л (х, f) описывает форму поверхности. Положительные постоянные g, Ц, р означают ускорение свободного падения, коэффициент диссипации энергии Рэлея [3], плотность. Неизвестная функция/(t) зависит только от времени t. На поверхность жидкости действует периодическое давление следующего вида:
L
р0 = -p-^cosfcecoscrt, ст а
(5)
w
(t) = -b | p0(x,t)r\<,,dx = 7pga2b%\-icos2 ct; (8) -я./г 1
w
T /z
- | wdt--
-T /2
:-F—,F=pgab'k 4 и
где T ■
2 я
период, w - средняя мощность за период колеоании,
где с - частота свооодных волн па поверхности идеальном жидкости
2п
конечной глубины к в рамках линейной теории; А, = ..- длина вол-
к
ны давления, а - амплитуда стоячей волны в линейном приближении.
Действительно, опустим квадратичные слагаемые в нелинейных граничных условиях (2), (3), потребуем выполнения этих условий на неподвижной границе у=0, учтем форму'лу (5), имеем решение задачи о стоячих волнах бесконечно малой амплитуды
T]0 (x,t) -acoskxsmat = acos kxcos(at - — )', (6)
9o(x.j',o=4f^^w<o=a (7)
a chkh
где Л„, = ---TV
Ot
Из (5), (6) видно, что фаза поверхностной волны отстает от фазы поверхностного давления на угол тг/2. Отношение амплитуды поверхностного давления (5) к величине рg равно ац / а, Отношение амплитуды поверхностной волны (6) к высоте столба жидкости аи /сг (плотности р) называется коэффициентом усиления
колебаний и = а / (ац / а) = —. Уменьшение коэффи-
Ц
циента диссипации энергии ц приводит к увеличению коэффициента усиления колебаний и.
Мгновенная мощность w (/) рассчитывается как скалярное произведение вектора силы и вектора скорости, нормальных к поверхности жидкости. Выберем площадку длиной X, шириной Ъ в направлении перпендикулярном плоскости Оху. Учтем направления указанных векторов, имеем
йсг — амплитуда колебательной скорости, .Р - сила.
Из (8) видно, что у/ изменяется обратно пропорционально коэффициенту усиления колебаний и. Величина м> имеет смысл энергии, затрачиваемой в единицу времени при возбуждении стоячих волн на участке поверхности жидкости площади Ь\.
Изучим влияние нелинейности. Преобразуем краевые условия (2), (3) способом [2]. Введем граничные значения потенциала скорости Ф (х, /)и вертикальной скорости V (х, 0 на поверхности жидкости
Ф(х,0 = 9 {),‘ X Нх', ^ = <$у,у= ‘ПО, t) (9)
Найдем частные производные функции Ф, определенной в (9), по переменным X и I
Ф, = ф, + щ, ф, =Фл- + vn,
(10)
(11)
Подставим (10), (11) в (2), (3), выводим краевые условия в другом виде
.П,
1+Т11
(12)
Ф, +0,5ф; +^Т1 + цФ + ^- = /(O + 0,5(l + T!;)v2 (13)
где Т1(х) = л(-х), ф(х, 0 = Ф(-Х, ?).
Из (5), (11)—(13) имеем
=0,^ =0,х-0,
Фх =0.^, = V, х = 0
где х -- 0 определяет вертикальную линию, на которой располагается гребень (либо впадина). Решения уравнения^ = 0, где х - 0, описывает моменты времени, при которых вертикальная скорость поверхности жкдкостиравна нулю.
Жидкость несжимаема, поэтому форма поверхности удовлетворяет интегральному условию [4]
|п(х, t)dx = Q.
(14)
Подставим (12) в динамическое условие (13), выразим из него Г) ((х, /)) с помощью соотношений
r[(x,t) = --[L(x,t)~ f{t)]\
Х/2
/(0 = 7 \L(x,t)dx,
КЛ/г
(15)
где функция
Ь(х, /) = Ф, + цФ + — + 0,5 х Г'
я ф: -
. — ^ Лл Ч
ПТ,
(17)
I 1-п:
Форму ла (16) находится из условия несжимаемости (14). Применим к (15)—(17) метод итераций. Вычислим приближенные значения потенциала скорости на поверхности жидкости и его частных производных по переменным х и £ Воспользуемся формулами линейной теории (6), (7) и соотношением (9), имеем следующие известные функции переменных х, ( я пара-метла й\
Ф(*,0 =
g скк(г\+к)
ф;-(х,0 =
<1\ М?
с
и
сккк
г),, т) - асов кхсояаР,
а2сккк ?■
[*(Л , )2 $кк(г] + к) +г| а спк(х1 + /г)];
где а определено в (5), -
7 \кг\,Т\^кк(х\ + к^ + Ц^скк^ + И)^, (18)
52г)
(?г5х
Ограничимся первым шагом метода итерации. Подставим (5), (18) в правую часть формулы (17), найдем функцию Ь (х, 0 в явном виде. Затем подставим I (х, I) в правую часть (16), осуществим интегрирование численным способом, определим значение функции /'(() в некоторый заданный момент времени. На последнем этапе первого шага метода итерации подставим известные значения Ь (хЛ) м/(1) в (15) и определим уточненное значение возвышения поверхности жидкости, которое учитывает влияние нелинейных эффектов. При малых значениях параметра аК расчетная формула содержит в себе решение линейной задачи и первую поправку на нелинейность метода возмущений [3, 4].
Расчеты показали, что предложенный алгоритм численного анализа описывает основные нелинейные эффекты, характерные для стоячих волн конечной амплитуды: заострение гребня стоячей волны по сравнению с ее подошвой, возрастание крутизны волны по сравнению с линейной теорией, отсутствие полной
распрямляемости колеблющейся поверхности жидкости, возникновение дополнительного динамического давления на стенки сосудар/(/). На главном резонансе в качестве характерных размеров сосуда следует считать, что глубина сосуда равна/г, а его длина равна X /2. В случае к / (X / 2) > 1 сосуд считается глубоким. Результаты расчетов описывают форм}' поверхности жидкости как в глубоких, так и в мелких сосудах. В глубоких сосудах наблюдаются стоячие волны большой крутизны.
Приведем пример расчета. Пусть X = 3 м, к = 1 м,
м. = 0,01а,а/27Г = 0,71056Гц, <# = 71/2,^0 = 41 (О,/)-
- 71 (к / 2,0 - высота волны в указанный момент времени. Тогда при а = 0,1 мимеемк0 = 0,2044 м,/(0 /о =
- 0,0102 м, а в случае а = 0,12 м соответственно ка = 0,2476 м,/(0 /^ = - 0,0147 м. Видно, что к0 > 2а, т. е. высота нелинейной стоячей волны больше, чем высота стоячей волны 2а, описываемой линейной теорией. Функция/{I) I ^ пропорциональна квадрату величины а. Отношение к0/Х < 0,18, что указывает на отсутствие неустойчивости гребня стоячей волны [5]. Изменения р//1 на практике осуществляются датчиком давления, расположенном на дне сосуда. Они могут быть использованы для контроля технологических процессов переработки.
ЛИТЕРАТУРА
1. Горбатюк В.И. Процессы и аппараты пищевых производств. -М.: Колос, 1999. -335 с.
2. Захаров В.Е. Устойчивость периодических волн конечной амплитудынаповерхностиглубокойжидкости/УПМТФ. -1968. -№
2. - С. 86-94.
3. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. М: Наука, 1977.-815 с.
4. Алешков ЮЛ. Течение и волны в океане. - СПб.: Петербург :
С.-Петербург, ун-т, 1996. - 228 с.
5. Трепачев В.В. Анализ неустойчивости гребня стоячей волны // Безопасность, экология, энергосбережения: Материалы на-уч.-практ. семинара. Вып. 3. - Ростов н/Д: Ростов, гос. строительный ун-т.-2001. - С. 84-89.
Кафедра высшей математики
Поступила 18.07.03 г.
